the particle states $\zeta {\varphi }_m$$\zeta {\varphi }_m$zetaphi_(m)\zeta \phi_{m} is positive while the magnetic moment of the particle states ${}^{\zeta }{\varphi }_m$${}^{\zeta }{\varphi }_m$^(zeta)phi_(m){ }^{\zeta} \phi_{m} is negative. This allows us to use the magnon/antimagnon classification for the creation and annihilation operators in Eq. (38). Considering diagonalized forms of the kinetic energy and magnetic moment operators given by Eq. (A21) in Appendix A. we see that such identification is also confirmed in the framework of QFT. In particular, we see that the spectrum of the kinetic energy operator is positively defined and one-particle states ${}_{\zeta }{\varphi }_m$${}_{\zeta }{\varphi }_m$_(zeta)phi_(m){ }_{\zeta} \phi_{m} represent magnons with the kinetic energy ${}_{\zeta }{E}_m>0$${}_{\zeta }{E}_m>0$_(zeta)E_(m) > 0{ }_{\zeta} E_{m}>0 and the magnetic moment $\mu$$\mu$mu\mu, whereas one-particle states ${}^{\zeta }{\varphi }_m$${}^{\zeta }{\varphi }_m$^(zeta)phi_(m){ }^{\zeta} \phi_{m} are antimagnons with the kinetic energy $-\zeta E_m>0$$-\zeta E_m>0$-zetaE_(m) > 0-\zeta E_{m}>0.
Состояния частицы $\zeta {\varphi }_m$$\zeta {\varphi }_m$zetaphi_(m)\zeta \phi_{m} положительны, в то время как магнитный момент состояний частицы ${}^{\zeta }{\varphi }_m$${}^{\zeta }{\varphi }_m$^(zeta)phi_(m){ }^{\zeta} \phi_{m} отрицателен. Это позволяет нам использовать классификацию магнонов/антимагнонов для операторов создания и уничтожения в уравнении (38). Учитывая диагонализированные формы операторов кинетической энергии и магнитного момента, приведенные в уравнении (A21) в приложении A, мы видим, что такая идентификация также подтверждается в рамках квантовой теории поля. В частности, мы видим, что спектр оператора кинетической энергии положительно определен, и одночастичные состояния ${}_{\zeta }{\varphi }_m$${}_{\zeta }{\varphi }_m$_(zeta)phi_(m){ }_{\zeta} \phi_{m} представляют собой магноны с кинетической энергией ${}_{\zeta }{E}_m>0$${}_{\zeta }{E}_m>0$_(zeta)E_(m) > 0{ }_{\zeta} E_{m}>0 и магнитным моментом $\mu$$\mu$mu\mu , в то время как одночастичные состояния ${}^{\zeta }{\varphi }_m$${}^{\zeta }{\varphi }_m$^(zeta)phi_(m){ }^{\zeta} \phi_{m} являются антимагнонами с кинетической энергией $-\zeta E_m>0$$-\zeta E_m>0$-zetaE_(m) > 0-\zeta E_{m}>0 .

Since transformations (41) and (42) entangle annihilation and creation operators, the vacua $\mid 0$$\mid 0$∣0\mid 0, in $⟩$$⟩$:)\rangle and $\mid 0$$\mid 0$∣0\mid 0, out $⟩$$⟩$:)\rangle are essentially different. The total vacuum-to-vacuum transition amplitude $c_v$$c_v$c_(v)c_{v} is formed due to the vacuum instability in the range ${\mathrm{\Omega }}_3$${\mathrm{\Omega }}_3$Omega_(3)\Omega_{3}. Differential mean numbers $N_m^a$$N_m^a$N_(m)^(a)N_{m}^{a} (out) and $N_m^b$$N_m^b$N_(m)^(b)N_{m}^{b} (out), $m\in {\mathrm{\Omega }}_3$$m\in {\mathrm{\Omega }}_3$m inOmega_(3)m \in \Omega_{3}, of the magnons and antimagnons respectively, created from the vacuum are equal, $N_m^b$$N_m^b$N_(m)^(b)N_{m}^{b} (out) $=N_m^a$$=N_m^a$=N_(m)^(a)=N_{m}^{a} (out) $=N_m^{\mathrm{cr}}$$=N_m^{\mathrm{cr}}$=N_(m)^(cr)=N_{m}^{\mathrm{cr}}, and have the forms:
Поскольку преобразования (41) и (42) связывают операторы уничтожения и создания, вакуумы $\mid 0$$\mid 0$∣0\mid 0 , в $⟩$$⟩$:)\rangle и $\mid 0$$\mid 0$∣0\mid 0 , из $⟩$$⟩$:)\rangle по сути различны. Общая амплитуда перехода вакуум-вакуум $c_v$$c_v$c_(v)c_{v} формируется из-за нестабильности вакуума в диапазоне ${\mathrm{\Omega }}_3$${\mathrm{\Omega }}_3$Omega_(3)\Omega_{3} . Дифференциальные средние числа $N_m^a$$N_m^a$N_(m)^(a)N_{m}^{a} (из) и $N_m^b$$N_m^b$N_(m)^(b)N_{m}^{b} (из), $m\in {\mathrm{\Omega }}_3$$m\in {\mathrm{\Omega }}_3$m inOmega_(3)m \in \Omega_{3} , магнонов и антимагнонов соответственно, созданных из вакуума, равны, $N_m^b$$N_m^b$N_(m)^(b)N_{m}^{b} (из) $=N_m^a$$=N_m^a$=N_(m)^(a)=N_{m}^{a} (из) $=N_m^{\mathrm{cr}}$$=N_m^{\mathrm{cr}}$=N_(m)^(cr)=N_{m}^{\mathrm{cr}} и имеют следующие формы:

where the coefficients $g$$g$gg are given by Eq. (22).
