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预加载滚子齿轮凸轮的最佳误差设计和五轴数控加工在滚子驱动系统中

Chung-Yu Tsai
国立中正大学机械工程系，台湾嘉义市民雄大学路 1 段 168 号，邮政编码 62102，中华民国

  文章信息

  关键词：

  滚轮齿轮凸轮
  滚筒驱动
Preloaded design
  5 轴数控加工
Error control

  摘要


机器工具旋转台中的滚轮齿轮凸轮（RG-cam）驱动系统由于其预加载设计，提供了增强的旋转精度和优越的传输效率。然而，实现滚轮与 RG-cam 之间可控的预加载接合需要使用非成形工具的五轴 CNC 加工，这不可避免地引入了加工误差。因此，本研究提出了一种在传统五轴 CNC 机床上设计、分析和制造精密 RG-cam 系统的综合方法。值得注意的是，所提出的方法能够控制和最小化加工误差。通过在五轴 CNC 机床上加工原型滚轮驱动系统，证明了所提方法的可行性。根据 ISO 230-2 标准评估加工的 RG-cam 的精度。结果表明，RG-cam 在单次旋转中的正向和反向旋转误差均小于 10 秒。

  1. 介绍


滚轮驱动系统是机床旋转工作台中最关键的组件之一，要求提供极其精确的旋转定位性能。与传统的蜗轮蜗杆式滚轮驱动系统相比，滚轮齿轮凸轮（RG-cam）系统具有更高的旋转精度和优越的传动效率。RG-cam 型滚轮驱动系统的基本组件包括输入 RG-cam 和滚轮炮塔。滚轮和 RG-cam 之间进行滚动接触，具有高刚性、高速度和良好的耐用性。滚轮与 RG-cam 之间的啮合是预加载的，从而消除了它们之间的间隙，并相应提高了 RG-cam 系统的精度。此外，凸轮和滚轮的滚动动能有效减少了驱动过程中的能耗。因此，RG-cam 系统的传动效率可以达到 90%。

尽管 RG-cam 系统已经存在多年，但由于其出色的性能，它们仍然吸引着大量的研究关注。Lo 等人[1]研究了由弯曲滚轮和螺旋凸轮表面组成的 RG-cam 的接触椭圆特性。还对凸轮表面的主曲率和方向进行了额外研究，以及接触椭圆的尺寸和方向。Qiu 等人[2]提出了一种通用的凸轮曲线设计方法，以便于解决多目标运动学和动态问题。

优化凸轮机构的任务。吴等人[3]提出了一种新型的对称双滚子翻译跟随器，以减少升降运动的压力角并限制感应力。阮等人[4]提出了一种计算机辅助设计方法，用于具有指定基本尺寸和凸轮及跟随器的角输入和输出位移的圆柱滚子和分度塔跟随器。邓等人[5]表明，抗反向间隙单滚子包络钟形蜗轮齿轮提供的齿轮啮合和传动性能优于抗反向间隙双滚子包络钟形蜗轮齿轮。陈等人[6]研究了齿误差和轴对准不良对具有球形啮合元件的钟形蜗轮齿轮系统中齿接触行为的影响。谢等人[7]提出了一种简单而全面的平行轴分度凸轮机构的设计和分析方法。通过在三轴数控机床上加工分度凸轮，证明了所提设计方法的有效性。赵等人。 [8] 提出了基于微分几何测地线计算弯曲凸轮肋厚度的系统方法。研究表明，最佳肋厚度随着速度曲线峰值的变化而变化。

张等人[9]提出了一种系统的方法，用于分析弯曲凸轮机构的配合表面的渐近曲线、主方向和曲率，以及杜平指标特性。此外，还推导了凸轮表面的局部形状与运动周期之间的关系，并讨论了符合性指数。邓等人[10]比较了单滚子包络沙漏蜗轮设计与双滚子设计的性能。
Nomenclature
τ ( − ) τ ( − ) tau^((-))\tau^{(-)}
滚筒与 RG 凸轮之间的干涉量
τ ( + ) τ ( + ) tau^((+))\tau^{(+)}
滚筒与 RG 凸轮之间的间隙量
( x y z ) r ( x y z ) r (xyz)_(r)(x y z)_{r}   滚筒坐标系统
ϕ 2 ϕ 2 phi_(2)\phi_{2}   RG-cam 旋转角度
ϕ 3 ϕ 3 phi_(3)\phi_{3}   炮塔旋转角度
δ δ delta\delta
炮塔中心到滚轮底部的距离
a   中心距离
r r r r r_(r)r_{r} roller radius
r t r t r_(t)r_{t}   工具半径
θ and u θ  and  u theta" and "u\theta \text { and } u
滚筒接触点的圆柱坐标系参数
α α alpha\alpha   压力角
   κ 1 κ 1 kappa_(1)\kappa_{1} 和 κ 2 κ 2 kappa_(2)\kappa_{2}   主曲率
e t e t e_(t)e_{t}   工具长度
Δ t Δ t Delta_(t)\Delta_{t}
RG 相机表面与工具中心之间的距离
f t f t f_(t)f_{t}
工具中心与滚轮中心之间的距离
n r n r n_(r)n_{r}   滚筒编号
ℓ g ℓ g ℓ_(g)\ell_{g}   有效的 RG 相机长度
d g d g d_(g)d_{g} effective RG-cam diameter
Tran   翻译操作符
Rot   旋转算子
Nomenclature tau^((-)) interference amount between roller and RG-cam tau^((+)) clearance amount between roller and RG-cam (xyz)_(r) roller coordinate system phi_(2) RG-cam rotation angle phi_(3) turret rotation angle delta distance from turret center to roller bottom a center distance r_(r) roller radius r_(t) tool radius theta" and "u cylindrical coordinate system parameters of contact point on roller alpha pressure angle kappa_(1) and kappa_(2) principal curvatures e_(t) tool length Delta_(t) distance between RG-cam surface and tool center f_(t) distance between tool center and roller center n_(r) roller number ℓ_(g) effective RG-cam length d_(g) effective RG-cam diameter Tran translation operator Rot rotation operator| Nomenclature | | | :---: | :---: | | $\tau^{(-)}$ | interference amount between roller and RG-cam | | $\tau^{(+)}$ | clearance amount between roller and RG-cam | | $(x y z)_{r}$ | roller coordinate system | | $\phi_{2}$ | RG-cam rotation angle | | $\phi_{3}$ | turret rotation angle | | $\delta$ | distance from turret center to roller bottom | | a | center distance | | $r_{r}$ | roller radius | | $r_{t}$ | tool radius | | $\theta \text { and } u$ | cylindrical coordinate system parameters of contact point on roller | | $\alpha$ | pressure angle | | $\kappa_{1}$ and $\kappa_{2}$ | principal curvatures | | $e_{t}$ | tool length | | $\Delta_{t}$ | distance between RG-cam surface and tool center | | $f_{t}$ | distance between tool center and roller center | | $n_{r}$ | roller number | | $\ell_{g}$ | effective RG-cam length | | $d_{g}$ | effective RG-cam diameter | | Tran | translation operator | | Rot | rotation operator |

滚轮蜗杆系统和传统蜗杆齿轮组。王等人[11]提出了一种内部齿轮传动，其中同时工作的齿数达到了七个，而传统的渐开线齿轮传动仅为两个，从而显著提高了承载能力。邓等人[12]利用现代齿轮啮合理论建立了基于七个关键点的滚轮包络沙漏蜗杆传动的磨削接触线方程。

错误参数。王等人[13]结合了多体动力学和有限元分析方法，研究了零间隙高精度滚子包络减速器的传动故障。窦等人[14]提出了一种新型的零间隙和低误差敏感性的端面滚子包络圆柱蜗杆驱动。安德里安托等人[15]提出了一种使用涡旋加工技术制造 RG 凸轮的新方法。为生成 RG 凸轮、滚子和切削工具表面所需的数学模型被推导出来，并提出了一种新的数控机床。

许多研究还集中在通过侧铣使用各种形状的切削工具制造空间表面。Redonnet 等人[16]描述了一种新的侧铣规则表面的工具设置方法，与传统方法相比，显著减少了干扰和错误，并为 CAD/CAM 软件实现提供了实时计算算法。Senatore 等人[17]提出了一种新的规则表面侧铣定位方法，比较了不同定位的几何误差，并提出了误差最小化标准。Li 等人[18]提出了一种为锥形和桶形工具创建侧铣表面的方法，将以前对圆柱工具的研究扩展到实现精确加工和改进设计分析。Machchhar 等人[19]提出了一种代数方法和计算框架，用于自由形状工具的精确多轴 CNC 加工仿真，使用基于 B 样条的约束和细分求解器构建扫掠体积，这些体积可以转换为体素表示。Rajain 等人 [20] 提出了一个新颖的基于优化的五轴侧铣方法，该方法同时设计定制的工具形状和铣削路径，以在自由形状表面上实现高精度，优于使用标准圆柱形或锥形工具的传统方法。Bizzarri 和 Barton [21] 使用双侧铣削优化了螺旋转子五轴 CNC 加工，通过确定最佳工具形状和螺旋运动的方向，实现了高精度的双切向接触。Escudero 等人 [22] 提出了一种新的双侧 CNC 加工方法，用于螺旋锥齿轮，使用定制形状的工具，以实现比传统球头铣削更快、更准确的结果。

图 1. 滚筒驱动系统示意图。

图 2. RG-cam 型滚轮驱动系统的两个设计要求，如(a)整体系统和(b)单个滚轮所示。

在滚筒驱动系统中，实现滚轮与凸轮之间可控的预加载接合需要使用非成形工具的五轴数控加工。然而，加工过程不可避免地引入几何误差。因此，本研究提出了一种全面而简单的方法，通过分别计算铣刀的左右侧，并使用工具半径补偿方法来补偿工具半径与要切割的 RG 凸轮表面之间的距离，从而最小化加工误差。

