一些翻译工作——微分流形的动机

最近重新阅读了一遍Loring W.Tu的流形导论，发现第一遍阅读所忽略的章节前言实际上非常漂亮地解释了流形理论的发展，所以在这里我做一些翻译上的工作，来让更多的人可以阅读它。我会尽我的能力将其翻译的通俗易读，但仍不免有不通顺的地方，如有更好的修改建议请多指正。

欧几里得空间

欧几里得空间是所有流形的照片，不仅因为它是最简单的，更重要的是一切流形局部去看都类似于欧几里得空间，所以对欧几里得空间有良好的理解是理解流形上的微积分的基础。

欧几里得空间是非常特殊的空间，因为它有标准坐标系，这同时是神奇的也是令人困扰的。神奇之处在于，因为有了标准坐标系，所以欧几里得空间上的所有结构都可以在标准坐标系下进行计算；而令人困扰的地方在于，用坐标定义的情况下，哪些结构是本质的常常并不显然，比如坐标独立性。因为一般的流形并不一定有标准坐标系，但是坐标独立性的概念在流形上仍然是有意义的。举个例子：在一个 $n$n 维流形上定义对函数的积分是不可能的，因为对函数进行积分必须要在整体的标准坐标下进行。在流形上，微分形式可以被积分，这仅仅是因为存在全局坐标，允许将微分形式与欧氏空间中的函数联系起来，从而可以通过在欧氏空间中对函数进行积分来计算流形上微分形式的积分。

我们在这里的目标是在 $R^n$R^n 中运用更少依赖坐标的方式来重构微积分理论，从而使其可以更好地运用于对流形理论的研究之中。在这一章，我们将不再将切向量看作空间中的箭头或者是一列有序数组，而是函数的微分算子。为了达成这个目标，我们需要研究Hermann Grassmann（赫尔曼·格拉斯曼）对向量空间上多重交错线性函数进行一些研究，这实际上也是微分形式理论的重要基础。最终，我们引入$R^n$中的微分形式，同时给出了对微分形式的两种基本操作——楔积与外微分，并且观察了它们在 $R^3$R^3 中的表现。

流形

简单地说，流形是从更高的角度对曲面曲线的一般概括。流形在局部上是欧几里得的——在每个点附近都存在邻域，叫做坐标卡，它与 $R^n$R^n 中一个开集同胚。我们可以通过坐标卡将 $R^n$R^n 的坐标转移到流形上，所以我们就可以把欧几里得空间上的很多概念迁移到流形上，比如可微性，点导数，切空间以及微分形式。

像其它很多重要的数学概念一样，流形的观念也并非是某个数学家提出的，而是在漫长的岁月里从很多数学家的工作中凝聚而成的。Carl Friedrich Gauss（卡尔·弗里德里希·高斯）在他发表于1927年的杰作Disquisitiones generales circa superficices curvas(General Investigations of Curved Surfaces，曲面的一般研究)中，首次把曲面作为可以局部嵌入欧氏空间的抽象空间来进行处理。Bernhard Riemann（伯恩哈德·黎曼）1854年在哥廷根的第一门课程Uber die Hypothesen, welche der Geometriezu Grunde liegen(On the hypotheses that underlie geometry，关于几何学基础的假设)奠定了高维微分几何的基础。事实上，流形Manifold这个词语来源于德语Mannigfaltigkeit，这是黎曼在他的课程中用到的。后来，这个词语在十九世纪末期被Henri Poincare（亨利·庞加莱）在同调论中被用来描述从图形上显著具有局部欧氏空间特点的几何对象。在十九世纪末期与二十世纪初期，点集拓扑也蓬勃发展。直到1931年才有基于点集拓扑以及转移函数群的对于流形的现代定义。

在这一章我们将给出光滑流形的定义与基本性质，以及流形之间的光滑映射。在最开始，我们用来验证一个几何对象是否是流形的方式十分单一，只能通过找光滑的相容坐标卡来做到。但是在第七节，我们将给出在商拓扑下构造流形的第二种方式。

切空间

按照定义，流形上一点的切空间是这一点处微分算子组成的线性空间。流形之间的光滑映射诱导出切空间之间的线性映射被称为光滑映射的微分。在局部坐标系下，因为映射是线性的，所以这个微分可以被矩阵表示——这实际上是映射的偏导数组成的Jacobi矩阵。从这个意义上来说，流形映射的微分是欧几里得空间映射微分的推广。

