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第三章 

带对流边界的一维热传导

有对流边界的一维热传导

3.1 引言（概述） 

对于涉及热交换的系统，传热分析的一项基本任务是求出系统中的温度分布，因为它在系统设计和热通量计算中起着基础作用。然而，这项任务能否达到目的，在很大程度上取决于温度分布的空间和时间特征以及系统的规定边界条件
在热力系统中，温度一般可表示为空间坐标 ( x , y , z ) ( x , y , z ) (x,y,z)(x, y, z) 和时间 ( t ) ( t ) (t)(t) 的函数，或
T = T ( x , y , z , t ) T = T ( x , y , z , t ) T=T(x,y,z,t)T=T(x, y, z, t)
如果特定问题中的温度只在 ( x , y , z ) ( x , y , z ) (x,y,z)(x, y, z) 的一个坐标上发生变化，我们就把这样的问题称为一维问题。此外，如果任意位置的温度不随时间变化，则称为稳态问题，否则称为非稳态问题或瞬态问题。
在本章中，我们将讨论具有对流边界的固体内部的一维热传导，包括稳态和瞬态问题。虽然所选的例子看似非常简单，但肯定有助于我们理解传热原理和掌握分析方法。此外，我们还会发现，许多具有重要技术意义的传热问题都可以利用本章所提供的信息进行建模。通过一些典型的例子，我们将展示这些模型在工程系统分析和设计中的应用。

3.2 通过固体壁的稳态热传导

在本节中，我们首先讨论通过单层固体墙壁（包括平面墙壁、圆柱形墙壁和球形墙壁）的热传导，然后扩展到多层固体的情况。接下来，我们考虑了壁面对流，提出了两种流体通过隔墙的传热速率方程，即串联热阻模型，并讨论了该模型的应用，甚至在一些非稳态系统中的应用。最后，我们以内部热源为例，演示了如何处理传导问题。

3.2.1 单层固壁

考虑如图 3.2-1 所示的平面或圆柱形墙壁。 假设墙壁表面分别保持恒温 T 1 T 1 T_(1)T_{1} 和 T 2 ( T 1 ≠ T 2 ) T 2 T 1 ≠ T 2 T_(2)(T_(1)!=T_(2))T_{2}\left(T_{1} \neq T_{2}\right) 、


(a) 平面墙 

(b) 圆柱形壁 
图 3.1-1 穿过实心墙的一维热传导

对于平面壁，在 y y yy 和 z z zz 方向不存在温度梯度；对于圆柱壁，在 θ θ theta\theta 和 z z zz 方向不存在温度梯度。在这些条件下，热传导只沿壁厚方向进行，即
T = T ( x ) or T = T ( r ) T = T ( x )  or  T = T ( r ) T=T(x)quad" or "quad T=T(r)T=T(x) \quad \text { or } \quad T=T(r)
因此，可以在厚度为 d x d x dx\mathrm{d} x 或 d r d r dr\mathrm{d} r 的差分切片的控制体积上进行热平衡。对于无热源的稳态过程，热平衡状态为
Q i n − Q o u t = 0 Q i n − Q o u t = 0 Q_(in)-Q_(out)=0Q_{i n}-Q_{o u t}=0
为了便于比较，我们列出了从建立热平衡方程到最终给出平面壁和圆柱壁的传导率方程的并行步骤如下。
流程  平面墙  圆柱形墙壁 
热平衡方程 
Heat Balance equation| Heat Balance | | :--- | | equation |
 q x A − ( q x A + ∂ q x A ∂ x d x ) = 0 q x A − q x A + ∂ q x A ∂ x d x = 0 q_(x)A-(q_(x)A+(delq_(x)A)/(del x)(d)x)=0q_{x} A-\left(q_{x} A+\frac{\partial q_{x} A}{\partial x} \mathrm{~d} x\right)=0 q r A r − ( q r A r + ∂ q r A r ∂ r d r ) = 0 , A r = 2 π r q r A r − q r A r + ∂ q r A r ∂ r d r = 0 , A r = 2 π r q_(r)A_(r)-(q_(r)A_(r)+(delq_(r)A_(r))/(del r)(d)r)=0,A_(r)=2pi rq_{r} A_{r}-\left(q_{r} A_{r}+\frac{\partial q_{r} A_{r}}{\partial r} \mathrm{~d} r\right)=0, A_{r}=2 \pi r
T T TT 的微分方程
Differential equation of T| Differential | | :--- | | equation of $T$ |
 d q x d x = 0 → d d x ( k d T d x ) = 0 d q x d x = 0 → d d x k d T d x = 0 ((d)q_(x))/((d)x)=0rarr((d))/((d)x)(k((d)T)/((d)x))=0\frac{\mathrm{~d} q_{x}}{\mathrm{~d} x}=0 \rightarrow \frac{\mathrm{~d}}{\mathrm{~d} x}\left(k \frac{\mathrm{~d} T}{\mathrm{~d} x}\right)=0 d r q r d r = 0 → d d r ( k r d T d r ) = 0 d r q r d r = 0 → d d r k r d T d r = 0 ((d)rq_(r))/((d)r)=0rarr((d))/((d)r)(kr((d)T)/((d)r))=0\frac{\mathrm{~d} r q_{r}}{\mathrm{~d} r}=0 \rightarrow \frac{\mathrm{~d}}{\mathrm{~d} r}\left(k r \frac{\mathrm{~d} T}{\mathrm{~d} r}\right)=0
对于 k = k = k=k= 常量  d 2 T d x 2 = 0 d 2 T d x 2 = 0 (d^(2)T)/((d)x^(2))=0\frac{\mathrm{d}^{2} T}{\mathrm{~d} x^{2}}=0 d d r ( r d T d r ) = 0 d d r r d T d r = 0 ((d))/((d)r)(r((d)T)/((d)r))=0\frac{\mathrm{~d}}{\mathrm{~d} r}\left(r \frac{\mathrm{~d} T}{\mathrm{~d} r}\right)=0
边界条件 
Boundary conditions| Boundary | | :--- | | conditions |
 T | x = 0 = T 1 , T | x = δ = T 2 T x = 0 = T 1 , T x = δ = T 2 T|_(x=0)=T_(1),T|_(x=delta)=T_(2)\left.T\right|_{x=0}=T_{1},\left.T\right|_{x=\delta}=T_{2} T | r = R 1 = T 1 , T | r = R 2 = T 2 T r = R 1 = T 1 , T r = R 2 = T 2 T|_(r=R_(1))=T_(1),T|_(r=R_(2))=T_(2)\left.T\right|_{r=R_{1}}=T_{1},\left.T\right|_{r=R_{2}}=T_{2}
温度分布
Temperature distribution| Temperature | | :--- | | distribution |
 T = T 1 − ( T 1 − T 2 ) δ x T = T 1 − T 1 − T 2 δ x T=T_(1)-((T_(1)-T_(2)))/(delta)xT=T_{1}-\frac{\left(T_{1}-T_{2}\right)}{\delta} x T = T 1 − ( T 1 − T 2 ) δ R m ln ⁡ r R 1 T = T 1 − T 1 − T 2 δ R m ln ⁡ r R 1 T=T_(1)-((T_(1)-T_(2)))/(delta)R_(m)ln((r)/(R_(1)))T=T_{1}-\frac{\left(T_{1}-T_{2}\right)}{\delta} R_{m} \ln \frac{r}{R_{1}}
热通量 
Heat flux| Heat flux | | :--- |
 q x = − k d T d x = k ( T 1 − T 2 ) δ q x = − k d T d x = k T 1 − T 2 δ q_(x)=-k((d)T)/((d)x)=k((T_(1)-T_(2)))/(delta)q_{x}=-k \frac{\mathrm{~d} T}{\mathrm{~d} x}=k \frac{\left(T_{1}-T_{2}\right)}{\delta} q r = − k d T d r = k ( T 1 − T 2 ) δ R m r q r = − k d T d r = k T 1 − T 2 δ R m r q_(r)=-k((d)T)/((d)r)=k((T_(1)-T_(2)))/(delta)(R_(m))/(r)q_{r}=-k \frac{\mathrm{~d} T}{\mathrm{~d} r}=k \frac{\left(T_{1}-T_{2}\right)}{\delta} \frac{R_{m}}{r}
热传导率
Rate of heat conduction| Rate of heat | | :--- | | conduction |
 Q x = q x A = A k ( T 1 − T 2 ) δ Q x = q x A = A k T 1 − T 2 δ Q_(x)=q_(x)A=Ak((T_(1)-T_(2)))/(delta)Q_{x}=q_{x} A=A k \frac{\left(T_{1}-T_{2}\right)}{\delta} Q r = q r A r = A m k ( T 1 − T 2 ) δ Q r = q r A r = A m k T 1 − T 2 δ Q_(r)=q_(r)A_(r)=A_(m)k((T_(1)-T_(2)))/(delta)Q_{r}=q_{r} A_{r}=A_{m} k \frac{\left(T_{1}-T_{2}\right)}{\delta}
Processes Plane wall Cylindrical wall "Heat Balance equation" q_(x)A-(q_(x)A+(delq_(x)A)/(del x)(d)x)=0 q_(r)A_(r)-(q_(r)A_(r)+(delq_(r)A_(r))/(del r)(d)r)=0,A_(r)=2pi r "Differential equation of T" ((d)q_(x))/((d)x)=0rarr((d))/((d)x)(k((d)T)/((d)x))=0 ((d)rq_(r))/((d)r)=0rarr((d))/((d)r)(kr((d)T)/((d)r))=0 For k= const (d^(2)T)/((d)x^(2))=0 ((d))/((d)r)(r((d)T)/((d)r))=0 "Boundary conditions" T|_(x=0)=T_(1),T|_(x=delta)=T_(2) T|_(r=R_(1))=T_(1),T|_(r=R_(2))=T_(2) "Temperature distribution" T=T_(1)-((T_(1)-T_(2)))/(delta)x T=T_(1)-((T_(1)-T_(2)))/(delta)R_(m)ln((r)/(R_(1))) "Heat flux" q_(x)=-k((d)T)/((d)x)=k((T_(1)-T_(2)))/(delta) q_(r)=-k((d)T)/((d)r)=k((T_(1)-T_(2)))/(delta)(R_(m))/(r) "Rate of heat conduction" Q_(x)=q_(x)A=Ak((T_(1)-T_(2)))/(delta) Q_(r)=q_(r)A_(r)=A_(m)k((T_(1)-T_(2)))/(delta)| Processes | Plane wall | Cylindrical wall | | :--- | :--- | :--- | | Heat Balance <br> equation | $q_{x} A-\left(q_{x} A+\frac{\partial q_{x} A}{\partial x} \mathrm{~d} x\right)=0$ | $q_{r} A_{r}-\left(q_{r} A_{r}+\frac{\partial q_{r} A_{r}}{\partial r} \mathrm{~d} r\right)=0, A_{r}=2 \pi r$ | | Differential <br> equation of $T$ | $\frac{\mathrm{~d} q_{x}}{\mathrm{~d} x}=0 \rightarrow \frac{\mathrm{~d}}{\mathrm{~d} x}\left(k \frac{\mathrm{~d} T}{\mathrm{~d} x}\right)=0$ | $\frac{\mathrm{~d} r q_{r}}{\mathrm{~d} r}=0 \rightarrow \frac{\mathrm{~d}}{\mathrm{~d} r}\left(k r \frac{\mathrm{~d} T}{\mathrm{~d} r}\right)=0$ | | For $k=$ const | $\frac{\mathrm{d}^{2} T}{\mathrm{~d} x^{2}}=0$ | $\frac{\mathrm{~d}}{\mathrm{~d} r}\left(r \frac{\mathrm{~d} T}{\mathrm{~d} r}\right)=0$ | | Boundary <br> conditions | $\left.T\right\|_{x=0}=T_{1},\left.T\right\|_{x=\delta}=T_{2}$ | $\left.T\right\|_{r=R_{1}}=T_{1},\left.T\right\|_{r=R_{2}}=T_{2}$ | | Temperature <br> distribution | $T=T_{1}-\frac{\left(T_{1}-T_{2}\right)}{\delta} x$ | $T=T_{1}-\frac{\left(T_{1}-T_{2}\right)}{\delta} R_{m} \ln \frac{r}{R_{1}}$ | | Heat flux | $q_{x}=-k \frac{\mathrm{~d} T}{\mathrm{~d} x}=k \frac{\left(T_{1}-T_{2}\right)}{\delta}$ | $q_{r}=-k \frac{\mathrm{~d} T}{\mathrm{~d} r}=k \frac{\left(T_{1}-T_{2}\right)}{\delta} \frac{R_{m}}{r}$ | | Rate of heat <br> conduction | $Q_{x}=q_{x} A=A k \frac{\left(T_{1}-T_{2}\right)}{\delta}$ | $Q_{r}=q_{r} A_{r}=A_{m} k \frac{\left(T_{1}-T_{2}\right)}{\delta}$ |
其中，对于圆柱形壁， δ = R 2 − R 1 δ = R 2 − R 1 delta=R_(2)-R_(1)\delta=R_{2}-R_{1} ，而 R m R m R_(m)R_{m} 是等式 (3.2-11) 所定义的对数平均半径。
根据上述结果，可以得出

(1) 对于跨壁厚的一维稳态传导，平面壁内的温度分布是 x x xx 的线性函数（温度在厚度上呈线性分布），而对于圆柱壁，温度随 r r rr 以非线性方式变化。

(2) 对于平面壁，热通量 q x q x q_(x)q_{x} 和热流率 Q x Q x Q_(x)Q_{x} 在整个厚度上都是恒定的，但对于圆柱壁，由于面积 A r A r A_(r)A_{r} ( = 2 π r L ) ( = 2 π r L ) (=2pi rL)(=2 \pi r L) 的变化，热通量 q r q r q_(r)q_{r} 随 r r rr 的变化而变化，而为了能量守恒，热流率 Q x Q x Q_(x)Q_{x} 保持不变。

(3) 对于平面墙壁和圆柱形墙壁，甚至球形墙壁（见问题 3.5），它们的传导热流率都可以用均匀方程表示为
Q = k A m ( T 1 − T 2 ) δ = ( T 1 − T 2 ) δ / k A m Q = k A m T 1 − T 2 δ = T 1 − T 2 δ / k A m Q=kA_(m)((T_(1)-T_(2)))/(delta)=((T_(1)-T_(2)))/(delta//kA_(m))Q=k A_{m} \frac{\left(T_{1}-T_{2}\right)}{\delta}=\frac{\left(T_{1}-T_{2}\right)}{\delta / k A_{m}}
其中， A m A m A_(m)A_{m} 是墙面的平均面积（与 x x xx 或 r r rr 的法线），基于平均半径 R m R m R_(m)R_{m} ，定义如下
for plane wall: A m = A for cylindrical wall: δ = R 2 − R 1 , R m = ( R 2 − R 1 ) ln ⁡ ( R 2 / R 1 ) , A m = 2 π L R m for spherical wall: δ = R 2 − R 1 , R m = R 1 R 2 , A m = 4 π R m 2  for plane wall:  A m = A  for cylindrical wall:  δ = R 2 − R 1 , R m = R 2 − R 1 ln ⁡ R 2 / R 1 , A m = 2 π L R m  for spherical wall:  δ = R 2 − R 1 , R m = R 1 R 2 , A m = 4 π R m 2 {:[" for plane wall: ",A_(m)=A],[" for cylindrical wall: ",delta=R_(2)-R_(1)","R_(m)=((R_(2)-R_(1)))/(ln(R_(2)//R_(1)))","quadA_(m)=2pi LR_(m)],[" for spherical wall: ",delta=R_(2)-R_(1)","R_(m)=sqrt(R_(1)R_(2))","A_(m)=4piR_(m)^(2)]:}\begin{array}{ll} \text { for plane wall: } & A_{m}=A \\ \text { for cylindrical wall: } & \delta=R_{2}-R_{1}, R_{m}=\frac{\left(R_{2}-R_{1}\right)}{\ln \left(R_{2} / R_{1}\right)}, \quad A_{m}=2 \pi L R_{m} \\ \text { for spherical wall: } & \delta=R_{2}-R_{1}, R_{m}=\sqrt{R_{1} R_{2}}, A_{m}=4 \pi R_{m}^{2} \end{array}
需要注意的是，方程 (3.2-9) 适用于导热系数 k k kk 恒定的情况（随位置和温度变化而不变）。对于我们在工程中经常遇到的均质材料， k k kk 不会随位置而改变。然而，温度对 k k kk 的影响总是或多或少地存在。如果必须考虑温度依赖性，我们必须从公式 (3.3-4) 开始，推导出温度分布和热流率的表达式，如下例所示。

