这是用户在 2024-12-6 11:09 为 https://app.immersivetranslate.com/pdf-pro/eb646f19-ec12-4239-bf3c-75f18b3d88b2 保存的双语快照页面，由 沉浸式翻译 提供双语支持。了解如何保存？
Множественная регрессия - уравнение связи с несколькими независимыми переменными:
多元回归是具有多个自变量的关系方程：
y = f ( x 1 , x 2 , … , x p ) , y = f x 1 , x 2 , … , x p , y=f(x_(1),x_(2),dots,x_(p)),y=f\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{p}\right),
где y y y quady \quad - зависнмая переменная (результативный призвак);
在哪里 y y y quady \quad - 因变量（结果调用）；
x 1 , x 2 , … , x p x 1 , x 2 , … , x p x_(1),x_(2),dots,x_(p)x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{p} - независимые переменные (факторы).
x 1 , x 2 , … , x p x 1 , x 2 , … , x p x_(1),x_(2),dots,x_(p)x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{p} - 自变量（因素）。
Для построения уравнения множественной регрессии чаще используются следующие функции:
为了建立多元回归方程，最常使用以下函数：
  • линейная − y = a + b 1 ⋅ x 1 + b 2 ⋅ x 2 + … + b p ⋅ x p + ε − y = a + b 1 ⋅ x 1 + b 2 ⋅ x 2 + … + b p ⋅ x p + ε -y=a+b_(1)*x_(1)+b_(2)*x_(2)+dots+b_(p)*x_(p)+epsi-y=a+b_{1} \cdot x_{1}+b_{2} \cdot x_{2}+\ldots+b_{p} \cdot x_{p}+\varepsilon; 线性 − y = a + b 1 ⋅ x 1 + b 2 ⋅ x 2 + … + b p ⋅ x p + ε − y = a + b 1 ⋅ x 1 + b 2 ⋅ x 2 + … + b p ⋅ x p + ε -y=a+b_(1)*x_(1)+b_(2)*x_(2)+dots+b_(p)*x_(p)+epsi-y=a+b_{1} \cdot x_{1}+b_{2} \cdot x_{2}+\ldots+b_{p} \cdot x_{p}+\varepsilon ;
  • степенная - y = a ⋅ x 1 b 1 ⋅ x 2 b 2 … ⋅ x p b p ⋅ ε 1 y = a ⋅ x 1 b 1 ⋅ x 2 b 2 … ⋅ x p b p ⋅ ε 1 y=a*x_(1)^(b_(1))*x_(2)^(b_(2))dots*x_(p)^(b_(p))*epsi_(1)y=a \cdot x_{1}^{b_{1}} \cdot x_{2}^{b_{2}} \ldots \cdot x_{p}^{b_{p}} \cdot \varepsilon_{1} 力量 - y = a ⋅ x 1 b 1 ⋅ x 2 b 2 … ⋅ x p b p ⋅ ε 1 y = a ⋅ x 1 b 1 ⋅ x 2 b 2 … ⋅ x p b p ⋅ ε 1 y=a*x_(1)^(b_(1))*x_(2)^(b_(2))dots*x_(p)^(b_(p))*epsi_(1)y=a \cdot x_{1}^{b_{1}} \cdot x_{2}^{b_{2}} \ldots \cdot x_{p}^{b_{p}} \cdot \varepsilon_{1}
экспонента − y = e a + b 1 ⋅ x 1 + b 2 ⋅ x 2 + … + b p ⋅ x p + ε − y = e a + b 1 ⋅ x 1 + b 2 ⋅ x 2 + … + b p ⋅ x p + ε -y=e^(a+b_(1)*x_(1)+b_(2)*x_(2)+dots+b_(p)*x_(p)+epsi)-y=e^{a+b_{1} \cdot x_{1}+b_{2} \cdot x_{2}+\ldots+b_{p} \cdot x_{p}+\varepsilon}; 指数 − y = e a + b 1 ⋅ x 1 + b 2 ⋅ x 2 + … + b p ⋅ x p + ε − y = e a + b 1 ⋅ x 1 + b 2 ⋅ x 2 + … + b p ⋅ x p + ε -y=e^(a+b_(1)*x_(1)+b_(2)*x_(2)+dots+b_(p)*x_(p)+epsi)-y=e^{a+b_{1} \cdot x_{1}+b_{2} \cdot x_{2}+\ldots+b_{p} \cdot x_{p}+\varepsilon} ;