где коэффициенты $g$$g$gg заданы уравнением (22).
To distinguish initial and final states in the range ${\mathrm{\Omega }}_3$${\mathrm{\Omega }}_3$Omega_(3)\Omega_{3}, one needs to consider one-particle mean values of the operators of the fluxes, of the energy and the effective charge (that is, the magnetic moment current) through the surfaces $x=x_{\mathrm{L}}$$x=x_{\mathrm{L}}$x=x_(L)x=x_{\mathrm{L}} and $x=x_{\mathrm{R}}$$x=x_{\mathrm{R}}$x=x_(R)x=x_{\mathrm{R}}, given by Eqs. (A11) and (A12) in Appendix A. In the beginning we note that in the range ${\mathrm{\Omega }}_3$${\mathrm{\Omega }}_3$Omega_(3)\Omega_{3} the spatial distribution of physical states, presented by wave packets of plane waves, is the same as in the ranges ${\mathrm{\Omega }}_2$${\mathrm{\Omega }}_2$Omega_(2)\Omega_{2} and ${\mathrm{\Omega }}_4$${\mathrm{\Omega }}_4$Omega_(4)\Omega_{4}. Therefore, it can be shown that particles (magnons) can be situated only in the region $S_{\mathrm{R}}$$S_{\mathrm{R}}$S_(R)S_{\mathrm{R}}, whereas antiparticles (antimagnons) can be situated only in the region $S_{\mathrm{L}}$$S_{\mathrm{L}}$S_(L)S_{\mathrm{L}}. The field ${\partial }_{x}U(x)$${\partial }_{x}U(x)$del_(x)U(x)\partial_{x} U(x) does not allow particles to penetrate through the region $S_{\mathrm{int}}$$S_{\mathrm{int}}$S_(int)S_{\mathrm{int}}, and turns them in the opposite direction. For the plane waves such a behavior can be easily seen in the case of weak external fields (but still strong enough, $\delta U>2{\pi }_{\perp }$$\delta U>2{\pi }_{\perp }$delta U > 2pi_(_|_)\delta U>2 \pi_{\perp}, to provide the existence of the ${\mathrm{\Omega }}_3$${\mathrm{\Omega }}_3$Omega_(3)\Omega_{3}-range) using a semiclassical approximation. If $N_m^{\text{cr}}$$N_m^{\text{cr }}$N_(m)^("cr ")N_{m}^{\text {cr }} tends to zero, then ${\left|g(+{|}^{-})\right|}^2\to \mathrm{\infty }$${\left|g\left(+{\left.\right|}^{-}\right)\right|}^2\to \mathrm{\infty }$|g(+|^(-))|^(2)rarr oo\left|g\left(+\left.\right|^{-}\right)\right|^{2} \rightarrow \infty and, at the same time, ${\left|g(+{|}^{+})\right|}^2\to \mathrm{\infty }$${\left|g\left(+{\left.\right|}^{+}\right)\right|}^2\to \mathrm{\infty }$|g(+|^(+))|^(2)rarr oo\left|g\left(+\left.\right|^{+}\right)\right|^{2} \rightarrow \infty in accordance to relation (25). Relations (21) imply that for an arbitrary $m\in {\mathrm{\Omega }}_3$$m\in {\mathrm{\Omega }}_3$m inOmega_(3)m \in \Omega_{3} the magnon densities ${|{}_{\zeta }{\varphi }_m(X)|}^2$${\left|{}_{\zeta }{\varphi }_m(X)\right|}^2$|_(zeta)phi_(m)(X)|^(2)\left|{ }_{\zeta} \phi_{m}(X)\right|^{2} are concentrated in the region $S_{\mathrm{R}}$$S_{\mathrm{R}}$S_(R)S_{\mathrm{R}}, whereas the antimagnon densities ${\left|{}^{\zeta }{\varphi }_m\right|}^2$${\left|{}^{\zeta }{\varphi }_m\right|}^2$|^(zeta)phi_(m)|^(2)\left|{ }^{\zeta} \phi_{m}\right|^{2} are concentrated in the region $S_{\mathrm{L}}$$S_{\mathrm{L}}$S_(L)S_{\mathrm{L}}.