例 3.2-1 导热系数可变的热传导

在许多情况下，热导率 k k kk 与温度的关系可用线性函数表示为
k = k 0 [ 1 + β ( T − T 0 ) ] k = k 0 1 + β T − T 0 k=k_(0)[1+beta(T-T_(0))]k=k_{0}\left[1+\beta\left(T-T_{0}\right)\right]
其中 k 0 k 0 k_(0)k_{0} 是参考温度下的热导率值 T 0 ; β T 0 ; β T_(0);betaT_{0} ; \beta 是一个常数（通常很小）。建立通过平面墙的一维稳态热传导的 T T TT 和 Q Q QQ 表达式。

解：继续方程 (3.2-4)
d d x ( k d T d x ) = 0 d d x k d T d x = 0 (d)/((d)x)(k((d)T)/((d)x))=0\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{~d} x}\left(k \frac{\mathrm{~d} T}{\mathrm{~d} x}\right)=0
将 k ( T ) k ( T ) k(T)k(T) 代入并积分，得出
k 0 ( ( T − T 0 ) + β 2 ( T − T 0 ) 2 ) = C 1 x + C 2 k 0 T − T 0 + β 2 T − T 0 2 = C 1 x + C 2 k_(0)((T-T_(0))+(beta)/(2)(T-T_(0))^(2))=C_(1)x+C_(2)k_{0}\left(\left(T-T_{0}\right)+\frac{\beta}{2}\left(T-T_{0}\right)^{2}\right)=C_{1} x+C_{2}
应用边界条件
T | x = 0 = T 1 , T | x = δ = T 2 T x = 0 = T 1 , T x = δ = T 2 T|_(x=0)=T_(1),T|_(x=delta)=T_(2)\left.T\right|_{x=0}=T_{1},\left.T\right|_{x=\delta}=T_{2}
得出的温度分布形式为
( T 1 − T ) ( 1 + β 2 ( T 1 + T − 2 T 0 ) ) = ( T 1 − T 2 ) ( 1 + β 2 ( T 1 + T 2 − 2 T 0 ) ) x δ T 1 − T 1 + β 2 T 1 + T − 2 T 0 = T 1 − T 2 1 + β 2 T 1 + T 2 − 2 T 0 x δ (T_(1)-T)(1+(beta)/(2)(T_(1)+T-2T_(0)))=(T_(1)-T_(2))(1+(beta)/(2)(T_(1)+T_(2)-2T_(0)))(x)/( delta)\left(T_{1}-T\right)\left(1+\frac{\beta}{2}\left(T_{1}+T-2 T_{0}\right)\right)=\left(T_{1}-T_{2}\right)\left(1+\frac{\beta}{2}\left(T_{1}+T_{2}-2 T_{0}\right)\right) \frac{x}{\delta}
当 β = 0 β = 0 beta=0\beta=0 时，简化为
T = T 1 − ( T 1 − T 2 ) δ x T = T 1 − T 1 − T 2 δ x T=T_(1)-((T_(1)-T_(2)))/(delta)xT=T_{1}-\frac{\left(T_{1}-T_{2}\right)}{\delta} x
当 β ≠ 0 β ≠ 0 beta!=0\beta \neq 0 时，我们可以将方程 (E3.2-1) 改写为
[ 1 + β ( T − T 0 ) ] 2 = [ 1 + β ( T 1 − T 0 ) ] 2 ( 1 − x δ ) + [ 1 + β ( T 2 − T 0 ) ] 2 x δ 1 + β T − T 0 2 = 1 + β T 1 − T 0 2 1 − x δ + 1 + β T 2 − T 0 2 x δ [1+beta(T-T_(0))]^(2)=[1+beta(T_(1)-T_(0))]^(2)(1-(x)/( delta))+[1+beta(T_(2)-T_(0))]^(2)(x)/( delta)\left[1+\beta\left(T-T_{0}\right)\right]^{2}=\left[1+\beta\left(T_{1}-T_{0}\right)\right]^{2}\left(1-\frac{x}{\delta}\right)+\left[1+\beta\left(T_{2}-T_{0}\right)\right]^{2} \frac{x}{\delta}
或者，表示 T m = ( T 1 + T 7 ) / 2 T m = T 1 + T 7 / 2 T_(m)=(T_(1)+T_(7))//2T_{m}=\left(T_{1}+T_{7}\right) / 2 ，我们有
[ 1 + β ( T − T 0 ) ] 2 = [ 1 + β ( T 1 − T 0 ) ] 2 − [ 1 + β ( T m − T 0 ) ] 2 β ( T 1 − T 2 ) x δ 1 + β T − T 0 2 = 1 + β T 1 − T 0 2 − 1 + β T m − T 0 2 β T 1 − T 2 x δ [1+beta(T-T_(0))]^(2)=[1+beta(T_(1)-T_(0))]^(2)-[1+beta(T_(m)-T_(0))](2beta(T_(1)-T_(2))x)/(delta)\left[1+\beta\left(T-T_{0}\right)\right]^{2}=\left[1+\beta\left(T_{1}-T_{0}\right)\right]^{2}-\left[1+\beta\left(T_{m}-T_{0}\right)\right] \frac{2 \beta\left(T_{1}-T_{2}\right) x}{\delta}
根据这个表达式，可以很容易地求得温度梯度
d T d x = − ( T 1 − T 2 ) δ [ 1 + β ( T m − T 0 ) ] 1 + β ( T − T 0 ) = − ( T 1 − T 2 ) δ k m k d T d x = − T 1 − T 2 δ 1 + β T m − T 0 1 + β T − T 0 = − T 1 − T 2 δ k m k (dT)/((d)x)=-((T_(1)-T_(2)))/(delta)([1+beta(T_(m)-T_(0))])/(1+beta(T-T_(0)))=-((T_(1)-T_(2)))/(delta)(k_(m))/(k)\frac{\mathrm{d} T}{\mathrm{~d} x}=-\frac{\left(T_{1}-T_{2}\right)}{\delta} \frac{\left[1+\beta\left(T_{m}-T_{0}\right)\right]}{1+\beta\left(T-T_{0}\right)}=-\frac{\left(T_{1}-T_{2}\right)}{\delta} \frac{k_{m}}{k}
其中， k m k m k_(m)k_{m} 是 T m T m T_(m)T_{m} 处的热导率，或
k m = k 0 [ 1 + β ( T 1 + T 2 2 − T 0 ) ] = k 0 [ 1 + β ( T m − T 0 ) ] = k 1 + k 2 2 k m = k 0 1 + β T 1 + T 2 2 − T 0 = k 0 1 + β T m − T 0 = k 1 + k 2 2 k_(m)=k_(0)[1+beta((T_(1)+T_(2))/(2)-T_(0))]=k_(0)[1+beta(T_(m)-T_(0))]=(k_(1)+k_(2))/(2)k_{m}=k_{0}\left[1+\beta\left(\frac{T_{1}+T_{2}}{2}-T_{0}\right)\right]=k_{0}\left[1+\beta\left(T_{m}-T_{0}\right)\right]=\frac{k_{1}+k_{2}}{2}
因此，通过导热系数可变的平面墙壁的热流量可以表示为
Q = − k A d T d x = k m A T 1 − T 2 δ Q = − k A d T d x = k m A T 1 − T 2 δ Q=-kA((d)T)/((d)x)=k_(m)A(T_(1)-T_(2))/(delta)Q=-k A \frac{\mathrm{~d} T}{\mathrm{~d} x}=k_{m} A \frac{T_{1}-T_{2}}{\delta}
我们可以看到，对于平面墙壁的稳态热传导，当 k k kk 与温度有关时，墙壁内部的温度曲线不再呈现线性形式，但如果使用 k m k m k_(m)k_{m} 来考虑温度对热传导的影响，热流率仍与恒定 k k kk 的表达式相似。这一结论适用于圆柱形墙壁。

例 3.2-2 用于测量 k k kk 的参数设计

我们计划在图 3.2-2 所示的系统中测量金属棒的导热性。 该金属棒的高度为 H = 60 mm H = 60 mm H=60mmH=60 \mathrm{~mm} ，直径为 D D DD ，侧表面绝缘良好。它的上表面在 T c = 0 ∘ C T c = 0 ∘ C T_(c)=0^(@)CT_{c}=0^{\circ} \mathrm{C} 处与搅拌过的冰槽接触，而下表面则暴露在搅拌均匀的蓄水池中，水以恒定的质量流量 w w ww 和进入温度 T 1 T 1 T_(1)T_{1} 流过。出口温度 T 2 T 2 T_(2)T_{2} 是在系统达到稳定状态后测量的，由于假定储水池混合良好，下储水池中的流体和杆的下侧表面将被视为具有相同的温度 T 2 T 2 T_(2)T_{2} 。

图 3.2-2 测量 k k kk 的实验系统
建议适当的流量 w w ww 和进水温度 T 1 T 1 T_(1)T_{1} 以及测量 k k kk 的杆直径 D D DD ，其大小为 k ≈ 45 k ≈ 45 k~~45k \approx 45 W / m ⋅ K W / m ⋅ K W//m*K\mathrm{W} / \mathrm{m} \cdot \mathrm{K} 。我们是在设计进行该实验的系统的背景下完成这项工作的。
解决方案：由于测量将在稳态条件下进行，且杆的侧表面隔热良好，因此可以将下表面到上表面的热量传递视为一维热传导问题，因此公式（3.2-8）适用于计算传导率。该系统的热平衡表明，流体在下部储层中损失的热量必须等于传导到上部储层的热量，即
Q = w C p ( T 1 − T 2 ) = k π D 2 4 ( T 2 − T c ) H Q = w C p T 1 − T 2 = k π D 2 4 T 2 − T c H Q=wC_(p)(T_(1)-T_(2))=k(piD^(2))/(4)((T_(2)-T_(c)))/(H)Q=w C_{p}\left(T_{1}-T_{2}\right)=k \frac{\pi D^{2}}{4} \frac{\left(T_{2}-T_{c}\right)}{H}
其中 C p C p C_(p)C_{p} 是水的热容量，假设它与温度无关。

求解 k k kk 后，我们得到 k k kk 的 "设计方程"，其形式为
k = 4 H π D 2 w C p ( T 1 − T 2 ) ( T 2 − T c ) k = 4 H π D 2 w C p T 1 − T 2 T 2 − T c k=(4H)/(piD^(2))wC_(p)((T_(1)-T_(2)))/((T_(2)-T_(c)))k=\frac{4 H}{\pi D^{2}} w C_{p} \frac{\left(T_{1}-T_{2}\right)}{\left(T_{2}-T_{c}\right)}
我们可以自由设置几个运行参数的值。让我们选择
T 1 = 28 ∘ C , w / ρ = 100 mL / min or w = 100 g / min , D = 15 mm T 1 = 28 ∘ C , w / ρ = 100 mL / min  or  w = 100 g / min , D = 15 mm T_(1)=28^(@)C,w//rho=100mL//min" or "w=100g//min,D=15mmT_{1}=28^{\circ} \mathrm{C}, w / \rho=100 \mathrm{~mL} / \mathrm{min} \text { or } w=100 \mathrm{~g} / \mathrm{min}, D=15 \mathrm{~mm}
这些参数很容易在实验室中实现。此外，水是一种方便的 "工作流体"， w w ww 流速很容易通过重力流或使用简单廉价的泵来实现。
通过研究设计方程式，我们可以发现，温度差 ( T 1 − T 2 ) T 1 − T 2 (T_(1)-T_(2))\left(T_{1}-T_{2}\right) 和 ( T 2 − T c ) T 2 − T c (T_(2)-T_(c))\left(T_{2}-T_{c}\right) 必须足够大，以便我们能够对其进行精确测量。如果可以的话，我们应该设计成几十度的温差。
对于 28 ∘ C , C p = 4180 J / kg ⋅ ∘ C 28 ∘ C , C p = 4180 J / kg ⋅ ∘ C 28^(@)C,C_(p)=4180J//kg*^(@)C28^{\circ} \mathrm{C}, C_{p}=4180 \mathrm{~J} / \mathrm{kg} \cdot{ }^{\circ} \mathrm{C} 处的水。重新排列设计方程后，我们发现
( T 1 − T 2 ) ( T 1 − T c ) = ϕ 1 + ϕ = 1.87 × 10 − 2 ( ϕ ≡ π D 2 k 4 H C p w ) T 1 − T 2 T 1 − T c = ϕ 1 + ϕ = 1.87 × 10 − 2 ϕ ≡ π D 2 k 4 H C p w ((T_(1)-T_(2)))/((T_(1)-T_(c)))=(phi)/(1+phi)=1.87 xx10^(-2)quad(phi-=(piD^(2)k)/(4HC_(p)w))\frac{\left(T_{1}-T_{2}\right)}{\left(T_{1}-T_{c}\right)}=\frac{\phi}{1+\phi}=1.87 \times 10^{-2} \quad\left(\phi \equiv \frac{\pi D^{2} k}{4 H C_{p} w}\right)
因此 
T 1 − T 2 = 0.52 ∘ C T 1 − T 2 = 0.52 ∘ C T_(1)-T_(2)=0.52^(@)CT_{1}-T_{2}=0.52^{\circ} \mathrm{C}
显然，这个数值太小，无法进行精确测量。温度变化如此之小的原因在于最初指定的液体流速过大。让我们尝试一个更小的 w w ww 值。选择
w / ρ = 5 mL / min or w = 5 g / min w / ρ = 5 mL / min  or  w = 5 g / min w//rho=5mL//min" or "w=5g//minw / \rho=5 \mathrm{~mL} / \mathrm{min} \text { or } w=5 \mathrm{~g} / \mathrm{min}
我们仍然使用 T c = 0 ∘ C T c = 0 ∘ C T_(c)=0^(@)CT_{c}=0^{\circ} \mathrm{C} ，但将水的入口温度和棒的直径分别增加到
T 1 = 50 ∘ C and D = 20 mm T 1 = 50 ∘ C  and  D = 20 mm T_(1)=50^(@)C" and "D=20mmT_{1}=50^{\circ} \mathrm{C} \text { and } D=20 \mathrm{~mm}
现在我们发现 
( T 1 − T 2 ) ( T 1 − T c ) = ϕ 1 + ϕ = 0.403 T 1 − T 2 T 1 − T c = ϕ 1 + ϕ = 0.403 ((T_(1)-T_(2)))/((T_(1)-T_(c)))=(phi)/(1+phi)=0.403\frac{\left(T_{1}-T_{2}\right)}{\left(T_{1}-T_{c}\right)}=\frac{\phi}{1+\phi}=0.403
因此 
T 1 − T 2 = 20.2 ∘ C , T 2 = T 1 − 20.2 = 29.8 ∘ C T 1 − T 2 = 20.2 ∘ C , T 2 = T 1 − 20.2 = 29.8 ∘ C T_(1)-T_(2)=20.2^(@)C,quadT_(2)=T_(1)-20.2=29.8^(@)CT_{1}-T_{2}=20.2^{\circ} \mathrm{C}, \quad T_{2}=T_{1}-20.2=29.8^{\circ} \mathrm{C}
这是一个 "良好 "的出口温度，尽管 w w ww 偏低。(有时很难控制很低的流速）。这样，系统就可以很好地设计用于研究电导率在此值数量级的金属。
这个设计问题告诉我们，并非所有符合理论的解决方案在技术上都是可行的。对于一个发动机问题，我们需要的是这样一种解决方案，它不仅在原理上是正确的，更重要的是在实践中是可行的。