本文的其余部分组织如下。第二节介绍了滚轮驱动机制的设计要求。第三节提出了 RGcam 型滚轮驱动的数学建模方法。第四节提出了一种确定 RG-cam 表面主曲率的方法。第五节提出了一种推导在五轴加工中心上加工 RG-cam 所需的数控代码的方法。第六节分析了制造过程中由于刀具半径补偿而导致的误差，并研究了这些误差对 RG-cam 系统精度的影响。第七节

第 7 节通过一个实验案例研究证明了所提议的设计和制造方法的有效性。最后，第 8 节提供了一些简要的结论性评论。


2. 滚筒驱动机构的设计要求


图 1 显示了本研究中考虑的滚轮驱动机制，包括 RG 凸轮、炮塔和多个滚轮。在实际操作中，滚轮驱动系统必须满足两个设计要求：（1）纯滚动：滚轮和 RG 凸轮槽必须形成单侧接触；（2）预加载：滚轮和凸轮必须预加载，以消除炮塔向前或向后旋转时它们之间的间隙。

在传统设计方法中，这两个要求通过在组装滚轮驱动机制时调整炮塔与 RG 凸轮之间的中心距离来满足。参考文献[11]讨论了中心距离与间隙之间的关系。它解释了在固定中心距离下，整体操作

(a)

(b)

图 3. 根据 RG 凸轮槽中每个滚轮的角度位置排列的接触情况，如(a) 所有滚轮，(b) 单个滚轮所示。

反向间隙变化相当复杂。换句话说，使用中心距离作为单一设计变量来控制整体操作反向间隙变化是困难的。因此，使用这种试错方法很难实现均匀的预加载。此外，估计所有滚轮与 RG 凸轮之间的接触率也很困难。因此（如图 2 所示），本研究直接设计并切割 RG 凸轮槽的适当左右表面，以便在预加载表面上产生一定的干涉量 τ ( − ) τ ( − ) tau^((-))\tau^{(-)} ，从而产生预加载力。此外，在间隙表面上，滚轮与 RG 凸轮之间产生间隙 τ ( + ) τ ( + ) tau^((+))\tau^{(+)} ，以实现纯滚动效果。值得注意的是，在整个滚轮运行过程中，干涉间隙量可以提前设计和安排，以满足特定的设计要求。因此，所提出的方法比传统方法更系统、可控和有效。

图 3 显示了 RG-cam 槽的基本设计概念。接触情况可以根据 RG-cam 槽中每个滚轮的角度位置进行安排，并包括接触区域在

左侧，右侧接触区域，干扰值 τ ( − ) τ ( − ) tau^((-))\tau^{(-)} ，间隙值 τ ( + ) τ ( + ) tau^((+))\tau^{(+)} 。需要注意的是，为了实现纯滚动，滚轮在任何位置都不能同时接触 RG-cam 槽的左侧和右侧。


RG-cam 型滚筒驱动的数学建模


为了设计 RG-cam 表面，首先需要为滚轮驱动机制设置所需的坐标系统，其中 RG-cam 作为输入链，炮塔作为输出链。参考图 1，凸轮被指定为链 2，固定基座被指定为链 1，炮塔被指定为链 3。相对坐标系统的设置如图 1 所示。固定坐标系统 ( x y z ) 1 ( x y z ) 1 (xyz)_(1)(x y z)_{1} 相对于 RG-cam 坐标系统 ( x y z ) 2 ( x y z ) 2 (xyz)_(2)(x y z)_{2} 的变换矩阵 2 A 1 2 A 1 ^(2)A_(1){ }^{2} \mathrm{~A}_{1} 给出为
2 A 1 = Rot ( z , − ϕ 2 ) 2 A 1 = Rot z , − ϕ 2 ^(2)A_(1)=Rot(z,-phi_(2)){ }^{2} \mathrm{~A}_{1}=\operatorname{Rot}\left(\boldsymbol{z},-\phi_{2}\right)

其中 ϕ 2 ϕ 2 phi_(2)\phi_{2} 是 RG-cam 的旋转角度。类似地，传输-

炮塔坐标系统 ( x y z ) 3 ( x y z ) 3 (xyz)_(3)(x y z)_{3} 相对于固定坐标系统 ( x y z ) 1 ( x y z ) 1 (xyz)_(1)(x y z)_{1} 的形成矩阵 1 A 3 1 A 3 ^(1)A_(3){ }^{1} \mathrm{~A}_{3} 由以下给出
1 A 3 = Tran ( a , 0 , 0 ) Rot ( x , 90 ∘ ) Rot ( z , ϕ 3 + 180 ∘ ) 1 A 3 = Tran ( a , 0 , 0 ) Rot x , 90 ∘ Rot z , ϕ 3 + 180 ∘ ^(1)A_(3)=Tran(a,0,0)Rot(x,90^(@))Rot(z,phi_(3)+180^(@)){ }^{1} \mathrm{~A}_{3}=\operatorname{Tran}(a, 0,0) \operatorname{Rot}\left(x, 90^{\circ}\right) \operatorname{Rot}\left(z, \phi_{3}+180^{\circ}\right)

其中 Rot 和 Tran 分别是旋转和位移算子，如附录 A 所示。此外， a a aa 和 ϕ 3 ϕ 3 phi_(3)\phi_{3} 分别是相机到炮塔中心的距离和炮塔旋转角度。因此，炮塔坐标系 ( x y z ) 3 ( x y z ) 3 (xyz)_(3)(x y z)_{3} 相对于 RG-相机坐标系 ( x y z ) 2 ( x y z ) 2 (xyz)_(2)(x y z)_{2} 的变换矩阵 2 A 3 2 A 3 ^(2)A_(3){ }^{2} \mathrm{~A}_{3} 表示为
2 A 3 = 2 A 1 1 A 3 = [ − cos ⁡ ϕ 2 cos ⁡ ϕ 3 cos ⁡ ϕ 2 sin ⁡ ϕ 3 − sin ⁡ ϕ 2 a cos ⁡ ϕ 2 cos ⁡ ϕ 3 sin ⁡ ϕ 2 − sin ⁡ ϕ 2 sin ⁡ ϕ 3 − cos ⁡ ϕ 2 − a sin ⁡ ϕ 2 − sin ⁡ ϕ 3 − cos ⁡ ϕ 3 0 0 0 0 0 1 ] 2 A 3 = 2 A 1 1 A 3 = − cos ⁡ ϕ 2 cos ⁡ ϕ 3 cos ⁡ ϕ 2 sin ⁡ ϕ 3 − sin ⁡ ϕ 2 a cos ⁡ ϕ 2 cos ⁡ ϕ 3 sin ⁡ ϕ 2 − sin ⁡ ϕ 2 sin ⁡ ϕ 3 − cos ⁡ ϕ 2 − a sin ⁡ ϕ 2 − sin ⁡ ϕ 3 − cos ⁡ ϕ 3 0 0 0 0 0 1 {:[^(2)A_(3)=^(2)A_(1)^(1)A_(3)],[=[[-cos phi_(2)cos phi_(3),cos phi_(2)sin phi_(3),-sin phi_(2),a cos phi_(2)],[cos phi_(3)sin phi_(2),-sin phi_(2)sin phi_(3),-cos phi_(2),-a sin phi_(2)],[-sin phi_(3),-cos phi_(3),0,0],[0,0,0,1]]]:}\begin{gathered} { }^{2} \mathrm{~A}_{3}={ }^{2} \mathrm{~A}_{1}{ }^{1} \mathrm{~A}_{3} \\ =\left[\begin{array}{cccc} -\cos \phi_{2} \cos \phi_{3} & \cos \phi_{2} \sin \phi_{3} & -\sin \phi_{2} & a \cos \phi_{2} \\ \cos \phi_{3} \sin \phi_{2} & -\sin \phi_{2} \sin \phi_{3} & -\cos \phi_{2} & -a \sin \phi_{2} \\ -\sin \phi_{3} & -\cos \phi_{3} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right] \end{gathered}

类似地，滚筒坐标系统 ( x y z ) r ( x y z ) r (xyz)_(r)(x y z)_{r} 相对于炮塔坐标系统 ( x y z ) 3 ( x y z ) 3 (xyz)_(3)(x y z)_{3} 的变换矩阵 3 A r 3 A r ^(3)A_(r){ }^{3} \mathrm{~A}_{r} 为
3 A r = [ 0 0 − 1 δ 1 0 0 0 0 − 1 0 0 0 0 0 1 ] 3 A r = 0 0 − 1 δ 1 0 0 0 0 − 1 0 0 0 0 0 1 ^(3)A_(r)=[[0,0,-1,delta],[1,0,0,0],[0,-1,0,0],[0,0,0,1]]{ }^{3} \mathrm{~A}_{r}=\left[\begin{array}{cccc}0 & 0 & -1 & \delta \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right]

