Band Lineup and In-Plane Effective Mass of InGaAsP or InGaAlAs on InP Strained-Layer Quantum Well
InP歪み層量子井戸上のInGaAsPまたはInGaAlAsのバンドラインナップと面内有効質量

Takuya Ishikawa, Member, IEEE, and John E. Bowers, Fellow, IEEE
石川卓也、IEEE会員、ジョン・E・バウワーズ、IEEEフェロー

Abstract 要旨

We describe the band lineups of InGaAlAs on (001) InP as well as InGaAsP on (001) InP system with strain effects, based on the Harrison model. We show that the compressive strain does not affect the band position so much, and tensile strain raises the band position in the InGaAsP system. It is also shown that both compressive and tensile strains raise the band positions in the InGaAlAs system. The conduction and valence band positions of InGaAs, InGaAsP, and InGaAlAs relative to InP valence band are given in approximate formulas as a function of the strain. We calculate the energy versus in-plane wave vector relationship of the $InGaAsP / InGaAs (P)$ on $InP$ and InGaAlAs/InGa(Al)As on InP strained quantum-well systems. We obtain the in-plane effective mass of the strained quantumwell system by fitting the dispersion relationship to a parabolic curve. The in-plane effective masses of several kinds of strained quantum-well systems are listed.
われわれは、ハリソンモデルに基づいて、(001)InP上のInGaAlAsと(001)InP上のInGaAsPのひずみ効果を考慮したバンドラインナップを記述する。圧縮ひずみはバンド位置にあまり影響せず、引張ひずみはInGaAsP系のバンド位置を上昇させることを示す。また、InGaAlAs系では、圧縮ひずみと引張ひずみの両方がバンド位置を上昇させることを示した。InPの価電子帯に対するInGaAs、InGaAsP、InGaAlAsの伝導帯と価電子帯の位置は、ひずみの関数として近似式で与えられる。我々は、 $InP$ 上の $InGaAsP / InGaAs (P)$ とInP上のInGaAlAs/InGa(Al)As歪量子井戸系のエネルギー対面内波ベクトルの関係を計算した。この分散関係を放物線曲線にフィッティングすることにより、歪量子井戸系の面内有効質量を求めた。数種類の歪量子井戸系の面内有効質量を示す。

I. Introduction I.はじめに

IN the last several years, strained quantum wells have attracted the interest of many researchers working in the semiconductor laser field. Many interesting possibilities of strained quantum wells have been proposed and demonstrated [1]-[3]. Higher optical gain [4], or a very large modulation bandwidth [5], [6] may be obtained by use of the compressive strained quantum well. Polarization-insensitive optical gain may be obtained by use of tensile strained quantum wells [7], [8].
ここ数年、ひずみ量子井戸は半導体レーザー分野の多くの研究者の関心を集めている。歪み量子井戸の多くの興味深い可能性が提案され、実証されている[1]-[3]。圧縮された歪量子井戸を使用することで、より高い光利得[4]や非常に広い変調帯域幅[5]、[6]が得られる可能性がある。また、引っ張り歪み量子井戸[7]、[8]を用いれば、偏光に依存しない光利得が得られる可能性がある。

In order to determine the material properties in strained quantum well system, we must know the band lineup of the bulk material first. Although several reports have been presented [9]-[13], the band lineups of InGaAsP on InP system with strain effects are still ambiguous. We describe the band lineups of InGaAlAs on InP as well as InGaAsP on

InP

with strain effects, based on the Harrison model [14].
歪み量子井戸系の材料特性を決定するためには、まずバルク材料のバンドラインナップを知る必要がある。これまでにいくつかの報告がなされているが[9]-[13]，InP上のInGaAsPの歪み効果を考慮したバンドラインナップはまだ曖昧である。本論文では、Harrisonモデル[14]に基づき、InP上のInGaAlAsと、ひずみ効果を考慮した

InP

上のInGaAsPのバンドラインナップを記述する。

Precise calculation of the optical gain [4], [18], [19] as well as the analytical approximation of the laser properties [22] have been demonstrated. However, it is still useful to know the effective mass of the strain quantum well system.
光利得の精密計算[4]、[18]、[19]やレーザー特性の解析的近似[22]が実証されている。しかしながら、ひずみ量子井戸システムの有効質量を知ることは依然として有用である。

We describe the in-plane effective mass of an InGaAsP on InP and InGaAlAs on InP strained quantum well systems.
InP上のInGaAsPおよびInP上のInGaAlAs歪量子井戸系の面内有効質量について述べる。

We assume that the quantum well layers are on a (001) InP substrate, which is commonly used for long-wavelength semiconductor lasers. We will describe the composition of

InGaAsP

{In}_{1 - x} {Ga}_{x} {As}_{y} P_{1 - y}

(x, y)

, and the composition of InGaAlAs as

{In}_{1 - x - z} {Ga}_{x} {Al}_{z}

As or (

x, z

) in this paper.
量子井戸層は、長波長半導体レーザーで一般的な(001)InP基板上にあると仮定する。本論文では、

InGaAsP

の組成を

{In}_{1 - x} {Ga}_{x} {As}_{y} P_{1 - y}

または

(x, y)

、InGaAlAsの組成を

{In}_{1 - x - z} {Ga}_{x} {Al}_{z}

Asまたは(

x, z

)として記述する。

II. Band Lineup II.バンド・ラインナップ

A. Calculation Procedure
A.計算手順

We need to consider two things in order to determine the band lineup of a certain strained quantum-well system. First, we must know the unstrained band lineup of a bulk material, when the material has its own lattice constant. It has been reported that the band discontinuity ratio of the conduction band of lattice-matched InGaAsP on InP system is about

0.35 - 0.4

[9]-[13]. We might use the band discontinuity ratio to determine the unstrained band lineup, and this could make the procedure very simple. However, we cannot apply this method to an arbitrary composition of InGaAsP. Our goal in this section is to determine the band lineup for any composition of InGaAsP (or InGaAlAs), therefore we develop a method which enables us to do so. The method will be described in the next part. The second procedure we pursue is to consider the change in energy induced by a strain. The procedure is straightforward, and will be given in the later part.
ある歪量子井戸系のバンドラインナップを決定するためには、2つのことを考慮する必要がある。第一に、バルク材料がそれ自身の格子定数を持つ場合、その材料の非歪みバンドラインナップを知る必要がある。格子整合したInP上のInGaAsPの伝導帯のバンド不連続比は

0.35 - 0.4

程度であることが報告されている[9]-[13]。このバンド不連続面比を用いて無歪バンドラインナップを決定すれば、非常に簡単な手順で決定できるかもしれない。しかし、この方法をInGaAsPの任意の組成に適用することはできない。本セクションの目的は、任意の組成のInGaAsP（またはInGaAlAs）のバンドラインナップを決定することであり、そのためにそれを可能にする方法を開発する。その方法については次のパートで説明する。我々が追求する第二の手順は、ひずみによって誘発されるエネルギーの変化を考慮することである。この手順は簡単で、後編で説明する。

B. Band Lineup with No Strain
B.歪みのないバンド・ラインナップ

It should be noted that “unstrained” has a different meaning from “lattice-matched.” We start with the band lineups of the binary materials, which compose either InGaAsP or InGaAlAs. We use the Harrison model [14] for describing the band lineups of