3.2.2 多层固壁

双层固体：考虑由两个接触的平面固体壁组成的 "复合 "固体（见图 3.2-3），其中外表面的温差（ T 1 − T 2 T 1 − T 2 T_(1)-T_(2)T_{1}-T_{2} ）保持不变，且这对壁内的温度分布已达到稳定状态。
假设界面温度为 T 12 T 12 T_(12)T_{12} ，我们可以将每面墙的热流率写成以下形式
Q 1 = ( T 1 − T 12 ) δ 1 / k 1 A , Q 2 = ( T 12 − T 2 ) δ 2 / k 2 A Q 1 = T 1 − T 12 δ 1 / k 1 A , Q 2 = T 12 − T 2 δ 2 / k 2 A Q_(1)=((T_(1)-T_(12)))/(delta_(1)//k_(1)A),quadQ_(2)=((T_(12)-T_(2)))/(delta_(2)//k_(2)A)Q_{1}=\frac{\left(T_{1}-T_{12}\right)}{\delta_{1} / k_{1} A}, \quad Q_{2}=\frac{\left(T_{12}-T_{2}\right)}{\delta_{2} / k_{2} A}
由于 Q 1 Q 1 Q_(1)Q_{1} 和 Q 2 Q 2 Q_(2)Q_{2} 沿 x x xx 方向保持不变，而 Q 1 = Q 2 Q 1 = Q 2 Q_(1)=Q_(2)Q_{1}=Q_{2} 在界面处保持不变，因此我们可以得出
Q 1 = Q 2 = Q Q 1 = Q 2 = Q Q_(1)=Q_(2)=QQ_{1}=Q_{2}=Q
导致 
Q = ( T 1 − T 2 ) δ 1 / A k 1 + δ 2 / A k 2 Q = T 1 − T 2 δ 1 / A k 1 + δ 2 / A k 2 Q=((T_(1)-T_(2)))/(delta_(1)//Ak_(1)+delta_(2)//Ak_(2))Q=\frac{\left(T_{1}-T_{2}\right)}{\delta_{1} / A k_{1}+\delta_{2} / A k_{2}}
这就是热传导率的表达式。

图 3.2-3 平面复合材料的热传导

在稳定状态下的双层平面墙。它告诉我们，对于双层平面壁，传导率仍然可以表示为总驱动力与总热阻之比，就像单层壁一样。我们能否将这一概念用于多层固体的传导呢？答案是肯定的。

多层固体：通过与上述类似的过程，我们可以将方程 (3.2.14) 推广到由 n n nn 层壁（包括多层圆柱壁和多层球壁）组成的复合固体的情况，即
Q = ( T 1 − T 2 ) ∑ i = 1 n δ i / A m , i k i n = 1 , 2 , ⋯ Q = T 1 − T 2 ∑ i = 1 n   δ i / A m , i k i n = 1 , 2 , ⋯ Q=((T_(1)-T_(2)))/(sum_(i=1)^(n)delta_(i)//A_(m,i)k_(i))quad n=1,2,cdotsQ=\frac{\left(T_{1}-T_{2}\right)}{\sum_{i=1}^{n} \delta_{i} / A_{m, i} k_{i}} \quad n=1,2, \cdots
其中 T 1 T 1 T_(1)T_{1} 和 T 2 ( < T 1 ) T 2 < T 1 T_(2)( < T_(1))T_{2}\left(<T_{1}\right) 是复合固体外表面的温度，而分母是温度为 T 1 T 1 T_(1)T_{1} 的表面与 T 2 T 2 T_(2)T_{2} 表面之间的所有导电电阻之和。
类似地，公式 (3.2-15) 中的 δ i δ i delta_(i)\delta_{i} 和 k i k i k_(i)k_{i} 分别是第 i i ii 层壁的厚度和导热系数，而 A m , i A m , i A_(m,i)A_{m, i} 是第 i i ii 层圆柱形壁基于对数均值半径的平均面积，或第 i i ii 层球形壁基于平方根均值半径的平均面积。对于 i i ii -th 层圆柱壁或球壁，用 R 1 , i R 1 , i R_(1,i)R_{1, i} 和 R 2 , i R 2 , i R_(2,i)R_{2, i} 分别表示其内半径和外半径，可得

用于圆柱形壁： δ i = R 2 , i − R 1 , i , R m , i = ( R 2 , i − R 1 , i ) ln ⁡ ( R 2 , i / R 1 , i ) , A m , i = 2 π L R m , i δ i = R 2 , i − R 1 , i , R m , i = R 2 , i − R 1 , i ln ⁡ R 2 , i / R 1 , i , A m , i = 2 π L R m , i delta_(i)=R_(2,i)-R_(1,i),quadR_(m,i)=((R_(2,i)-R_(1,i)))/(ln(R_(2,i)//R_(1,i))),quadA_(m,i)=2pi LR_(m,i)\delta_{i}=R_{2, i}-R_{1, i}, \quad R_{m, i}=\frac{\left(R_{2, i}-R_{1, i}\right)}{\ln \left(R_{2, i} / R_{1, i}\right)}, \quad A_{m, i}=2 \pi L R_{m, i}

用于球形壁： δ i = R 2 , i − R 1 , i , R m , i = R 1 , i R 2 , i , A m , i = 4 π R m , i 2 δ i = R 2 , i − R 1 , i , R m , i = R 1 , i R 2 , i , A m , i = 4 π R m , i 2 quaddelta_(i)=R_(2,i)-R_(1,i),quadR_(m,i)=sqrt(R_(1,i)R_(2,i)),quadA_(m,i)=4piR_(m,i)^(2)\quad \delta_{i}=R_{2, i}-R_{1, i}, \quad R_{m, i}=\sqrt{R_{1, i} R_{2, i}}, \quad A_{m, i}=4 \pi R_{m, i}^{2}

用于平面墙： A m , i = A A m , i = A quadA_(m,i)=A\quad A_{m, i}=A
需要指出的是，方程 (3.2-15) 同样适用于部分复合固体。在这种情况下， T 1 T 1 T_(1)T_{1} 和 T 2 T 2 T_(2)T_{2} 是这部分固体外表面的温度，而分母是组成这部分固体的所有层固体的导电电阻之和。这意味着，对于由 n n nn 层壁组成的复合固体，我们最多可以根据方程 (3.2-15) 列出 n n nn 个独立方程。

例 3.2-3 空气层厚度

炉壁的火焰面为 200 毫米的耐火砖 ( k b = 1.52 W / m ⋅ ∘ C ) k b = 1.52 W / m ⋅ ∘ C (k_(b)=1.52(W)//m*^(@)C)\left(k_{b}=1.52 \mathrm{~W} / \mathrm{m} \cdot{ }^{\circ} \mathrm{C}\right) ，外侧包有 6 毫米的钢材 ( k s = 45 W / m ⋅ ∘ C ) k s = 45 W / m ⋅ ∘ C (k_(s)=45(W)//m*^(@)C)\left(k_{s}=45 \mathrm{~W} / \mathrm{m} \cdot{ }^{\circ} \mathrm{C}\right) 。热侧温度为 1150 ∘ C 1150 ∘ C 1150^(@)C1150^{\circ} \mathrm{C} ，冷侧表面温度为 30 ∘ C 30 ∘ C 30^(@)C30^{\circ} \mathrm{C} 。对热流的精确测量表明，通过墙壁的稳定热流量为 826 W / m 2 826 W / m 2 826W//m^(2)826 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} 。
怀疑钢包层与耐火砖分离，留下一层薄薄的空气将这两种材料隔开。如果情况属实，请计算空气膜厚度和包层内侧的温度。使用 k a i r = 0.028 W / m ⋅ ∘ C k a i r = 0.028 W / m ⋅ ∘ C k_(air)=0.028W//m*^(@)Ck_{a i r}=0.028 \mathrm{~W} / \mathrm{m} \cdot{ }^{\circ} \mathrm{C} 表示空气。
解答：这是一个跨复合平面炉壁的稳态传导问题，表面温度已给出。根据公式 (3.2-15)，假设空气层处于停滞状态，则通过炉壁的热流量可表示为
Q = T 1 − T 2 δ b A k b + δ air A k air + δ s A k s or q = Q A = T 1 − T 2 δ b k b + δ air k air + δ s k s Q = T 1 − T 2 δ b A k b + δ air  A k air  + δ s A k s  or  q = Q A = T 1 − T 2 δ b k b + δ air  k air  + δ s k s Q=(T_(1)-T_(2))/((delta_(b))/(Ak_(b))+(delta_("air "))/(Ak_("air "))+(delta_(s))/(Ak_(s)))quad" or "q=(Q)/(A)=(T_(1)-T_(2))/((delta_(b))/(k_(b))+(delta_("air "))/(k_("air "))+(delta_(s))/(k_(s)))Q=\frac{T_{1}-T_{2}}{\frac{\delta_{b}}{A k_{b}}+\frac{\delta_{\text {air }}}{A k_{\text {air }}}+\frac{\delta_{s}}{A k_{s}}} \quad \text { or } q=\frac{Q}{A}=\frac{T_{1}-T_{2}}{\frac{\delta_{b}}{k_{b}}+\frac{\delta_{\text {air }}}{k_{\text {air }}}+\frac{\delta_{s}}{k_{s}}}
由此得出空气层厚度为
δ air = k air ( T 1 − T 2 q − δ b k b − δ s k s ) = 0.028 ( 1150 − 30 826 − 0.2 1.52 − 0.006 45 ) = 0.035 m δ air  = k air  T 1 − T 2 q − δ b k b − δ s k s = 0.028 1150 − 30 826 − 0.2 1.52 − 0.006 45 = 0.035 m delta_("air ")=k_("air ")((T_(1)-T_(2))/(q)-(delta_(b))/(k_(b))-(delta_(s))/(k_(s)))=0.028((1150-30)/(826)-(0.2)/(1.52)-(0.006)/(45))=0.035m\delta_{\text {air }}=k_{\text {air }}\left(\frac{T_{1}-T_{2}}{q}-\frac{\delta_{b}}{k_{b}}-\frac{\delta_{s}}{k_{s}}\right)=0.028\left(\frac{1150-30}{826}-\frac{0.2}{1.52}-\frac{0.006}{45}\right)=0.035 \mathrm{~m}
空气膜的实际厚度将大于 δ a r δ a r delta_(ar)\delta_{a r} ，因为间隙中空气的自然流动会增强热传导，这相当于增加了热导率 k air k air  k_("air ")k_{\text {air }} 。
用 T T TT 表示内侧温度，我们得出
q = T − T 2 δ s / k s or T = q δ s k s + T 2 = 826 0.006 45 + 30 = 30.11 ∘ C q = T − T 2 δ s / k s  or  T = q δ s k s + T 2 = 826 0.006 45 + 30 = 30.11 ∘ C q=(T-T_(2))/(delta_(s)//k_(s))quad" or "quad T=q(delta_(s))/(k_(s))+T_(2)=826(0.006)/(45)+30=30.11^(@)Cq=\frac{T-T_{2}}{\delta_{s} / k_{s}} \quad \text { or } \quad T=q \frac{\delta_{s}}{k_{s}}+T_{2}=826 \frac{0.006}{45}+30=30.11^{\circ} \mathrm{C}

3.2.3 流体间通过隔墙传热串联热阻模型

在流程工业中，穿墙热传导通常只是两种流体热交换的中间过程。因此，通过具有对流边界的固体进行热传导具有更重要的技术意义。
考虑从热流体到冷流体的串联传热过程（见图 3.2-4），在该过程中，两种流体被一 个平面固体板隔开。该串联过程由三个子过程组成，即热流体向表面的对流传热、通过固体薄片的传导传热和热流体向冷流体的对流传热。

图 3.2-4 两种流体之间的串联传热过程

再次从表面到冷流体的对流。

在稳定状态下，流体温度 T h T h T_(h)T_{h} 和 T c T c T_(c)T_{c} 以及表面温度 T 1 T 1 T_(1)T_{1} 和 T 2 T 2 T_(2)T_{2} 都保持不变。因此，根据对流的牛顿冷却定律和传导的傅里叶定律，每个子过程的热流率可表示为
Q h = ( T h − T 1 ) 1 / h h A , Q 1 − 2 = ( T 1 − T 2 ) δ / k A , Q c = ( T 2 − T c ) 1 / h c A Q h = T h − T 1 1 / h h A , Q 1 − 2 = T 1 − T 2 δ / k A , Q c = T 2 − T c 1 / h c A Q_(h)=((T_(h)-T_(1)))/(1//h_(h)A),Q_(1-2)=((T_(1)-T_(2)))/(delta//kA),Q_(c)=((T_(2)-T_(c)))/(1//h_(c)A)Q_{h}=\frac{\left(T_{h}-T_{1}\right)}{1 / h_{h} A}, Q_{1-2}=\frac{\left(T_{1}-T_{2}\right)}{\delta / k A}, Q_{c}=\frac{\left(T_{2}-T_{c}\right)}{1 / h_{c} A}
由于 Q 1 − 2 Q 1 − 2 Q_(1-2)Q_{1-2} 在整个厚度范围内保持恒定，且热流速率在相界面上是连续的，因此我们可以得到
Q h = Q 1 − 2 = Q c = Q Q h = Q 1 − 2 = Q c = Q Q_(h)=Q_(1-2)=Q_(c)=QQ_{h}=Q_{1-2}=Q_{c}=Q
将上述公式结合起来，就可以得到该串联过程的热流速率表达式，即
Q = ( T h − T c ) 1 / h h A + δ / k A + 1 / h c A Q = T h − T c 1 / h h A + δ / k A + 1 / h c A Q=((T_(h)-T_(c)))/(1//h_(h)A+delta//kA+1//h_(c)A)Q=\frac{\left(T_{h}-T_{c}\right)}{1 / h_{h} A+\delta / k A+1 / h_{c} A}
这就是所谓的流体通过隔墙进行热交换的串联热阻模型。
将导电电阻 δ / k A δ / k A delta//kA\delta / k A 替换为 Σ δ i / k l A m , i Σ δ i / k l A m , i Sigmadelta_(i)//k_(l)A_(m,i)\Sigma \delta_{i} / k_{l} A_{m, i} ，该模型将扩展到两种流体被复合固体隔开的情况，即
Q = ( T h − T c ) 1 / h h A h + ∑ δ i / k i A m , i + 1 / h c A c Q = T h − T c 1 / h h A h + ∑ δ i / k i A m , i + 1 / h c A c Q=((T_(h)-T_(c)))/(1//h_(h)A_(h)+sumdelta_(i)//k_(i)A_(m,i)+1//h_(c)A_(c))Q=\frac{\left(T_{h}-T_{c}\right)}{1 / h_{h} A_{h}+\sum \delta_{i} / k_{i} A_{m, i}+1 / h_{c} A_{c}}
其中， A m , i = A A m , i = A A_(m,i)=AA_{m, i}=A 用于平面壁，而对于圆柱形或球形壁， A m , i A m , i A_(m,i)A_{m, i} 是基于对数平均半径或平方根平均半径的平均面积，如公式 (3.2-16) 和 (3.2-17) 所定义。
公式 (3.2-21) 与串联电路的欧姆定律相似，因此通常被称为 "串联热阻模型"。如图 3.2-5 所示，总温差 ( T h − T c ) T h − T c (T_(h)-T_(c))\left(T_{h}-T_{c}\right) 可以看作是串联电路中总电压的对应值，每项热阻可以看作是一个电阻，而热流量则类似于串联电路中的电流，等于总温差除以总热阻。

