二、张先生效用函数分析
张先生的效用函数为:
U(x,y)=xy+y
其中,I 表示收入,px 和 py 分别为商品 x 和 y 的价格。
我们将依次解答各部分问题。
A. 计算张先生对商品 x 和 y 的非补偿性(马歇尔)需求函数
步骤 1:建立拉格朗日函数
为了最大化效用,张先生的优化问题可以表述为:
x,ymaxU(x,y)=xy+ysubject topxx+pyy=I相应的拉格朗日函数为:
L=xy+y+λ(I−pxx−pyy)其中,λ 为拉格朗日乘数。
步骤 2:求一阶条件
对 x 和 y 分别求偏导,并令其等于零:
∂x∂L=y−λpx=0⇒y=λpx(1)
∂y∂L=x+1−λpy=0⇒x+1=λpy(2)预算约束条件:
pxx+pyy=I(3)步骤 3:解方程组
从方程 (1) 和 (2) 中,我们可以消去 λ:
λ=pxy=pyx+1因此,
pxy=pyx+1⇒y=pypx(x+1)将 y 表达式代入预算约束条件 (3):
pxx+py(pypx(x+1))=I⇒pxx+px(x+1)=I
2pxx+px=I⇒2pxx=I−px⇒x=2pxI−px接着,代入 x 的表达式求 y:
y=pypx(2pxI−px+1)=pypx(2pxI−px+2px)=2pyI+px结论:马歇尔需求函数为
xM=2pxI−px,yM=2pyI+px
B. 计算张先生的间接效用函数与支出函数
间接效用函数 V(px,py,I)
间接效用函数表示在给定价格和收入下,张先生能达到的最大效用。由马歇尔需求函数代入效用函数:
V=U(xM,yM)=xMyM+yM代入 xM 和 yM:
V=(2pxI−px)(2pyI+px)+2pyI+px
V=4pxpy(I−px)(I+px)+2pyI+px=4pxpyI2−px2+2pyI+px统一分母:
V=4pxpyI2−px2+2px(I+px)=4pxpyI2+2pxI+px2=4pxpy(I+px)2支出函数 E(px,py,U)
支出函数表示在给定价格和效用水平下,张先生所需的最小收入。我们通过效用函数和价格来求解:
最小化支出:
x,yminpxx+pyysubject toxy+y≥U简化约束条件:
y(x+1)≥U⇒y=x+1U因此,支出最小化问题转化为:
xminpxx+py(x+1U)取导数并设为零:
dxd(pxx+x+1pyU)=px−(x+1)2pyU=0解得:
px(x+1)2=pyU⇒x+1=pxpyU⇒x=pxpyU−1求 y:
y=x+1U=pxpyUU=pypxU因此,支出函数为:
E=pxx+pyy=px(pxpyU−1)+pypypxU简化:
E=pxpxpyU−px+pypypxU=pxpyU−px+pxpyU=2pxpyU−px结论:
间接效用函数
V(px,py,I)=4pxpy(I+px)2支出函数
E(px,py,U)=2pxpyU−px
C. 利用谢泼德引理(包络定理)计算补偿性(希克斯)需求函数
谢泼德引理指出,支出函数对价格的偏导数即为补偿性需求函数。
给定支出函数:
E(px,py,U)=2pxpyU−px计算 hx(对商品 x 的补偿性需求):
hx=∂px∂E=∂px∂(2pxpyU−px)=2⋅21⋅pxpyUpyU−1=pxpyU−1简化:
hx=pxpyU−1计算 hy(对商品 y 的补偿性需求):
hy=∂py∂E=∂py∂(2pxpyU−px)=2⋅21⋅pxpyUpxU=pypxU简化:
hy=pypxU结论:
- 补偿性需求函数
hx=pxpyU−1,hy=pypxU
D. 证明本题符合斯拉茨基方程式
**斯拉茨基方程式(Slutsky Equation)**描述了马歇尔需求函数对价格变化的总效应,可分解为替代效应和收入效应。具体形式为:
∂px∂xM=∂px∂hx−xM∂I∂xM其中:
- ∂px∂xM 为马歇尔需求对价格的变化率。
- ∂px∂hx 为希克斯需求对价格的变化率(替代效应)。
- xM∂I∂xM 为收入效应。
已知:
xM=2pxI−px
hx=pxpyU−1计算各项导数:
- 计算 ∂px∂xM:
∂px∂xM=∂px∂(2pxI−px)=(2px)2−1⋅2px−(I−px)⋅2=4px2−2px−2I+2px=4px2−2I=−2px2I- 计算 ∂px∂hx:
hx=pxpyU−1⇒∂px∂hx=21⋅(pxpyU)−1/2⋅(−px2pyU)=−21⋅px2pyU⋅pxpyU1=−2px3/2pyU- 计算 ∂I∂xM:
∂I∂xM=2px1- 计算 xM∂I∂xM:
xM⋅∂I∂xM=2pxI−px⋅2px1=4px2I−px验证斯拉茨基方程式:
∂px∂hx−xM∂I∂xM=−2px3/2pyU−4px2I−px我们需要验证:
∂px∂xM=∂px∂hx−xM∂I∂xM即:
−2px2I=−2px3/2pyU−4px2I−px将 U 表达为间接效用函数:
V=4pxpy(I+px)2⇒U=4pxpy(I+px)2代入 pyU:
pyU=py⋅4pxpy(I+px)2=2pxI+px代入斯拉茨基方程式的右侧:
−2px3/2pyU−4px2I−px=−4px2(I+px)−4px2I−px=−4px2I+px+I−px=−4px22I=−2px2I这与左侧 ∂px∂xM=−2px2I 相等。
结论:
通过上述计算,我们验证了斯拉茨基方程式在本题中的适用性,即:
∂px∂xM=∂px∂hx−xM∂I∂xM因此,本题符合斯拉茨基方程式。
总结
通过上述分析,我们完成了对张先生效用函数的马歇尔需求函数、间接效用函数、支出函数及希克斯需求函数的计算,并验证了斯拉茨基方程式的适用性。这展示了微观经济学中消费者行为理论的应用,以及需求函数之间的相互关系。