Чтобы различить начальные и конечные состояния в диапазоне ${\mathrm{\Omega }}_3$${\mathrm{\Omega }}_3$Omega_(3)\Omega_{3} , необходимо учитывать однопартинные средние значения операторов потоков, энергии и эффективного заряда (то есть тока магнитного момента) через поверхности $x=x_{\mathrm{L}}$$x=x_{\mathrm{L}}$x=x_(L)x=x_{\mathrm{L}} и $x=x_{\mathrm{R}}$$x=x_{\mathrm{R}}$x=x_(R)x=x_{\mathrm{R}} , заданные уравнениями (A11) и (A12) в приложении A. В начале отметим, что в диапазоне ${\mathrm{\Omega }}_3$${\mathrm{\Omega }}_3$Omega_(3)\Omega_{3} пространственное распределение физических состояний, представленное волновыми пакетами плоских волн, такое же, как в диапазонах ${\mathrm{\Omega }}_2$${\mathrm{\Omega }}_2$Omega_(2)\Omega_{2} и ${\mathrm{\Omega }}_4$${\mathrm{\Omega }}_4$Omega_(4)\Omega_{4} . Поэтому можно показать, что частицы (магноны) могут находиться только в области $S_{\mathrm{R}}$$S_{\mathrm{R}}$S_(R)S_{\mathrm{R}} , тогда как античастицы (антимагноны) могут находиться только в области $S_{\mathrm{L}}$$S_{\mathrm{L}}$S_(L)S_{\mathrm{L}} . Поле ${\partial }_{x}U(x)$${\partial }_{x}U(x)$del_(x)U(x)\partial_{x} U(x) не позволяет частицам проникать через область $S_{\mathrm{int}}$$S_{\mathrm{int}}$S_(int)S_{\mathrm{int}} и поворачивает их в противоположном направлении. Для плоских волн такое поведение можно легко увидеть в случае слабых внешних полей (но все же достаточно сильных, $\delta U>2{\pi }_{\perp }$$\delta U>2{\pi }_{\perp }$delta U > 2pi_(_|_)\delta U>2 \pi_{\perp} , чтобы обеспечить существование диапазона ${\mathrm{\Omega }}_3$${\mathrm{\Omega }}_3$Omega_(3)\Omega_{3} ) с использованием полуклассической аппроксимации. Если $N_m^{\text{cr}}$$N_m^{\text{cr }}$N_(m)^("cr ")N_{m}^{\text {cr }} стремится к нулю, то ${\left|g(+{|}^{-})\right|}^2\to \mathrm{\infty }$${\left|g\left(+{\left.\right|}^{-}\right)\right|}^2\to \mathrm{\infty }$|g(+|^(-))|^(2)rarr oo\left|g\left(+\left.\right|^{-}\right)\right|^{2} \rightarrow \infty и, в то же время, ${\left|g(+{|}^{+})\right|}^2\to \mathrm{\infty }$${\left|g\left(+{\left.\right|}^{+}\right)\right|}^2\to \mathrm{\infty }$|g(+|^(+))|^(2)rarr oo\left|g\left(+\left.\right|^{+}\right)\right|^{2} \rightarrow \infty в соответствии с соотношением (25). Отношения (21) подразумевают, что для произвольного $m\in {\mathrm{\Omega }}_3$$m\in {\mathrm{\Omega }}_3$m inOmega_(3)m \in \Omega_{3} плотности магнонов ${|{}_{\zeta }{\varphi }_m(X)|}^2$${\left|{}_{\zeta }{\varphi }_m(X)\right|}^2$|_(zeta)phi_(m)(X)|^(2)\left|{ }_{\zeta} \phi_{m}(X)\right|^{2} сосредоточены в области $S_{\mathrm{R}}$$S_{\mathrm{R}}$S_(R)S_{\mathrm{R}} , в то время как плотности антимагнонов ${\left|{}^{\zeta }{\varphi }_m\right|}^2$${\left|{}^{\zeta }{\varphi }_m\right|}^2$|^(zeta)phi_(m)|^(2)\left|{ }^{\zeta} \phi_{m}\right|^{2} сосредоточены в области $S_{\mathrm{L}}$$S_{\mathrm{L}}$S_(L)S_{\mathrm{L}} .