图 3.2-5 热流与电流的类比

3.2.4 串联热阻模型应用

串联热阻模型在热交换器和其他热系统的传热分析中有着广泛的应用。在下文中，我们将使用该模型分析与热交换器有关的几个问题。

3.2.4.1 总传热系数 (Overall Heat Transfer Coefficient)

在两种流体隔着复合壁进行热交换的过程中，热流率通常以下列格式表示
Q = K A ( T h − T c ) Q = K A T h − T c Q=KA(T_(h)-T_(c))Q=K A\left(T_{h}-T_{c}\right)
其中 K K KK 称为基于面积 A A AA 的总传热系数。

将方程 (3.2-22) 与序列模型方程 (3.2-21) 比较，我们得出
K = ( A h h A h + Σ δ i A k i A m , i + A h c A c ) − 1 K = A h h A h + Σ δ i A k i A m , i + A h c A c − 1 K=((A)/(h_(h)A_(h))+Sigma(delta_(i)A)/(k_(i)A_(m,i))+(A)/(h_(c)A_(c)))^(-1)K=\left(\frac{A}{h_{h} A_{h}}+\Sigma \frac{\delta_{i} A}{k_{i} A_{m, i}}+\frac{A}{h_{c} A_{c}}\right)^{-1}
对于平面墙， A h = A c = A m , i = A A h = A c = A m , i = A A_(h)=A_(c)=A_(m,i)=AA_{h}=A_{c}=A_{m, i}=A ， K K KK 的表达式变为
K = ( 1 h h + Σ δ i k i + 1 h c ) − 1 K = 1 h h + Σ δ i k i + 1 h c − 1 K=((1)/(h_(h))+Sigma(delta_(i))/(k_(i))+(1)/(h_(c)))^(-1)K=\left(\frac{1}{h_{h}}+\Sigma \frac{\delta_{i}}{k_{i}}+\frac{1}{h_{c}}\right)^{-1}
对于圆管（圆柱壁），我们通常选择管子的外表面积 A 0 A 0 A_(0)A_{0} ( = π d 0 L ) = π d 0 L (=pid_(0)L)\left(=\pi d_{0} L\right) 作为 K K KK 的基底面积，因此我们有

和 
Q = K A 0 ( T h − T c ) K = ( 1 h 0 + d 0 2 k ln ⁡ d 0 d i + d 0 h i d i ) − 1 Q = K A 0 T h − T c K = 1 h 0 + d 0 2 k ln ⁡ d 0 d i + d 0 h i d i − 1 {:[Q=KA_(0)(T_(h)-T_(c))],[K=((1)/(h_(0))+(d_(0))/(2k)ln((d_(0))/(d_(i)))+(d_(0))/(h_(i)d_(i)))^(-1)]:}\begin{gathered} Q=K A_{0}\left(T_{h}-T_{c}\right) \\ K=\left(\frac{1}{h_{0}}+\frac{d_{0}}{2 k} \ln \frac{d_{0}}{d_{i}}+\frac{d_{0}}{h_{i} d_{i}}\right)^{-1} \end{gathered}
其中， d 0 d 0 d_(0)d_{0} 和 d i d i d_(i)d_{i} 分别是管子的外径和内径， h 0 h 0 h_(0)h_{0} 或 h i h i h_(i)h_{i} 是与管子外表面或内表面相对应的传热系数， k k kk 是管子材料的导热系数。
根据公式 (3.2-25)，考虑温差 ( T h − T c ) T h − T c (T_(h)-T_(c))\left(T_{h}-T_{c}\right) 沿管子轴线的变化，我们将得出管壳式热交换器的传热方程。

3.2.4.2 固体壁（固壁内温度分布的均匀性）

考虑由平板隔开的两种流体之间的热交换过程，见图 3.2-4。 在稳定状态下，流体温度 T h T h T_(h)T_{h} 和 T c T c T_(c)T_{c} 保持不变。通过前面的讨论，我们知道平板内部的温度从 T 1 T 1 T_(1)T_{1} 线性变化到 T 2 T 2 T_(2)T_{2} 。现在我们想知道 Δ T = ( T 1 − T 2 ) Δ T = T 1 − T 2 Delta T=(T_(1)-T_(2))\Delta T=\left(T_{1}-T_{2}\right) 的大小，因为它表示板内温度分布的均匀性。为了找出作为相关变量函数的 Δ T Δ T Delta T\Delta T ，我们要研究如下形式的串联热阻模型
Q = ( T h − T 1 ) 1 / h h A = ( T 1 − T 2 ) δ / k A = ( T 2 − T c ) 1 / h c A Q = T h − T 1 1 / h h A = T 1 − T 2 δ / k A = T 2 − T c 1 / h c A Q=((T_(h)-T_(1)))/(1//h_(h)A)=((T_(1)-T_(2)))/(delta//kA)=((T_(2)-T_(c)))/(1//h_(c)A)Q=\frac{\left(T_{h}-T_{1}\right)}{1 / h_{h} A}=\frac{\left(T_{1}-T_{2}\right)}{\delta / k A}=\frac{\left(T_{2}-T_{c}\right)}{1 / h_{c} A}
为了抽象出问题的属性，我们假设 h h = h c = h h h = h c = h h_(h)=h_(c)=hh_{h}=h_{c}=h 。将 h h hh 代入模型方程并进行一些代数运算，我们得到
Δ T Δ T f = T 1 − T 2 T h − T c = 1 1 + 1 / Bi Δ T Δ T f = T 1 − T 2 T h − T c = 1 1 + 1 / Bi (Delta T)/(DeltaT_(f))=(T_(1)-T_(2))/(T_(h)-T_(c))=(1)/(1+1//Bi)\frac{\Delta T}{\Delta T_{f}}=\frac{T_{1}-T_{2}}{T_{h}-T_{c}}=\frac{1}{1+1 / \mathrm{Bi}}
其中，Bi 是平板的 Biot 数，定义为
Bi = h ( δ / 2 ) k = ( δ / 2 ) / k 1 / h Bi = h ( δ / 2 ) k = ( δ / 2 ) / k 1 / h Bi=(h(delta//2))/(k)=((delta//2)//k)/(1//h)\mathrm{Bi}=\frac{h(\delta / 2)}{k}=\frac{(\delta / 2) / k}{1 / h}
具有明确的物理意义
Bi = Internal conductive resistance of solid Surface convective resistance of solid Bi =  Internal conductive resistance of solid   Surface convective resistance of solid  Bi=(" Internal conductive resistance of solid ")/(" Surface convective resistance of solid ")\mathrm{Bi}=\frac{\text { Internal conductive resistance of solid }}{\text { Surface convective resistance of solid }}
根据公式 (3.2-28) 和对比奥特数的解释，可以得出板内温度分布的均匀性取决于内部传导电阻与表面对流电阻之比。
图 3.2-6 绘制了 Δ T / Δ T f Δ T / Δ T f Delta T//DeltaT_(f)\Delta T / \Delta T_{f} 随 Bi 变化的曲线，可以看出温度差 Δ T Δ T Delta T\Delta T 随着 Bi 的减小而减小。这说明相对于表面对流电阻，内部传导电阻越小，壁内的温度分布就越均匀，反之亦然。

图 3.2-6 无量纲温差与比奥特数的关系， Bi = h ( δ / 2 ) / k Bi = h ( δ / 2 ) / k Bi=h(delta//2)//k\mathrm{Bi}=h(\delta / 2) / k

在图 3.2-6 中，有两个极端情况具有特殊意义。

如果 Bi << 1 Bi << 1 Bi<<1\mathrm{Bi}<<1 ，我们会看到 Δ T → 0 Δ T → 0 Delta T rarr0\Delta T \rightarrow 0 或 T 1 ≈ T 2 T 1 ≈ T 2 T_(1)~~T_(2)T_{1} \approx T_{2} ，这意味着壁内的温度分布接近均匀。这种情况如图 3.2-7(b) 所示，它告诉我们，对于与周围流体进行热交换的固体体，如果 Bi << 1 Bi << 1 Bi<<1\mathrm{Bi}<<1 ，我们可以忽略其内部传导电阻，将其视为内部温度均匀的体。在工程估算中，我们通常将 Bi < 0.1 Bi < 0.1 Bi < 0.1\mathrm{Bi}<0.1 作为条件，在此条件下，可以认为固体体在与周围流体进行热交换时具有均匀的内部温度。
另一方面，对于 Bi >> 1 Bi >> 1 Bi>>1\mathrm{Bi}>>1 ，我们会看到 Δ T / Δ T f → 1 Δ T / Δ T f → 1 Delta T//DeltaT_(f)rarr1\Delta T / \Delta T_{f} \rightarrow 1 或 T 1 → T h T 1 → T h T_(1)rarrT_(h)T_{1} \rightarrow T_{h} 和 T 2 → T c T 2 → T c T_(2)rarrT_(c)T_{2} \rightarrow T_{c} ，这意味着流体内部的温度分布变得更加均匀，如图 3.2-7© 所示。这一结果给我们的启示是，对于固体和周围流体之间的热交换，如果 Bi >> 1 Bi >> 1 Bi>>1\mathrm{Bi}>>1 ，我们可以忽略其表面电阻，将其表面温度视为流体温度。这就解释了为什么我们通常会在 Bi>>1 或 h → ∞ h → ∞ h rarr ooh \rightarrow \infty 的条件下将固体表面温度设置为流体温度，尤其是在分析瞬态热传导问题时。

图 3.2-7 不同比奥特数下的温度分布， Bi = h ( δ / 2 ) / k Bi = h ( δ / 2 ) / k Bi=h(delta//2)//k\mathrm{Bi}=h(\delta / 2) / k
在设计热交换器时，我们经常需要估算管壁温度，尤其是管壁的平均温度。
让我们继续使用系列模型，其形式为
Q = ( T h − T 1 ) 1 / h h A h = ( T 1 − T 2 ) δ / k A m = ( T 2 − T c ) 1 / h c A c Q = T h − T 1 1 / h h A h = T 1 − T 2 δ / k A m = T 2 − T c 1 / h c A c Q=((T_(h)-T_(1)))/(1//h_(h)A_(h))=((T_(1)-T_(2)))/(delta//kA_(m))=((T_(2)-T_(c)))/(1//h_(c)A_(c))Q=\frac{\left(T_{h}-T_{1}\right)}{1 / h_{h} A_{h}}=\frac{\left(T_{1}-T_{2}\right)}{\delta / k A_{m}}=\frac{\left(T_{2}-T_{c}\right)}{1 / h_{c} A_{c}}
请记住，我们始终使用 T 1 T 1 T_(1)T_{1} 表示热流体附近壁面的温度，使用 T 2 T 2 T_(2)T_{2} 表示冷流体附近壁面的温度。
考虑到热交换器中使用的管子通常壁厚较小 δ δ delta\delta ，我们假定 A 1 ≈ A m ≈ A 2 A 1 ≈ A m ≈ A 2 A_(1)~~A_(m)~~A_(2)A_{1} \approx A_{m} \approx A_{2} ，因此
( T h − T 1 ) 1 / h h ≈ ( T 1 − T 2 ) δ / k ≈ ( T 2 − T c ) 1 / h c T h − T 1 1 / h h ≈ T 1 − T 2 δ / k ≈ T 2 − T c 1 / h c ((T_(h)-T_(1)))/(1//h_(h))~~((T_(1)-T_(2)))/(delta//k)~~((T_(2)-T_(c)))/(1//h_(c))\frac{\left(T_{h}-T_{1}\right)}{1 / h_{h}} \approx \frac{\left(T_{1}-T_{2}\right)}{\delta / k} \approx \frac{\left(T_{2}-T_{c}\right)}{1 / h_{c}}
解方程可得
T 1 − T c T h − T c = h h + 2 h c Bi h h h + h c + 2 h c Bi h , T 2 − T c T h − T c = h h h h + h c + 2 h c Bi h T 1 − T c T h − T c = h h + 2 h c Bi h h h + h c + 2 h c Bi h , T 2 − T c T h − T c = h h h h + h c + 2 h c Bi h (T_(1)-T_(c))/(T_(h)-T_(c))=(h_(h)+2h_(c)Bi_(h))/(h_(h)+h_(c)+2h_(c)Bi_(h)),quad(T_(2)-T_(c))/(T_(h)-T_(c))=(h_(h))/(h_(h)+h_(c)+2h_(c)Bi_(h))\frac{T_{1}-T_{c}}{T_{h}-T_{c}}=\frac{h_{h}+2 h_{c} \mathrm{Bi}_{h}}{h_{h}+h_{c}+2 h_{c} \mathrm{Bi}_{h}}, \quad \frac{T_{2}-T_{c}}{T_{h}-T_{c}}=\frac{h_{h}}{h_{h}+h_{c}+2 h_{c} \mathrm{Bi}_{h}}
将墙壁的平均温度定义为
T w = T 1 + T 2 2 or T w − T c T h − T c = 1 2 ( T 1 − T c T h − T c + T 2 − T c T h − T c ) T w = T 1 + T 2 2  or  T w − T c T h − T c = 1 2 T 1 − T c T h − T c + T 2 − T c T h − T c T_(w)=(T_(1)+T_(2))/(2)" or "(T_(w)-T_(c))/(T_(h)-T_(c))=(1)/(2)((T_(1)-T_(c))/(T_(h)-T_(c))+(T_(2)-T_(c))/(T_(h)-T_(c)))T_{w}=\frac{T_{1}+T_{2}}{2} \text { or } \frac{T_{w}-T_{c}}{T_{h}-T_{c}}=\frac{1}{2}\left(\frac{T_{1}-T_{c}}{T_{h}-T_{c}}+\frac{T_{2}-T_{c}}{T_{h}-T_{c}}\right)
得出 
T w − T c T h − T c = h h + h c Bi h h h + h c + 2 h c Bi h T w − T c T h − T c = h h + h c Bi h h h + h c + 2 h c Bi h (T_(w)-T_(c))/(T_(h)-T_(c))=(h_(h)+h_(c)Bi_(h))/(h_(h)+h_(c)+2h_(c)Bi_(h))\frac{T_{w}-T_{c}}{T_{h}-T_{c}}=\frac{h_{h}+h_{c} \mathrm{Bi}_{h}}{h_{h}+h_{c}+2 h_{c} \mathrm{Bi}_{h}}
其中， Bi h Bi h Bi_(h)\mathrm{Bi}_{h} 是基于传热系数 h h h h h_(h)h_{h} 的比奥特数，或
Bi h = h h ( δ / 2 ) k Bi h = h h ( δ / 2 ) k Bi_(h)=(h_(h)(delta//2))/(k)\mathrm{Bi}_{h}=\frac{h_{h}(\delta / 2)}{k}
请注意，如果需要考虑面积差，上述方程中的 h h , h c h h , h c h_(h),h_(c)h_{h}, h_{c} 和 k k kk 可以分别用 h h A h , h c A c h h A h , h c A c h_(h)A_(h),h_(c)A_(c)h_{h} A_{h}, h_{c} A_{c} 和 k A m k A m kA_(m)k A_{m} 代替。
在工程估算中，通常假定 Bi h = h h ( δ / 2 ) / k << 1 Bi h = h h ( δ / 2 ) / k << 1 Bi_(h)=h_(h)(delta//2)//k<<1\mathrm{Bi}_{h}=h_{h}(\delta / 2) / k<<1 管壁的传导电阻通常远小于对流电阻*，因此方程 (3.2-32) 和 (3.2-34) 简化为
T 1 = T 2 = T n = h h T h + h c T c h h + h c T 1 = T 2 = T n = h h T h + h c T c h h + h c T_(1)=T_(2)=T_(n)=(h_(h)T_(h)+h_(c)T_(c))/(h_(h)+h_(c))T_{1}=T_{2}=T_{n}=\frac{h_{h} T_{h}+h_{c} T_{c}}{h_{h}+h_{c}}
平均壁温与 h c / h h h c / h h h_(c)//h_(h)h_{c} / h_{h} 和 Bi h Bi h Bi_(h)\mathrm{Bi}_{h} 的函数关系如图 3.2-8 所示。