其中 δ δ delta\delta 是炮塔中心到滚轮底部的距离。因此，滚轮坐标系统 ( x y z ) r ( x y z ) r (xyz)_(r)(x y z)_{r} 相对于 RG-cam 坐标系统 ( x y z ) 2 ( x y z ) 2 (xyz)_(2)(x y z)_{2} 的变换矩阵 2 A r 2 A r ^(2)A_(r){ }^{2} \mathrm{~A}_{r} 可以确定为
= [ cos ⁡ ϕ 2 sin ⁡ ϕ 3 sin ⁡ ϕ 2 cos ⁡ ϕ 2 cos ⁡ ϕ 3 cos ⁡ ϕ 2 ( a − δ cos ⁡ ϕ 3 ) − sin ⁡ ϕ 2 sin ⁡ ϕ 3 cos ⁡ ϕ 2 − sin ⁡ ϕ 2 cos ⁡ ϕ 3 − sin ⁡ ϕ 2 ( a − δ cos ⁡ ϕ 3 ) − cos ⁡ ϕ 3 0 sin ⁡ ϕ 3 − δ sin ⁡ ϕ 3 0 0 0 1 ] = cos ⁡ ϕ 2 sin ⁡ ϕ 3 sin ⁡ ϕ 2 cos ⁡ ϕ 2 cos ⁡ ϕ 3 cos ⁡ ϕ 2 a − δ cos ⁡ ϕ 3 − sin ⁡ ϕ 2 sin ⁡ ϕ 3 cos ⁡ ϕ 2 − sin ⁡ ϕ 2 cos ⁡ ϕ 3 − sin ⁡ ϕ 2 a − δ cos ⁡ ϕ 3 − cos ⁡ ϕ 3 0 sin ⁡ ϕ 3 − δ sin ⁡ ϕ 3 0 0 0 1 =[[cos phi_(2)sin phi_(3),sin phi_(2),cos phi_(2)cos phi_(3),cos phi_(2)(a-delta cos phi_(3))],[-sin phi_(2)sin phi_(3),cos phi_(2),-sin phi_(2)cos phi_(3),-sin phi_(2)(a-delta cos phi_(3))],[-cos phi_(3),0,sin phi_(3),-delta sin phi_(3)],[0,0,0,1]]=\left[\begin{array}{cccc} \cos \phi_{2} \sin \phi_{3} & \sin \phi_{2} & \cos \phi_{2} \cos \phi_{3} & \cos \phi_{2}\left(a-\delta \cos \phi_{3}\right) \\ -\sin \phi_{2} \sin \phi_{3} & \cos \phi_{2} & -\sin \phi_{2} \cos \phi_{3} & -\sin \phi_{2}\left(a-\delta \cos \phi_{3}\right) \\ -\cos \phi_{3} & 0 & \sin \phi_{3} & -\delta \sin \phi_{3} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right]

滚筒表面 r R r R ^(r)R{ }^{r} \mathrm{R} 及其相对于滚筒坐标系 ( x y z ) r ( x y z ) r (xyz)_(r)(x y z)_{r} 的单位法向量 r n r n ^(r)n{ }^{r} \mathrm{n} 可以分别表示为
r R = [ r r cos ⁡ θ r r sin ⁡ θ − u 1 ] T r R = r r cos ⁡ θ r r sin ⁡ θ − u 1 T ^(r)R=[[r_(r)cos theta,r_(r)sin theta,-u,1]]^(T){ }^{r} \mathrm{R}=\left[\begin{array}{llll}r_{r} \cos \theta & r_{r} \sin \theta & -u & 1\end{array}\right]^{T}
  和
r n = [ cos ⁡ θ sin ⁡ θ 0 0 ] T r n = cos ⁡ θ sin ⁡ θ 0 0 T ^(r)n=[[cos theta,sin theta,0,0]]^(T){ }^{r} \mathrm{n}=\left[\begin{array}{llll}\cos \theta & \sin \theta & 0 & 0\end{array}\right]^{T}

其中 r r r r r_(r)r_{r} 是滚筒半径， θ θ theta\theta 和 u u uu 是滚筒与 RG-cam 接触点的圆柱坐标系参数。使用公式 (5)-(7)，滚筒表面 2 R 2 R ^(2)R{ }^{2} R （即 RG-cam 表面）及其相对于 RG-cam 坐标系 ( x y z ) 2 ( x y z ) 2 (xyz)_(2)(x y z)_{2} 的单位法向量 2 n 2 n ^(2)n{ }^{2} \mathrm{n} 可以分别表示为
= [ 2 R = 2 A r r R r r sin ⁡ θ sin ⁡ ϕ 2 + ( r r cos ⁡ θ sin ⁡ ϕ 3 − ( u + δ ) cos ⁡ ϕ 3 + a ) cos ⁡ ϕ 2 r r sin ⁡ θ cos ⁡ ϕ 2 − ( r r cos ⁡ θ sin ⁡ ϕ 3 − ( u + δ ) cos ⁡ ϕ 3 + a ) sin ⁡ ϕ 2 − r r cos ⁡ θ cos ⁡ ϕ 3 − ( u + δ ) sin ⁡ ϕ 3 1 ] = 2 R = 2 A r r R r r sin ⁡ θ sin ⁡ ϕ 2 + r r cos ⁡ θ sin ⁡ ϕ 3 − ( u + δ ) cos ⁡ ϕ 3 + a cos ⁡ ϕ 2 r r sin ⁡ θ cos ⁡ ϕ 2 − r r cos ⁡ θ sin ⁡ ϕ 3 − ( u + δ ) cos ⁡ ϕ 3 + a sin ⁡ ϕ 2 − r r cos ⁡ θ cos ⁡ ϕ 3 − ( u + δ ) sin ⁡ ϕ 3 1 =[[^(2)R=^(2)A_(r)^(r)R],[r_(r)sin theta sin phi_(2)+(r_(r)cos theta sin phi_(3)-(u+delta)cos phi_(3)+a)cos phi_(2)],[r_(r)sin theta cos phi_(2)-(r_(r)cos theta sin phi_(3)-(u+delta)cos phi_(3)+a)sin phi_(2)],[-r_(r)cos theta cos phi_(3)-(u+delta)sin phi_(3)],[1]]=\left[\begin{array}{c} { }^{2} \mathrm{R}={ }^{2} \mathrm{~A}_{r}{ }^{r} \mathrm{R} \\ r_{r} \sin \theta \sin \phi_{2}+\left(r_{r} \cos \theta \sin \phi_{3}-(u+\delta) \cos \phi_{3}+a\right) \cos \phi_{2} \\ r_{r} \sin \theta \cos \phi_{2}-\left(r_{r} \cos \theta \sin \phi_{3}-(u+\delta) \cos \phi_{3}+a\right) \sin \phi_{2} \\ -r_{r} \cos \theta \cos \phi_{3}-(u+\delta) \sin \phi_{3} \\ 1 \end{array}\right]
  和
2 n = 2 A 3 3 n = [ sin ⁡ θ sin ⁡ ϕ 2 + cos ⁡ θ cos ⁡ ϕ 2 sin ⁡ ϕ 3 sin ⁡ θ cos ⁡ ϕ 2 − cos ⁡ θ sin ⁡ ϕ 2 sin ⁡ ϕ 3 − cos ⁡ θ cos ⁡ ϕ 3 0 ] 2 n = 2 A 3 3 n = sin ⁡ θ sin ⁡ ϕ 2 + cos ⁡ θ cos ⁡ ϕ 2 sin ⁡ ϕ 3 sin ⁡ θ cos ⁡ ϕ 2 − cos ⁡ θ sin ⁡ ϕ 2 sin ⁡ ϕ 3 − cos ⁡ θ cos ⁡ ϕ 3 0 {:[^(2)n=^(2)A_(3)^(3)n],[=[[sin theta sin phi_(2)+cos theta cos phi_(2)sin phi_(3)],[sin theta cos phi_(2)-cos theta sin phi_(2)sin phi_(3)],[-cos theta cos phi_(3)],[0]]]:}\begin{gathered} { }^{2} \mathrm{n}={ }^{2} \mathrm{~A}_{3}{ }^{3} \mathrm{n} \\ =\left[\begin{array}{c} \sin \theta \sin \phi_{2}+\cos \theta \cos \phi_{2} \sin \phi_{3} \\ \sin \theta \cos \phi_{2}-\cos \theta \sin \phi_{2} \sin \phi_{3} \\ -\cos \theta \cos \phi_{3} \\ 0 \end{array}\right] \end{gathered}

炮塔旋转角度 ϕ 3 ( ϕ 2 ) ϕ 3 ϕ 2 phi_(3)(phi_(2))\phi_{3}\left(\phi_{2}\right) 是 RG-凸轮旋转角度的函数，该角度由设计师提前指定。滚轮驱动主要用作类似于减速器的精密角度定位机制。在此应用中，减速比与滚轮数量（记作 n r n r n_(r)n_{r} ）成正比，因此这两个旋转角度之间的关系可以简化为 ϕ 3 = ϕ 2 / n r ϕ 3 = ϕ 2 / n r phi_(3)=phi_(2)//n_(r)\phi_{3}=\phi_{2} / n_{r} 。因此，为了实现更高的减速比，有必要增加滚轮的数量。此外，变量 r r , δ r r , δ r_(r),deltar_{r}, \delta 和 a a aa ，即滚轮驱动系统的尺寸，也由设计师给出。换句话说，接触角 θ θ theta\theta 是唯一未确定的变量，应该是 ϕ 2 ϕ 2 phi_(2)\phi_{2} 和 u u uu （即 θ = θ ( ϕ 2 , u ) θ = θ ϕ 2 , u theta=theta(phi_(2),u)\theta=\theta\left(\phi_{2}, u\right) ）的函数。这个函数可以通过两个共轭表面的共轭定理来确定，如下所述。

根据共轭曲面的理论，两个共轭曲面在接触点的相对速度在法向上没有分量。换句话说，RG-凸轮曲面方程 2 R 2 R ^(2)R{ }^{2} \mathrm{R} 及其单位法向量 2 n 2 n ^(2)n{ }^{2} \mathrm{n} 必须满足以下方程：
d ( 2 R ) d t ⋅ 2 n = 0 d 2 R d t ⋅ 2 n = 0 (d(^(2)R))/(dt)*^(2)n=0\frac{d\left({ }^{2} \mathrm{R}\right)}{d t} \cdot{ }^{2} \mathrm{n}=0

将方程（8）和（9）代入方程（10）得到以下方程：
d ϕ 2 d t ( ∂ ϕ 3 ∂ ϕ 2 ( u + δ ) cos ⁡ θ − ( a − ( u + δ ) cos ⁡ ϕ 3 ) sin ⁡ θ ) = 0 d ϕ 2 d t ∂ ϕ 3 ∂ ϕ 2 ( u + δ ) cos ⁡ θ − a − ( u + δ ) cos ⁡ ϕ 3 sin ⁡ θ = 0 (dphi_(2))/(dt)((delphi_(3))/(delphi_(2))(u+delta)cos theta-(a-(u+delta)cos phi_(3))sin theta)=0\frac{d \phi_{2}}{d t}\left(\frac{\partial \phi_{3}}{\partial \phi_{2}}(u+\delta) \cos \theta-\left(a-(u+\delta) \cos \phi_{3}\right) \sin \theta\right)=0