InP, InAs, GaP

, and GaAs. The lineups are shown in Fig. 1. We set the valence band energy of

InP

as the origin of the energy. Experimentally determined value of

Δ E_{c} : Δ E_{v} =

0.65 : 0.35

used for AlAs/GaAs to determine the AlAs position [15], because Harrison model cannot give the good value only for AlAs.
無歪み "は "格子整合 "とは異なる意味であることに注意されたい。InGaAsPまたはInGaAlAsを構成する二元材料のバンドラインナップから始める。我々は、

InP, InAs, GaP

とGaAsのバンドラインナップを記述するためにHarrisonモデル[14]を使用します。ラインアップを図1に示す。

InP

の価電子帯エネルギーをエネルギーの原点とした。

Δ E_{c} : Δ E_{v} =

の実験値

0.65 : 0.35

は、AlAs/GaAsの場合、HarrisonモデルがAlAsに対してのみ良い値を与えることができないため、AlAsの位置を決定するために使用した[15]。

We can obtain the conduction and valence band positions of

{In}_{1 - x} {Ga}_{x} {As}_{y} P_{1 - y}

(or

{In}_{1 - x - z} {Ga}_{x} {Al}_{z} As

) relative to the InP valence band as the following steps. The procedure for InGaAsP will be explained, and the procedure for InGaAlAs is similar.
以下の手順で、InPの価電子帯に対する

{In}_{1 - x} {Ga}_{x} {As}_{y} P_{1 - y}

（または

{In}_{1 - x - z} {Ga}_{x} {Al}_{z} As

）の伝導帯と価電子帯の位置を求めることができる。InGaAsPの手順を説明するが、InGaAlAsの手順も同様である。

Fig. 1. Band lineups of the binary materials which compose InGaAsP or InGaAlAs. The valence band energy of

InP

is set to zero. Harrison model is used for determine the lineups of InP, InAs, GaP, and GaAs. Experimentally determined value of

Δ E_{c} : Δ E_{v} = 0.65 : 0.35

is used for AlAs/GaAs tc determine the AlAs position.
図1.InGaAsPまたはInGaAlAsを構成する二元物質のバンドラインナップ。b0>の価電子帯エネルギーはゼロとした。InP、InAs、GaP、GaAsのラインアップの決定にはハリソンモデルを使用。実験的に決定された

Δ E_{c} : Δ E_{v} = 0.65 : 0.35

の値は、AlAs/GaAsに使用され、AlAsの位置を決定する。

Fig. 2. Working plane to determine the band lineup of a certain composition of quaternary InGaAsP. Ternary materials corresponding the point

A (x_{0}, 1)

and

B (0, y o)

have the same bandgap energy as the quatemary material.
図2.ある組成の4元系InGaAsPのバンドラインナップを決定するための作業平面。点

A (x_{0}, 1)

と

B (0, y o)

に対応する3元系材料は、4元系材料と同じバンドギャップエネルギーを持つ。

We calculated the bandgap energy of quatemary InGaAsP by
私たちは、次のようにして四元系InGaAsPのバンドギャップエネルギーを計算した。

\begin{aligned} E_{g} (x, y) = & x y E_{g} (GaAs) + (1 - x) y E_{g} (InAs) \\ + x (1 - y) E_{g} (GaP) \\ + (1 - x) (1 - y) E_{g} (InP) \\ + x (x - 1) [y C_{In - Ga} (InGaAs) \\ + (1 - y) C_{In - Ga} (InGaP)] \\ + y (y - 1) [x C_{As - P} (GaAsP) \\ + (1 - x) C_{As - P} (InAsP)] \end{aligned}

where

C_{In - Ga} (InGaAs)

is the bandgap nonlinearity of InGaAs, for example.
ここで

C_{In - Ga} (InGaAs)

は、例えばInGaAsのバンドギャップ非線形性である。
2) We calculate the ternary composition whose bandgap energy is the same as the quaternary material calculated by (2.1). Usually, there exist two ternary compositions to satisfy the situation. These two ternary compositions correspond to points

A (x_{0}, 1)

and

B (0, y_{0})

in Fig. 2.
2) バンドギャップエネルギーが(2.1)で計算された4元物質と同じになる3元組成を計算する。通常、この状況を満たす3元組成は2つ存在する。この2つの3元組成は、図2の点

A (x_{0}, 1)

と

B (0, y_{0})

に対応する。
3) We determine the band lineups of two ternary materials specified above. We assume that the band discontinuity

Δ E_{c} : Δ E_{v}

is constant if we go along on a boundary of the square in Fig. 2 from a certain binary material to another.
3) 上に示した2つの3元物質のバンドラインナップを決定する。ある二元物質から別の二元物質へ、図2の正方形の境界に沿って進むと、バンドの不連続面

Δ E_{c} : Δ E_{v}

は一定であると仮定する。
4) We can obtain the band lineup of the quaternary material by interpolating the band lineups of two temary materials.
4) 2つの二次物質のバンドラインナップを補間することで、四次物質のバンドラインナップを得ることができる。

TABLE I 表1
Parameters Used for the Calculations (2) [15]
計算に使用したパラメータ（2） [15］

Parameter パラメータ	Symb シンブ	olUnit	InP インピー	InAs	GaP ガリウム燐酸	GaAs ガリウムひそリン	AlAs
Lattice constant 格子定数	d	$Å$	5.8688	6.0684	5.4512	5.6533	5.6611
Bandgap energy バンドギャップエネルギー	$E_{5}$	eV 電子ボルト	1.35	0.36	2.74	1.42	2.95
Elastic stiffness constant 弾性剛性定数	$dyn / {cin}^{2}$			8.329	14.120	11.880	12.020
Elastic stiffness constant 弾性剛性定数	$dyn / {cm}^{2}$			4.526	6.253	5.380	5.700
Hydrostatic deformation potential for 静水圧変形ポテンシャル	$a^{'}$	eV 電子ボルト	4.5	4.1	7.9	6.8	6.3
conduction band Hydrostatic deformation potential for valence band 伝導帯価電子帯の静水圧変形ポテンシャル	$a$	eV 電子ボルト	2.9	2.5	3.0	2.7	2.6
Shear deformation potential for Yalence band ヤレンス・バンドのせん断変形ポテンシャル	$b$	eV 電子ボルト	-2.0	-1.8	-1.5	-1.7	-1.5

TABLE II 表 II
Parameters. Used for the Calculations (1) [15]
パラメータ計算に使用したパラメータ (1) [15].

Bandgap Nonlinearity バンドギャップ非線形性	(eV) (eV）
$C_{In - Ga} (InGaP)$	0.70
$C_{In - Ga}$ (InGaAs)	0.51
$C_{In - A 1}$ (InAlAs)	0.99
$C_{As - P}$ (InAsP)	0.23
$C_{As - P}$ (GaAsP)	0.30
$C_{Al - Ga}$ (AIGaAs)	-0.04

C. Energy Correction Induced by Strain
C.ひずみによるエネルギー補正

Suppose that the lattice constant of a substrate is

d_{s}

and the lattice constant of an epitaxial layer with no strain is

d_{e}

, a strain

ε

is defined as
基板の格子定数を

d_{s}

、ひずみのないエピタキシャル層の格子定数を

d_{e}

とすると、ひずみ

ε

は次のように定義される。

ε = \frac{d_{e} - d_{s}}{d_{s}}

The energy correction in the conduction band induced by the strain can be described as [15]
歪みによって誘発される伝導帯のエネルギー補正は、次のように記述できる[15]。