从图 3.2-8 中可以得出以下结论：

(1) 只有当管壁内的传导电阻与对流电阻相当时，才会对 T w T w T_(w)T_{w} 产生明显影响。对于一般的热交换问题，如果 Bi h < 0.1 Bi h < 0.1 Bi_(h) < 0.1\mathrm{Bi}_{h}<0.1 ，如图 3.2-8 所示，我们可以忽略内阻的影响，使用公式 (3.2-26) 估算管壁的平均温度。
图 3.2-8 墙壁平均温度随 h c / h h h c / h h h_(c)//h_(h)h_{c} / h_{h} 和 Bi h Bi h Bi_(h)\mathrm{Bi}_{h} 变化的情况

(2) 如果冷流体侧的传热系数大于热流体侧的传热系数，即 h c > h h h c > h h h_(c) > h_(h)h_{c}>h_{h} ，则壁面的平均温度将更接近冷流体的温度，即 ( T w − T c ) / ( T h − T c ) < 0.5 T w − T c / T h − T c < 0.5 (T_(w)-T_(c))//(T_(h)-T_(c)) < 0.5\left(T_{w}-T_{c}\right) /\left(T_{h}-T_{c}\right)<0.5 。特别是当 h c >> h h h c >> h h h_(c)>>h_(h)h_{c}>>h_{h} 时，我们会得到 T w ≈ T c T w ≈ T c T_(w)~~T_(c)T_{w} \approx T_{c} 。相反，如果 h h >> h c , T w ≈ T h h h >> h c , T w ≈ T h h_(h)>>h_(c),T_(w)~~T_(h)h_{h}>>h_{c}, T_{w} \approx T_{h} 。也就是说， T w T w T_(w)T_{w} 总是更接近于 h h hh 较高一侧的流体温度。

3.2.4.4 换热器的传热强化（换热器传热强化）

在管式热交换器中（见图 3.2-9），管侧和壳侧之间的传热速率可用串联电阻模型描述，其形式为
Q = ( T m − t m ) 1 / h 1 A 1 + δ / k A m + 1 / h 2 A 2 Q = T m − t m 1 / h 1 A 1 + δ / k A m + 1 / h 2 A 2 Q=((T_(m)-t_(m)))/(1//h_(1)A_(1)+delta//kA_(m)+1//h_(2)A_(2))Q=\frac{\left(T_{m}-t_{m}\right)}{1 / h_{1} A_{1}+\delta / k A_{m}+1 / h_{2} A_{2}}
图 3.2-9 管式换热器

在分析热交换器时，通常通过假设 A 1 ≈ A m ≈ A 2 A 1 ≈ A m ≈ A 2 A_(1)~~A_(m)~~A_(2)A_{1} \approx A_{m} \approx A_{2} 和 δ / k < 1 / h δ / k < 1 / h delta//k < 1//h\delta / k<1 / h 将上式简化为以下形式
Q ≈ A m ( T m − t m ) 1 / h 1 + 1 / h 2 or Q = h 1 A m ( T m − t m ) 1 + h 1 / h 2 Q ≈ A m T m − t m 1 / h 1 + 1 / h 2  or  Q = h 1 A m T m − t m 1 + h 1 / h 2 Q~~(A_(m)(T_(m)-t_(m)))/(1//h_(1)+1//h_(2))" or "Q=(h_(1)A_(m)(T_(m)-t_(m)))/(1+h_(1)//h_(2))Q \approx \frac{A_{m}\left(T_{m}-t_{m}\right)}{1 / h_{1}+1 / h_{2}} \text { or } Q=\frac{h_{1} A_{m}\left(T_{m}-t_{m}\right)}{1+h_{1} / h_{2}}
如果我们采取一些改进措施，将 h 1 h 1 h_(1)h_{1} 增至 h 1 ∗ h 1 ∗ h_(1)^(**)h_{1}{ }^{*} ，温差 ( T m − t m T m − t m T_(m)^(-)t_(m)T_{m}{ }^{-} t_{m} ) 相应变为 ( T m − t m ) ∗ T m − t m ∗ (T_(m)^(-)t_(m))^(**)\left(T_{m}{ }^{-} t_{m}\right)^{*} ，在这种情况下，热流量 Q ∗ Q ∗ Q^(**)Q^{*} 将变为
Q ∗ = h 1 ∗ A m ( T m − t m ) ∗ 1 + h 1 ∗ / h 2 Q ∗ = h 1 ∗ A m T m − t m ∗ 1 + h 1 ∗ / h 2 Q^(**)=(h_(1)^(**)A_(m)(T_(m)-t_(m))^(**))/(1+h_(1)^(**)//h_(2))Q^{*}=\frac{h_{1}^{*} A_{m}\left(T_{m}-t_{m}\right)^{*}}{1+h_{1}^{*} / h_{2}}
为了表达 h h hh 的增加所带来的积极影响，我们将传热增强因子 α h α h alpha_(h)\alpha_{h} 定义为单位温差下的热流量比率

将 h 1 ∗ h 1 ∗ h_(1)^(**)h_{1}{ }^{*} 下的内容与 h 1 h 1 h_(1)h_{1} 下的内容进行比较，或者
α h = Q ∗ / ( T m − l m ) ∗ Q / ( T m − t m ) = h 1 ∗ ( 1 + h 1 / h 2 ) ( 1 + h 1 ∗ / h 2 ) h 1 = ( h 1 ∗ / h 1 ) ( 1 + h 1 / h 2 ) 1 + ( h 1 ∗ / h 1 ) ( h 1 / h 2 ) α h = Q ∗ / T m − l m ∗ Q / T m − t m = h 1 ∗ 1 + h 1 / h 2 1 + h 1 ∗ / h 2 h 1 = h 1 ∗ / h 1 1 + h 1 / h 2 1 + h 1 ∗ / h 1 h 1 / h 2 alpha_(h)=(Q^(**)//(T_(m)-l_(m))^(**))/(Q//(T_(m)-t_(m)))=(h_(1)^(**)(1+h_(1)//h_(2)))/((1+h_(1)^(**)//h_(2))h_(1))=((h_(1)^(**)//h_(1))(1+h_(1)//h_(2)))/(1+(h_(1)^(**)//h_(1))(h_(1)//h_(2)))\alpha_{h}=\frac{Q^{*} /\left(T_{m}-l_{m}\right)^{*}}{Q /\left(T_{m}-t_{m}\right)}=\frac{h_{1}^{*}\left(1+h_{1} / h_{2}\right)}{\left(1+h_{1}^{*} / h_{2}\right) h_{1}}=\frac{\left(h_{1}^{*} / h_{1}\right)\left(1+h_{1} / h_{2}\right)}{1+\left(h_{1}^{*} / h_{1}\right)\left(h_{1} / h_{2}\right)}
α h α h alpha_(h)\alpha_{h} 随 ( h 1 ∗ / h 1 ) h 1 ∗ / h 1 (h_(1)^(**)//h_(1))\left(h_{1}^{*} / h_{1}\right) 和 ( h 1 / h 2 ) h 1 / h 2 (h_(1)//h_(2))\left(h_{1} / h_{2}\right) 的变化如图 3.2-10 所示。

图 3.2-10 传热系数 α h α h alpha_(h)\alpha_{h} 随 ( h 1 ∗ / h 1 ) h 1 ∗ / h 1 (h_(1)^(**)//h_(1))\left(h_{1}^{*} / h_{1}\right) 和 ( h 1 / h 2 ) h 1 / h 2 (h_(1)//h_(2))\left(h_{1} / h_{2}\right) 变化的情况

观察图 3.2-10，我们发现 α h α h alpha_(h)\alpha_{h} 总是随着 h 1 ∗ / h 1 h 1 ∗ / h 1 h_(1)^(**)//h_(1)h_{1}^{*} / h_{1} 的增大而增大，但 α h α h alpha_(h)\alpha_{h} 的增大幅度取决于 h 1 / h 2 h 1 / h 2 h_(1)//h_(2)h_{1} / h_{2} 的值，即 h 1 / h 2 h 1 / h 2 h_(1)//h_(2)h_{1} / h_{2} 的值越小，增大幅度就越大。例如，如果增加的传热系数 h 1 ∗ h 1 ∗ h_(1)^(**)h_{1}^{*} 是 h 1 h 1 h_(1)h_{1} 或 h 1 ∗ / h 1 = 3 h 1 ∗ / h 1 = 3 h_(1)^(**)//h_(1)=3h_{1}^{*} / h_{1}=3 的三倍，那么在 h 1 / h 2 = 2 h 1 / h 2 = 2 h_(1)//h_(2)=2h_{1} / h_{2}=2 的情况下，增强系数 α h α h alpha_(h)\alpha_{h} 将仅为 1.3 左右，但在 h 1 / h 2 = 0.5 h 1 / h 2 = 0.5 h_(1)//h_(2)=0.5h_{1} / h_{2}=0.5 的情况下，该系数将增加到 1.8 左右。因此，我们得出结论，要有效提高换热器的总传热率，应首先在 h h hh 较小的一侧采取改进措施。

3.2.4.5 保温层临界半径（保温层临界半径）

蒸汽或热水管主要通过对流向大气散热。为了减少热量损失，需要在管道的热表面使用导热系数很低的衬垫 k 1 k 1 k_(1)k_{1} ，见图 3.2-11。添加隔热衬垫真的能减少热损失吗？要回答这个问题，让我们考虑热损失率 Q Q QQ 与衬垫外半径 R 2 R 2 R_(2)R_{2} 的关系。
对于图 3.2-11 所示的热流体向环境流体的传热过程，串联电阻模型的形式为

图 3.2-11 管道通过衬垫的热损失
Q = ( T h − T c ) 1 / h h A 1 + ( δ / k A m ) 1 − i + ( δ / k A m ) i − 2 + 1 / h c A 2 Q = T h − T c 1 / h h A 1 + δ / k A m 1 − i + δ / k A m i − 2 + 1 / h c A 2 Q=((T_(h)-T_(c)))/(1//h_(h)A_(1)+(delta//kA_(m))_(1-i)+(delta//kA_(m))_(i-2)+1//h_(c)A_(2))Q=\frac{\left(T_{h}-T_{c}\right)}{1 / h_{h} A_{1}+\left(\delta / k A_{m}\right)_{1-\mathrm{i}}+\left(\delta / k A_{m}\right)_{i-2}+1 / h_{c} A_{2}}
其中 
A 1 = 2 π R 1 L , A 2 = 2 π R 2 L ( δ / k A m ) 1 − i − 1 = ( R 1 − R 1 ) k 1 ln ⁡ ( R 1 / R 1 ) 2 π L ( R 1 − R 1 ) = ln ⁡ ( R i / R 1 ) 2 π L k 1 ( δ / k A m ) i − 2 = ( R 2 − R i ) k i ln ⁡ ( R 2 / R i ) 2 π L ( R 2 − R t ) = ln ⁡ ( R 2 / R t ) 2 π L k i A 1 = 2 π R 1 L , A 2 = 2 π R 2 L δ / k A m 1 − i − 1 = R 1 − R 1 k 1 ln ⁡ R 1 / R 1 2 π L R 1 − R 1 = ln ⁡ R i / R 1 2 π L k 1 δ / k A m i − 2 = R 2 − R i k i ln ⁡ R 2 / R i 2 π L R 2 − R t = ln ⁡ R 2 / R t 2 π L k i {:[A_(1)=2piR_(1)L","quadA_(2)=2piR_(2)L],[(delta//kA_(m))_(1-i-1)=((R_(1)-R_(1)))/(k_(1))(ln(R_(1)//R_(1)))/(2pi L(R_(1)-R_(1)))=(ln(R_(i)//R_(1)))/(2pi Lk_(1))],[(delta//kA_(m))_(i-2)=((R_(2)-R_(i)))/(k_(i))(ln(R_(2)//R_(i)))/(2pi L(R_(2)-R_(t)))=(ln(R_(2)//R_(t)))/(2pi Lk_(i))]:}\begin{gathered} A_{1}=2 \pi R_{1} L, \quad A_{2}=2 \pi R_{2} L \\ \left(\delta / k A_{m}\right)_{1-i-1}=\frac{\left(R_{1}-R_{1}\right)}{k_{1}} \frac{\ln \left(R_{1} / R_{1}\right)}{2 \pi L\left(R_{1}-R_{1}\right)}=\frac{\ln \left(R_{i} / R_{1}\right)}{2 \pi L k_{1}} \\ \left(\delta / k A_{m}\right)_{i-2}=\frac{\left(R_{2}-R_{i}\right)}{k_{i}} \frac{\ln \left(R_{2} / R_{i}\right)}{2 \pi L\left(R_{2}-R_{t}\right)}=\frac{\ln \left(R_{2} / R_{t}\right)}{2 \pi L k_{i}} \end{gathered}
将上述项代入即可得出
Q = 2 π L ( T h − T c ) 1 h h R 1 + 1 k 1 ln ⁡ R i R 1 + 1 k i ln ⁡ R 2 R i + 1 h c R 2 Q = 2 π L T h − T c 1 h h R 1 + 1 k 1 ln ⁡ R i R 1 + 1 k i ln ⁡ R 2 R i + 1 h c R 2 Q=(2pi L(T_(h)-T_(c)))/((1)/(h_(h)R_(1))+(1)/(k_(1))ln((R_(i))/(R_(1)))+(1)/(k_(i))ln((R_(2))/(R_(i)))+(1)/(h_(c)R_(2)))Q=\frac{2 \pi L\left(T_{h}-T_{c}\right)}{\frac{1}{h_{h} R_{1}}+\frac{1}{k_{1}} \ln \frac{R_{i}}{R_{1}}+\frac{1}{k_{i}} \ln \frac{R_{2}}{R_{i}}+\frac{1}{h_{c} R_{2}}}
这是滞后蒸汽或热水管道热损失率的表达式。如果没有滞流，则等式将简化为裸露管道的等式
Q 0 = 2 π L ( T h − T c ) 1 h h R 1 + 1 k 1 ln ⁡ R i R 1 + 1 h c R i Q 0 = 2 π L T h − T c 1 h h R 1 + 1 k 1 ln ⁡ R i R 1 + 1 h c R i Q_(0)=(2pi L(T_(h)-T_(c)))/((1)/(h_(h)R_(1))+(1)/(k_(1))ln((R_(i))/(R_(1)))+(1)/(h_(c)R_(i)))Q_{0}=\frac{2 \pi L\left(T_{h}-T_{c}\right)}{\frac{1}{h_{h} R_{1}}+\frac{1}{k_{1}} \ln \frac{R_{i}}{R_{1}}+\frac{1}{h_{c} R_{i}}}
其中我们忽略了外半径对系数 h c h c h_(c)h_{c} 的影响。

