纯粹与应用

偏微分方程

偏微分方程

纯粹与应用 本科/教材 $\cdot$$\cdot$*\cdot 54

偏微分方程

 第一课

 编辑委员会

美国国会图书馆编目-出版数据

•  保罗-狄拉克 ${}^a$${}^a$^(a){ }^{a}
  
  ${}^a$${}^a$^(a){ }^{a} 《物理学家眼中自然图景的演变》，《科学美国》，1963 年 5 月。可在线查阅。

 目录

 序言

偏微分方程为我们的复杂世界打开了一扇窗

0.1.谁应该学习 PDE 第一课？

[1] "纯 "数学学生

[2] "应用 "数学专业的学生

0.2.适合所有三个组的课本：以核心概念和主题为基础

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  对于准备进一步研究 PDE 的分析和几何的初出茅庐的纯数学家来说，这本书的意义有限。关于变量分离背后的基本前提，他们最好能获得与某些微分算子相关的特征函数展开的 "完整 "和适当的数学理论（通常只在研究生阶段才会介绍）。
• 
  它对初出茅庐的应用数学家用处有限，因为他们需要许多分析和计算技术，以及广泛接触不同类别的 PDE 及其解的特性和行为。
• 
  它对新进科学家（PDEs 未来的实践者）的作用有限，因为他们对理论的计算方面越来越感兴趣。此外，现代科学要解决的许多相关现象本质上都是非线性的，这些经典技术的应用范围相当有限。
• 
  这给了三大阵营的本科生一个错误的印象，认为 PDE 是一门老式的学科，根植于冗长乏味的无穷级数和特殊函数的计算中。事实并非如此，PDE 是现代数学和科学的重要组成部分。

• 
  为什么这个对象不是通常意义上的函数，却能将注意力集中在一个点上？
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  在微分（广义上的）一个自变量和多个自变量的不连续函数时，它是如何出现的；
• 
  它是如何作为不同函数序列的极限出现的，而这些函数序列又是如何集中的；
• 
  它在傅里叶级数和傅里叶变换中的关键作用；
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  它在扩散方程、拉普拉斯方程和泊松方程的基本解（格林函数）中发挥了至关重要的作用。

0.3.文本的基本结构

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  无论是概念、结果还是观点，我们都力求将材料模块化并加以精简。每一章都基于一个特定的方程、一类方程或一个特定的思想或工具。各章以导言开始，以摘要结束，由各节组成，有时又分为若干小节。每节（或小节）是课文的基本单元/模块，以简明扼要的方式论述特定的问题/主题。绝大部分
  
  这些模块（章节或分节）大多不过几页纸，因此目录相当长！
• 
  的确，许多章节在我们所谓的核心内容中所占的比重并不相同。因此，我们选择用一个项目 $\cdot$$\cdot$*\cdot 来强调我们认为是 PDE 第一门课程的 "基础"（基本原理）的所有章节。当然，我们不可能在一个学期内讲完所有这些要点章节！这些重点章节也为后续章节提供了必要的前提材料。我们认为，附加章节（未删节）的存在显然是有原因的，而且它们也很重要；但读者/教师可自行决定浏览或仔细阅读这些章节。
• 
  因此，长长的目录为浏览这本教科书提供了不可或缺的宝贵指南，建议读者/教师经常参阅。
  
  0.3.2.章节顺序的选择。虽然读者/教师不必遵循我们的章节顺序（见下一小节），但让我们简要谈谈我们在这一顺序背后的理念。最有争议的选择是将傅里叶级数和边界值问题的变量分离（第 11 章和第 12 章）放在最后。虽然这两章的大部分内容可以在任何时候讲到，事实上，它们通常也是 PDE 课程中最先涉及的主题，但我们认为，如果只关注各自边界值问题的无穷级数解表示，就会掩盖波方程、扩散方程和拉普拉斯方程（即所谓的 "三大方程"）的固有特征。首先脱离任何边界条件来考虑 "三巨头"，并分别关注波的传播、扩散和谐函数的核心特征，会更有启发性。

 0.4.前提条件

• 
  体积积分和表面积分、
• 
  多个变量函数的梯度和方向导数、
• 
  向量场的发散和通量的概念、
•  发散定理

0.4.2.广度和非刚性。

"不懂外语的人不懂自己的语言"。 ${}^a$${}^a$^(a){ }^{a} - 约翰-沃尔夫冈-冯-歌德

• 
  数学（作为一门学科）需要自然（物理学和其他科学）来指导、引导和照亮。
• 
  数学是自然界基本结构的基础，所有科学都需要数学来做出定量和定性的论断和结论。