Δ E_{str, c} = 2 a^{'} \frac{C_{11} - C_{12}}{C_{11}} ε

where

a^{'}

is the hydrostatic deformation potential for the conduction band,

C_{11}

and

C_{12}

are the elastic stiffness constants. The energy corrections in the heavy and light hole valence bands are [15]
ここで

a^{'}

は伝導帯の静水圧変形ポテンシャル、

C_{11}

と

C_{12}

は弾性剛性定数である。重いホールと軽いホールの価電子帯のエネルギー補正は[15]である。

\begin{aligned} Δ E_{str, hh} & = (2 a \frac{C_{11} - C_{12}}{C_{11}} + b \frac{C_{11} + 2 C_{12}}{C_{11}}) ε \\ Δ E_{str, lh} & = (2 a \frac{C_{11} - C_{12}}{C_{11}} - b \frac{C_{11} + 2 C_{12}}{C_{11}}) ε \end{aligned}

where

a

and

b

are the hydrostatic deformation potential and shear deformation potential for the valence band, respectively.
ここで

a

と

b

はそれぞれ価電子帯の静水圧変形ポテンシャルとせん断変形ポテンシャルである。
The parameters used in this paper are listed in Tables I and II [15]. We used the linear interpolation for calculating

d, a, a^{'}

, and

b

of ternary or quaternary materials, and the interpolation weighted by the lattice constant for calculating

C_{11}

and

C_{12}

of ternary or quaternary materials.
本論文で使用したパラメータを表Iと表IIに示す[15]。三元または四元物質の

d, a, a^{'}

と

b

の計算には線形補間を用い、三元または四元物質の

C_{11}

と

C_{12}

の計算には格子定数で重み付けした補間を用いた。

D. Band Discontinuity Ratio
D.帯域不連続率

Now, we can plot the strain dependence of the band discontinuity ratio between two materials. Since the band positions of the heavy and light holes split with strain, we should define two band discontinuity ratio as follows:
ここで、2つの材料のバンド不連続比のひずみ依存性をプロットすることができる。重いホールと軽いホールのバンド位置はひずみによって分かれるので、2つのバンド不連続比を次のように定義する：

\begin{aligned} Q_{e} (for HH) = \frac{Δ E_{c}}{| Δ E_{c} | + | Δ E_{v, HH} |} \\ Q_{e} (for LH) = \frac{Δ E_{c}}{| Δ E_{c} | + | Δ E_{v, LH ∣} |} \end{aligned}

where

Δ E_{c}

is the energy difference of conduction band between two materials,

Δ E_{v, HH}

and

Δ E_{v, LH}

are the energy differences of heavy and light hole valence bands.
ここで、

Δ E_{c}

は2つの物質間の伝導帯のエネルギー差、

Δ E_{v, HH}

と

Δ E_{v, LH}

は重い正孔と軽い正孔の価電子帯のエネルギー差である。
InGaAsP quaternary barrier and InGaAs strained ternary well is the most popular pair of the strained quantum-well system for long wavelength lasers. Figure 3(a) shows the strain dependence of the bandgap discontinuity ratio for

1.2 μ m

lattice-matched quaternary barrier/InGaAs well system. The heavy-hole valence band determines the carrier confinement in the compressive strain region and the light-hole valence band determines it in the tensile region. Therefore, the band discontinuity ratio for heavy hole is important for the compressive strain region and that for light hole is important for the tensile region, respectively. When we use the InGaAsP/InGaAs system, the band discontinuity ratio is almost constant around 0.4 in compressive strain region, and the ratio is decreased with tensile strain. This means that electron confinement is poorer if we use the tensile-strained well. When we use

InGaAlAs / InGaAs

system, the band discontinuity ratio decreases with both signs of strain, which means that the electron confinement is the best at the lattice-matched system. The bandgap discontinuity ratios determined experimentally are also shown in Fig. 3(a). Our theory agrees very well with the experimental values with no fitting parameters. Figure 3(b) shows the similar plot of the strain compensated system [16], in which the strain of barrier material is the opposite sign of the strain of well material. In the InGaAsP/InGaAs system, the electron confinement is improved from 0.4 to 0.45 in the compressive strain region. No remarkable change from the lattice-matched barrier system is obtained in strain compensated

InGaAlA s / I n G a A s s y s t e m .

InGaAsP四元障壁とInGaAs歪み三元井戸は、長波長レーザーの歪み量子井戸系として最もポピュラーなペアである。図3(a)は、

1.2 μ m

格子整合四元障壁/InGaAs井戸系のバンドギャップ不連続比のひずみ依存性を示している。圧縮ひずみ領域では重ホール価電子帯がキャリアの閉じ込めを決定し、引っ張り領域では軽ホール価電子帯がそれを決定する。従って、圧縮歪み領域では重い正孔のバンド不連続比が、引張領域では軽い正孔のバンド不連続比がそれぞれ重要となる。InGaAsP/InGaAs系を用いた場合、バンド不連続比は圧縮ひずみ領域では0.4前後でほぼ一定であり、引張ひずみとともに減少する。これは、引張ひずみ井戸を用いると電子閉じ込めが悪くなることを意味する。

InGaAlAs / InGaAs

系を用いた場合、バンド不連続面比はひずみの両符号で減少し、これは電子閉じ込めが格子整合系で最も優れていることを意味する。実験的に求めたバンドギャップ不連続比も図3(a)に示す。我々の理論は、フィッティング・パラメーターなしで実験値と非常によく一致している。図 3(b)はひずみ補償系[16]の同様のプロットを示しており、バリア材料のひずみは井戸材料のひずみと逆符号である。InGaAsP/InGaAs 系では、圧縮ひずみ領域で電子閉じ込めが 0.4 から 0.45 に改善されている。ひずみを補償した

InGaAlA s / I n G a A s s y s t e m .

では、格子整合障壁系から顕著な変化は見られない。

E. Band Lineup Change Purely Induced by Strain
E.ひずみによるバンドのラインナップ変更

Figure 4 shows the band lineup of InGaAs as a function of the strain. Usually, we vary the composition of the InGaAs to introduce the strain. The composition variation often confuses us when we think what the strain will do. In fact, at a first glance, it may look that the compressive strain lowers the position of the conduction band, while the tensile strain raises it. However, it is not true. It is the composition variation that lowers the conduction band positions in compressive strain region and raises it in tensile strain region. The strain induced effect itself is contrary to the above effect. Therefore, we must be very careful if we want to look at the pure strain effect. If we want to investigate the pure strain effect on the band lineup, we should look at the strain dependence of the band position of a material at constant bandgap energy.
図4は、ひずみの関数としてのInGaAsのバンドラインナップを示している。通常、InGaAsの組成を変化させてひずみを導入する。組成の変化は、ひずみが何をもたらすかを考える際に、しばしば私たちを混乱させる。実際、一見すると、圧縮ひずみによって伝導帯の位置が下がり、引っ張りひずみによって伝導帯の位置が上がるように見えるかもしれない。しかし、そうではない。圧縮ひずみ領域で伝導帯の位置を下げ、引張ひずみ領域で上げるのは組成の変化である。ひずみ誘起効果そのものは、上記の効果とは逆である。従って、純粋なひずみ効果を見ようとするならば、非常に注意しなければならない。バンドラインナップの純粋なひずみ効果を調べたいのであれば、バンドギャップエネルギーが一定であるときの材料のバンド位置のひずみ依存性を見るべきである。

Fig. 3. Strain dependence of the bandgap discontinuity ratio for (a)

1.2 - μ m

lattice-matched quaternary barrier / InGaAs well system together with the ratios determined experimentally, and (b)

1.2 - μ m

strain compensated quaternary barrier / InGaAs well system.
図3.(a)

1.2 - μ m

格子整合四元障壁/InGaAs井戸系のバンドギャップ不連続比のひずみ依存性と実験的に求めた比、(b)

1.2 - μ m

ひずみ補償四元障壁/InGaAs井戸系のバンドギャップ不連続比のひずみ依存性。

Fig. 4. Band lineup of

In

GaAs well as a function of the strain.
図4.