流形理论的一个基本观点是线性化，这表现于：一个流形可以被流形上点的切空间近似，光滑映射可以被映射的微分近似。从这个角度来说，我们将拓扑问题转化为了线性问题。一个线性化很好的例子是反函数定理，将光滑映射的局部可逆性转化为了它在点处微分的可逆性。

通过微分，我们按照矩阵的最大秩来将映射分类为浸入与浸没，如果一个点的微分是满射，那么称其为正则点。正则水平集定理指出正则点的水平集构成正则子流形，例如 $R^n$R^n 中的 $k$k 平面。这个定理为证明一个拓扑空间是流形提供了重要的工具。

我们介绍了范畴与函子的概念，这是比较结构相似性的框架性工具。在完成了这之后，我们开始通过映射的微分来研究映射。从微分的秩来看，局部光滑映射的三种规范形式分别对应常秩定理，浸入定理与浸没定理。我们会给出正则水平集定理的三种证明，一种运用反函数定理，其余两种运用常秩定理与浸没定理。

切空间的并可以被给予向量丛的结构，我们称其为流形的切丛。直观的，流形上的向量丛局部上是逐点的向量空间参数族，一个流形的光滑映射，通过每一点的微分对应一个切丛的丛映射。从这个角度来说，我们可以从光滑流形与光滑映射构成的范畴中的协变函子。而向量场，它有很多现实对应比如速度场电场等，可以被看作是流形上切丛的截面。

光滑冲激函数以及单位分解是相对独立的一个研究流形的技术，通过光滑冲激函数，我们可以给出衡量向量场光滑性的尺度。最后我们还介绍了一些积分曲线，流，与光滑向量场的李括号等知识。

李群与李代数

一个李群是一个具有群结构的流形，同时群运算都是光滑的。经典的李群如 $R$R 上或者 $C$C 上的一般线性群与特殊线性群，正交单位群以及对称群。

一个李群的左乘 $l_g:x\to gx$l_g:x\to gx 是到自身的微分同胚，它把单位 $e$e 映射到 $g$g ，从这个角度来说，它是一个齐次空间。于是，局部上来看，每一个群元看起来都和其他的点似乎没有什么区别。为了学习李群的局部结构，我们只需要考虑单位元的邻域即可。所以很自然的，李群在单位元处的切空间应当是非常重要的。

李群 $G$G 的单位元处的切空间如果带有括号结构 $[,]$[\ ,\ ] ，那么它成为一个李代数。切空间 $T_{e}G$T_eG 与括号一起组成李群 $G$G 的李代数，它蕴含着李群的丰富信息。

在1874年到1884年之间，挪威数学家Sophus Lie（索菲斯·李）发表了一系列关于李群与李代数的文章。最开始，他的文章并不出名，因为他基本上使用挪威语写的。在1886年，他成为了德国莱比锡大学的教授，同时他的理论开始更受关注，尤其是在他发表了与他的助手Friedrich Engel（弗里德里希·恩格尔）一起完成的三卷论文Theorie der Transformationsgruppen（变换群理论）以后。

李最早的动机是研究将空间的变换群视为有限集上的置换群的连续算法，那么流形的微分同胚可以被看作流形上点的置换。群理论，拓扑学，线性代数让李群与李代数理论变得无比丰富，同时涵盖数学的多个分支。在这一章里，我们将会浅浅领略一下这一数学景观的风采。对于我们来说，李群的最主要作用是丰富我们对于流形的想象，同样的，李代数也丰富了我们对于切空间的想象。

微分形式

微分形式是实值函数在流形上的推广，相比于给流形上每一个赋予一个数，我们选择给切空间上每一个$k$余向量赋予一个 $k$k 微分形式。对于 $k=0,1$k=0,1 ，微分 $k$k 形式分别是函数与余向量。

微分形式在流形理论中有非常重要的作用。首先，它们是各种流形上的固有结构，同时可以被用来构造流形上的微分同胚不变量。相比于向量场，微分形式更加本质，它给流形提供了丰富的代数结构。因为楔积，分次，外微分的存在性，流形上的光滑形式可以成为分次代数以及微分复形。这种代数结构叫做微分分次代数，而微分复形可以被光滑映射拉回，让它成为de Rham复形上的逆变函子。我们会通过de Rham复形来构造de Rham上同调。

因为欧几里得空间上对于函数的积分依赖于坐标的选择，同时积分值在坐标变换下不是不变量，所以我们无法在流形上对函数做积分。最可能的做法是在流形上求次数与流形的维数相等的微分形式。在各种微分形式中，这个次数最高的微分形式在坐标变换下会有比较漂亮的结果，所以它有可能是可以被积分的。流形上的微积分离开了微分形式是无从谈起的。