公式 (3.2-42) 表明，增加滞后会对 Q Q QQ 产生两方面的影响。一方面，增加散热片会增加热传导的路径长度，从而减少热损失。另一方面，它同时增加了对流的外表面积，导致热损失增加。

神温层第一临界半径 隔热层的第一个 "临界半径"：

为了研究 Q Q QQ 如何取决于 R 2 R 2 R_(2)R_{2} ，我们将 Q Q QQ 与 R 2 R 2 R_(2)R_{2} 进行微分，得到
∂ Q ∂ R 2 = 2 π L ( T h − T c ) ( β k i + ln ⁡ ( R 2 / R i ) + k i / R 2 h c ) 2 ( k i h c − R 2 ) k i R 2 2 ∂ Q ∂ R 2 = 2 π L T h − T c β k i + ln ⁡ R 2 / R i + k i / R 2 h c 2 k i h c − R 2 k i R 2 2 (del Q)/(delR_(2))=(2pi L(T_(h)-T_(c)))/((betak_(i)+ln(R_(2)//R_(i))+k_(i)//R_(2)h_(c))^(2))((k_(i))/(h_(c))-R_(2))(k_(i))/(R_(2)^(2))\frac{\partial Q}{\partial R_{2}}=\frac{2 \pi L\left(T_{h}-T_{c}\right)}{\left(\beta k_{i}+\ln \left(R_{2} / R_{i}\right)+k_{i} / R_{2} h_{c}\right)^{2}}\left(\frac{k_{i}}{h_{c}}-R_{2}\right) \frac{k_{i}}{R_{2}^{2}}
其中 
β = 1 / R 1 h h + ( 1 / k 1 ) ln ⁡ ( R i / R 1 ) β = 1 / R 1 h h + 1 / k 1 ln ⁡ R i / R 1 beta=1//R_(1)h_(h)+(1//k_(1))ln(R_(i)//R_(1))\beta=1 / R_{1} h_{h}+\left(1 / k_{1}\right) \ln \left(R_{i} / R_{1}\right)
公式 (3.2-44) 告诉我们
if R 2 < k i / h c , ∂ Q / ∂ R 2 > 0 ; if R 2 > k i / h c , ∂ Q / ∂ R 2 < 0  if  R 2 < k i / h c , ∂ Q / ∂ R 2 > 0 ; if  R 2 > k i / h c , ∂ Q / ∂ R 2 < 0 " if "R_(2) < k_(i)//h_(c),del Q//delR_(2) > 0"; if "R_(2) > k_(i)//h_(c),del Q//delR_(2) < 0\text { if } R_{2}<k_{i} / h_{c}, \partial Q / \partial R_{2}>0 \text {; if } R_{2}>k_{i} / h_{c}, \partial Q / \partial R_{2}<0
因此 
Q = Q max at R 2 = k i / h c Q = Q max  at  R 2 = k i / h c Q=Q_(max)" at "R_(2)=k_(i)//h_(c)Q=Q_{\max } \text { at } R_{2}=k_{i} / h_{c}
这一结果表明， k i / h c k i / h c k_(i)//h_(c)k_{i} / h_{c} 在决定 Q Q QQ 对 R 2 R 2 R_(2)R_{2} 的依赖性方面起着重要作用。我们把 k i / h c k i / h c k_(i)//h_(c)k_{i} / h_{c} 称为第一个 "临界半径"，并用 R c r 1 R c r 1 R_(cr1)R_{c r 1} 表示，或称
R cr 1 = k i h c R cr 1 = k i h c R_(cr1)=(k_(i))/(h_(c))R_{\mathrm{cr} 1}=\frac{k_{i}}{h_{c}}
据此，我们可以将热损失率与 R 2 R 2 R_(2)R_{2} 的关系描述如下
if R 2 < R cr , R 2 ↑ Q ↑ if R 2 = R cr 1 , Q = Q max if R 2 > R cr 1 , R 2 ↑ Q ↓  if  R 2 < R cr , R 2 ↑ Q ↑  if  R 2 = R cr 1 , Q = Q max  if  R 2 > R cr 1 , R 2 ↑ Q ↓ {:[" if "R_(2) < R_(cr)",",R_(2)uarr Q uarr],[" if "R_(2)=R_(cr1)",",Q=Q_(max)],[" if "R_(2) > R_(cr1)",",R_(2)uarr Q darr]:}\begin{array}{ll} \text { if } R_{2}<R_{\mathrm{cr}}, & R_{2} \uparrow Q \uparrow \\ \text { if } R_{2}=R_{\mathrm{cr1}}, & Q=Q_{\max } \\ \text { if } R_{2}>R_{\mathrm{cr1}}, & R_{2} \uparrow Q \downarrow \end{array}
请注意，只有当 R crl > R i R crl  > R i R_("crl ") > R_(i)R_{\text {crl }}>R_{i} 时， R cr 1 R cr  1 R_("cr "1)R_{\text {cr } 1} 才有意义。

二临界半经 第二个绝缘 "临界半径"：

现在，让我们来研究比率 Q / Q 0 Q / Q 0 Q//Q_(0)Q / Q_{0} 随 R 2 R 2 R_(2)R_{2} 的变化。根据公式

(3.2-42) 和 (3.2-43)，我们可以将 Q / Q 0 Q / Q 0 Q//Q_(0)Q / Q_{0} 写成以下形式
Q Q 0 = ( α + 1 ) m ( α + x − 1 ) m + ln ⁡ x Q Q 0 = ( α + 1 ) m α + x − 1 m + ln ⁡ x (Q)/(Q_(0))=((alpha+1)m)/((alpha+x^(-1))m+ln x)\frac{Q}{Q_{0}}=\frac{(\alpha+1) m}{\left(\alpha+x^{-1}\right) m+\ln x}
其中 
α = h c R i R 1 h h ( 1 + R 1 h h k 1 ln ⁡ R i R 1 ) , m = R c t 1 R t , x = R 2 R i α = h c R i R 1 h h 1 + R 1 h h k 1 ln ⁡ R i R 1 , m = R c t 1 R t , x = R 2 R i alpha=(h_(c)R_(i))/(R_(1)h_(h))(1+(R_(1)h_(h))/(k_(1))ln((R_(i))/(R_(1)))),quad m=(R_(ct1))/(R_(t)),quad x=(R_(2))/(R_(i))\alpha=\frac{h_{c} R_{i}}{R_{1} h_{h}}\left(1+\frac{R_{1} h_{h}}{k_{1}} \ln \frac{R_{i}}{R_{1}}\right), \quad m=\frac{R_{c t 1}}{R_{t}}, \quad x=\frac{R_{2}}{R_{i}}
图 3.2-12 是 Q / Q 0 Q / Q 0 Q//Q_(0)Q / Q_{0} 与 x x xx 在不同 m m mm 和 α = 0.2 α = 0.2 alpha=0.2\alpha=0.2 条件下的对比图，从中我们可以看出

(1) 对于 m = R cr 1 / R l ≤ 1 m = R cr 1 / R l ≤ 1 m=R_(cr1)//R_(l) <= 1m=R_{\mathrm{cr} 1} / R_{l} \leq 1 ，增加滞后总是会减少 Q Q QQ ，滞后确实起到了真正绝缘的作用。

(2) 对于 m = R cr / R 1 > 1 , Q m = R cr / R 1 > 1 , Q m=R_(cr)//R_(1) > 1,Qm=R_{\mathrm{cr}} / R_{1}>1, Q 而言，随着滞后外径 R 2 R 2 R_(2)R_{2} 的增大而增大，并在 R 2 = R cr 1 R 2 = R cr 1 R_(2)=R_(cr1)R_{2}=R_{\mathrm{cr} 1} 时达到最大值。此后，尽管热损失开始减少，但仍高于 Q 0 Q 0 Q_(0)Q_{0} 。为了使热量损失低于 Q 0 Q 0 Q_(0)Q_{0} ， R 2 R 2 R_(2)R_{2} 必须至少超过 Q = Q 0 Q = Q 0 Q=Q_(0)Q=Q_{0} 的半径。这个半径（表示为 R cr 2 R cr 2 R_(cr2)R_{\mathrm{cr} 2} ）被命名为隔热材料的第二个 "临界半径"。

图 3.2-12 比率 Q / Q 0 Q / Q 0 Q//Q_(0)Q / Q_{0} 随 R 2 R 2 R_(2)R_{2} 变化的情况
R cr 2 R cr 2 R_(cr2)R_{\mathrm{cr} 2} 与 R cr 1 R cr 1 R_(cr1)R_{\mathrm{cr} 1} 的关系 ：

将方程 (3.2-47) 改写为
Q Q 0 = ( α + 1 ) m ( α + 1 ) m + ln ⁡ x − m ( 1 − 1 / x ) Q Q 0 = ( α + 1 ) m ( α + 1 ) m + ln ⁡ x − m ( 1 − 1 / x ) (Q)/(Q_(0))=((alpha+1)m)/((alpha+1)m+ln x-m(1-1//x))\frac{Q}{Q_{0}}=\frac{(\alpha+1) m}{(\alpha+1) m+\ln x-m(1-1 / x)}
因为当 R 2 = R cr 2 R 2 = R cr 2 R_(2)=R_(cr2)R_{2}=R_{\mathrm{cr} 2} 时， Q / Q 0 = 1 Q / Q 0 = 1 Q//Q_(0)=1Q / Q_{0}=1 ，所以我们有
ln ⁡ x − m ( 1 − 1 x ) = 0 or x x − 1 ln ⁡ x = m ln ⁡ x − m 1 − 1 x = 0  or  x x − 1 ln ⁡ x = m ln x-m(1-(1)/(x))=0quad" or "quad(x)/(x-1)ln x=m\ln x-m\left(1-\frac{1}{x}\right)=0 \quad \text { or } \quad \frac{x}{x-1} \ln x=m
代入 m = R cr 1 / R i m = R cr 1 / R i m=R_(cr1)//R_(i)m=R_{\mathrm{cr} 1} / R_{i} 和 x = R cr 2 / R i x = R cr 2 / R i x=R_(cr2)//R_(i)x=R_{\mathrm{cr} 2} / R_{i} 即可得出
R cr 2 / R i ( R cr 2 / R i − 1 ) ln ⁡ R cr 2 R i = R cr 1 R i R cr 2 / R i R cr 2 / R i − 1 ln ⁡ R cr 2 R i = R cr 1 R i (R_(cr2)//R_(i))/((R_(cr2)//R_(i)-1))ln((R_(cr2))/(R_(i)))=(R_(cr1))/(R_(i))\frac{R_{\mathrm{cr} 2} / R_{i}}{\left(R_{\mathrm{cr} 2} / R_{i}-1\right)} \ln \frac{R_{\mathrm{cr} 2}}{R_{i}}=\frac{R_{\mathrm{cr} 1}}{R_{i}}
图 3.2-13 绘出了 R cr 2 / R i R cr 2 / R i R_(cr2)//R_(i)R_{\mathrm{cr} 2} / R_{i} 与 R cr 1 / R i R cr 1 / R i R_(cr1)//R_(i)R_{\mathrm{cr} 1} / R_{i} 的函数关系，可以用以下相关关系进行拟合
R cr 2 R i = 1.713 ( R cr 1 R i ) 2 − 1.499 R cr 1 R t + 0.788 R cr 2 R i = 1.713 R cr 1 R i 2 − 1.499 R cr 1 R t + 0.788 (R_(cr2))/(R_(i))=1.713((R_(cr1))/(R_(i)))^(2)-1.499(R_(cr1))/(R_(t))+0.788\frac{R_{\mathrm{cr} 2}}{R_{i}}=1.713\left(\frac{R_{\mathrm{cr} 1}}{R_{i}}\right)^{2}-1.499 \frac{R_{\mathrm{cr} 1}}{R_{t}}+0.788
最后，我们将热损失率与滞后外径 R 2 R 2 R_(2)R_{2} 的关系总结如下。
对于 R i > R cr R i > R cr  R_(i) > R_("cr ")R_{i}>R_{\text {cr }} ：  R 2 ↑ Q ↓ , Q < Q 0 R 2 ↑ Q ↓ , Q < Q 0 R_(2)uarr Q darr,Q < Q_(0)R_{2} \uparrow Q \downarrow, Q<Q_{0}
对于 R i < R cr R i < R cr  R_(i) < R_("cr ")R_{i}<R_{\text {cr }} ：  如果 R 1 < R 2 < R ct 1 , R 2 ↑ Q ↑ , Q > Q 0 R 1 < R 2 < R ct  1 , R 2 ↑ Q ↑ , Q > Q 0 R_(1) < R_(2) < R_("ct "1),quadR_(2)uarr Q uarr,Q > Q_(0)R_{1}<R_{2}<R_{\text {ct } 1}, \quad R_{2} \uparrow Q \uparrow, Q>Q_{0}  
如果 R 2 = R cr , Q = Q max R 2 = R cr , Q = Q max  R_(2)=R_(cr),quad Q=Q_("max ")R_{2}=R_{\mathrm{cr}}, \quad Q=Q_{\text {max }}  
如果 R cr 1 < R 2 < R ct 2 , R 2 ↑ Q ↓ , Q > Q 0 R cr 1 < R 2 < R ct 2 , R 2 ↑ Q ↓ , Q > Q 0 R_(cr1) < R_(2) < R_(ct2),R_(2)uarr Q darr,Q > Q_(0)R_{\mathrm{cr} 1}<R_{2}<R_{\mathrm{ct} 2}, R_{2} \uparrow Q \downarrow, Q>Q_{0}  
如果 R 2 ≥ R r 2 , R 2 ↑ Q ↓ , Q ≤ Q 0 R 2 ≥ R r 2 , R 2 ↑ Q ↓ , Q ≤ Q 0 R_(2) >= R_(r2),quadR_(2)uarr Q darr,Q <= Q_(0)R_{2} \geq R_{\mathrm{r} 2}, \quad R_{2} \uparrow Q \downarrow, Q \leq Q_{0}  
For R_(i) > R_("cr ") : R_(2)uarr Q darr,Q < Q_(0) For R_(i) < R_("cr ") : if R_(1) < R_(2) < R_("ct "1),quadR_(2)uarr Q uarr,Q > Q_(0) if R_(2)=R_(cr),quad Q=Q_("max ") if R_(cr1) < R_(2) < R_(ct2),R_(2)uarr Q darr,Q > Q_(0) if R_(2) >= R_(r2),quadR_(2)uarr Q darr,Q <= Q_(0)| For $R_{i}>R_{\text {cr }}$ : | $R_{2} \uparrow Q \downarrow, Q<Q_{0}$ | | :---: | :---: | | For $R_{i}<R_{\text {cr }}$ : | if $R_{1}<R_{2}<R_{\text {ct } 1}, \quad R_{2} \uparrow Q \uparrow, Q>Q_{0}$ | | | if $R_{2}=R_{\mathrm{cr}}, \quad Q=Q_{\text {max }}$ | | | if $R_{\mathrm{cr} 1}<R_{2}<R_{\mathrm{ct} 2}, R_{2} \uparrow Q \downarrow, Q>Q_{0}$ | | | if $R_{2} \geq R_{\mathrm{r} 2}, \quad R_{2} \uparrow Q \downarrow, Q \leq Q_{0}$ |
图 3.2-13 R cc 2 / R i R cc 2 / R i R_(cc2)//R_(i)R_{\mathrm{cc} 2} / R_{i} 随 R cr 1 / R i R cr 1 / R i R_(cr1)//R_(i)R_{\mathrm{cr} 1} / R_{i} 变化的情况