方程（11）左侧的项 d ϕ 2 / d t d ϕ 2 / d t dphi_(2)//dtd \phi_{2} / d t 是 RG-cam 的旋转速度，因此不能等于零。因此，方程（11）右侧的项必须为 0。此外，对于滚轮驱动系统，条件 d ϕ 3 / d ϕ 2 = 1 / n r d ϕ 3 / d ϕ 2 = 1 / n r dphi_(3)//dphi_(2)=1//n_(r)d \phi_{3} / d \phi_{2}=1 / n_{r} 应该满足。因此，接触角 θ θ theta\theta 的解可以得到为
θ = tan − 1 ⁡ ( u + δ n a ( a − ( u + δ ) cos ⁡ ϕ 3 ) ) θ = tan − 1 ⁡ u + δ n a a − ( u + δ ) cos ⁡ ϕ 3 theta=tan^(-1)((u+delta)/(n_(a)(a-(u+delta)cos phi_(3))))\theta=\tan ^{-1}\left(\frac{u+\delta}{n_{a}\left(a-(u+\delta) \cos \phi_{3}\right)}\right)

将方程（12）代入方程（8）和（9），RG-cam 表面方程及其单位法向量最终可以确定为
2 R = [ r r B 1 sin ⁡ ϕ 2 + B 2 cos ⁡ ϕ 2 r r B 1 cos ⁡ ϕ 2 − B 2 sin ⁡ ϕ 2 − r r B 3 − ( u + δ ) sin ⁡ ϕ 3 1 ] 2 R = r r B 1 sin ⁡ ϕ 2 + B 2 cos ⁡ ϕ 2 r r B 1 cos ⁡ ϕ 2 − B 2 sin ⁡ ϕ 2 − r r B 3 − ( u + δ ) sin ⁡ ϕ 3 1 ^(2)R=[[r_(r)B_(1)sin phi_(2)+B_(2)cos phi_(2)],[r_(r)B_(1)cos phi_(2)-B_(2)sin phi_(2)],[-r_(r)B_(3)-(u+delta)sin phi_(3)],[1]]{ }^{2} \mathrm{R}=\left[\begin{array}{c}r_{r} B_{1} \sin \phi_{2}+B_{2} \cos \phi_{2} \\ r_{r} B_{1} \cos \phi_{2}-B_{2} \sin \phi_{2} \\ -r_{r} B_{3}-(u+\delta) \sin \phi_{3} \\ 1\end{array}\right]
2 n = [ B 1 sin ⁡ ϕ 2 + B 4 cos ⁡ ϕ 2 B 1 cos ⁡ ϕ 2 − B 4 sin ⁡ ϕ 2 − B 3 0 ] 2 n = B 1 sin ⁡ ϕ 2 + B 4 cos ⁡ ϕ 2 B 1 cos ⁡ ϕ 2 − B 4 sin ⁡ ϕ 2 − B 3 0 ^(2)n=[[B_(1)sin phi_(2)+B_(4)cos phi_(2)],[B_(1)cos phi_(2)-B_(4)sin phi_(2)],[-B_(3)],[0]]{ }^{2} \mathrm{n}=\left[\begin{array}{c}B_{1} \sin \phi_{2}+B_{4} \cos \phi_{2} \\ B_{1} \cos \phi_{2}-B_{4} \sin \phi_{2} \\ -B_{3} \\ 0\end{array}\right]
  哪里
{ B 1 = D 2 / D 1 B 2 = ( a − ( u + δ ) cos ⁡ ϕ 3 ) + r r B 3 B 3 = cos ⁡ ϕ 3 / D 1 B 4 = sin ⁡ ϕ 3 / D 1 D 1 = s i 1 + D 2 2 D 2 = 1 n r ( a / ( u + δ ) − cos ⁡ ϕ 3 ) B 1 = D 2 / D 1 B 2 = a − ( u + δ ) cos ⁡ ϕ 3 + r r B 3 B 3 = cos ⁡ ϕ 3 / D 1 B 4 = sin ⁡ ϕ 3 / D 1 D 1 = s i 1 + D 2 2 D 2 = 1 n r a / ( u + δ ) − cos ⁡ ϕ 3 {[B_(1)=D_(2)//D_(1)],[B_(2)=(a-(u+delta)cos phi_(3))+r_(r)B_(3)],[B_(3)=cos phi_(3)//D_(1)],[B_(4)=sin phi_(3)//D_(1)],[D_(1)=s_(i)sqrt(1+D_(2)^(2))],[D_(2)=(1)/(n_(r)(a//(u+delta)-cos phi_(3)))]:}\left\{\begin{array}{l}B_{1}=D_{2} / D_{1} \\ B_{2}=\left(a-(u+\delta) \cos \phi_{3}\right)+r_{r} B_{3} \\ B_{3}=\cos \phi_{3} / D_{1} \\ B_{4}=\sin \phi_{3} / D_{1} \\ D_{1}=s_{i} \sqrt{1+D_{2}^{2}} \\ D_{2}=\frac{1}{n_{r}\left(a /(u+\delta)-\cos \phi_{3}\right)}\end{array}\right.

图 4. 五轴数控机床的坐标系统设置。

请注意，RG-cam 表面方程 2 R ( ϕ 2 , u ) 2 R ϕ 2 , u ^(2)R(phi_(2),u){ }^{2} \mathrm{R}\left(\phi_{2}, u\right) 是 ϕ 2 ϕ 2 phi_(2)\phi_{2} 和 u u uu 的函数。

一般来说，接触面上的压力角被定义为在接触点上跟随者运动方向与接触点上表面的公共法向量之间的角度。换句话说，压力角 α α alpha\alpha 可以表示为
α = cos − 1 ⁡ ( ( u + δ ) cos ⁡ θ ( u + δ ) 2 + ( r cos ⁡ θ ) 2 ) α = cos − 1 ⁡ ( u + δ ) cos ⁡ θ ( u + δ ) 2 + ( r cos ⁡ θ ) 2 alpha=cos^(-1)(((u+delta)cos theta)/(sqrt((u+delta)^(2)+(r cos theta)^(2))))\alpha=\cos ^{-1}\left(\frac{(u+\delta) \cos \theta}{\sqrt{(u+\delta)^{2}+(r \cos \theta)^{2}}}\right)

请注意，压力角 α α alpha\alpha 是滚子接触位置的函数。


4. 确定 RG 相机表面的主曲率


计算主曲率在推导时是重要的

RG-cam 轮廓表面方程，以防止在加工 RG-cam 时出现倒角。主曲率半径的值与 RG-cam 的大小有绝对正相关。因此，主曲率半径的分析结果可以用来确定适当的 RG-cam 大小。基于微分几何的原理[23]，RG-cam 表面的主曲率（ κ 1 κ 1 kappa_(1)\kappa_{1} 和 κ 2 κ 2 kappa_(2)\kappa_{2} ）可以推导为
{ κ 1 = − E g + e G + ( E g − e G ) 2 − 4 ( E f − e F ) ( F g − f G ) 2 ( F g − f G ) κ 2 = − E g + e G − ( E g − e G ) 2 − 4 ( E f − e F ) ( F g − f G ) 2 ( F g − f G ) κ 1 = − E g + e G + ( E g − e G ) 2 − 4 ( E f − e F ) ( F g − f G ) 2 ( F g − f G ) κ 2 = − E g + e G − ( E g − e G ) 2 − 4 ( E f − e F ) ( F g − f G ) 2 ( F g − f G ) {[kappa_(1)=(-Eg+eG+sqrt((Eg-eG)^(2)-4(Ef-eF)(Fg-fG)))/(2(Fg-fG))],[kappa_(2)=(-Eg+eG-sqrt((Eg-eG)^(2)-4(Ef-eF)(Fg-fG)))/(2(Fg-fG))]:}\left\{\begin{aligned} \kappa_{1}= & \frac{-E g+e G+\sqrt{(E g-e G)^{2}-4(E f-e F)(F g-f G)}}{2(F g-f G)} \\ \kappa_{2}= & \frac{-E g+e G-\sqrt{(E g-e G)^{2}-4(E f-e F)(F g-f G)}}{2(F g-f G)} \end{aligned}\right.

如前一节所述，RG-cam 表面方程 2 R ( ϕ 2 , u ) 2 R ϕ 2 , u ^(2)R(phi_(2),u){ }^{2} \mathrm{R}\left(\phi_{2}, u\right) 是 ϕ 2 ϕ 2 phi_(2)\phi_{2} 和 u u uu 的函数。因此，方程(17)中的参数可以得到为

图 5. 连杆坐标系统和参数示意图。
{ E = R ϕ 2 ⋅ R ϕ 2 F = R ϕ 2 ⋅ R u G = R u ⋅ R u e = R u u ⋅ ( 2 n ) f = R ϕ 2 u ⋅ ( 2 n ) g = R u u ⋅ ( 2 n ) E = R ϕ 2 ⋅ R ϕ 2 F = R ϕ 2 ⋅ R u G = R u ⋅ R u e = R u u ⋅ 2 n f = R ϕ 2 u ⋅ 2 n g = R u u ⋅ 2 n {[E=R_(phi_(2))*R_(phi_(2))],[F=R_(phi_(2))*R_(u)],[G=R_(u)*R_(u)],[e=R_(uu)*(^(2)n)],[f=R_(phi_(2)u)*(^(2)n)],[g=R_(uu)*(^(2)n)]:}\left\{\begin{array}{l} E=\mathrm{R}_{\phi_{2}} \cdot \mathrm{R}_{\phi_{2}} \\ F=\mathrm{R}_{\phi_{2}} \cdot \mathrm{R}_{u} \\ G=\mathrm{R}_{u} \cdot \mathrm{R}_{u} \\ e=\mathrm{R}_{u u} \cdot\left({ }^{2} \mathrm{n}\right) \\ f=\mathrm{R}_{\phi_{2} u} \cdot\left({ }^{2} \mathrm{n}\right) \\ g=\mathrm{R}_{u u} \cdot\left({ }^{2} \mathrm{n}\right) \end{array}\right.

