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绝密 启用前

2024 年普通高等学校招生全国统一考试预测卷: 安徽专版

数 学

(考试时间: 120 分钟;试卷满分: 分)
注意事项:
  1. 答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
  2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动, 用橡皮擦千净后, 再选涂其他答案标号。回答非选择题时, 将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
  3. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题: 本题共 8 小题,每小题 5 分, 共 40 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。
  1. 已知集合 , 则
    A.
    B.
    C.
    D.
  2. 在复平面内, 若复数 对应的点的坐标为 是虚数单位, 则
    A.
    B. 1
    C.
    D. 2
  3. 已知 , 则
    A.
    B. -2
    C. 或 2
    D. 2
  4. 已知三棱雉 的四个顶点均在球 上, 平面 . 若 , 则球 的体积为
    A.
    B.
    C.
    D.
  5. 已知函数 的定义域均为 , 若 为偶函数, 为奇函数, 且 ,则
    A.
    B.
    C. 为奇函数
    D. 为奇函数
  6. 已知函数 在 上无零点, 则 的取值范围为
    A.
    B.
    C.
    D.
  7. 已知 , 动圆 经过原点, 且圆心在直线 上. 当直线 的斜率取最大值时,
    A.
    B.
    C.
    D.
  8. 已知 的外心为 , 内角 的对边分别为 , 且 . 若 -28 , 则
    A.
    B. 50
    C. 25
    D.
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分。在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。
  1. 移动互联网时代, 智能终端市场商机无限, 全球商家强势抢攻市场. 通过同比数据发现, 中国智能手机市场呈现出积极的增长趋势. 据报载, 2023 年 11 月, 中国市场智能手机新机激活量为 2871 万台,同比增长 (同比增长率 本期数据去年同期数据去年同期数据 ), 具体分为 7 个品
    牌排名, 统计数据如下表所示, 则下列说法正确的有
排名 品牌 当月新机激活量/万台 同比新机激活量/万台
No. 1 苹果 604.4 13.0
No. 2 小米 524.3 160.5
No. 3 荣耀 403.1 45.0
No. 4 华为 401.4 172.9
No. 5 vivo 383.3 -47.5
No. 6 OPPO 376.3 -44.8
No. 7 其他 178.2 28.0
A. 该月 7 个品牌新机激活量同比数据的极差为 125.4
B. 该月 7 个品牌新机激活量数据的平均数大于中位数
C. 该月 “华为”品牌新机激活量同比增长率大于
D. 去年同期中国市场智能手机新机激活量总量小于 2600 万台
  1. 在正方体 中, 分别是棱 的中点, 则下列说法正确的有
    A.
    B. 平面
    C.
    D. 与平面 所成角的正弦值为
  2. 已知定义在 上的函数 , 当 时, 其图象关于原点对称, 且 , 当 时, 恒有 成立. 函数 , 则
    A.
    B. e e
    C. 的图象关于直线 对称
    D. 方程 有且仅有 2 个实数根

三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分。

  1. 在平面直角坐标系中, 为坐标原点, 设数集 , 点集 , , 从 中任取相异两点与点 组成三角形,在所有组成的三角形中,任取一个三角形, 则其面积恰为 1 的概率 .
  2. 已知抛物线 的焦点为 为 上的两点. 若直线 的斜率为 , 且 ,延长 分别交 于 两点, 则四边形 的面积为 .
  3. 在正项等比数列 中, , 记 , 其中 表示不超过 的最大整数, 则 .
    四、解答题: 本题共 5 小题,共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
  4. (13 分)
如图, 在四棱雉 中, 底面 是梯形, , 侧面 为正三角形,且与底面 垂直, 为 的中点, 在 上, 满足 .
（1）当 时,证明: 平面 ;
(2) 当二面角 为 时, 求 的值.
  1. (15 分)
已知椭圆 的一条准线 的方程为 , 点 分别为椭圆 的左、右顶点,长轴长与焦距之差为 2 .
(1)求 的标准方程;
(2)过 上任一点作 的两条切线, 切点分别为 , 当四边形 的面积最大时, 求 的正切值.
  1. (15 分)
已知函数 .
(1) 若对 恒成立, 求实数 的取值范围;
(2)证明: 对任意正整数 , 不等式 恒成立.
  1. (17 分)
“友谊杯”围棋擂台赛采取淘汰制, 现有 名选手报名参加比赛 (含甲、乙两名选手), 规则如下: 第一轮将所有报名选手任意两两配对对弯, 输者淘汰出局, 然后将剩下的 名胜者再任意两两配对对弯, 同样输者淘汰出局…‥如此下去, 直至第 轮比赛决出一名冠军. 假定每名选手在各轮比赛中获胜的概率均为 0.5 .
(1) 当 时, 求甲、乙两人相遇对弯的概率 ;
(2) 当 时, 求甲、乙两人相遇对峦的概率 ;
(3) 已知当擂台赛报名选手人数分别为 时, 甲、乙两人相遇对弯的次数依次是 , 记 , 若随机变量 服从两点分布, 且 , , 求 .
  1. ( 17 分)
对于数列 , 定义 , 满足 , 记 , 称 为由数列 生成的 “ -函数”.
(1) 试写出 “ 2 -函数” , 并求 的值;
(2) 若“ 1 -函数” , 求 的最大值;
(3) 记函数 , 其导函数为 , 证明: “ - 函数”