非常简要地说，微分形式总是与积分号一起出现。从这个意义下，微分形式与微积分几乎一样古老，很多微积分中的定理，比如柯西积分定理或者格林定理都用微分形式来进行重述。尽管很难说是谁先独立赋予微分形式新的意义，Henri Poincare（亨利·庞加莱）与Elie Cartan（埃利·嘉当）总体来说都应该是这里的先驱者。在嘉当1899年发表的一篇文章，嘉当将$R^n$上的微分形式代数定义为一个定义在被 $d{x}^1,d{x}^2,\cdots ,d{x}^n$dx^1,dx^2,\cdots,dx^n 生成的光滑函数的反对称分次代数。在同一篇文章中，嘉当也定义出了微分形式的外微分算子。而微分形式的现代定义是作为余切丛的外部幂次的截面，再之后纤维丛就出场了。

在这一章中，我们会从向量丛视角上来介绍微分形式的入门。我们会从最简单的1形式开始，它已经具有了很多一般形式具有的性质。我们会考虑光滑形式的特征，并且展示如何进行乘，微分，拉回。在外微分之外，我们还会引入李导数与内乘算子。

积分

在流形上我们积分的对象不再是 $R^n$R^n 中的函数，而是微分形式。流形上的积分事实上有两种理论，一种是在子流形上的积分，另一种是在一个被称为奇异链上的积分。奇异链允许我们对一些不是子流形的元素进行积分。

为了简洁，我们只讨论子流形上的光滑形式的积分。对于更一般集合上的光滑形式，读者可以从参考文献中找到一些精彩的材料。

为了流形上的积分是良好定义的，我们需要要求流形是可定向的。所以我们会从流形的定向开始讨论。之后我们将流形范畴拓展到包含带边流形的情况。我们最终将斯托克斯公式推广到流形形式上。对于 R^3 中带边曲面的斯托克斯公式最早在1854年剑桥大学的斯密斯有奖竞赛中作为问题出现。当时是否有学生解答出这道问题已经不可考了。但根据一些文献，同样的定理早在四年前Lord Kelvin（开尔文勋爵）给Stokes（斯托克斯）的信中就有提到，数学定理的归属有的时候就是这么充满陷阱。一般流形的斯托克斯定理是许许多多位数学家的功绩，包含Vito Volterra(1889，沃尔泰拉),Henri Poincare(1899),Edouard Goursat(1917，爱德华·古尔萨),Elie Cartan(1899,1922)。最早是一些特殊的例子，然后是用坐标表示的一般情况，最终演化到用微分形式来进行表达。嘉当是微分形式的大师，他用微分形式的语言给出了斯托克斯定理最漂亮的解答。

de Rham理论

根据线积分的定理，如果一个光滑向量场 F 是某个标量函数 f 的梯度，那么对这个向量场的线积分是路径无关的。类似的，经典的斯托克斯公式告诉我们，光滑可定向曲面上的向量场沿着曲面的积分，如果向量场是另一个场的旋度的话，那么可以转化为沿着边界的积分。通过之前对向量场雨微分形式的讨论，它转化为微分形式是恰当的。

庞加莱基于此开始思考 R^n 中的闭形式有多少是恰当的。庞加莱在1887年证明了当 k=1,2,3 时一个$k$形式是恰当的当且仅当它是闭的，这条引理被其冠名。Vito Volterra最终在1889年完成了一般的庞加莱引理的证明。

最终人们发现，闭形式多大程度上是恰当的依赖于流形的拓扑结构。例如 R^2 的每个高于零次的闭形式都是恰当的，但是在 R^2-\{(0,0)\} 上却发生了变化，存在不恰当的闭形式。闭形式恰当的度量被定义为de Rham上同调，这或许是流形上最重要的微分同胚不变量。

在一系列举世瞩目的论文中，从1895年题为Analysis situs的论文开始，庞加莱引入了同调的概念，这时现代代数拓扑的核心观念。粗糙地说，一个紧致的无边子流形是一个圆，一个圆如果边界在另一个流形上那么其点同调到零。在同调关系下我们将这些圆分成同调类。在Georges de Rham（乔治·德拉姆）1931年的博士论文中，他展示了微分形式微分形式像圆与边界一样满足相同的条件，于是他证明了现在被称为de Rham上同调与实系数的奇异同调的对偶性。尽管他的论文没有明确定义出de Rham上同调，但相关的想法已经被文章包含了。最终，在他1938年的一篇论文中正式提出了de Rham上同调的规范定义。