在其中，RG-cam 表面方程的第一和第二导数由以下给出
{ R ϕ 2 ≡ ∂ ( 2 R ) ∂ ϕ 2 = ∂ ( 2 R ) ∂ ϕ 2 + ∂ ( 2 R ) ∂ ϕ 3 ⋅ ∂ ϕ 3 ∂ ϕ 2 + ∂ ( 2 R ) ∂ ( ∂ ϕ 3 / ∂ ϕ 2 ) ⋅ ∂ 2 ϕ 3 ∂ ϕ 2 2 R ϕ 2 ϕ 2 ≡ ∂ 2 ( 2 R ) ∂ ϕ 2 2 = ∂ R ϕ 2 ∂ ϕ 2 + ∂ R ϕ 2 ∂ ϕ 3 ⋅ ∂ ϕ 3 ∂ ϕ 2 + ∂ R ϕ 2 ∂ ( ∂ ϕ 3 / ∂ ϕ 2 ) ⋅ ∂ 2 ϕ 3 ∂ ϕ 2 2 R u ≡ ∂ ( 2 R ) ∂ u R u u ≡ ∂ R u ∂ u R ϕ 2 u ≡ ∂ 2 ( 2 R ) ∂ ϕ 2 ∂ u = ∂ R ϕ 2 ∂ u R ϕ 2 ≡ ∂ 2 R ∂ ϕ 2 = ∂ 2 R ∂ ϕ 2 + ∂ 2 R ∂ ϕ 3 ⋅ ∂ ϕ 3 ∂ ϕ 2 + ∂ 2 R ∂ ∂ ϕ 3 / ∂ ϕ 2 ⋅ ∂ 2 ϕ 3 ∂ ϕ 2 2 R ϕ 2 ϕ 2 ≡ ∂ 2 2 R ∂ ϕ 2 2 = ∂ R ϕ 2 ∂ ϕ 2 + ∂ R ϕ 2 ∂ ϕ 3 ⋅ ∂ ϕ 3 ∂ ϕ 2 + ∂ R ϕ 2 ∂ ∂ ϕ 3 / ∂ ϕ 2 ⋅ ∂ 2 ϕ 3 ∂ ϕ 2 2 R u ≡ ∂ 2 R ∂ u R u u ≡ ∂ R u ∂ u R ϕ 2 u ≡ ∂ 2 2 R ∂ ϕ 2 ∂ u = ∂ R ϕ 2 ∂ u {[R_(phi_(2))-=(del(^(2)R))/(delphi_(2))=(del(^(2)R))/(delphi_(2))+(del(^(2)R))/(delphi_(3))*(delphi_(3))/(delphi_(2))+(del(^(2)R))/(del(delphi_(3)//delphi_(2)))*(del^(2)phi_(3))/(delphi_(2)^(2))],[R_(phi_(2)phi_(2))-=(del^(2)(^(2)R))/(delphi_(2)^(2))=(delR_(phi_(2)))/(delphi_(2))+(delR_(phi_(2)))/(delphi_(3))*(delphi_(3))/(delphi_(2))+(delR_(phi_(2)))/(del(delphi_(3)//delphi_(2)))*(del^(2)phi_(3))/(delphi_(2)^(2))],[R_(u)-=(del(^(2)R))/(del u)],[R_(uu)-=(delR_(u))/(del u)],[R_(phi_(2)u)-=(del^(2)(^(2)R))/(delphi_(2)del u)=(delR_(phi_(2)))/(del u)]:}\left\{\begin{array}{l} \mathrm{R}_{\phi_{2}} \equiv \frac{\partial\left({ }^{2} \mathrm{R}\right)}{\partial \phi_{2}}=\frac{\partial\left({ }^{2} \mathrm{R}\right)}{\partial \phi_{2}}+\frac{\partial\left({ }^{2} \mathrm{R}\right)}{\partial \phi_{3}} \cdot \frac{\partial \phi_{3}}{\partial \phi_{2}}+\frac{\partial\left({ }^{2} \mathrm{R}\right)}{\partial\left(\partial \phi_{3} / \partial \phi_{2}\right)} \cdot \frac{\partial^{2} \phi_{3}}{\partial \phi_{2}^{2}} \\ \mathrm{R}_{\phi_{2} \phi_{2}} \equiv \frac{\partial^{2}\left({ }^{2} \mathrm{R}\right)}{\partial \phi_{2}^{2}}=\frac{\partial \mathrm{R}_{\phi_{2}}}{\partial \phi_{2}}+\frac{\partial \mathrm{R}_{\phi_{2}}}{\partial \phi_{3}} \cdot \frac{\partial \phi_{3}}{\partial \phi_{2}}+\frac{\partial \mathrm{R}_{\phi_{2}}}{\partial\left(\partial \phi_{3} / \partial \phi_{2}\right)} \cdot \frac{\partial^{2} \phi_{3}}{\partial \phi_{2}^{2}} \\ \mathrm{R}_{u} \equiv \frac{\partial\left({ }^{2} \mathrm{R}\right)}{\partial u} \\ \mathrm{R}_{u u} \equiv \frac{\partial \mathrm{R}_{u}}{\partial u} \\ \mathrm{R}_{\phi_{2} u} \equiv \frac{\partial^{2}\left({ }^{2} \mathrm{R}\right)}{\partial \phi_{2} \partial u}=\frac{\partial \mathrm{R}_{\phi_{2}}}{\partial u} \end{array}\right.

此外，方程（14）中的单位法向量 2 n ( ϕ 2 , u ) 2 n ϕ 2 , u ^(2)n(phi_(2),u){ }^{2} \mathrm{n}\left(\phi_{2}, u\right) 也是 ϕ 2 ϕ 2 phi_(2)\phi_{2} 和 u u uu 的函数。


5. 确定机床的 NC 代码


确定 RG-的加工 NC 代码的程序

相机包括三个步骤：（1）根据机床的机制确定工具 0 M t 0 M t ^(0)M_(t){ }^{0} \mathrm{M}_{t} 相对于工件的变换矩阵；（2）根据滚轮驱动系统的机制确定工具 2 A t 2 A t ^(2)A_(t){ }^{2} \mathrm{~A}_{t} 相对于 RG-cam 的变换矩阵；（3）确定机床的数控代码。

步骤 1：从运动学的角度来看，多轴机床可以视为一个由 n n nn 个连杆组成的系统（如图 4 所示）。如图 5 所示，每个连杆 i i ii 通过两个关节元件（关节 J i + J i + J_(i)^(+)J_{i}^{+} 和 J i + 1 − J i + 1 − J_(i+1)^(-)J_{i+1}^{-} ）与其相邻的连杆（即连杆 i − 1 i − 1 i-1i-1 和 i + 1 i + 1 i+1i+1 ）相连。为了确定工具 0 M t 0 M t ^(0)M_(t){ }^{0} \mathrm{M}_{t} 相对于工件的变换矩阵，首先需要建立关节 J i + 1 − J i + 1 − J_(i+1)^(-)J_{i+1}^{-} 相对于关节 J i − J i − J_(i)^(-)J_{i}^{-} 的姿态的数学表示。这可以通过 D-H 符号法 [24,25] 最容易地完成，其中一个元件的姿态由三个平移参数（ b i , a i b i , a i b_(i),a_(i)b_{i}, a_{i} 和 ℓ i ℓ i ℓ_(i)\ell_{i} ）和两个角度参数（ θ i θ i theta_(i)\theta_{i} 和 α i α i alpha_(i)\alpha_{i} ）描述。坐标系统 ( x y z ) i ( x y z ) i (xyz)_(i)(x y z)_{i} 相对于坐标系统 ( x y z ) i − 1 ( x y z ) i − 1 (xyz)_(i-1)(x y z)_{i-1} 的齐次变换矩阵为
i − 1 M i = Tran ( 0 , 0 , b i ) Rot ( z , θ i ) Tran ( a i , 0 , 0 ) Rot ( x , α i ) Tran ( 0 , 0 , ℓ i ) = [ cos ⁡ θ i − cos ⁡ α i sin ⁡ θ i sin ⁡ α i sin ⁡ θ i a i cos ⁡ θ i + ℓ i sin ⁡ α i sin ⁡ θ i sin ⁡ θ i cos ⁡ α i cos ⁡ θ i − sin ⁡ α i cos ⁡ θ i a i sin ⁡ θ i − ℓ i sin ⁡ α i cos ⁡ θ i 0 sin ⁡ α i cos ⁡ α i b i + ℓ i cos ⁡ α i 0 0 0 1 ] i − 1 M i = Tran 0 , 0 , b i Rot z , θ i Tran a i , 0 , 0 Rot x , α i Tran 0 , 0 , ℓ i = cos ⁡ θ i − cos ⁡ α i sin ⁡ θ i sin ⁡ α i sin ⁡ θ i a i cos ⁡ θ i + ℓ i sin ⁡ α i sin ⁡ θ i sin ⁡ θ i cos ⁡ α i cos ⁡ θ i − sin ⁡ α i cos ⁡ θ i a i sin ⁡ θ i − ℓ i sin ⁡ α i cos ⁡ θ i 0 sin ⁡ α i cos ⁡ α i b i + ℓ i cos ⁡ α i 0 0 0 1 {:[^(i-1)M_(i)=Tran(0,0,b_(i))Rot(z,theta_(i))Tran(a_(i),0,0)Rot(x,alpha_(i))Tran(0,0,ℓ_(i))],[=[[cos theta_(i),-cos alpha_(i)sin theta_(i),sin alpha_(i)sin theta_(i),a_(i)cos theta_(i)+ℓ_(i)sin alpha_(i)sin theta_(i)],[sin theta_(i),cos alpha_(i)cos theta_(i),-sin alpha_(i)cos theta_(i),a_(i)sin theta_(i)-ℓ_(i)sin alpha_(i)cos theta_(i)],[0,sin alpha_(i),cos alpha_(i),b_(i)+ℓ_(i)cos alpha_(i)],[0,0,0,1]]]:}\begin{aligned} & { }^{i-1} \mathrm{M}_{i}=\operatorname{Tran}\left(0,0, b_{i}\right) \operatorname{Rot}\left(z, \theta_{i}\right) \operatorname{Tran}\left(a_{i}, 0,0\right) \operatorname{Rot}\left(x, \alpha_{i}\right) \operatorname{Tran}\left(0,0, \ell_{i}\right) \\ & =\left[\begin{array}{cccc} \cos \theta_{i} & -\cos \alpha_{i} \sin \theta_{i} & \sin \alpha_{i} \sin \theta_{i} & a_{i} \cos \theta_{i}+\ell_{i} \sin \alpha_{i} \sin \theta_{i} \\ \sin \theta_{i} & \cos \alpha_{i} \cos \theta_{i} & -\sin \alpha_{i} \cos \theta_{i} & a_{i} \sin \theta_{i}-\ell_{i} \sin \alpha_{i} \cos \theta_{i} \\ 0 & \sin \alpha_{i} & \cos \alpha_{i} & b_{i}+\ell_{i} \cos \alpha_{i} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right] \end{aligned}