In

GaAs井戸の歪みの関数としてのバンドラインナップ。

Figure 5 shows the contour of the strain and bandgap energy. Bandgap energy includes the correction induced by the strain. When we want to investigate the pure strain effect, we should go along the contour line from point

A

through

B

C

, in Fig. 5(a) for example. Note that the pass we took for plotting Fig. 4 corresponds to the line from point

D

through

E

F

.
図5は、ひずみとバンドギャップエネルギーのコンターである。バンドギャップエネルギーには、ひずみによる補正が含まれている。純粋なひずみ効果を調べたい場合は、例えば図5(a)のように、点

A

から

B

を経て

C

に至る等高線に沿って進む必要がある。図4をプロットするためにとったパスは、点

D

から

E

を経て

F

に至る線に対応していることに注意されたい。

Dependence of conduction and valence band lineups purely on the strain are shown in Fig. 6 for InGaAsP system and in Fig. 7 for InGaAlAs system. From Fig. 6, we can say that the compressive strain does not affect the band lineup so much, and tensile strain raises the band lineups in the InGaAsP system. From Fig. 7, it can be said that the both compressive and tensile strains raise the band lineups in the InGaAlAs system.
図6にInGaAsP系、図7にInGaAlAs系の伝導バンドと価電子バンドのひずみ依存性を示す。図6から、InGaAsP系では圧縮ひずみはバンドラインナップにあまり影響を与えず、引張ひずみはバンドラインナップを上昇させることがわかる。図7より、InGaAlAs系では圧縮ひずみ、引張ひずみの両方がバンドラインナップを上げていると言える。

Fig. 5. Contours of the strain and bandgap energy of (a) InGaAsP systern and (b) InGaAlAs system. Bandgap energy includes the correction induced by the strain.
図5.(a)InGaAsP系と(b)InGaAlAs系のひずみとバンドギャップエネルギーの等高線。バンドギャップエネルギーはひずみによる補正を含む。

F. Approximate Expression of Band Position
F.バンド位置のおおよその表現

From Fig. 4 and Figs. 6 and 7, we extracted approximate expressions of band position of InGaAs, InGaAsP and InGaAlAs.

E_{c}

is the conduction band position expressed in eV,

E_{v, HH}

and

E_{V, LH}

are the heavy and light hole valence band positions, and the strain

ε

is expressed in

% . E_{g}

is the bandgap energy of the quaternary material. It should be noted again that the conduction band position of

InP

is 1.35 eV and the valence band position of InP is zero.
図4、図6、図7から、InGaAs、InGaAsP、InGaAlAsのバンド位置の近似式を抽出した。

E_{c}

はeVで表される伝導帯の位置、

E_{v, HH}

と

E_{V, LH}

は重いホールと軽いホールの価電子帯の位置、ひずみ

ε

は

% . E_{g}

で表される四元系物質のバンドギャップエネルギーである。

InP

の伝導帯の位置は1.35eVであり、InPの価電子帯の位置はゼロであることに再度注意すべきである。

InGaAs:

\begin{aligned} E_{c} & = 1.040 - 0.0474 ε + 0.003303 ε^{2} \\ E_{v, HH} & = 0.3331 + 0.05503 ε - 0.002212 ε^{2} \\ E_{v, LH} & = 0.3331 - 0.01503 ε - 0.003695 ε^{2} . \end{aligned}

InGaAsP: InGaAsPである：
a) $ε < 0$ a) $ε < 0$

\begin{aligned} E_{c} & = (0.6958 + 0.4836 E_{g}) - 0.03031 ε \\ E_{Y, LH} & = (0.6958 - 0.5164 E_{g}) - 0.03031 ε \end{aligned}

ε > 0

ε > 0

\begin{aligned} E_{c} & = (0.6958 + 0.4836 E_{g}) + 0.003382 ε \\ E_{v, HH} & = (0.6958 - 0.5164 E_{g}) + 0.003382 ε . \end{aligned}

Fig. 6. Dependence of (a) conduction and (b) valence band lineups on the strain in InGaAsP systern.
図6.(a)伝導帯および(b)価電子帯のひずみ依存性。
3) InGaAlAs: 3) InGaAlAs：
a)

ε < 0

ε < 0

\begin{aligned} E_{c} & = (0.5766 + 0.6561 E_{g}) - 0.02307 ε \\ E_{v, LH} & = (0.5766 - 0.3439 E_{g}) - 0.02307 ε . \end{aligned}

ε > 0

ε > 0

\begin{aligned} E_{c} & = (0.5766 + 0.6561 E_{g}) + 0.01888 ε \\ E_{v, HH} & = (0.5766 - 0.3439 E_{g}) + 0.01888 ε \end{aligned}

III. Valence Band Structure of Strained Quantum Well.
III.歪量子井戸の価電子帯構造.

A. Calculation Method A.計算方法

In this section, we calculate the energy versus wave vector relations of heavy hole and light hole in the strained quantum well system. Basically, we followed the procedure in [17] with slight modification, to determine the energy versus in-plane wave vector relations. We will describe the essential parts of the procedure here. The coupled effective mass equations can be expressed as
このセクションでは、歪み量子井戸系における重い正孔と軽い正孔のエネルギー対波動ベクトルの関係を計算する。基本的には、[17]の手順に少し修正を加え、エネルギー対面内波動ベクトルの関係を求めました。ここでは、その手順の重要な部分を説明する。結合有効質量方程式は次のように表されます。

[\begin{array}{cc} H_{h} + V_{h} & W \\ W^{†} & H_{l} + V_{l} \end{array}] [\begin{matrix} F_{h} \\ F_{l} \end{matrix}] = E_{v} [\begin{matrix} F_{h} \\ F_{l} \end{matrix}]

where

F_{h, 1}

are the heavy and light hole envelope functions,

E_{v}

is the energy of the hole, and

W^{†}

is the Hermitian conjugate of

W . V_{h}

and

V_{1}

are the potential energy for heavy and light holes, which can be calculated by the procedure described in the previous section. If we define that the

k_{z}

is directed along
ここで、

F_{h, 1}

は重い正孔と軽い正孔の包絡関数、

E_{v}

は正孔のエネルギー、

W^{†}

は

W . V_{h}

のエルミート共役、

V_{1}

は重い正孔と軽い正孔のポテンシャルエネルギーであり、前節で述べた手順で計算できる。もし

k_{z}

を

Fig. 7. Dependence of (a) conduction and (b) valence band lineups on the strain in the InGaAlAs system.
図7.InGaAlAs系における(a)伝導帯および(b)価電子帯ラインアップのひずみ依存性。
a [100] direction, and

k_{t}

is directed either along a [100] or a [110] direction, the Hamiltonians for heavy and light hole