  • гипербола − y = 1 a + b 1 ⋅ x 1 + b 2 ⋅ x 2 + … + b p ⋅ x p + ε − y = 1 a + b 1 ⋅ x 1 + b 2 ⋅ x 2 + … + b p ⋅ x p + ε -y=(1)/(a+b_(1)*x_(1)+b_(2)*x_(2)+dots+b_(p)*x_(p)+epsi)-y=\frac{1}{a+b_{1} \cdot x_{1}+b_{2} \cdot x_{2}+\ldots+b_{p} \cdot x_{p}+\varepsilon}. 双曲线 − y = 1 a + b 1 ⋅ x 1 + b 2 ⋅ x 2 + … + b p ⋅ x p + ε − y = 1 a + b 1 ⋅ x 1 + b 2 ⋅ x 2 + … + b p ⋅ x p + ε -y=(1)/(a+b_(1)*x_(1)+b_(2)*x_(2)+dots+b_(p)*x_(p)+epsi)-y=\frac{1}{a+b_{1} \cdot x_{1}+b_{2} \cdot x_{2}+\ldots+b_{p} \cdot x_{p}+\varepsilon} 。
Можно использовать и другие функции, приводимые к линейному виду.
您可以使用其他可以简化为线性形式的函数。
Для оценки параметров уравнения множественной регрессии применяют метод наименьиих квадратов (МНК). Для линейных уравнений и нелинейных уравнений, приводимых к линейным, строится следующая система нормальных уравнений, решение которой позволяет получить оценки параметров регрессии:
为了估计多元回归方程的参数，使用最小二乘法（OLS）。对于线性方程和可简化为线性方程的非线性方程，构造以下正规方程组，其解使我们能够获得回归参数的估计：
{ ∑ y = n a + b 1 ∑ x 1 + b 2 ∑ x 2 + … + b p ∑ x p ∑ y x 1 = a ∑ x 1 + b 1 ∑ x 1 2 + b 2 ∑ x 1 x 2 + … + b p ∑ x p x 1 ∑ y x p = a ∑ x p + b 1 ∑ x 1 x p + b 2 ∑ x 2 x p + … + b p ∑ x p 2 ∑ y = n a + b 1 ∑ x 1 + b 2 ∑ x 2 + … + b p ∑ x p ∑ y x 1 = a ∑ x 1 + b 1 ∑ x 1 2 + b 2 ∑ x 1 x 2 + … + b p ∑ x p x 1 ∑ y x p = a ∑ x p + b 1 ∑ x 1 x p + b 2 ∑ x 2 x p + … + b p ∑ x p 2 {[sum y=na+b_(1)sumx_(1)+b_(2)sumx_(2)+dots+b_(p)sumx_(p)],[sum yx_(1)=a sumx_(1)+b_(1)sumx_(1)^(2)+b_(2)sumx_(1)x_(2)+dots+b_(p)sumx_(p)x_(1)],[sum yx_(p)=a sumx_(p)+b_(1)sumx_(1)x_(p)+b_(2)sumx_(2)x_(p)+dots+b_(p)sumx_(p)^(2)]:}\left\{\begin{array}{l} \sum y=n a+b_{1} \sum x_{1}+b_{2} \sum x_{2}+\ldots+b_{p} \sum x_{p} \\ \sum y x_{1}=a \sum x_{1}+b_{1} \sum x_{1}^{2}+b_{2} \sum x_{1} x_{2}+\ldots+b_{p} \sum x_{p} x_{1} \\ \sum y x_{p}=a \sum x_{p}+b_{1} \sum x_{1} x_{p}+b_{2} \sum x_{2} x_{p}+\ldots+b_{p} \sum x_{p}^{2} \end{array}\right.