3.2.5 串联热阻模型在非稳态过程中的应用

考虑如图 3.2-14 所示被隔板隔开的两种流体之间的瞬态传热过程。与稳态不同，此过程中流体温度 T h ( t ) T h ( t ) T_(h)(t)T_{h}(t) 和 T c ( t ) T c ( t ) T_(c)(t)T_{c}(t) 不断变化，因此表面热流速率 Q 1 Q 1 Q_(1)Q_{1} 和 Q 2 Q 2 Q_(2)Q_{2} 成为时间 t t tt 的函数，同时隔板内的温度 T T TT 不仅随位置变化，而且随时间变化。此外， Q 1 Q 1 Q_(1)Q_{1} 不再等于 Q 2 Q 2 Q_(2)Q_{2} ，因为 Q 1 Q 1 Q_(1)Q_{1} 的一部分将在隔板内累积，使其温度升高。根据热平衡，累积率（表示为 Q w Q w Q_(w)Q_{w} ）加上 Q 2 Q 2 Q_(2)Q_{2} 将等于 Q 1 Q 1 Q_(1)Q_{1} ，或
Q 1 ( t ) = Q 2 ( t ) + Q w ( t ) Q 1 ( t ) = Q 2 ( t ) + Q w ( t ) Q_(1)(t)=Q_(2)(t)+Q_(w)(t)Q_{1}(t)=Q_{2}(t)+Q_{w}(t)
在这里，我们不打算为这样的系统建立热流率的一般表达式，而是要讨论在什么条件下串联热阻模型可以应用于这样的系统。

图 3.2-14 被平板隔开的两种流体之间的瞬态传热过程
从式 (3.2-51) 或图 3.2-14 中可以看出，如果只有累积速率 Q w Q w Q_(w)Q_{w} 相对于 Q 2 Q 2 Q_(2)Q_{2} 或 Q 1 Q 1 Q_(1)Q_{1} 小到可以忽略不计，我们可以考虑 Q 1 = Q 2 Q 1 = Q 2 Q_(1)=Q_(2)Q_{1}=Q_{2} 。在此条件下，如果板内的热传导仅沿厚度方向（ x x xx 方向）进行，则任何位置的传导率 Q x Q x Q_(x)Q_{x} 必须等于 Q 1 Q 1 Q_(1)Q_{1} 或 Q 2 Q 2 Q_(2)Q_{2} 。这意味着 Q x Q x Q_(x)Q_{x} 在任何时刻都将在 x x xx 方向保持恒定，或者 Q x Q x Q_(x)Q_{x} 只是时间的函数。将这一结果与傅立叶定律相结合，我们可以得出
Q x = q x A = − k A ∂ T ∂ x = f ( t ) Q x = q x A = − k A ∂ T ∂ x = f ( t ) Q_(x)=q_(x)A=-kA(del T)/(del x)=f(t)Q_{x}=q_{x} A=-k A \frac{\partial T}{\partial x}=f(t)
这表明 T T TT 必须是 x x xx 的线性函数。因此，假设
T = C 1 ( t ) x + C 2 ( t ) T = C 1 ( t ) x + C 2 ( t ) T=C_(1)(t)x+C_(2)(t)T=C_{1}(t) x+C_{2}(t)
并利用边界条件
T = T 1 ( t ) at x = 0 and T = T 2 ( t ) at x = δ T = T 1 ( t )  at  x = 0  and  T = T 2 ( t )  at  x = δ T=T_(1)(t)" at "x=0" and "T=T_(2)(t)" at "x=deltaT=T_{1}(t) \text { at } x=0 \text { and } T=T_{2}(t) \text { at } x=\delta
得出 
T = T 1 ( t ) − T 1 ( t ) − T 2 ( t ) δ x T = T 1 ( t ) − T 1 ( t ) − T 2 ( t ) δ x T=T_(1)(t)-(T_(1)(t)-T_(2)(t))/(delta)xT=T_{1}(t)-\frac{T_{1}(t)-T_{2}(t)}{\delta} x
应用傅里叶定律再次得出
Q x = q x A = − k w A ∂ T ∂ x = k w A T 1 ( t ) − T 2 ( t ) δ = T 1 ( t ) − T 2 ( t ) δ / k w A Q x = q x A = − k w A ∂ T ∂ x = k w A T 1 ( t ) − T 2 ( t ) δ = T 1 ( t ) − T 2 ( t ) δ / k w A Q_(x)=q_(x)A=-k_(w)A(del T)/(del x)=k_(w)A(T_(1)(t)-T_(2)(t))/(delta)=(T_(1)(t)-T_(2)(t))/(delta//k_(w)A)Q_{x}=q_{x} A=-k_{w} A \frac{\partial T}{\partial x}=k_{w} A \frac{T_{1}(t)-T_{2}(t)}{\delta}=\frac{T_{1}(t)-T_{2}(t)}{\delta / k_{w} A}
对于表面的对流传热，牛顿冷却定律得出
Q 1 = T h ( t ) − T 1 ( t ) 1 / h h A and Q 2 = T 2 ( t ) − T c ( t ) 1 / h c A Q 1 = T h ( t ) − T 1 ( t ) 1 / h h A  and  Q 2 = T 2 ( t ) − T c ( t ) 1 / h c A Q_(1)=(T_(h)(t)-T_(1)(t))/(1//h_(h)A)quad" and "quadQ_(2)=(T_(2)(t)-T_(c)(t))/(1//h_(c)A)Q_{1}=\frac{T_{h}(t)-T_{1}(t)}{1 / h_{h} A} \quad \text { and } \quad Q_{2}=\frac{T_{2}(t)-T_{c}(t)}{1 / h_{c} A}
由于 Q x = Q 1 = Q 2 Q x = Q 1 = Q 2 Q_(x)=Q_(1)=Q_(2)Q_{x}=Q_{1}=Q_{2} 在任何时刻都存在，设置 Q x = Q 1 = Q 2 = Q Q x = Q 1 = Q 2 = Q Q_(x)=Q_(1)=Q_(2)=QQ_{x}=Q_{1}=Q_{2}=Q ，我们最终得出
Q ( t ) = T h ( t ) − T c ( t ) 1 / h h A + δ / k A + 1 / h c A Q ( t ) = T h ( t ) − T c ( t ) 1 / h h A + δ / k A + 1 / h c A Q(t)=(T_(h)(t)-T_(c)(t))/(1//h_(h)A+delta//kA+1//h_(c)A)Q(t)=\frac{T_{h}(t)-T_{c}(t)}{1 / h_{h} A+\delta / k A+1 / h_{c} A}
这一结果表明，对于两种流体通过隔板的瞬态传热过程，如果隔板上的热传导是一维的，并且可以忽略隔板内部的热能累积率，则串联热阻模型将适用于这一过程。
此时，一个合乎逻辑的问题是如何评估累积速率 Q w Q w Q_(w)Q_{w} 的大小。为了回答这个问题，我们分别对热流体、冷流体和隔板进行热平衡，得到
for hot fluid Q 1 = − ( m C p ) h ( d T h / d t ) for cold fluid Q 2 = ( m C p ) c ( d T c / d t ) for partition Q 1 − Q 2 = ( m C p ) w ( d T w / d t ) = Q w  for hot fluid  Q 1 = − m C p h d T h / d t  for cold fluid  Q 2 = m C p c d T c / d t  for partition  Q 1 − Q 2 = m C p w d T w / d t = Q w {:[" for hot fluid ",Q_(1)=-(mC_(p))_(h)((d)T_(h)//dt)],[" for cold fluid ",Q_(2)=(mC_(p))_(c)((d)T_(c)//dt)],[" for partition ",Q_(1)-Q_(2)=(mC_(p))_(w)((d)T_(w)//dt)=Q_(w)]:}\begin{array}{ll} \text { for hot fluid } & Q_{1}=-\left(m C_{p}\right)_{h}\left(\mathrm{~d} T_{h} / \mathrm{d} t\right) \\ \text { for cold fluid } & Q_{2}=\left(m C_{p}\right)_{c}\left(\mathrm{~d} T_{c} / \mathrm{d} t\right) \\ \text { for partition } & Q_{1}-Q_{2}=\left(m C_{p}\right)_{w}\left(\mathrm{~d} T_{w} / \mathrm{d} t\right)=Q_{w} \end{array}
其中， ( m C p ) m C p (mC_(p))\left(m C_{p}\right) 是流体或隔板材料的质量与比热容的乘积， T w T w T_(w)T_{w} 是隔板的平均温度，定义为
T w = 1 δ ∫ 0 δ T d x T w = 1 δ ∫ 0 δ   T d x T_(w)=(1)/(delta)int_(0)^(delta)TdxT_{w}=\frac{1}{\delta} \int_{0}^{\delta} T \mathrm{~d} x
由于温度 T h , T w T h , T w T_(h),T_(w)T_{h}, T_{w} 和 T c T c T_(c)T_{c} 在热系统中通常相互依赖，因此它们随时间的变化率必须具有相同的数量级。
因此，我们可以通过比较 ( m C p ) m C p (mC_(p))\left(m C_{p}\right) 的值来评估 Q w Q w Q_(w)Q_{w} 的大小，也就是说，对于给定的问题，如果
( m C p ) w ≪ min { ( m C p ) c , ( m C p ) h } m C p w ≪ min m C p c , m C p h (mC_(p))_(w)≪min{(mC_(p))_(c),(mC_(p))_(h)}\left(m C_{p}\right)_{w} \ll \min \left\{\left(m C_{p}\right)_{c},\left(m C_{p}\right)_{h}\right\}
我们可以认为累积率 Q w Q w Q_(w)Q_{w} 非常小，可以忽略不计，并将串联模型应用到问题中，即通过隔板的热传导仅沿厚度方向进行。

例 3.2-4 窗玻璃的热损失

在寒冷气候条件下，住宅的大部分热量都是通过窗户散失的。假设我们有一个房间，如图 3.2-15 所示，除了面积为 0.6 m 2 0.6 m 2 0.6m^(2)0.6 \mathrm{~m}^{2} 的窗户外，其余部分都是隔热的。房间的尺寸为 2.8 × 4 × 3 = 33.6 m 3 2.8 × 4 × 3 = 33.6 m 3 2.8 xx4xx3=33.6m^(3)2.8 \times 4 \times 3=33.6 \mathrm{~m}^{3} 。房间从 20 ∘ C 20 ∘ C 20^(@)C20^{\circ} \mathrm{C} 冷却到 10 ∘ C 10 ∘ C 10^(@)C10^{\circ} \mathrm{C} 需要多长时间？假设房间内的空气混合均匀，室外温度保持在 − 5 ∘ C − 5 ∘ C -5^(@)C-5^{\circ} \mathrm{C} 。
窗玻璃由 2 毫米玻璃 +0.1 毫米空气 +2 毫米玻璃组成

用于窗户玻璃： k = 0.7 W / m ⋅ K , C p = 670 J / kg ⋅ K , ρ = 2500 kg / m 3 k = 0.7 W / m ⋅ K , C p = 670 J / kg ⋅ K , ρ = 2500 kg / m 3 quad k=0.7W//m*K,C_(p)=670J//kg*K,quad rho=2500kg//m^(3)\quad k=0.7 \mathrm{~W} / \mathrm{m} \cdot \mathrm{K}, C_{p}=670 \mathrm{~J} / \mathrm{kg} \cdot \mathrm{K}, \quad \rho=2500 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}

对于 10 ∘ C : k a r = 0.0255 W / m ⋅ K , C p = 1005 J / kg ⋅ K , ρ = 1.226 kg / m 3 10 ∘ C : k a r = 0.0255 W / m ⋅ K , C p = 1005 J / kg ⋅ K , ρ = 1.226 kg / m 3 10^(@)C:k_(ar)=0.0255W//m*K,C_(p)=1005J//kg*K,quad rho=1.226kg//m^(3)10^{\circ} \mathrm{C}: k_{a r}=0.0255 \mathrm{~W} / \mathrm{m} \cdot \mathrm{K}, C_{p}=1005 \mathrm{~J} / \mathrm{kg} \cdot \mathrm{K}, \quad \rho=1.226 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} 处的空气 
房间一侧为 h h = 10 W / m 2 ⋅ K h h = 10 W / m 2 ⋅ K h_(h)=10W//m^(2)*Kh_{h}=10 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \cdot \mathrm{~K} ，房间外侧为 h c = 20 W / m 2 ⋅ K h c = 20 W / m 2 ⋅ K h_(c)=20W//m^(2)*Kh_{c}=20 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \cdot \mathrm{~K}