 0.5.致谢

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  纳撒尼尔-雷涛（Nathaniel Leitao），在麦吉尔大学的最后一个本科学年，他花了大量时间对文本提出编辑建议、改进内容和制作附加图表。此外，纳撒尼尔在第 6.12、8.8 和 10.6 节的写作中也发挥了重要作用。
• 
  麦吉尔大学学生大卫-克纳皮克（David Knapik）花费了大量时间进行详细校对，提出了若干编辑建议，并改进了许多图表。
• 
  麦吉尔大学学生马克-梅卡尼克（Marc Mekhanik）提供了详细的反馈意见和编辑建议，并改进了许多图表。
• 
  感谢以下麦吉尔大学的学生在编辑和内容方面提出的意见，这些意见有助于本文的编写和发展：Miguel Ayala、Gabriel Martine La Boissonière、Robert Gibson、Ivan Gonzalez、Elias HessChilds、Yucong Huang、Hwi Lee、Mikhail Mamaev、Mihai Marian、Tudor Manole、Geoffrey McGregor、Mark Perlman、Gabriel Rioux 和 Alistair Russell。
• 
  许多同事对前稿提出了意见和建议：Almut Burchard、陈林南、Albert Cohen、Razvan Fetecau、Gerald Folland、David Muraki、Jean-Christophe Nave、Nilima Nigam、Jessica Lin、Govind Menon、Adam Oberman、Keith Promislow、Dejan Slepčev、Peter Sternberg、Ihsan Topaloglu、Christopher Towse、Konstantina Trivisa、Yen-Hsi Richard Tsai、Gantumur Tsogtgerel、Raghav Venkatraman、Andy Wan 和 Benedikt Wirth。
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  来自美国数学学会：伊娜-梅特（Ina Mette）的不断鼓励和支持；阿琳-奥-肖恩（Arlene O'Sean）作为制作和副本编辑所做的出色工作；布莱恩-巴特林（Brian Bartling）在克服许多 LaTeX 问题方面提供了很多帮助。
• 
  罗恩-塔基（Ron Tuckey）提出的许多编辑建议和修改意见，以及他在本文写作过程中给予的耐心和支持。

• 
  在本科阶段，Walter A. Strauss 的《偏微分方程》（Partial Differential Equations：导论》，Wiley.
• 
  在数学研究生阶段，Lawrence Craig Evans 的《偏微分方程》，美国数学学会。
  
  希望本文在论述、内容、组织和风格上的新颖性能说明问题，但有时在方法和风格上不可能不与这两部著作有某些相似之处。事实上，我们在很大程度上要归功于这两位作者。

 第 1 章

 基本定义

• 
  线性与非线性（半线性、准线性和完全非线性）
•  订单
•  标量 PDEs 与系统
• 
  均质与非均质
• 
  我们所说的 PDE 的解究竟是什么意思
• 
  通解、任意函数和辅助条件
• 
  初值问题（IVP）和边界值问题（BVP）
• 
  好摆性：存在性、唯一性和稳定性。

 1.1. $\cdot$$\cdot$*\cdot 符号

1.2.- 什么是偏微分方程，为什么偏微分方程无处不在？

• 
  史蒂文-斯特罗加茨 ${}^a$${}^a$^(a){ }^{a}
  
  ${}^a$${}^a$^(a){ }^{a} 斯特罗加茨是一位应用数学家，因其杰出的本科生著作《ODEs 定性理论》而闻名：非线性动力学与混沌》，Westview Press 出版社。这句话摘自他的科普读物《无限的力量》：微积分如何揭示宇宙的秘密》，霍顿-米夫林-哈考特出版公司，2019 年。

偏微分方程 (PDE) 的定义

1.3.- 我们所说的 PDE 解到底是什么意思？

PDE 解的定义

1.4. $\cdot$$\cdot$*\cdot 阶、线性与非线性、标量与系统

 1.4.1. $\cdot$$\cdot$*\cdot 命令。

线性和非线性 PDE 的定义

半线性、准线性和全非线性 PDE 的定义

• 
  如果所有出现的阶数为 $k$$k$kk 的导数的系数都只取决于自变量，那么它就是半线性方程、
• 
  如果所有出现的阶数为 $k$$k$kk 的导数都有一个只取决于自变量 $u$$u$uu 的系数，且其导数的阶数严格小于 $k$$k$kk ，则该函数为准线性函数、
• 
  如果不是准线性，则为完全非线性。