Для ее решения может быть применён метод определителей:
为了解决这个问题，可以使用行列式的方法：
a = Δ a Δ , b 1 = Δ b 1 Δ , … , b p = Δ b p Δ , a = Δ a Δ , b 1 = Δ b 1 Δ , … , b p = Δ b p Δ , a=(Delta a)/(Delta),quadb_(1)=(Deltab_(1))/(Delta),dots,b_(p)=(Deltab_(p))/(Delta),a=\frac{\Delta a}{\Delta}, \quad b_{1}=\frac{\Delta b_{1}}{\Delta}, \ldots, b_{p}=\frac{\Delta b_{p}}{\Delta},
где Δ = | n Σ x 1 Σ x 2 … Σ x p Σ x 1 Σ x 1 2 Σ x 2 x 1 … Σ x p x 1 Σ x 2 Σ x 1 x 2 Σ x 2 2 … Σ x p x 2 … x p Σ x 1 x p Σ x 2 x p … Σ x p 2 | Δ = n Σ x 1 Σ x 2 … Σ x p Σ x 1 Σ x 1 2 Σ x 2 x 1 … Σ x p x 1 Σ x 2 Σ x 1 x 2 Σ x 2 2 … Σ x p x 2 … x p Σ x 1 x p Σ x 2 x p … Σ x p 2 Delta=|[n,Sigmax_(1),Sigmax_(2),dots,Sigmax_(p)],[Sigmax_(1),Sigmax_(1)^(2),Sigmax_(2)x_(1),dots,Sigmax_(p)x_(1)],[Sigmax_(2),Sigmax_(1)x_(2),Sigmax_(2)^(2),dots,Sigmax_(p)x_(2)],[dotsx_(p),Sigmax_(1)x_(p),Sigmax_(2)x_(p),dots,Sigmax_(p)^(2)]|\Delta=\left|\begin{array}{ccccc}n & \Sigma x_{1} & \Sigma x_{2} & \ldots & \Sigma x_{p} \\ \Sigma x_{1} & \Sigma x_{1}^{2} & \Sigma x_{2} x_{1} & \ldots & \Sigma x_{p} x_{1} \\ \Sigma x_{2} & \Sigma x_{1} x_{2} & \Sigma x_{2}^{2} & \ldots & \Sigma x_{p} x_{2} \\ \hdashline \ldots x_{p} & \Sigma x_{1} x_{p} & \Sigma x_{2} x_{p} & \ldots & \Sigma x_{p}^{2}\end{array}\right| - определитель системы;
在哪里 Δ = | n Σ x 1 Σ x 2 … Σ x p Σ x 1 Σ x 1 2 Σ x 2 x 1 … Σ x p x 1 Σ x 2 Σ x 1 x 2 Σ x 2 2 … Σ x p x 2 … x p Σ x 1 x p Σ x 2 x p … Σ x p 2 | Δ = n Σ x 1 Σ x 2 … Σ x p Σ x 1 Σ x 1 2 Σ x 2 x 1 … Σ x p x 1 Σ x 2 Σ x 1 x 2 Σ x 2 2 … Σ x p x 2 … x p Σ x 1 x p Σ x 2 x p … Σ x p 2 Delta=|[n,Sigmax_(1),Sigmax_(2),dots,Sigmax_(p)],[Sigmax_(1),Sigmax_(1)^(2),Sigmax_(2)x_(1),dots,Sigmax_(p)x_(1)],[Sigmax_(2),Sigmax_(1)x_(2),Sigmax_(2)^(2),dots,Sigmax_(p)x_(2)],[dotsx_(p),Sigmax_(1)x_(p),Sigmax_(2)x_(p),dots,Sigmax_(p)^(2)]|\Delta=\left|\begin{array}{ccccc}n & \Sigma x_{1} & \Sigma x_{2} & \ldots & \Sigma x_{p} \\ \Sigma x_{1} & \Sigma x_{1}^{2} & \Sigma x_{2} x_{1} & \ldots & \Sigma x_{p} x_{1} \\ \Sigma x_{2} & \Sigma x_{1} x_{2} & \Sigma x_{2}^{2} & \ldots & \Sigma x_{p} x_{2} \\ \hdashline \ldots x_{p} & \Sigma x_{1} x_{p} & \Sigma x_{2} x_{p} & \ldots & \Sigma x_{p}^{2}\end{array}\right| - 系统决定因素；
Δ a , Δ b 1 , … , Δ b p Δ a , Δ b 1 , … , Δ b p Delta a,Deltab_(1),dots,Deltab_(p)\Delta a, \Delta b_{1}, \ldots, \Delta b_{p} - частные определители; которые получаются путем замены соответствующего столбца матрицы определителя системы данными левой части системы.