H_{h, 1}

are expressed by using the Luttinger parameters

γ_{1}

and

γ_{2}

as
100]方向であり、

k_{t}

は[100]または[110]方向に沿っている。重いホールと軽いホールのハミルトニアン

H_{h, 1}

は、Luttingerパラメータ

γ_{1}

と

γ_{2}

を用いて次のように表される。

\begin{aligned} H_{h} & = (γ_{1} - 2 γ_{2}) k_{z}^{2} + (γ_{1} + γ_{2}) k_{t}^{2} \\ H_{1} & = (γ_{1} + 2 γ_{2}) k_{z}^{2} + (γ_{1} - γ_{2}) k_{t}^{2} \end{aligned}

where どこ

γ_{1} - 2 γ_{2} \equiv \frac{ℏ^{2}}{2 m_{hh}}, γ_{1} + 2 γ_{2} \equiv \frac{ℏ^{2}}{2 m_{lh}}

m_{hh}

and

m_{lh}

are the effective masses of the heavy and light holes. The coupling term

W

can be given by

m_{hh}

と

m_{lh}

は重いホールと軽いホールの有効質量である。結合項

W

は次式で与えられる。

\begin{array}{ll} W = \sqrt{3} k_{t} (γ_{2} k_{t} - i 2 γ_{3} k_{z}) & for {100} planes, (3.5a) \\ W = \sqrt{3} k_{t} (γ_{3} k_{t} - i 2 γ_{3} k_{z}) & for {110} planes. (3.5b) \end{array}

The Hermitian conjugate is given by
エルミート共役は次式で与えられる。

W^{†} = \sqrt{3} k_{t} (γ_{2} k_{t} + i 2 γ_{3} k_{z}) .

We solved the relationship between

k_{t}

and

E_{y}

by using the condition that the four following quantities match across the well-barrier interface.

k_{t}

と

E_{y}

の関係を、次の4つの量が井戸障壁界面で一致するという条件を用いて解いた。

\begin{aligned} F_{h} and (γ_{1} - 2 γ_{2}) \frac{d F_{h}}{d z} + \sqrt{3} γ_{3} k_{t} F_{1} \\ F_{l} and (γ_{1} + 2 γ_{2}) \frac{d F_{1}}{d z} + \sqrt{3} γ_{3} k_{t} F_{h} \end{aligned}

The Luttinger parameters of the binary materials are listed in Table III [23] together with the electron effective masses. We used the linear interpolation of the binary materials for a compound material.
二元物質の Luttinger パラメータは、電子の有効質量とともに表 III [23]に示されている。化合物物質については、二元物質の線形補間を用いた。

TABLE III 表 III
Luttinger Parameters and Electron Effective Mass of the Binary Materials [23]
二元物質のラッティンジャー・パラメーターと電子有効質量 [23］

	$InP$	$lnAs$	GaP ガリウム燐酸	GaAs ガリウムひそリン	AlAs
$γ_{1}$	5.15	20.40	4.05	6.95	3.45
$γ_{12}$	0.94	8.30	0.49	2.25	0.68
$γ_{3}$	1.62	9.10	1.25	2.86	1.29
$m_{e}$	0.0765	0.0239	0.254	0.0670	0.150

B. Energy Dispersion of InGaAsP/InGaAs on InP System
B.InP上のInGaAsP/InGaAsのエネルギー分散

Figure 8 shows the example of the valence band energy dispersion calculated for an InGaAs ternary quantum well with an InGaAsP lattice-matched

1.2 μ m

barrier. The quantum well width is set to 8 nm . The origin of the energy is set to the valence band position of

InP

. In the lattice-matched well, the dispersion is complicated due to the heavy and light hole mixing effect. The mixing effect can be greatly reduced with the

1.0 %

compressive strained well, and the dispersion is close to a parabolic curve. In the tensile-well case, the lighthole subband energy is larger than the heavy-hole subband energy. The dispersion of the light-hole subband (LH1) is also close to a parabolic shape, however, the curvature is very large compared with the curvature of the heavy-hole subband (HH1) of the compressive strained case.
図8は、InGaAsP格子整合

1.2 μ m

障壁を持つInGaAs三元量子井戸について計算した価電子帯エネルギー分散の例である。量子井戸の幅は8nmとした。エネルギーの原点は

InP

の価電子帯の位置に設定されています。格子整合井戸では、重い正孔と軽い正孔の混合効果により分散が複雑になる。

1.0 %

圧縮歪み井戸では、混合効果を大幅に減少させることができ、分散は放物線曲線に近くなる。引張井戸の場合、ライトホールサブバンドエネルギーはヘビーホールサブバンドエネルギーよりも大きい。ライトホールサブバンド(LH1)の分散も放物線状に近いが、圧縮歪みケースのヘビーホールサブバンド(HH1)の曲率に比べて曲率が非常に大きい。

C. Energy Dispersion of InGaAlAs/InGaAs on InP System
C.InP上のInGaAlAs/InGaAsのエネルギー分散

Figure 9 shows the example of the valence band energy dispersion calculated for InGaAs ternary quantum well with InGaAlAs lattice-matched

1.2 - μ m

barrier. The quantum well width is set to 8 nm . In this material system, the band discontinuity energy in the valence band is much smaller than that of the InGaAsP/InGaAs system. However, the tendencies of the dispersion are quite similar to those of

InGaAsP / InGaAsP

system, except for the number of the subbands.
図9は、InGaAlAs格子整合

1.2 - μ m

障壁を持つInGaAs三元量子井戸について計算した価電子帯エネルギー分散の例である。量子井戸の幅は8nmとした。この材料系では、価電子帯のバンド不連続エネルギーはInGaAsP/InGaAs系よりもはるかに小さい。しかし、分散の傾向は、サブバンドの数を除いて、

InGaAsP / InGaAsP

系とよく似ている。

IV. In-Plane Effective Mass of Strained Quantum Well
IV.歪量子井戸の面内有効質量

A. Parabolic Approximation of Energy Dispersion
A.エネルギー分散の放物線近似

Once the energy dispersion is obtained, we can calculate the material parameters for designing a quantum well laser, such as optical gain [18], [19]. However, it is not necessary to solve the energy dispersion every time a quantum well laser is designed. The optical gain is proportional to a reduced density of states. When the energy dispersion is parabolic, the reduced density of states can be described as
エネルギー分散が得られれば，量子井戸レーザーを設計するための材料パラメータ（例えば，光利得など）を計算することができる[18], [19]．しかし，量子井戸レーザーを設計するたびにエネルギー分散を解く必要はない。光利得は状態密度の減少に比例する。エネルギー分散が放物線を描いている場合，状態密度の減少は次のように記述できます。

ρ_{red} = \frac{1}{1 / m_{e} + 1 / m_{h}} \cdot \frac{1}{π ℏ^{2}} .

Therefore, it is very informative that we obtain the “in-plane effective mass” around the states where the optical transition for the lasing occurs. In this section, we try to apply the parabolic approximation to the energy dispersion calculated in the previous section.
したがって、レーシングのための光学遷移が起こる状態周辺の「面内有効質量」を求めることは、非常に有益である。本節では、前節で計算したエネルギー分散に放物線近似を適用してみる。

The threshold current density of a quantum well laser has been reduced to less than

1 kA / {cm}^{2}

, for example

500 A / {cm}^{2}

量子井戸レーザーのしきい値電流密度は、

1 kA / {cm}^{2}

未満、例えば

500 A / {cm}^{2}

未満に低減されている。

Fig. 8. Valence band energy dispersion calculated for InGaAs ternary quantum well with

InGaAsP

lattice-matched

1.2 - μ m

barrier. Quantum-well width is set to 8 nm with (a) lattice-matched, (b)

1.0 %

compressive strain, and ©

1.0 %

tensile strain. The origin of the energy is set to the valence band position of

l n P

.
図8.