解决方案：从室内向室外空气传热是一个瞬态过程，其中
( m C p ) h = 1.226 × 33.6 × 1005 = 41399.6 W / K ( m C p ) w ≈ 2500 × ( 0.004 × 0.6 ) × 670 = 4020 W / K ( m C p ) c = ∞ since T c = const or ( d T c / dt ) = 0 ( m C p ) w / ( m C p ) h = 0.097 m C p h = 1.226 × 33.6 × 1005 = 41399.6 W / K m C p w ≈ 2500 × ( 0.004 × 0.6 ) × 670 = 4020 W / K m C p c = ∞  since  T c =  const or  d T c / dt = 0 m C p w / m C p h = 0.097 {:[(mC_(p))_(h)=1.226 xx33.6 xx1005=41399.6W//K],[(mC_(p))_(w)~~2500 xx(0.004 xx0.6)xx670=4020W//K],[(mC_(p))_(c)=oo" since "T_(c)=" const or "(dT_(c)//dt)=0],[(mC_(p))_(w)//(mC_(p))_(h)=0.097]:}\begin{aligned} & \left(m C_{p}\right)_{h}=1.226 \times 33.6 \times 1005=41399.6 \mathrm{~W} / \mathrm{K} \\ & \left(m C_{p}\right)_{w} \approx 2500 \times(0.004 \times 0.6) \times 670=4020 \mathrm{~W} / \mathrm{K} \\ & \left(m C_{p}\right)_{c}=\infty \text { since } T_{c}=\text { const or }\left(\mathrm{d} T_{c} / \mathrm{dt}\right)=0 \\ & \left(m C_{p}\right)_{w} /\left(m C_{p}\right)_{h}=0.097 \end{aligned}
因此，假设通过窗户的热传导是一维的，我们可以使用串联电阻模型来近似处理，或者说
Q ( t ) = T h ( t ) − T c 1 / h h A + ∑ δ / k A + 1 / h c A = T h ( t ) − T c Σ R Q ( t ) = T h ( t ) − T c 1 / h h A + ∑ δ / k A + 1 / h c A = T h ( t ) − T c Σ R Q(t)=(T_(h)(t)-T_(c))/(1//h_(h)A+sum delta//kA+1//h_(c)A)=(T_(h)(t)-T_(c))/(Sigma R)Q(t)=\frac{T_{h}(t)-T_{c}}{1 / h_{h} A+\sum \delta / k A+1 / h_{c} A}=\frac{T_{h}(t)-T_{c}}{\Sigma R}
图 3.2-15 窗玻璃的热损失
另一方面，室内空气的热平衡给出了
Q = − ( m C p ) h d T h d t Q = − m C p h d T h d t Q=-(mC_(p))_(h)((d)T_(h))/((d)t)Q=-\left(m C_{p}\right)_{h} \frac{\mathrm{~d} T_{h}}{\mathrm{~d} t}
将 Q Q QQ 代入并积分，得出
t = ( m C p ) h Σ R ln ⁡ T h ( 0 ) − T c T h ( t ) − T c t = m C p h Σ R ln ⁡ T h ( 0 ) − T c T h ( t ) − T c t=(mC_(p))_(h)Sigma R ln((T_(h)(0)-T_(c))/(T_(h)(t)-T_(c)))t=\left(m C_{p}\right)_{h} \Sigma R \ln \frac{T_{h}(0)-T_{c}}{T_{h}(t)-T_{c}}
其中 
Σ R = 1 A ( 1 h b + 2 δ k + δ air k arr + 1 h c ) = 1 0.6 ( 1 10 + 2 0.002 0.7 + 0.0001 0.0255 + 1 20 ) = 0.266 ( W / K ) − 1 Σ R = 1 A 1 h b + 2 δ k + δ air  k arr  + 1 h c = 1 0.6 1 10 + 2 0.002 0.7 + 0.0001 0.0255 + 1 20 = 0.266 ( W / K ) − 1 Sigma R=(1)/(A)((1)/(h_(b))+2(delta )/(k)+(delta_("air "))/(k_("arr "))+(1)/(h_(c)))=(1)/(0.6)((1)/(10)+2(0.002)/(0.7)+(0.0001)/(0.0255)+(1)/(20))=0.266(W//K)^(-1)\Sigma R=\frac{1}{A}\left(\frac{1}{h_{b}}+2 \frac{\delta}{k}+\frac{\delta_{\text {air }}}{k_{\text {arr }}}+\frac{1}{h_{c}}\right)=\frac{1}{0.6}\left(\frac{1}{10}+2 \frac{0.002}{0.7}+\frac{0.0001}{0.0255}+\frac{1}{20}\right)=0.266(\mathrm{~W} / \mathrm{K})^{-1}
因此，房间从 20 ∘ C 20 ∘ C 20^(@)C20^{\circ} \mathrm{C} 冷却到 10 ∘ C 10 ∘ C 10^(@)C10^{\circ} \mathrm{C} 所需的时间为
t = ( m C p ) h Σ R ln ⁡ T h ( 0 ) − T c T h ( t ) − T c = 41399.6 × 0.266 ln ⁡ 20 + 5 10 + 5 = 5625.4 s = 1.56 h t = m C p h Σ R ln ⁡ T h ( 0 ) − T c T h ( t ) − T c = 41399.6 × 0.266 ln ⁡ 20 + 5 10 + 5 = 5625.4 s = 1.56 h t=(mC_(p))_(h)Sigma R ln((T_(h)(0)-T_(c))/(T_(h)(t)-T_(c)))=41399.6 xx0.266 ln((20+5)/(10+5))=5625.4s=1.56ht=\left(m C_{p}\right)_{h} \Sigma R \ln \frac{T_{h}(0)-T_{c}}{T_{h}(t)-T_{c}}=41399.6 \times 0.266 \ln \frac{20+5}{10+5}=5625.4 \mathrm{~s}=1.56 \mathrm{~h}
实际所需时间可能长于 1.56 小时，因为室内空气通常没有充分混合。

3.2.6 有内热源的稳态热传导

当电流流经导线时，由于焦耳效应，导线内部会产生热量，从而导致导线中心轴和表面之间的温度分布。这类问题也会出现在内部产生热量的化学或核反应堆中。正如我们所预料的那样，导电介质内部产生的能量会产生不同于简单传导的温度分布。为防止过热造成损坏或确保系统安全运行，有必要确定温度分布和将出现的最高温度。

3.2.6.1 有热源的-维热传导一维模型

我们从圆柱形固体入手，建立了一个具有内发热的一维稳态热传导模型，其中单位体积固体的发热率为 q ˙ ( W / m 3 ) q ˙ W / m 3 q^(˙)((W)//m^(3))\dot{q}\left(\mathrm{~W} / \mathrm{m}^{3}\right) 。
参考图 3.2-16，由于圆柱体的轴对称性，热传导只发生在 r r rr 方向。因此，可以将厚度为 d r d r dr\mathrm{d} r 的圆柱形壳体作为控制体积来进行热平衡，从而得出

图 3.2-16 内部发热的圆柱形固体

或 
q r A r − ( q r A r + d q r A r ) + q ˙ A r d r = 0 d d r ( q r A r ) = q ˙ A r q r A r − q r A r + d q r A r + q ˙ A r d r = 0 d d r q r A r = q ˙ A r {:[q_(r)A_(r)-(q_(r)A_(r)+dq_(r)A_(r))+q^(˙)A_(r)dr=0],[((d))/((d)r)(q_(r)A_(r))=q^(˙)A_(r)]:}\begin{gathered} q_{r} A_{r}-\left(q_{r} A_{r}+\mathrm{d} q_{r} A_{r}\right)+\dot{q} A_{r} \mathrm{~d} r=0 \\ \frac{\mathrm{~d}}{\mathrm{~d} r}\left(q_{r} A_{r}\right)=\dot{q} A_{r} \end{gathered}
插入傅里叶定律并假设 k = k = k=k= 恒定，我们得出
d d r ( A r d T d r ) = − q ˙ k A r d d r A r d T d r = − q ˙ k A r (d)/((d)r)(A_(r)((d)T)/((d)r))=-((q^(˙)))/(k)A_(r)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{~d} r}\left(A_{r} \frac{\mathrm{~d} T}{\mathrm{~d} r}\right)=-\frac{\dot{q}}{k} A_{r}
这是一个带有内部发热 q ˙ q ˙ q^(˙)\dot{q} 的一维稳态热传导一般模型，在不同的坐标系下，它可以简化为一个特定的形式
for ( r − θ − z ) system, A r = 2 π r L : d d r ( r d T d r ) = − q ˙ k r for ( r − θ − ϕ ) system, A r = 4 π r 2 : d d r ( r 2 d T d r ) = − q ˙ k r 2 for ( x − y − z ) system, A r = A x = A : d 2 T d x 2 = − q ˙ k  for  ( r − θ − z )  system,  A r = 2 π r L : d d r r d T d r = − q ˙ k r  for  ( r − θ − ϕ )  system,  A r = 4 π r 2 : d d r r 2 d T d r = − q ˙ k r 2  for  ( x − y − z )  system,  A r = A x = A : d 2 T d x 2 = − q ˙ k {:[" for "(r-theta-z)" system, "A_(r)=2pi rL:,(d)/((d)r)(r((d)T)/((d)r))=-((q^(˙)))/(k)r],[" for "(r-theta-phi)" system, "A_(r)=4pir^(2):,(d)/((d)r)(r^(2)((d)T)/((d)r))=-((q^(˙)))/(k)r^(2)],[" for "(x-y-z)" system, "A_(r)=A_(x)=A:,(d^(2)T)/((d)x^(2))=-((q^(˙)))/(k)]:}\begin{array}{ll} \text { for }(r-\theta-z) \text { system, } A_{r}=2 \pi r L: & \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{~d} r}\left(r \frac{\mathrm{~d} T}{\mathrm{~d} r}\right)=-\frac{\dot{q}}{k} r \\ \text { for }(r-\theta-\phi) \text { system, } A_{r}=4 \pi r^{2}: & \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{~d} r}\left(r^{2} \frac{\mathrm{~d} T}{\mathrm{~d} r}\right)=-\frac{\dot{q}}{k} r^{2} \\ \text { for }(x-y-z) \text { system, } A_{r}=A_{x}=A: & \frac{\mathrm{d}^{2} T}{\mathrm{~d} x^{2}}=-\frac{\dot{q}}{k} \end{array}
请注意，在一般问题中， q ˙ q ˙ q^(˙)\dot{q} 可能是位置的函数。

3.2.6.2 具有均匀内热源的圆柱体导热问题

对于均匀发热的圆柱形固体，即整个固体的 q ˙ = q ˙ = q^(˙)=\dot{q}= 恒定，将方程 (3.2-63a) 积分两次，可得到 T ( r ) T ( r ) T(r)T(r) 的一般解。
T = − q ˙ 4 k r 2 + c 1 ln ⁡ r + c 2 T = − q ˙ 4 k r 2 + c 1 ln ⁡ r + c 2 T=-((q^(˙)))/(4k)r^(2)+c_(1)ln r+c_(2)T=-\frac{\dot{q}}{4 k} r^{2}+c_{1} \ln r+c_{2}
由此将给出与不同边界条件相对应的温度曲线的具体形式。

案例 1：表面温度恒定的圆柱体 T s T s T_(s)T_{s}

在这种情况下，边界条件为
d T d r = 0 at r = 0 , T = T s at r = R d T d r = 0  at  r = 0 , T = T s  at  r = R (dT)/((d)r)=0" at "r=0,quad T=T_(s)" at "r=R\frac{\mathrm{d} T}{\mathrm{~d} r}=0 \text { at } r=0, \quad T=T_{s} \text { at } r=R
由此产生的温度分布形式为
T − T s = q ˙ R 2 4 k ( 1 − r 2 R 2 ) T − T s = q ˙ R 2 4 k 1 − r 2 R 2 T-T_(s)=((q^(˙))R^(2))/(4k)(1-(r^(2))/(R^(2)))T-T_{s}=\frac{\dot{q} R^{2}}{4 k}\left(1-\frac{r^{2}}{R^{2}}\right)
这是一个抛物线分布，最高温度将出现在圆柱体的轴心处，即
T max − T s = q ˙ R 2 4 k T max − T s = q ˙ R 2 4 k T_(max)-T_(s)=((q^(˙))R^(2))/(4k)T_{\max }-T_{s}=\frac{\dot{q} R^{2}}{4 k}
或以其他形式 
T max − T s = q ˙ π R 2 4 π k = rate of heat loss per unit length 4 π k T max − T s = q ˙ π R 2 4 π k =  rate of heat loss per unit length  4 π k T_(max)-T_(s)=((q^(˙))piR^(2))/(4pi k)=(" rate of heat loss per unit length ")/(4pi k)T_{\max }-T_{s}=\frac{\dot{q} \pi R^{2}}{4 \pi k}=\frac{\text { rate of heat loss per unit length }}{4 \pi k}
案例 2：表面传热系数 h h hh 恒定的圆柱体

这种情况的边界条件是
d T d r = 0 at r = 0 , − k d T d r = h ( T − T a ) at r = R d T d r = 0  at  r = 0 , − k d T d r = h T − T a  at  r = R (dT)/((d)r)=0" at "r=0,quad-k((d)T)/((d)r)=h(T-T_(a))" at "r=R\frac{\mathrm{d} T}{\mathrm{~d} r}=0 \text { at } r=0, \quad-k \frac{\mathrm{~d} T}{\mathrm{~d} r}=h\left(T-T_{a}\right) \text { at } r=R
在这种情况下，温度分布的形式如下
T − T a = q ˙ R 2 4 k ( 1 − r 2 R 2 ) + q ˙ R 2 h T − T a = q ˙ R 2 4 k 1 − r 2 R 2 + q ˙ R 2 h T-T_(a)=((q^(˙))R^(2))/(4k)(1-(r^(2))/(R^(2)))+((q^(˙))R)/(2h)T-T_{a}=\frac{\dot{q} R^{2}}{4 k}\left(1-\frac{r^{2}}{R^{2}}\right)+\frac{\dot{q} R}{2 h}
将圆柱体的毕奥特数定义为
Bi = h R k Bi = h R k Bi=(hR)/(k)\mathrm{Bi}=\frac{h R}{k}
我们可以将方程 (3.2-69) 表述为
T − T a = q ˙ R 2 4 k ( ( 1 − r 2 R 2 ) + 2 Bi ) T − T a = q ˙ R 2 4 k 1 − r 2 R 2 + 2 Bi T-T_(a)=((q^(˙))R^(2))/(4k)((1-(r^(2))/(R^(2)))+(2)/(Bi))T-T_{a}=\frac{\dot{q} R^{2}}{4 k}\left(\left(1-\frac{r^{2}}{R^{2}}\right)+\frac{2}{\mathrm{Bi}}\right)
当 Bi = ∞ Bi = ∞ Bi=oo\mathrm{Bi}=\infty 时，该分布将简化为公式 (3.2-66) 所表示的分布。请注意，当 Bi = ∞ , T s = T a Bi = ∞ , T s = T a Bi=oo,T_(s)=T_(a)\mathrm{Bi}=\infty, T_{s}=T_{a} 时，正如我们在第 3.2.4.2 节中所讨论的。

案例 3：表面有隔热层的圆柱体

在这种情况下，我们首先需要推导出隔热层内温度分布 T i ( r ) T i ( r ) T_(i)(r)T_{i}(r) 的表达式。我们可以从公式 (3.2-64) 开始计算
T = − q ˙ 4 k r 2 + c 1 ln ⁡ r + c 2 T = − q ˙ 4 k r 2 + c 1 ln ⁡ r + c 2 T=-((q^(˙)))/(4k)r^(2)+c_(1)ln r+c_(2)T=-\frac{\dot{q}}{4 k} r^{2}+c_{1} \ln r+c_{2}
设置 q ˙ = 0 q ˙ = 0 q^(˙)=0\dot{q}=0 ，我们就得到了隔热层内 T i ( r ) T i ( r ) T_(i)(r)T_{i}(r) 的一般方程
    • 例如，对于强制对流， h ≥ 20 h ≥ 20 h >= 20h \geq 20 （空气） ∼ 400 ∼ 400 ∼400\sim 400 （水） W / m 2 ⋅ K W / m 2 ⋅ K W//m^(2)*K\mathrm{W} / \mathrm{m}^{2} \cdot \mathrm{~K} ，而对于管子， k ≈ k ≈ k~~k \approx 17（SST） ∼ 150 ( Al ) W / m ⋅ K ∼ 150 ( Al ) W / m ⋅ K ∼150(Al)W//m*K\sim 150(\mathrm{Al}) \mathrm{W} / \mathrm{m} \cdot \mathrm{K} 。设置 δ = 2.5 mm δ = 2.5 mm delta=2.5mm\delta=2.5 \mathrm{~mm} ，我们得到
    Bi = h δ k 2 = ( 20 ∼ 400 ) 0.0025 2 ( 17 ∼ 150 ) = 0.030 ∼ 0.017 × 10 − 2 ≪ 1 or δ / 2 k ≪< 1 h Bi = h δ k 2 = ( 20 ∼ 400 ) 0.0025 2 ( 17 ∼ 150 ) = 0.030 ∼ 0.017 × 10 − 2 ≪ 1  or  δ / 2 k ≪< 1 h Bi=(h delta)/(k2)=((20∼400)0.0025)/(2(17∼150))=0.030∼0.017 xx10^(-2)≪1" or "(delta//2)/(k)≪<(1)/(h)\mathrm{Bi}=\frac{h \delta}{k 2}=\frac{(20 \sim 400) 0.0025}{2(17 \sim 150)}=0.030 \sim 0.017 \times 10^{-2} \ll 1 \text { or } \frac{\delta / 2}{k} \ll<\frac{1}{h}