In the general case when the quantities $N_m^{cr}$$N_m^{cr}$N_(m)^(cr)N_{m}^{c r} are not small, it is natural to expect a similar behavior, namely: the region $S_{\mathrm{L}}$$S_{\mathrm{L}}$S_(L)S_{\mathrm{L}} is not available for magnons, and the region $S_{\mathrm{R}}$$S_{\mathrm{R}}$S_(R)S_{\mathrm{R}} is not available for antimagnons. However, when the quantities $N_m^{\mathrm{cr}}$$N_m^{\mathrm{cr}}$N_(m)^(cr)N_{m}^{\mathrm{cr}} are not small, the latter property may hold only for the corresponding wave packets, but not for
В общем случае, когда величины $N_m^{cr}$$N_m^{cr}$N_(m)^(cr)N_{m}^{c r} не малы, естественно ожидать аналогичного поведения, а именно: область $S_{\mathrm{L}}$$S_{\mathrm{L}}$S_(L)S_{\mathrm{L}} недоступна для магнонов, а область $S_{\mathrm{R}}$$S_{\mathrm{R}}$S_(R)S_{\mathrm{R}} недоступна для антимагнонов. Однако, когда величины $N_m^{\mathrm{cr}}$$N_m^{\mathrm{cr}}$N_(m)^(cr)N_{m}^{\mathrm{cr}} не малы, последнее свойство может выполняться только для соответствующих волновых пакетов, но не для
the separate plane waves. That means that these plane waves may be different from zero in the whole space. Namely this fact leads often to a misinterpretation, since the behavior of these plane waves looks like the one in the ranges ${\mathrm{\Omega }}_1$${\mathrm{\Omega }}_1$Omega_(1)\Omega_{1} and ${\mathrm{\Omega }}_5$${\mathrm{\Omega }}_5$Omega_(5)\Omega_{5}, where they represent one-particle densities both in the region $S_{\mathrm{L}}$$S_{\mathrm{L}}$S_(L)S_{\mathrm{L}} and $S_{\mathrm{R}}$$S_{\mathrm{R}}$S_(R)S_{\mathrm{R}}. However, this similarity is misleading. Indeed, within our context it is assumed that the magnons and antimagnons in one of corresponding asymptotic regions may occupy quasistationary states, i.e., they should be described by wave packets that pertain their form a sufficiently long time in these regions. Note, that in the ranges ${\mathrm{\Omega }}_1$${\mathrm{\Omega }}_1$Omega_(1)\Omega_{1} and ${\mathrm{\Omega }}_5$${\mathrm{\Omega }}_5$Omega_(5)\Omega_{5}, the sign of the longitudinal momentum $p^{\mathrm{L}/\mathrm{R}}$$p^{\mathrm{L}/\mathrm{R}}$p^(L//R)p^{\mathrm{L} / \mathrm{R}} is related to the sign of the mean energy flux in the region $S_{\mathrm{L}/\mathrm{R}}$$S_{\mathrm{L}/\mathrm{R}}$S_(L//R)S_{\mathrm{L} / \mathrm{R}}. In the range ${\mathrm{\Omega }}_3$${\mathrm{\Omega }}_3$Omega_(3)\Omega_{3} the magnon states ${\zeta }_m$${\zeta }_m$zeta_(m)\zeta_{m} are states with a definite quantum number $p^{\mathrm{L}}$$p^{\mathrm{L}}$p^(L)p^{\mathrm{L}}, whereas the antimagnon states ${}^{\zeta }{\varphi }_m$${}^{\zeta }{\varphi }_m$^(zeta)phi_(m){ }^{\zeta} \phi_{m} are states with a definite quantum number $p^{\mathrm{R}}$$p^{\mathrm{R}}$p^(R)p^{\mathrm{R}}. This fact together with relation (21) implies, for example, that a partial wave $+{\varphi }_m$$+{\varphi }_m$+phi_(m)+\phi_{m} of a magnon, in the region where this particle can really be observed, i.e., in the region $S_R$$S_R$S_(R)S_{R}, is always a superposition of two waves ${}^{+}{\varphi }_m$${}^{+}{\varphi }_m$^(+)phi_(m){ }^{+} \phi_{m} and ${}^{-}{\varphi }_m$${}^{-}{\varphi }_m$^(-)phi_(m){ }^{-} \phi_{m} with opposite signs of the quantum number $p^R$$p^R$p^(R)p^{R}. Thus, the sign of the mean energy flux in the region $S_{\mathrm{R}}$$S_{\mathrm{R}}$S_(R)S_{\mathrm{R}} cannot be related to the sign of an asymptotic momentum in this region. Similarly, one can see, for example, that the partial wave ${}^{+}{\varphi }_m$${}^{+}{\varphi }_m$^(+)phi_(m){ }^{+} \phi_{m} of an antimagnon, in the region $S_{\mathrm{L}}$$S_{\mathrm{L}}$S_(L)S_{\mathrm{L}}, is always a superposition of two waves with quantum number $p^{\mathrm{L}}$$p^{\mathrm{L}}$p^(L)p^{\mathrm{L}} of opposite signs and, therefore, the sign of the mean energy flux cannot be related to the sign of an asymptotic momentum in the region where this particle can really be observed. However, as it will be demonstrated, these are states with well-defined asymptotic energy flux and, therefore, with a corresponding well-defined asymptotic field momentum. Namely, these properties of the constituent plane waves are responsible for the fact that stable magnon wave packets can exist only in the region $S_{\mathrm{R}}$$S_{\mathrm{R}}$S_(R)S_{\mathrm{R}}, whereas stable antimagnon wave packets can exist only in the region $S_{\mathrm{L}}$$S_{\mathrm{L}}$S_(L)S_{\mathrm{L}}; see appendix D in Ref. 14] for details.