InGaAsP

格子整合

1.2 - μ m

障壁を持つInGaAs三元量子井戸について計算された価電子帯エネルギー分散。量子井戸の幅は8nmとし、(a)は格子整合、(b)は

1.0 %

圧縮ひずみ、©

1.0 %

引っ張りひずみ。エネルギーの原点は

l n P

の価電子帯の位置に設定されている。
[24]. This threshold current density corresponds to a carrier density of

3 \cdot 10^{12} {cm}^{- 2}

. Suppose that the carrier lifetime is about 1 ns . The quasi-Fermi energy for this carrier density is about 15 meV from the subband edge, when the effective mass is 0.2 (this effective mass is consistent with the results below). It can be seen from Figs. 8 and 9 that we can describe the energy dispersion of 15 meV range if we take the in-plane wave vector

k

up to 0.2 . Therefore, we picked up the

| k | < 0.2

parts of the dispersion curves and least square fit to parabolic curves.
[24].この閾値電流密度は、

3 \cdot 10^{12} {cm}^{- 2}

のキャリア密度に相当する。キャリア寿命が約1 nsであるとする。このキャリア密度の準フェルミエネルギーは、有効質量が0.2のとき、サブバンド端から約15meVである（この有効質量は、以下の結果と一致する）。図8と図9から、面内波動ベクトル

k

を0.2までとれば、15meVのエネルギー分散を記述できることがわかる。そこで, 分散曲線の

| k | < 0.2

の部分をピックアップし, 最小二乗法で放物線にフィッティングした.

B. Effective Mass of InGaAsP/InGaAs(P) and InGaAlAs/InGa(Al)As on InP Systemfor I.55- $μ m$ Operation
B. InP上のInGaAsP/InGaAs(P)およびInGaAlAs/InGa(Al)AsのI.55- $μ m$ 動作における実効質量

Figure 10 shows the strain dependence of the in-plane effective mass for InGaAs ternary well with InGaAsP

1.2 - μ m

図10は、InGaAsP

1.2 - μ m

を用いたInGaAs三元井戸の面内有効質量のひずみ依存性を示している。

Fig. 9. Valence band energy dispersion calculated for InGaAs ternary quantum well with InGaAlAs lattice-matched

1.2 - μ m

barrier. Quantum well width is set to 8 nm with (a) lattice-matched, (b)

1.0 %

1.0 %

tensile strain. The origin of the energy is set to the valence band position of InP .
図9.InGaAlAs格子整合

1.2 - μ m

障壁を持つInGaAs三元量子井戸について計算された価電子帯エネルギー分散。量子井戸の幅は8nmとし、(a)は格子整合、(b)は

1.0 %

圧縮ひずみ、©

1.0 %

引っ張りひずみ。エネルギーの原点はInPの価電子帯の位置とした。
lattice-matched barrier. The well width is determined so that the energy difference between the first subband of conduction band and the first subband of the valence band equals to

1.55 μ m

. We fit the in-plane effective mass to relations as follows:
格子整合障壁。井戸幅は、伝導帯の最初のサブバンドと価電子帯の最初のサブバンドのエネルギー差が

1.55 μ m

に等しくなるように決定される。面内有効質量を以下の関係に当てはめる：

\begin{aligned} \frac{1}{m_{lh}} = A + B ε + C ε^{2} \\ \frac{1}{m_{hh}} = D + E ε + F ε^{2} \end{aligned}

where

A, B, C, D, E

, and

F

are the fitting parameters, and the strain

ε

is expressed in %. We also calculate the inplane effective mass for InGaAsP

1.6 μ m

quaternary well with 1.2-

μ m

lattice-matched barrier, and for InGaAs ternary well with strain-compensated

1.2 - μ m

quaternary barrier. The values obtained by fitting are listed in Table IV. It is not appropriate
ここで、

A, B, C, D, E

、

F

はフィッティングパラメーター、

ε

のひずみは%で表される。また、1.2-

μ m

格子整合障壁を持つInGaAsP

1.6 μ m

四元井戸と、ひずみ補償

1.2 - μ m

四元障壁を持つInGaAs三元井戸の面内有効質量を計算した。フィッティングによって得られた値を表IVに示す。適切ではない

TABLE IV 表4
In-Plane Effective Mass of InGaAsP Barrier (

1.2 μ m

)/nGaAs§ Well and InGaAlAs Barrier

(1.2 μ m) / InGa (Al)

As Well System for

1.55 μ m

Operation
InGaAsPバリア(

1.2 μ m

)/nGaAs§井戸とInGaAlAsバリア

(1.2 μ m) / InGa (Al)

井戸システムの

1.55 μ m

動作における面内有効質量

	-2.0< Strain $(%) < - 0.5$ -2.0< ひずみ $(%) < - 0.5$			$0 < Strain (%) < 2.0$
	A	$B$	$C$	D	E	$F$
Lattice-matched InGaAsP barrier/InGaAs well 格子整合InGaAsP障壁/InGaAs井戸	-4.238	-6.913	-1.687	4.260	2.253	-0.584
InGaAsP ( $1.6 - μ m$ ) well InGaAsP（ $1.6 - μ m$ ）井戸	-0.936	-4.825	-1.754	2.986	5.505	-1.736
Strain-compensated InGaAsP barrier/InGaAs well ひずみ補償InGaAsPバリア/InGaAsウェル	-7.761	-13.601	-5.100	4.166	1.933	-0.558
Lattice-matched InGaAlAs barrier/InGaAs well 格子整合InGaAlAs障壁/InGaAs井戸	-3.469	-6.133	-1.481	3.9134	2.336	-0.633
InGaAlAs ( $1.6 - μ m$ ) well InGaAlAs（ $1.6 - μ m$ ）井戸	-1.297	$- 5.598$	-2.104	2.725	6.317	-1.766
Strain compensated InGaAlAs barrier/InGaAs well ひずみ補償InGaAlAsバリア/InGaAs井戸	-5.889	-9.467	-2.730	4.193	1.075	-0.155

TABLE V 表5
In-Plane Effective Mass of InGaAsP Barrier (

1.1 μ m

)/InGaAs§ Well and InGaAlAs Barrier (

1.1 μ m

)/InGa(Al)As Well System for

1.30 - μ m

Operation

1.30 - μ m

動作におけるInGaAsPバリア(

1.1 μ m

)/InGaAs§井戸とInGaAlAsバリア(

1.1 μ m

)/InGa(Al)As井戸系の面内有効質量

	$- 2.0 < Strain (%) < - 1.0$			$- 0.5 < Strain (%) < 2.0$
	A	$B$	C	D	E	$F$
Lattice-matched InGaAsP barrier/InGaAs well 格子整合InGaAsP障壁/InGaAs井戸	-9.558	-8.634	$- 1.847$	4.631	1.249	-0.313
InGaAsP ( $1, 4 - μ m)$ well InGaAsP（ $1, 4 - μ m)$ ウェル	-2.453	-4.432	-1.222	3.327	3.425	-1.542
Strain-compensated InGaAsP barrier/InGaAs well ひずみ補償InGaAsPバリア/InGaAsウェル				4.720	0.421	-0.014
Lattice-matched InGaAlAs barrier/InGaAs well 格子整合InGaAlAs障壁/InGaAs井戸	-8.332	-8.582	-2.031	3.931	1.760	-0.543
InGaAlAs ( $1.4 - μ m$ ) well InGaAlAs（ $1.4 - μ m$ ）井戸	-3.269	-5.559	-1.594	3.164	4.065	-1.321
Strain-compensated InGaAlAs barrier/InGaAs well ひずみ補償InGaAlAsバリア/InGaAsウェル				4.078	0.516	-0.0621