Δ a , Δ b 1 , … , Δ b p Δ a , Δ b 1 , … , Δ b p Delta a,Deltab_(1),dots,Deltab_(p)\Delta a, \Delta b_{1}, \ldots, \Delta b_{p} - 私人决定因素；将系统行列式矩阵的相应列替换为系统左侧的数据即可得到。
Другой вид уравнения множественной регрессии - уравнение регрессии в стандартизованнам маситабе:
另一种多元回归方程是标准化 Masitaba 中的回归方程：
t y = β 1 t x 1 + β 2 t x 2 + … + β p t x p t y = β 1 t x 1 + β 2 t x 2 + … + β p t x p t_(y)=beta_(1)t_(x_(1))+beta_(2)t_(x_(2))+dots+beta_(p)t_(x_(p))t_{y}=\beta_{1} t_{x_{1}}+\beta_{2} t_{x_{2}}+\ldots+\beta_{p} t_{x_{p}}
где t y = y − y ¯ σ y , t x i = x i − x ¯ i σ x i t y = y − y ¯ σ y , t x i = x i − x ¯ i σ x i t_(y)=(y-( bar(y)))/(sigma_(y)),t_(x_(i))=(x_(i)- bar(x)_(i))/(sigma_(x_(i)))t_{y}=\frac{y-\bar{y}}{\sigma_{y}}, t_{x_{i}}=\frac{x_{i}-\bar{x}_{i}}{\sigma_{x_{i}}} - стандартизованные переменные;
在哪里 t y = y − y ¯ σ y , t x i = x i − x ¯ i σ x i t y = y − y ¯ σ y , t x i = x i − x ¯ i σ x i t_(y)=(y-( bar(y)))/(sigma_(y)),t_(x_(i))=(x_(i)- bar(x)_(i))/(sigma_(x_(i)))t_{y}=\frac{y-\bar{y}}{\sigma_{y}}, t_{x_{i}}=\frac{x_{i}-\bar{x}_{i}}{\sigma_{x_{i}}} - 标准化变量；
β i β i beta_(i)\beta_{i} - стандартизованные коэффициенты регрессии.
β i β i beta_(i)\beta_{i} - 标准化回归系数。
К уравнению множественной регрессии в стандартизованном масштабе применим МНК. Стандартизованные коэффициенты регрессии ( β β beta\beta-коэффициенты) определяются из следующей системы уравнений:
我们将 OLS 应用于标准化尺度的多元回归方程。标准化回归系数（ β β beta\beta -系数）由以下方程组确定：
Связь коэффициентов множественной регрессии b i b i b_(i)b_{i} со стандартизованными коэффициентами β i β i beta_(i)\beta_{i} описывается соотношением
多元回归系数之间的关系 b i b i b_(i)b_{i} 标准化赔率 β i β i beta_(i)\beta_{i} 由关系式描述
b i = β i σ y σ x i b i = β i σ y σ x i b_(i)=beta_(i)(sigma_(y))/(sigma_(x_(i)))b_{i}=\beta_{i} \frac{\sigma_{y}}{\sigma_{x_{i}}}
Параметр a a aa определяется как a = y ¯ − b 1 x ¯ 1 − b 2 x ¯ 2 − … − b p x ¯ p a = y ¯ − b 1 x ¯ 1 − b 2 x ¯ 2 − … − b p x ¯ p a= bar(y)-b_(1) bar(x)_(1)-b_(2) bar(x)_(2)-dots-b_(p) bar(x)_(p)a=\bar{y}-b_{1} \bar{x}_{1}-b_{2} \bar{x}_{2}-\ldots-b_{p} \bar{x}_{p}.