отдельные плоские волны. Это означает, что эти плоские волны могут отличаться от нуля в пространстве. А именно этот факт часто приводит к неправильной интерпретации, поскольку поведение этих плоских волн похоже на поведение в диапазонах ${\mathrm{\Omega }}_1$${\mathrm{\Omega }}_1$Omega_(1)\Omega_{1} и ${\mathrm{\Omega }}_5$${\mathrm{\Omega }}_5$Omega_(5)\Omega_{5} , где они представляют собой однопартинные плотности как в области $S_{\mathrm{L}}$$S_{\mathrm{L}}$S_(L)S_{\mathrm{L}} , так и в области $S_{\mathrm{R}}$$S_{\mathrm{R}}$S_(R)S_{\mathrm{R}} . Однако это сходство вводит в заблуждение. Действительно, в нашем контексте предполагается, что магноны и антимагноны в одной из соответствующих асимптотических областей могут занимать квазистационарные состояния, т.е. они должны описываться волновыми пакетами, которые сохраняют свою форму достаточно долго в этих областях. Обратите внимание, что в диапазонах ${\mathrm{\Omega }}_1$${\mathrm{\Omega }}_1$Omega_(1)\Omega_{1} и ${\mathrm{\Omega }}_5$${\mathrm{\Omega }}_5$Omega_(5)\Omega_{5} знак продольного импульса $p^{\mathrm{L}/\mathrm{R}}$$p^{\mathrm{L}/\mathrm{R}}$p^(L//R)p^{\mathrm{L} / \mathrm{R}} связан со знаком среднего потока энергии в области $S_{\mathrm{L}/\mathrm{R}}$$S_{\mathrm{L}/\mathrm{R}}$S_(L//R)S_{\mathrm{L} / \mathrm{R}} . В диапазоне ${\mathrm{\Omega }}_3$${\mathrm{\Omega }}_3$Omega_(3)\Omega_{3} состояния магнона ${\zeta }_m$${\zeta }_m$zeta_(m)\zeta_{m} являются состояниями с определенным квантовым числом $p^{\mathrm{L}}$$p^{\mathrm{L}}$p^(L)p^{\mathrm{L}} , тогда как состояния антимагнона ${}^{\zeta }{\varphi }_m$${}^{\zeta }{\varphi }_m$^(zeta)phi_(m){ }^{\zeta} \phi_{m} являются состояниями с определенным квантовым числом $p^{\mathrm{R}}$$p^{\mathrm{R}}$p^(R)p^{\mathrm{R}} . Этот факт вместе с соотношением (21) подразумевает, например, что частичная волна $+{\varphi }_m$$+{\varphi }_m$+phi_(m)+\phi_{m} магнона, в области, где эту частицу действительно можно наблюдать, т.е., в области $S_R$$S_R$S_(R)S_{R} , всегда является суперпозицией двух волн ${}^{+}{\varphi }_m$${}^{+}{\varphi }_m$^(+)phi_(m){ }^{+} \phi_{m} и ${}^{-}{\varphi }_m$${}^{-}{\varphi }_m$^(-)phi_(m){ }^{-} \phi_{m} с противоположными знаками квантового числа $p^R$$p^R$p^(R)p^{R} . Таким образом, знак среднего потока энергии в области $S_{\mathrm{R}}$$S_{\mathrm{R}}$S_(R)S_{\mathrm{R}} не может быть связан со знаком асимптотического импульса в этой области. Аналогично, можно увидеть, например, что частичная волна ${}^{+}{\varphi }_m$${}^{+}{\varphi }_m$^(+)phi_(m){ }^{+} \phi_{m} антимагнона, в области $S_{\mathrm{L}}$$S_{\mathrm{L}}$S_(L)S_{\mathrm{L}} , всегда является суперпозицией двух волн с квантовым числом $p^{\mathrm{L}}$$p^{\mathrm{L}}$p^(L)p^{\mathrm{L}} противоположных знаков и, следовательно, знак среднего потока энергии не может быть связан со знаком асимптотического импульса в области, где эту частицу действительно можно наблюдать. Однако, как будет продемонстрировано, это состояния с четко определенным асимптотическим потоком энергии и, следовательно, с соответствующим четко определенным асимптотическим полевым импульсом. А именно, эти свойства составных плоских волн ответственны за то, что стабильные пакеты волн магнонов могут существовать только в области $S_{\mathrm{R}}$$S_{\mathrm{R}}$S_(R)S_{\mathrm{R}} , тогда как стабильные пакеты волн антимагнонов могут существовать только в области $S_{\mathrm{L}}$$S_{\mathrm{L}}$S_(L)S_{\mathrm{L}} ; см. приложение D в [Ref. 14] для подробностей.