Fig. 10. Strain dependence of the (a) well width and quantized energy position and (b) in-plane effective mass for InGaAs ternary well with lattice-matched InGaAsP

1.2 - μ m

barrier. The well width is set such that the energy difference between the first subband of conduction band and the first subband of the valence band is

1.55 μ m

.
図10.格子整合したInGaAsP

1.2 - μ m

障壁を持つInGaAs三元井戸の(a)井戸幅と量子化エネルギー位置、(b)面内有効質量のひずみ依存性。井戸幅は、伝導帯の第一サブバンドと価電子帯の第一サブバンドのエネルギー差が

1.55 μ m

となるように設定されている。
to define the approximate effective mass at the strain around

- 0.2 %

, because the energy dispersion is far beyond a parabolic curve due to the fact that the subband energies of heavy and light holes are very close to each other.
b0>付近のひずみでおおよその有効質量を定義する。重い正孔と軽い正孔のサブバンドエネルギーが非常に近いため、エネルギー分散は放物線をはるかに超えるからである。

Figure 11 shows the strain dependence of the in-plane effective mass for InGaAs ternary well with InGaAlAs 1.2

μ m

lattice-matched barrier. The values obtained similarly are listed in the lower rows in Table IV.
図11は、InGaAlAs 1.2

μ m

格子整合障壁を持つInGaAs三元井戸の面内有効質量のひずみ依存性を示している。同様に得られた値を表IVの下の行に示す。
C. Effective Mass of

InGaAsP / InGaAs (P) and

InGaAlAs/InGa(Al)As on InP System for 1.30-

μ m

Operation
C.

InGaAsP / InGaAs (P) and

InP上のInGaAlAs/InGa(Al)Asの1.30

μ m

動作における有効質量
We also calculated the in-plane effective mass of the strained quantum well system for

1.30 - μ m

operation. The barrier bandgap wavelength was

1.1 μ m

, and the bandgap wavelength of quaternary well was

1.4 μ m

. The results are listed in Table V. In this case, the mixing between heavy and light hole valence bands is strong at the strain around

- 1.0 %

.
また、

1.30 - μ m

動作における歪み量子井戸系の面内有効質量を計算した。バリアバンドギャップ波長は

1.1 μ m

、四元井戸のバンドギャップ波長は

1.4 μ m

とした。この場合、

- 1.0 %

付近のひずみで、重いホールと軽いホールの価電子帯の混合が強くなる。

D. Discussion D.ディスカッション

Generally, symmetric band structure between conduction and valence bands are suitable for a good gain material. In this sense, the in-plane effective mass of the hole should be close to the electron effective mass. The inverse electron effective mass

1 / m_{e}

is around 20 in most cases. Therefore, the inverse hole effective mass should be close to 20. From Figs. 10 and 11 and the other calculation results, the compressive strained well is suitable for a good gain material.
一般に、伝導帯と価電子帯の対称的なバンド構造は、優れた利得材料に適している。この意味で、ホールの面内有効質量は電子有効質量に近いことが望ましい。ほとんどの場合、逆電子有効質量

1 / m_{e}

は20前後である。したがって、逆正孔有効質量は20に近いはずである。図10と図11と他の計算結果から、圧縮歪井戸は良い利得材料に適している。

However, we have to consider the other aspects to obtain a high performance laser. Important parameters are the Auger recombination rate [20] and gain saturation coefficient [21], [22], which are not investigated here. Another parameter is the bandgap discontinuity ratio which determines the carrier confinement. If we only want to obtain a strong electron confinement structure by InGaAsP system, then tensile-strained barrier and lattice-matched well is the best pair, for example. Therefore, we cannot conclude that the best material for the laser is compressive strained well. It depends on what we want
しかし、高性能のレーザーを得るためには、他の側面も考慮しなければならない。重要なパラメータはオージェ再結合率[20]と利得飽和係数[21], [22]である。もう一つのパラメータは、キャリアの閉じ込めを決定するバンドギャップ不連続率である。InGaAsP系で強い電子閉じ込め構造を得たいだけであれば、例えば、引張ひずみ障壁と格子整合井戸が最良のペアである。したがって、レーザーに最適な材料は圧縮歪井戸であると結論づけることはできない。それは、我々が何を望んでいるかによる

Fig. 11. Strain dependence of the (a) well width and quantized energy position and (b) in-plane effective mass for InGaAs ternary well with latice-matched InGaAlAs

1.2 - μ m

barrier. The well width is set such that the energy difference between the first subband of conduction band and the first subband of the valence band is

1.55 μ m

.
図11.格子整合InGaAlAs

1.2 - μ m

障壁を持つInGaAs三元井戸の(a)井戸幅と量子化エネルギー位置、(b)面内有効質量のひずみ依存性。井戸幅は、伝導帯の第一サブバンドと価電子帯の第一サブバンドとのエネルギー差が

1.55 μ m

となるように設定されている。
the laser to be. We believe that the set of listed data here are quite convenient for choosing the ideal material.
レーザーがどのようなものであるべきか。ここに挙げた一連のデータは、理想的な材料を選択するのに非常に便利だと考えています。

V. SUMMARY V.まとめ

We described the band lineups of InGaA1As on (001) InP as well as InGaAsP on (001) InP system with strain effects, based on the Harrison model. We showed that the compressive strain does not affect the band lineup much, and tensile strain raises the band lineups in the InGaAsP system. It was also shown that the both compressive and tensile strains raise the band lineups in the InGaA1As system. The conduction and valence band positions of InGaAs, InGaAsP, and InGaAlAs relative to InP valence band are given in approximate formulas as a function of the strain.
InGaA1As on (001) InP系とInGaAsP on (001) InP系のバンドラインナップをHarrisonモデルに基づいてひずみ効果とともに記述した。その結果、InGaAsP系では圧縮ひずみはバンドラインナップにあまり影響を与えず、引張ひずみはバンドラインナップを増加させることを示した。また、InGaA1As系では、圧縮ひずみと引張ひずみの両方がバンドラインナップを上昇させることを示した。InPの価電子帯に対するInGaAs、InGaAsP、InGaAlAsの伝導帯と価電子帯の位置をひずみの関数として近似式で示した。

We calculated the energy versus in-plane wave vector relation of the

InGaAsP / InGaAs (P)

on InP and InGaAlAs/InGa(Al)As on InP strained quantum well systems. We obtained the in-plane effective mass of the strained quantum well system by fitting the dispersion to a parabolic curve. We listed the in-plane effective mass of several kinds of strained quantum well system. We believe that these values are very convenient for designing strained quantum well based devices.
われわれは、

InGaAsP / InGaAs (P)

on InPおよびInGaAlAs/InGa(Al)As on InP歪量子井戸系のエネルギーと面内波ベクトルの関係を計算した。分散を放物線曲線にフィッティングすることにより、歪み量子井戸系の面内有効質量を求めた。数種類の歪み量子井戸系の面内有効質量を示した。これらの値は、歪み量子井戸を用いたデバイスの設計に非常に有用であると考えられる。