表 1 列出了图 4 中所示的拟议机床的连杆的 D-H 标记参数。根据这些参数值，可以使用公式（20）获得机床中每个连杆的变换矩阵，即 0 M 1 , 1 M 2 , 2 M 3 , 3 M 4 0 M 1 , 1 M 2 , 2 M 3 , 3 M 4 ^(0)M_(1),^(1)M_(2),^(2)M_(3),^(3)M_(4){ }^{0} \mathrm{M}_{1},{ }^{1} \mathrm{M}_{2},{ }^{2} \mathrm{M}_{3},{ }^{3} \mathrm{M}_{4} 和 4 M 5 4 M 5 ^(4)M_(5){ }^{4} \mathrm{M}_{5} 。此外，切削工具相对于连杆 5 的变换矩阵可以表示为
5 M t = [ ∗ ∗ 0 0 ∗ ∗ 0 0 ∗ ∗ 1 ℓ t 0 0 0 1 ] 5 M t = ∗ ∗ 0 0 ∗ ∗ 0 0 ∗ ∗ 1 ℓ t 0 0 0 1 ^(5)M_(t)=[[**,**,0,0],[**,**,0,0],[**,**,1,ℓ_(t)],[0,0,0,1]]{ }^{5} \mathbf{M}_{t}=\left[\begin{array}{cccc}* & * & 0 & 0 \\ * & * & 0 & 0 \\ * & * & 1 & \ell_{t} \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right]

其中 ℓ t ℓ t ℓ_(t)\ell_{t} 是工具长度，“*” 表示相应的条目不需要考虑。请注意，这些条目不是必需的，因为切割过程中的刀具路径仅与刀具尖点坐标（即公式 (21) 的第四列）和刀具轴方向（即 z 轴，即公式 (21) 的第三列）有关，而与刀具的 x x xx - 和 y y yy 轴坐标（即公式 (21) 的第一列和第二列）无关。

给定机床参数的知识，工具相对于工件（即，链接 0）的变换矩阵可以表示为
0 M t = 0 M 1 1 M 2 2 M 3 3 M 4 4 M 5 5 M t = [ ∗ ∗ cos ⁡ θ 1 sin ⁡ θ 5 ( a 2 − b 4 − b 5 − ℓ 3 ) sin ⁡ θ 1 + ( − a 1 + a 4 + b 3 + ( ℓ 5 + ℓ t ) sin ⁡ θ 5 ) cos ⁡ θ 1 ∗ ∗ sin ⁡ θ 1 sin ⁡ θ 5 − ( a 2 − b 4 − b 5 − ℓ 3 ) cos ⁡ θ 1 + ( − a 1 + a 4 + b 3 + ( ℓ 5 + ℓ t ) sin ⁡ θ 5 ) sin ⁡ θ 1 ∗ ∗ cos ⁡ θ 5 b 2 + ( ℓ 5 + ℓ t ) cos ⁡ θ 5 0 0 0 1 ] ≡ [ ∗ ∗ K M x P M x ∗ ∗ K M y P M y ∗ ∗ K M z P M z 0 0 0 1 ] 0 M t = 0 M 1 1 M 2 2 M 3 3 M 4 4 M 5 5 M t = ∗ ∗ cos ⁡ θ 1 sin ⁡ θ 5 a 2 − b 4 − b 5 − ℓ 3 sin ⁡ θ 1 + − a 1 + a 4 + b 3 + ℓ 5 + ℓ t sin ⁡ θ 5 cos ⁡ θ 1 ∗ ∗ sin ⁡ θ 1 sin ⁡ θ 5 − a 2 − b 4 − b 5 − ℓ 3 cos ⁡ θ 1 + − a 1 + a 4 + b 3 + ℓ 5 + ℓ t sin ⁡ θ 5 sin ⁡ θ 1 ∗ ∗ cos ⁡ θ 5 b 2 + ℓ 5 + ℓ t cos ⁡ θ 5 0 0 0 1 ≡ ∗ ∗ K M x P M x ∗ ∗ K M y P M y ∗ ∗ K M z P M z 0 0 0 1 {:[^(0)M_(t)=^(0)M_(1)^(1)M_(2)^(2)M_(3)^(3)M_(4)^(4)M_(5)^(5)M_(t)],[=[[**,**,cos theta_(1)sin theta_(5),(a_(2)-b_(4)-b_(5)-ℓ_(3))sin theta_(1)+(-a_(1)+a_(4)+b_(3)+(ℓ_(5)+ℓ_(t))sin theta_(5))cos theta_(1)],[**,**,sin theta_(1)sin theta_(5),-(a_(2)-b_(4)-b_(5)-ℓ_(3))cos theta_(1)+(-a_(1)+a_(4)+b_(3)+(ℓ_(5)+ℓ_(t))sin theta_(5))sin theta_(1)],[**,**,cos theta_(5),b_(2)+(ℓ_(5)+ℓ_(t))cos theta_(5)],[0,0,0,1]]],[-=[[**,**,K_(Mx),P_(Mx)],[**,**,K_(My),P_(My)],[**,**,K_(Mz),P_(Mz)],[0,0,0,1]]]:}\begin{aligned} & { }^{0} \mathrm{M}_{t}={ }^{0} \mathrm{M}_{1}{ }^{1} \mathrm{M}_{2}{ }^{2} \mathrm{M}_{3}{ }^{3} \mathrm{M}_{4}{ }^{4} \mathrm{M}_{5}{ }^{5} \mathrm{M}_{t} \\ & =\left[\begin{array}{cccc} * & * & \cos \theta_{1} \sin \theta_{5} & \left(a_{2}-b_{4}-b_{5}-\ell_{3}\right) \sin \theta_{1}+\left(-a_{1}+a_{4}+b_{3}+\left(\ell_{5}+\ell_{t}\right) \sin \theta_{5}\right) \cos \theta_{1} \\ * & * & \sin \theta_{1} \sin \theta_{5} & -\left(a_{2}-b_{4}-b_{5}-\ell_{3}\right) \cos \theta_{1}+\left(-a_{1}+a_{4}+b_{3}+\left(\ell_{5}+\ell_{t}\right) \sin \theta_{5}\right) \sin \theta_{1} \\ * & * & \cos \theta_{5} & b_{2}+\left(\ell_{5}+\ell_{t}\right) \cos \theta_{5} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right] \\ & \equiv\left[\begin{array}{cccc} * & * & K_{M x} & P_{M x} \\ * & * & K_{M y} & P_{M y} \\ * & * & K_{M z} & P_{M z} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right] \end{aligned}
  表 1

D-H 符号的连杆参数。
i − 1 M i i − 1 M i ^(i-1)M_(i){ }^{i-1} \mathrm{M}_{i} b i b i b_(i)b_{i} θ i θ i theta_(i)\theta_{i} a i a i a_(i)a_{i} α i α i alpha_(i)\alpha_{i} ℓ i ℓ i ℓ_(i)\ell_{i}
0 M 1 0 M 1 ^(0)M_(1){ }^{0} \mathrm{M}_{1} 0 θ 1 θ 1 theta_(1)\theta_{1} − a 1 − a 1 -a_(1)-a_{1} 0 0
1 M 2 1 M 2 ^(1)M_(2){ }^{1} \mathrm{M}_{2} b 2 b 2 b_(2)b_{2} − 90 ∘ − 90 ∘ -90^(@)-90^{\circ} a 2 a 2 a_(2)a_{2} − 90 ∘ − 90 ∘ -90^(@)-90^{\circ} 0
2 M 3 2 M 3 ^(2)M_(3){ }^{2} \mathrm{M}_{3} b 3 b 3 b_(3)b_{3} − 90 ∘ − 90 ∘ -90^(@)-90^{\circ} 0 90 ∘ 90 ∘ 90^(@)90^{\circ} e 3 e 3 e_(3)e_{3}
3 M 4 3 M 4 ^(3)M_(4){ }^{3} \mathrm{M}_{4} b 4 b 4 b_(4)b_{4} 90 ∘ 90 ∘ 90^(@)90^{\circ} a 4 a 4 a_(4)a_{4} 0 0
4 M 5 4 M 5 ^(4)M_(5){ }^{4} \mathrm{M}_{5} b 5 b 5 b_(5)b_{5} θ 5 θ 5 theta_(5)\theta_{5} 0 90 ∘ 90 ∘ 90^(@)90^{\circ} ℓ 5 ℓ 5 ℓ_(5)\ell_{5}
5 M t 5 M t ^(5)M_(t){ }^{5} \mathrm{M}_{t} 0 0 0 0 e t e t e_(t)e_{t}
^(i-1)M_(i) b_(i) theta_(i) a_(i) alpha_(i) ℓ_(i) ^(0)M_(1) 0 theta_(1) -a_(1) 0 0 ^(1)M_(2) b_(2) -90^(@) a_(2) -90^(@) 0 ^(2)M_(3) b_(3) -90^(@) 0 90^(@) e_(3) ^(3)M_(4) b_(4) 90^(@) a_(4) 0 0 ^(4)M_(5) b_(5) theta_(5) 0 90^(@) ℓ_(5) ^(5)M_(t) 0 0 0 0 e_(t)| ${ }^{i-1} \mathrm{M}_{i}$ | $b_{i}$ | $\theta_{i}$ | $a_{i}$ | $\alpha_{i}$ | $\ell_{i}$ | | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | | ${ }^{0} \mathrm{M}_{1}$ | 0 | $\theta_{1}$ | $-a_{1}$ | 0 | 0 | | ${ }^{1} \mathrm{M}_{2}$ | $b_{2}$ | $-90^{\circ}$ | $a_{2}$ | $-90^{\circ}$ | 0 | | ${ }^{2} \mathrm{M}_{3}$ | $b_{3}$ | $-90^{\circ}$ | 0 | $90^{\circ}$ | $e_{3}$ | | ${ }^{3} \mathrm{M}_{4}$ | $b_{4}$ | $90^{\circ}$ | $a_{4}$ | 0 | 0 | | ${ }^{4} \mathrm{M}_{5}$ | $b_{5}$ | $\theta_{5}$ | 0 | $90^{\circ}$ | $\ell_{5}$ | | ${ }^{5} \mathrm{M}_{t}$ | 0 | 0 | 0 | 0 | $e_{t}$ |