Taking into account such a space separation of the magnons and antimagnons one can use the one-particle mean values of fluxes, of the kinetic energy, and the magnetic moment, given by Eq. (A23) in appendix A, to differ initial and final states in the range ${\mathrm{\Omega }}_3$${\mathrm{\Omega }}_3$Omega_(3)\Omega_{3}. So if the flux of the magnetic moment and the kinetic energy in the region $S_{\mathrm{R}}$$S_{\mathrm{R}}$S_(R)S_{\mathrm{R}} coincides with the acceleration direction of a magnon in the region $S_{\mathrm{int}}$$S_{\mathrm{int}}$S_(int)S_{\mathrm{int}}, then the state under consideration is a final state of the magnon, since such a particle can only move away from the region $S_{\mathrm{int}}(x\to \mathrm{\infty })$$S_{\mathrm{int}}(x\to \mathrm{\infty })$S_(int)(x rarr oo)S_{\mathrm{int}}(x \rightarrow \infty). And vice versa, if these fluxes are opposite to the acceleration direction of a magnon in the region $S_{\mathrm{int}}$$S_{\mathrm{int}}$S_(int)S_{\mathrm{int}}, then the state under consideration is an initial state of the magnon, since such a particle can only move to the region $S_{\text{int}}$$S_{\text{int }}$S_("int ")S_{\text {int }}. In the case of antimagnons, the direction of the flux of the kinetic energy coincides with the direction of the flux density, but is opposite to the direction of the flux of the magnetic moment. The antimagnons do exist in the region $S_{\mathrm{L}}$$S_{\mathrm{L}}$S_(L)S_{\mathrm{L}} only. Therefore, if the direction of the flux of
Учитывая такое пространственное разделение магнонов и антимагнонов, можно использовать однопартинные средние значения потоков, кинетической энергии и магнитного момента, заданные уравнением (A23) в приложении A, чтобы различать начальные и конечные состояния в диапазоне ${\mathrm{\Omega }}_3$${\mathrm{\Omega }}_3$Omega_(3)\Omega_{3} . Таким образом, если поток магнитного момента и кинетической энергии в области $S_{\mathrm{R}}$$S_{\mathrm{R}}$S_(R)S_{\mathrm{R}} совпадает с направлением ускорения магнона в области $S_{\mathrm{int}}$$S_{\mathrm{int}}$S_(int)S_{\mathrm{int}} , то рассматриваемое состояние является конечным состоянием магнона, поскольку такая частица может только удаляться из области $S_{\mathrm{int}}(x\to \mathrm{\infty })$$S_{\mathrm{int}}(x\to \mathrm{\infty })$S_(int)(x rarr oo)S_{\mathrm{int}}(x \rightarrow \infty) . И наоборот, если эти потоки противоположны направлению ускорения магнона в области $S_{\mathrm{int}}$$S_{\mathrm{int}}$S_(int)S_{\mathrm{int}} , то рассматриваемое состояние является начальным состоянием магнона, поскольку такая частица может только двигаться в область $S_{\text{int}}$$S_{\text{int }}$S_("int ")S_{\text {int }} . В случае антимагнонов направление потока кинетической энергии совпадает с направлением плотности потока, но противоположно направлению потока магнитного момента. Антимагноны существуют только в области $S_{\mathrm{L}}$$S_{\mathrm{L}}$S_(L)S_{\mathrm{L}} . Поэтому, если направление потока
the kinetic energy in the region $S_{\mathrm{L}}$$S_{\mathrm{L}}$S_(L)S_{\mathrm{L}} coincides with the acceleration direction of the antimagnon in the region $S_{\mathrm{int}}$$S_{\mathrm{int}}$S_(int)S_{\mathrm{int}}, then the state under consideration is the final state of an antimagnon. And vice versa, if the direction of the flux of the kinetic energy in the region $S_{\mathrm{L}}$$S_{\mathrm{L}}$S_(L)S_{\mathrm{L}} is opposite to the acceleration direction of an antimagnon in the region $S_{\mathrm{int}}$$S_{\mathrm{int}}$S_(int)S_{\mathrm{int}}, then the state under consideration is an initial state of an antimagnon. Namely in such a manner initial and final states in Eq. (32) are defined.