范围 a a aa 定义为 a = y ¯ − b 1 x ¯ 1 − b 2 x ¯ 2 − … − b p x ¯ p a = y ¯ − b 1 x ¯ 1 − b 2 x ¯ 2 − … − b p x ¯ p a= bar(y)-b_(1) bar(x)_(1)-b_(2) bar(x)_(2)-dots-b_(p) bar(x)_(p)a=\bar{y}-b_{1} \bar{x}_{1}-b_{2} \bar{x}_{2}-\ldots-b_{p} \bar{x}_{p} 。
Средние коэффичиенты эластичности для линейной регрессии рассчитываются по формуле
线性回归的平均弹性系数使用以下公式计算
Э ¯ y x j = b j x ¯ j y ¯ . Э ¯ y x j = b j x ¯ j y ¯ . bar(Э)_(yx_(j))=b_(j)( bar(x)_(j))/(( bar(y))).\bar{Э}_{y x_{j}}=b_{j} \frac{\bar{x}_{j}}{\bar{y}} .Э
Для расчета частных коэффициентов эластичности применяется следующая формула:
为了计算部分弹性系数，使用以下公式：
Э y x i = b i x i y ^ x i ⋅ x 1 , x 2 , … , x i − 1 , x i + 1 , … , x p . Э y x i = b i x i y ^ x i ⋅ x 1 , x 2 , … , x i − 1 , x i + 1 , … , x p . Э_(y_(x_(i)))=b_(i)(x_(i))/( hat(y)_(x_(i)*x_(1),x_(2),dots,x_(i-1),x_(i+1),dots,x_(p))).Э_{y_{x_{i}}}=b_{i} \frac{x_{i}}{\hat{y}_{x_{i} \cdot x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{i-1}, x_{i+1}, \ldots, x_{p}}} .Э
Тесноту совместного влияния факторов на результат оценивает индекс множественной корреляции:
通过多重相关指数来评估因素对结果的共同影响的强弱：
R y x 1 x 2 , … , x p = 1 − σ y o CT 2 σ y 2 R y x 1 x 2 , … , x p = 1 − σ y o CT 2 σ y 2 R_(yx_(1)x_(2),dots,x_(p))=sqrt(1-(sigma_(y_(oCT))^(2))/(sigma_(y)^(2)))R_{y x_{1} x_{2}, \ldots, x_{p}}=\sqrt{1-\frac{\sigma_{y_{o \mathrm{CT}}}^{2}}{\sigma_{y}^{2}}}
Значение индекса множественной корреляции лежит в пределах от 0 до 1 и должно быть больше или равно максимальному парному индексу корреляции:
多重相关指数值的范围为 0 到 1，并且必须大于或等于最大成对相关指数：
R y x 1 x 2 , … , x p ≥ r y x i ( i = 1 , p ― ) . R y x 1 x 2 , … , x p ≥ r y x i ( i = 1 , p ¯ ) . R_(yx_(1)x_(2),dots,x_(p)) >= r_(yx_(i))quad(i= bar(1,p)).R_{y x_{1} x_{2}, \ldots, x_{p}} \geq r_{y x_{i}} \quad(i=\overline{1, p}) .
Индекс множественной корреляции для уравнения в стандартизованном мастітабе можно записать в виде
标准化尺度方程的多重相关指数可以写为
R y x 1 x 2 , … , x p = ∑ β i r y x i . R y x 1 x 2 , … , x p = ∑ β i r y x i . R_(yx_(1)x_(2),dots,x_(p))=sqrt(sumbeta_(i)r_(yx_(i))).R_{y x_{1} x_{2}, \ldots, x_{p}}=\sqrt{\sum \beta_{i} r_{y x_{i}}} .
При линейной зависимости коэффициент множественной корреляции можно определить через матрицу парных коэффициентов корреляции:
具有线性相关性，可以通过成对相关系数矩阵确定多重相关系数：
R y x 1 x 2 , … , x p = 1 − Δ r Δ r 11 R y x 1 x 2 , … , x p = 1 − Δ r Δ r 11 R_(yx_(1)x_(2),dots,x_(p))=sqrt(1-(Delta r)/(Deltar_(11)))R_{y x_{1} x_{2}, \ldots, x_{p}}=\sqrt{1-\frac{\Delta r}{\Delta r_{11}}}
4*