请注意， f t = r r − Δ t = r r − r t − τ f t = r r − Δ t = r r − r t − τ f_(t)=r_(r)-Delta_(t)=r_(r)-r_(t)-tauf_{t}=r_{r}-\Delta_{t}=r_{r}-r_{t}-\tau 和 Δ t Δ t Delta_(t)\Delta_{t} 可以用来控制滚轮与 RG-cam 之间的接触情况。参考第 2 节的讨论，间隙系数 τ = τ ( − ) τ = τ ( − ) tau=tau^((-))\tau=\tau^{(-)} （或 τ = τ ( + ) τ = τ ( + ) tau=tau^((+))\tau=\tau^{(+)} ）由设计者提供，以满足干涉（或间隙）的设计要求。特别是，如果 Δ t Δ t Delta_(t)\Delta_{t} 等于工具半径 r t r t r_(t)r_{t} （即 Δ t = r t Δ t = r t Delta_(t)=r_(t)\Delta_{t}=r_{t} ），则滚轮与 RG-cam 完全接触。如果 Δ t > r t Δ t > r t Delta_(t) > r_(t)\Delta_{t}>r_{t} ，则发生干涉接触。相反，如果 Δ t < r t Δ t < r t Delta_(t) < r_(t)\Delta_{t}<r_{t} ，则产生间隙接触。从方程（5）和（23）可以表示工具相对于 RG-cam 的变换矩阵为
[
]

步骤 2：一般来说，当使用成形铣刀切割时，刀具位置等于滚轮位置，因此切割路径很容易推导。然而，对于本研究中考虑的具有单侧预加载特性的 RG 凸轮，左右凸轮表面并不对称，因此必须使用非成形的圆柱端铣刀（直径小于滚轮的直径）来切割 RG 凸轮槽。此外，非成形刀具的位置

步骤 3：在根据机床机制获得工具的变换矩阵 0 M t 0 M t ^(0)M_(t){ }^{0} \mathrm{M}_{t} 和根据滚轮驱动机制获得的变换矩阵 2 A t 2 A t ^(2)A_(t){ }^{2} \mathrm{~A}_{t} 之后，可以将每个矩阵的第三列和第四列中的向量设为相等，从而得到以下六个方程：
{ K M x = K A x K M y = K A y K M z = K A z P M x = P A x P M y = P A y P M z = P A z ⇒ { cos ⁡ θ 1 sin ⁡ θ 5 = K A x sin ⁡ θ 1 sin ⁡ θ 5 = K A y cos ⁡ θ 5 = K A z ( a 2 − b 4 − b 5 − ℓ 3 ) sin ⁡ θ 1 + ( − a 1 + a 4 + b 3 + ( ℓ 5 + ℓ t ) sin ⁡ θ 5 ) cos ⁡ θ 1 = P A x − ( a 2 − b 4 − b 5 − ℓ 3 ) cos ⁡ θ 1 + ( − a 1 + a 4 + b 3 + ( ℓ 5 + ℓ t ) sin ⁡ θ 5 ) sin ⁡ θ 1 = P A y b 2 + ( ℓ 5 + ℓ t ) cos ⁡ θ 5 = P A z K M x = K A x K M y = K A y K M z = K A z P M x = P A x P M y = P A y P M z = P A z ⇒ cos ⁡ θ 1 sin ⁡ θ 5 = K A x sin ⁡ θ 1 sin ⁡ θ 5 = K A y cos ⁡ θ 5 = K A z a 2 − b 4 − b 5 − ℓ 3 sin ⁡ θ 1 + − a 1 + a 4 + b 3 + ℓ 5 + ℓ t sin ⁡ θ 5 cos ⁡ θ 1 = P A x − a 2 − b 4 − b 5 − ℓ 3 cos ⁡ θ 1 + − a 1 + a 4 + b 3 + ℓ 5 + ℓ t sin ⁡ θ 5 sin ⁡ θ 1 = P A y b 2 + ℓ 5 + ℓ t cos ⁡ θ 5 = P A z {[{:K_(Mx)=K_(Ax):}],[{:K_(My)=K_(Ay):}],[{:K_(Mz)=K_(Az):}],[{:P_(Mx)=P_(Ax):}],[{:P_(My)=P_(Ay):}],[{:P_(Mz)=P_(Az):}]=>{[cos theta_(1)sin theta_(5)=K_(Ax)],[sin theta_(1)sin theta_(5)=K_(Ay)],[cos theta_(5)=K_(Az)],[(a_(2)-b_(4)-b_(5)-ℓ_(3))sin theta_(1)+(-a_(1)+a_(4)+b_(3)+(ℓ_(5)+ℓ_(t))sin theta_(5))cos theta_(1)=P_(Ax)],[-(a_(2)-b_(4)-b_(5)-ℓ_(3))cos theta_(1)+(-a_(1)+a_(4)+b_(3)+(ℓ_(5)+ℓ_(t))sin theta_(5))sin theta_(1)=P_(Ay)],[b_(2)+(ℓ_(5)+ℓ_(t))cos theta_(5)=P_(Az)]:}\left\{\begin{array} { l } { K _ { M x } = K _ { A x } } \\ { K _ { M y } = K _ { A y } } \\ { K _ { M z } = K _ { A z } } \\ { P _ { M x } = P _ { A x } } \\ { P _ { M y } = P _ { A y } } \\ { P _ { M z } = P _ { A z } } \end{array} \Rightarrow \left\{\begin{array}{l} \cos \theta_{1} \sin \theta_{5}=K_{A x} \\ \sin \theta_{1} \sin \theta_{5}=K_{A y} \\ \cos \theta_{5}=K_{A z} \\ \left(a_{2}-b_{4}-b_{5}-\ell_{3}\right) \sin \theta_{1}+\left(-a_{1}+a_{4}+b_{3}+\left(\ell_{5}+\ell_{t}\right) \sin \theta_{5}\right) \cos \theta_{1}=P_{A x} \\ -\left(a_{2}-b_{4}-b_{5}-\ell_{3}\right) \cos \theta_{1}+\left(-a_{1}+a_{4}+b_{3}+\left(\ell_{5}+\ell_{t}\right) \sin \theta_{5}\right) \sin \theta_{1}=P_{A y} \\ b_{2}+\left(\ell_{5}+\ell_{t}\right) \cos \theta_{5}=P_{A z} \end{array}\right.\right.

铣刀必须分别为 RG 凸轮槽的左侧和右侧单独计算。换句话说，应采用刀具半径补偿方法，其中刀具位置通过补偿从要切割的 RG 凸轮表面到刀具半径的距离来计算。

参考图 6，工具中心的位置可以通过沿其单位法向量 2 n 2 n ^(2)n{ }^{2} \mathrm{n} 将滚轮与 RG 凸轮表面的接触点偏移距离 Δ t Δ t Delta_(t)\Delta_{t} 来获得。此外， θ θ theta\theta 是共轭条件的解（如公式（12）所示）， u u uu 是切削深度， f t = r r − Δ t f t = r r − Δ t f_(t)=r_(r)-Delta_(t)f_{t}=r_{r}-\Delta_{t} 是工具与滚轮中心之间的距离。因此，工具相对于滚轮的变换矩阵可以表示为
r A t = [ ∗ ∗ 0 f t cos ⁡ θ ∗ ∗ 0 f t sin ⁡ θ ∗ ∗ − 1 − u 0 0 0 1 ] r A t = ∗ ∗ 0 f t cos ⁡ θ ∗ ∗ 0 f t sin ⁡ θ ∗ ∗ − 1 − u 0 0 0 1 ^(r)A_(t)=[[**,**,0,f_(t)cos theta],[**,**,0,f_(t)sin theta],[**,**,-1,-u],[0,0,0,1]]{ }^{r} \mathrm{~A}_{t}=\left[\begin{array}{cccc}* & * & 0 & f_{t} \cos \theta \\ * & * & 0 & f_{t} \sin \theta \\ * & * & -1 & -u \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right]