Кинетическая энергия в области $S_{\mathrm{L}}$$S_{\mathrm{L}}$S_(L)S_{\mathrm{L}} совпадает с направлением ускорения антимагнона в области $S_{\mathrm{int}}$$S_{\mathrm{int}}$S_(int)S_{\mathrm{int}} , тогда рассматриваемое состояние является конечным состоянием антимагнона. И наоборот, если направление потока кинетической энергии в области $S_{\mathrm{L}}$$S_{\mathrm{L}}$S_(L)S_{\mathrm{L}} противоположно направлению ускорения антимагнона в области $S_{\mathrm{int}}$$S_{\mathrm{int}}$S_(int)S_{\mathrm{int}} , тогда рассматриваемое состояние является начальным состоянием антимагнона. Именно таким образом определяются начальные и конечные состояния в уравнении (32).

In the preceding section, we used representations (44) to calculate the differential mean number of magnonantimagnon pairs created from the vacuum only. However, one can obtain additional characteristics of the vacuum instability. This section is devoted to their study.
В предыдущем разделе мы использовали представления (44) для расчета дифференциального среднего числа пар магнонов-антимагнонов, созданных только из вакуума. Однако можно получить дополнительные характеристики нестабильности вакуума. Этот раздел посвящен их изучению.

The probability of the transition from the vacuum $\mid 0$$\mid 0$∣0\mid 0, in $⟩$$⟩$:)\rangle to the vacuum $\mid 0$$\mid 0$∣0\mid 0, out $⟩$$⟩$:)\rangle,
Вероятность перехода от вакуума $\mid 0$$\mid 0$∣0\mid 0 , в $⟩$$⟩$:)\rangle к вакууму $\mid 0$$\mid 0$∣0\mid 0 , из $⟩$$⟩$:)\rangle ,

is related to the mean numbers $N_m^{cr}$$N_m^{cr}$N_(m)^(cr)N_{m}^{c r} as
связано со средними числами $N_m^{cr}$$N_m^{cr}$N_(m)^(cr)N_{m}^{c r} как

see appendix A in Ref. [14] for details. However, this probability can be represented via the imaginary part of a one-loop effective action $S$$S$SS by the seminal Schwinger formula [4],
см. приложение A в Ref. [14] для подробностей. Однако эта вероятность может быть представлена через мнимую часть эффективного действия с одной петлей $S$$S$SS по знаменитой формуле Швингера [4],

A relation of this representation with the one that follows from the locally constant field approximation for the Schwinger’s effective action was found in Ref. [21]. The probabilities of the magnon reflection and the magnonantimagnon pair creation can be expressed via the mean numbers $N_m^{\mathrm{cr}}$$N_m^{\mathrm{cr}}$N_(m)^(cr)N_{m}^{\mathrm{cr}} as follows:
Связь этого представления с тем, которое следует из приближения локально постоянного поля для эффективного действия Швингера, была найдена в работе [21]. Вероятности отражения магнона и создания пары магнон-антимагнон могут быть выражены через средние числа $N_m^{\mathrm{cr}}$$N_m^{\mathrm{cr}}$N_(m)^(cr)N_{m}^{\mathrm{cr}} следующим образом:

The probabilities of the antimagnon reflection and the magnon-antimagnon pair annihilation coincide with the quantities $P(+\mid +)$$P(+\mid +)$P(+∣+)P(+\mid+) and $P(+-\mid 0)$$P(+-\mid 0)$P(+-∣0)P(+-\mid 0), respectively. In the case of bosons in a given state $m$$m$mm any number of pairs can be created from the vacuum and from the one particle state. By this reason probabilities (48) are not representative if the mean numbers $N_m^{cr}$$N_m^{cr}$N_(m)^(cr)N_{m}^{c r} are large. In the partial state with a given $m$$m$mm the probability of the creation of any pairs with given $m$$m$mm is $1-p_m$$1-p_m$1-p_(m)1-p_{m} where $p_m$$p_m$p_(m)p_{m} is the probability that the partial vacuum state remains a