均质和非均质 PDE 的定义

1.5. $\cdot$$\cdot$*\cdot 一般解法、任意函数、辅助条件和拟好问题的概念

• 
  如果 $f$$f$ff 是单变量的任意函数，那么 $u(x,y)=f(y)$$u(x,y)=f(y)$u(x,y)=f(y)u(x, y)=f(y) 就能求解 PDE。
• 
  另一方面，对于某个单变量函数 $f$$f$ff 来说，PDE 的任何解都必须具有 $u(x,y)=f(y)$$u(x,y)=f(y)$u(x,y)=f(y)u(x, y)=f(y) 的形式。

摆好问题的定义

• 
  存在性 - 对于给定的辅助条件选择（其中数据是从某个函数类别中选择的），存在满足辅助条件的 PDE 解。
• 
  唯一性--事实上，这样的解决方案只有一个。
• 
  稳定性--如果我们对辅助条件 ${}^a$${}^a$^(a){ }^{a} 稍加扰动，那么所得到的唯一解不会有太大变化。也就是说，辅助条件的微小变化只会导致解的微小变化。
  
  ${}^a$${}^a$^(a){ }^{a} 请注意 "轻微扰动 "和 "微小变化 "这两个词的使用有歧义。对于任何特定问题，都需要精确地使用这一术语。

1.6.- 求解 PDE 的常见方法和主题

求解 PDE 的通用方法

• 
  首先，我们假设 PDE 和辅助条件的 $u$$u$uu 解（函数）是存在的，并且足够平滑（参见第 A.2 节）。
• 
  我们仅使用 $u$$u$uu 解 PDE 的假设和辅助条件，就可以处理和分析这个尚不为人知的解 $u$$u$uu 。在此过程中，我们得出了关于其结构的一些基本结果。
• 
  在某些情况下，通过对其结构的分析，实际上可以得到 $u$$u$uu 的明确公式。换句话说，我们对 $u$$u$uu 已了如指掌。
• 
  这个公式是在存在平稳解的基础（假设）上得出的。然而，有了这个公式，我们现在就可以检查这是否确实给出了一个解。这最后一步是必要的，它意味着最终不存在欺骗！

1.6.2. $\cdot$$\cdot$*\cdot 显解与非显解、无解和近似解

 练习

1.11 （KdV方程的孤子解）

 第二章

一阶 PDE 与特征法

---

1. 
   ${}^1$${}^1$^(1){ }^{1} 在本文中，我们经常使用等价符号 $\equiv$$\equiv$-=\equiv （三条平行线）来强调等价对域中的所有 $\mathbf{x}$$\mathbf{x}$x\mathbf{x} 都成立。
2. 
   ${}^2$${}^2$^(2){ }^{2} 以德国数学家约翰-彼得-古斯塔夫-勒让-迪里希特（1805-1859 年）的名字命名。
   
   ${}^3$${}^3$^(3){ }^{3} 以伟大的法国数学家和科学家皮埃尔-西蒙-拉普拉斯（Pierre-Simon Laplace，1749-1827 年）的名字命名。
   
   ${}^4$${}^4$^(4){ }^{4} 以伟大的法国数学家奥古斯丁-路易-柯西（1789-1857 年）的名字命名。
3. 
   ${}^5$${}^5$^(5){ }^{5} 雅克-哈达玛（1865-1963 年）是法国数学家，在多项式、数论、复分析和微分几何方面做出了重大贡献。
4. 
   ${}^6$${}^6$^(6){ }^{6} 柯西证明了这一结果的一个特例，而完整的定理后来由俄罗斯数学家索菲亚-瓦西里耶夫娜-科瓦列夫斯卡娅（1850-1891 年）扩展，她在分析、偏微分方程和力学方面做出了重要贡献。她是科学界的女性先驱之一。
   
   ${}^7$${}^7$^(7){ }^{7} 汉斯-路威（1904-1988 年）是德国出生的美国数学家，以研究多微分方程和复变理论而闻名。这里的相关论文是 "无解光滑线性偏微分方程的一个例子"，《数学年鉴》第 66 期（1957 年），第 1 号。
     ${}^8$${}^8$^(8){ }^{8} 例如、
   $$f(t)=\{\begin{array}{ll}{e}^{-\frac{1}{t}}& \text{if}t>0,\\ 0& \text{if}t\le 0\end{array}$$$$f(t)=\left\{\begin{array}{l}{e}^{-\frac{1}{t}}\hspace{0.25em}\hspace{0.25em}\hspace{0.25em}\hspace{0.25em}\text{ if }t>0,\\ 0\hspace{0.25em}\hspace{0.25em}\hspace{0.25em}\hspace{0.25em}\text{ if }t\le 0\end{array}\right.$$f(t)={[e^(-(1)/(t))," if "t > 0","],[0," if "t <= 0]:}f(t)= \begin{cases}e^{-\frac{1}{t}} & \text { if } t>0, \\ 0 & \text { if } t \leq 0\end{cases}