ACKNOWLEDGMENT 謝辞

The authors acknowledge useful discussions with Prof. H. Kroemer, D. Babic, and M. Ishikawa.
H.Kroemer教授、D.Babic教授、石川正己氏との有益な議論に感謝する。

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[24] P. Zory, Quantum Well Lasers. New York: Academic, 1993, ch. 6.
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Takuya Ishikawa (S’87-M’89) was born in Ehime, Japan, in 1961. He received the B.E.M.E. and Ph.D. degrees in electronic engineering from the University of Tokyo, Japan, in 1984, 1986, and 1990, respectively.
石川卓也（S'87-M'89）は1961年愛媛県生まれ。1984年東京大学工学部電子工学科卒業、1986年東京大学工学部電子工学科卒業、1990年東京大学工学部電子工学科博士課程修了。
In 1990, he joined the optotechnology laboratory of Furukawa Electric Co., Ltd., where he is currently working for the research and development of semiconductor-based waveguide devices. He spent two years from 1991 to 1993 as a visiting researcher at the University of California, Santa Barbara.
1990年、古河電気工業株式会社光技術研究所に入社し、現在、半導体を用いた導波路デバイスの研究開発に従事。1991年から1993年までの2年間、カリフォルニア大学サンタバーバラ校に客員研究員として滞在。

John E. Bowers (S’78-M’81-SM’85-F’93) received the M.S. and Ph.D. degrees in applied physics from Stanford University, with a dissertation on Sezawa wave signal processing devices.
ジョン・E・バワーズ（S'78-M'81-SM'85-F'93）は、スタンフォード大学で応用物理学の修士号および博士号を取得。
He is a professor in the Department of Electrical Engineering at the University of Califomia, Santa Barbara. He has also worked for AT&T Bell Laboratories and Honeywell and is currently an optoelectronics consultant. He is a member of the Optoelectronics Technology Center and the NSF Science and Technology Center on Quantized Electronic Structures. His research interests are primarily concemed with high-frequency optoelectronic devices and physics.
カリフォルニア大学サンタバーバラ校電気工学科教授。AT&Tベル研究所、ハネウェル社を経て、現在はオプトエレクトロニクス・コンサルタント。オプトエレクトロニクス技術センターおよび量子化電子構造に関するNSF科学技術センターのメンバー。研究テーマは主に高周波オプトエレクトロニクス・デバイスと物理学。
Dr. Bowers was elected as a fellow of the IEEE “for contributions to the understanding and demonstration of novel ultrafast semiconductor lasers, photodetectors, and transmission systems.” He is a recipient of the Thomas F. Andrew prize and the NSF Presidential Young Investigator Award. He has published over 160 papers and has received 12 patents.
バウワーズ博士は、「新しい超高速半導体レーザー、光検出器、伝送システムの理解と実証への貢献」により、IEEEのフェローに選出された。トーマス・F・アンドリュー賞、NSF大統領若手研究者賞受賞。これまでに160以上の論文を発表し、12件の特許を取得。

Manuscript received June 7, 1993. This work was supported by the Defense Advanced Research Projects Agency through the ULTRA Program.
1993年6月7日受領。本研究は、ULTRAプログラムを通じて国防高等研究計画庁の支援を受けた。
T. Ishikawa is with the Department of Electrical and Computer Engineering, University of California, Santa Barbara, CA 93106 on leave from Furukawa Electric Co., Chiba, Japan.
T.Ishikawaは、古河電気工業株式会社（千葉県千葉市）からの休暇で、カリフォルニア大学サンタバーバラ校（カリフォルニア州93106）電気・コンピュータ工学科に在籍している。
J. E. Bowers is with the Department of Electrical and Computer Engineering, University of California, Santa Barbara, CA 93106.
J.E.バウワーズはカリフォルニア大学サンタバーバラ校（カリフォルニア州93106）電気・コンピューター工学科に在籍。

IEEE Log Number 9215744.
IEEEログ番号9215744。

Band Lineup and In-Plane Effective Mass of InGaAsP or InGaAlAs on InP Strained-Layer Quantum Well InP歪み層量子井戸上のInGaAsPまたはInGaAlAsのバンドラインナップと面内有効質量

Abstract 要旨

I. Introduction I.はじめに

II. Band Lineup II.バンド・ラインナップ

A. Calculation ProcedureA.計算手順

B. Band Lineup with No StrainB.歪みのないバンド・ラインナップ

C. Energy Correction Induced by StrainC.ひずみによるエネルギー補正

D. Band Discontinuity RatioD.帯域不連続率

E. Band Lineup Change Purely Induced by StrainE.ひずみによるバンドのラインナップ変更

F. Approximate Expression of Band PositionF.バンド位置のおおよその表現

III. Valence Band Structure of Strained Quantum Well.III.歪量子井戸の価電子帯構造.

A. Calculation Method A.計算方法

B. Energy Dispersion of InGaAsP/InGaAs on InP SystemB.InP上のInGaAsP/InGaAsのエネルギー分散

C. Energy Dispersion of InGaAlAs/InGaAs on InP SystemC.InP上のInGaAlAs/InGaAsのエネルギー分散

IV. In-Plane Effective Mass of Strained Quantum WellIV.歪量子井戸の面内有効質量

A. Parabolic Approximation of Energy DispersionA.エネルギー分散の放物線近似

B. Effective Mass of InGaAsP/InGaAs(P) and InGaAlAs/InGa(Al)As on InP Systemfor I.55- μ m μ m mum\mu \mathrm{m} OperationB. InP上のInGaAsP/InGaAs(P)およびInGaAlAs/InGa(Al)AsのI.55- μ m μ m mum\mu \mathrm{m} 動作における実効質量

D. Discussion D.ディスカッション

V. SUMMARY V.まとめ

ACKNOWLEDGMENT 謝辞

References 参考文献

Band Lineup and In-Plane Effective Mass of InGaAsP or InGaAlAs on InP Strained-Layer Quantum Well
InP歪み層量子井戸上のInGaAsPまたはInGaAlAsのバンドラインナップと面内有効質量

A. Calculation Procedure
A.計算手順

B. Band Lineup with No Strain
B.歪みのないバンド・ラインナップ

C. Energy Correction Induced by Strain
C.ひずみによるエネルギー補正

D. Band Discontinuity Ratio
D.帯域不連続率

E. Band Lineup Change Purely Induced by Strain
E.ひずみによるバンドのラインナップ変更

F. Approximate Expression of Band Position
F.バンド位置のおおよその表現

III. Valence Band Structure of Strained Quantum Well.
III.歪量子井戸の価電子帯構造.

B. Energy Dispersion of InGaAsP/InGaAs on InP System
B.InP上のInGaAsP/InGaAsのエネルギー分散

C. Energy Dispersion of InGaAlAs/InGaAs on InP System
C.InP上のInGaAlAs/InGaAsのエネルギー分散

IV. In-Plane Effective Mass of Strained Quantum Well
IV.歪量子井戸の面内有効質量

A. Parabolic Approximation of Energy Dispersion
A.エネルギー分散の放物線近似

B. Effective Mass of InGaAsP/InGaAs(P) and InGaAlAs/InGa(Al)As on InP Systemfor I.55- $μ m$ Operation
B. InP上のInGaAsP/InGaAs(P)およびInGaAlAs/InGa(Al)AsのI.55- $μ m$ 動作における実効質量