Вероятности отражения антимагнона и аннигиляции пары магнон-антимагнон совпадают с величинами $P(+\mid +)$$P(+\mid +)$P(+∣+)P(+\mid+) и $P(+-\mid 0)$$P(+-\mid 0)$P(+-∣0)P(+-\mid 0) соответственно. В случае бозонов в данном состоянии $m$$m$mm любое количество пар может быть создано из вакуума и из состояния одной частицы. По этой причине вероятности (48) не являются репрезентативными, если средние числа $N_m^{cr}$$N_m^{cr}$N_(m)^(cr)N_{m}^{c r} велики. В частичном состоянии с данным $m$$m$mm вероятность создания любых пар с заданным $m$$m$mm равна $1-p_m$$1-p_m$1-p_(m)1-p_{m} , где $p_m$$p_m$p_(m)p_{m} — это вероятность того, что частичное вакуумное состояние остается a
vacuum, given by Eq. (46). If all the mean numbers $N_m^{\mathrm{cr}}$$N_m^{\mathrm{cr}}$N_(m)^(cr)N_{m}^{\mathrm{cr}} are sufficiently small, $N_m^{cr}\ll 1$$N_m^{cr}\ll 1$N_(m)^(cr)≪1N_{m}^{c r} \ll 1, then the simple relations $p_m\approx 1-N_m^{\mathrm{cr}}$$p_m\approx 1-N_m^{\mathrm{cr}}$p_(m)~~1-N_(m)^(cr)p_{m} \approx 1-N_{m}^{\mathrm{cr}} and $1-P_v\approx N^{\mathrm{cr}}\ll 1$$1-P_v\approx N^{\mathrm{cr}}\ll 1$1-P_(v)~~N^(cr)≪11-P_{v} \approx N^{\mathrm{cr}} \ll 1 hold true in the leading approximation. In this case $P(+\mid +{)}_{m,m}\approx 1$$P(+\mid +{)}_{m,m}\approx 1$P(+∣+)_(m,m)~~1P(+\mid+)_{m, m} \approx 1 and $P(+-\mid 0{)}_{m,m}\approx N_m^{\mathrm{cr}}$$P(+-\mid 0{)}_{m,m}\approx N_m^{\mathrm{cr}}$P(+-∣0)_(m,m)~~N_(m)^(cr)P(+-\mid 0)_{m, m} \approx N_{m}^{\mathrm{cr}}. Therefore, information about the quantity $P_v$$P_v$P_(v)P_{v} allows one to estimate the total number $N^{\mathrm{cr}}$$N^{\mathrm{cr}}$N^(cr)N^{\mathrm{cr}}. It is in this case that the Schwinger’s effective action approach [4] to calculating $P_v$$P_v$P_(v)P_{v} turns out to be useful. We note that this approach is a base of a number of approximation methods; see, e.g., Ref. 22] for a review. In this relation, it should be noted that the probability $P_v$$P_v$P_(v)P_{v} by itself is not very useful in the case of strong fields when $P_v\ll 1$$P_v\ll 1$P_(v)≪1P_{v} \ll 1.
вакуум, заданный уравнением (46). Если все средние числа $N_m^{\mathrm{cr}}$$N_m^{\mathrm{cr}}$N_(m)^(cr)N_{m}^{\mathrm{cr}} достаточно малы, $N_m^{cr}\ll 1$$N_m^{cr}\ll 1$N_(m)^(cr)≪1N_{m}^{c r} \ll 1 , то простые соотношения $p_m\approx 1-N_m^{\mathrm{cr}}$$p_m\approx 1-N_m^{\mathrm{cr}}$p_(m)~~1-N_(m)^(cr)p_{m} \approx 1-N_{m}^{\mathrm{cr}} и $1-P_v\approx N^{\mathrm{cr}}\ll 1$$1-P_v\approx N^{\mathrm{cr}}\ll 1$1-P_(v)~~N^(cr)≪11-P_{v} \approx N^{\mathrm{cr}} \ll 1 верны в ведущей аппроксимации. В этом случае $P(+\mid +{)}_{m,m}\approx 1$$P(+\mid +{)}_{m,m}\approx 1$P(+∣+)_(m,m)~~1P(+\mid+)_{m, m} \approx 1 и $P(+-\mid 0{)}_{m,m}\approx N_m^{\mathrm{cr}}$$P(+-\mid 0{)}_{m,m}\approx N_m^{\mathrm{cr}}$P(+-∣0)_(m,m)~~N_(m)^(cr)P(+-\mid 0)_{m, m} \approx N_{m}^{\mathrm{cr}} . Следовательно, информация о величине $P_v$$P_v$P_(v)P_{v} позволяет оценить общее число $N^{\mathrm{cr}}$$N^{\mathrm{cr}}$N^(cr)N^{\mathrm{cr}} . Именно в этом случае подход эффективного действия Швингера [4] к вычислению $P_v$$P_v$P_(v)P_{v} оказывается полезным. Мы отмечаем, что этот подход является основой ряда методов аппроксимации; см., например, [22] для обзора. В этом отношении следует отметить, что вероятность $P_v$$P_v$P_(v)P_{v} сама по себе не очень полезна в случае сильных полей, когда $P_v\ll 1$$P_v\ll 1$P_(v)≪1P_{v} \ll 1 .