通过求解方程（25），可以获得 5 轴变量为
{ θ 1 = tan − 1 ⁡ ( K A y / K A y ) θ 5 = 360 ∘ − cos − 1 ⁡ ( − K A z ) b 2 = − P A z − ( ℓ 5 + ℓ t ) cos ⁡ θ 5 b 3 = a 1 − a 4 + P A x cos ⁡ θ 1 + P A y sin ⁡ θ 1 − ( ℓ 5 + ℓ t ) sin ⁡ θ 5 b 4 = a 2 − b 5 − ℓ 3 + P A x sin ⁡ θ 1 − P A y cos ⁡ θ 1 θ 1 = tan − 1 ⁡ K A y / K A y θ 5 = 360 ∘ − cos − 1 ⁡ − K A z b 2 = − P A z − ℓ 5 + ℓ t cos ⁡ θ 5 b 3 = a 1 − a 4 + P A x cos ⁡ θ 1 + P A y sin ⁡ θ 1 − ℓ 5 + ℓ t sin ⁡ θ 5 b 4 = a 2 − b 5 − ℓ 3 + P A x sin ⁡ θ 1 − P A y cos ⁡ θ 1 {[theta_(1)=tan^(-1)(K_(Ay)//K_(Ay))],[theta_(5)=360^(@)-cos^(-1)(-K_(Az))],[b_(2)=-P_(Az)-(ℓ_(5)+ℓ_(t))cos theta_(5)],[b_(3)=a_(1)-a_(4)+P_(Ax)cos theta_(1)+P_(Ay)sin theta_(1)-(ℓ_(5)+ℓ_(t))sin theta_(5)],[b_(4)=a_(2)-b_(5)-ℓ_(3)+P_(Ax)sin theta_(1)-P_(Ay)cos theta_(1)]:}\left\{\begin{array}{l} \theta_{1}=\tan ^{-1}\left(K_{A y} / K_{A y}\right) \\ \theta_{5}=360^{\circ}-\cos ^{-1}\left(-K_{A z}\right) \\ b_{2}=-P_{A z}-\left(\ell_{5}+\ell_{t}\right) \cos \theta_{5} \\ b_{3}=a_{1}-a_{4}+P_{A x} \cos \theta_{1}+P_{A y} \sin \theta_{1}-\left(\ell_{5}+\ell_{t}\right) \sin \theta_{5} \\ b_{4}=a_{2}-b_{5}-\ell_{3}+P_{A x} \sin \theta_{1}-P_{A y} \cos \theta_{1} \end{array}\right.

参数 θ 1 , θ 5 , b 2 , b 3 θ 1 , θ 5 , b 2 , b 3 theta_(1),theta_(5),b_(2),b_(3)\theta_{1}, \theta_{5}, b_{2}, b_{3} 和 b 4 b 4 b_(4)b_{4} 是机床每个链接相对于前一个链接的运动参数值。然而，机床的数控代码使用工件坐标系 ( x y z ) 0 ( x y z ) 0 (xyz)_(0)(x y z)_{0} 作为参考坐标系。因此，这些参数值必须再次转换。

应注意，将矩阵 0 M t 0 M t ^(0)M_(t){ }^{0} \mathrm{M}_{t} 和 2 A t 2 A t ^(2)A_(t){ }^{2} \mathrm{~A}_{t} 的这两列等同（即公式（25））的目的是推导五轴 D-H 标记的参数（即 θ 1 , θ 5 , b 2 , b 3 θ 1 , θ 5 , b 2 , b 3 theta_(1),theta_(5),b_(2),b_(3)\theta_{1}, \theta_{5}, b_{2}, b_{3} 和 b 4 b 4 b_(4)b_{4} ）与 RG 凸轮表面坐标之间的数学关系（即公式（26））。因此，基于本文使用的 D-H 标记设计方法，

这个数学关系确实是独特的。

当工具位于工件坐标系的原点 ( x y z ) 0 ( x y z ) 0 (xyz)_(0)(x y z)_{0} 时，工具的变换矩阵 2 A t 2 A t ^(2)A_(t){ }^{2} \mathrm{~A}_{t} 应该是
2 A t = [ ∗ ∗ K A x P A x ∗ ∗ K A y P A x ∗ ∗ K A z P A x 0 0 0 1 ] = [ ∗ ∗ − 1 0 ∗ ∗ 0 0 ∗ ∗ 0 0 0 0 0 1 ] 2 A t = ∗ ∗ K A x P A x ∗ ∗ K A y P A x ∗ ∗ K A z P A x 0 0 0 1 = ∗ ∗ − 1 0 ∗ ∗ 0 0 ∗ ∗ 0 0 0 0 0 1 ^(2)A_(t)=[[**,**,K_(Ax),P_(Ax)],[**,**,K_(Ay),P_(Ax)],[**,**,K_(Az),P_(Ax)],[0,0,0,1]]=[[**,**,-1,0],[**,**,0,0],[**,**,0,0],[0,0,0,1]]{ }^{2} \mathrm{~A}_{t}=\left[\begin{array}{cccc}* & * & K_{A x} & P_{A x} \\ * & * & K_{A y} & P_{A x} \\ * & * & K_{A z} & P_{A x} \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}* & * & -1 & 0 \\ * & * & 0 & 0 \\ * & * & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right]

因此，将 K A x = − 1 , K A y = 0 , K A z = 0 , P A x = 0 , P A y = 0 K A x = − 1 , K A y = 0 , K A z = 0 , P A x = 0 , P A y = 0 K_(Ax)=-1,K_(Ay)=0,K_(Az)=0,P_(Ax)=0,P_(Ay)=0K_{A x}=-1, K_{A y}=0, K_{A z}=0, P_{A x}=0, P_{A y}=0 和 P A z = 0 P A z = 0 P_(Az)=0P_{A z}=0 代入公式(26)，可以得到 5 轴变量为
{ θ 1 = 0 ≡ θ 10 θ 5 = 270 ∘ ≡ θ 50 b 2 = 0 ≡ b 20 b 3 = a 1 − a 4 + ℓ 5 + ℓ t ≡ b 30 b 4 = a 2 − b 5 − ℓ 3 ≡ b 40 θ 1 = 0 ≡ θ 10 θ 5 = 270 ∘ ≡ θ 50 b 2 = 0 ≡ b 20 b 3 = a 1 − a 4 + ℓ 5 + ℓ t ≡ b 30 b 4 = a 2 − b 5 − ℓ 3 ≡ b 40 {[theta_(1)=0-=theta_(10)],[theta_(5)=270^(@)-=theta_(50)],[b_(2)=0-=b_(20)],[b_(3)=a_(1)-a_(4)+ℓ_(5)+ℓ_(t)-=b_(30)],[b_(4)=a_(2)-b_(5)-ℓ_(3)-=b_(40)]:}\left\{\begin{array}{l}\theta_{1}=0 \equiv \theta_{10} \\ \theta_{5}=270^{\circ} \equiv \theta_{50} \\ b_{2}=0 \equiv b_{20} \\ b_{3}=a_{1}-a_{4}+\ell_{5}+\ell_{t} \equiv b_{30} \\ b_{4}=a_{2}-b_{5}-\ell_{3} \equiv b_{40}\end{array}\right.

请注意， θ 10 , θ 50 , b 20 , b 30 θ 10 , θ 50 , b 20 , b 30 theta_(10),theta_(50),b_(20),b_(30)\theta_{10}, \theta_{50}, b_{20}, b_{30} 和 b 40 b 40 b_(40)b_{40} 代表工具位于工件坐标系 ( x y z ) 0 ( x y z ) 0 (xyz)_(0)(x y z)_{0} 原点时 θ 1 , θ 5 , b 2 , b 3 θ 1 , θ 5 , b 2 , b 3 theta_(1),theta_(5),b_(2),b_(3)\theta_{1}, \theta_{5}, b_{2}, b_{3} 和 b 4 b 4 b_(4)b_{4} 的值。因此，切削过程中相对于工件坐标系 ( x y z ) 0 ( x y z ) 0 (xyz)_(0)(x y z)_{0} 的 5 轴参数值为
{ θ 1 ′ = θ 1 − θ 10 θ 5 ′ = θ 5 − θ 50 b 2 ′ = b 2 − b 20 b 3 ′ = b 3 − b 30 b 4 ′ = b 4 − b 40 θ 1 ′ = θ 1 − θ 10 θ 5 ′ = θ 5 − θ 50 b 2 ′ = b 2 − b 20 b 3 ′ = b 3 − b 30 b 4 ′ = b 4 − b 40 {[theta_(1)^(')=theta_(1)-theta_(10)],[theta_(5)^(')=theta_(5)-theta_(50)],[b_(2)^(')=b_(2)-b_(20)],[b_(3)^(')=b_(3)-b_(30)],[b_(4)^(')=b_(4)-b_(40)]:}\left\{\begin{array}{l}\theta_{1}^{\prime}=\theta_{1}-\theta_{10} \\ \theta_{5}^{\prime}=\theta_{5}-\theta_{50} \\ b_{2}^{\prime}=b_{2}-b_{20} \\ b_{3}^{\prime}=b_{3}-b_{30} \\ b_{4}^{\prime}=b_{4}-b_{40}\end{array}\right.

以图 4 所示的机床配置为例，可以确定 5 轴数控代码值（即 A n c , C n c , X n c , Y n c A n c , C n c , X n c , Y n c A_(nc),C_(nc),X_(nc),Y_(nc)A_{n c}, C_{n c}, X_{n c}, Y_{n c} 和 Z n c Z n c Z_(nc)Z_{n c} ）为
{ A n c = θ 1 ′ = − ϕ 2 C n c = − θ 5 ′ = − ϕ 3 X n c = − b 2 ′ = − f t cos ⁡ θ cos ⁡ ϕ 3 + ( ℓ 5 + ℓ t − u − δ ) sin ⁡ ϕ 3 Y n c = b 3 ′ = a − d − ℓ 5 + f t cos ⁡ θ sin ⁡ ϕ 3 + ( d + ℓ 5 − u − δ ) cos ⁡ ϕ 3 Z n c = − b 4 ′ = f t sin ⁡ θ A n c = θ 1 ′ = − ϕ 2 C n c = − θ 5 ′ = − ϕ 3 X n c = − b 2 ′ = − f t cos ⁡ θ cos ⁡ ϕ 3 + ℓ 5 + ℓ t − u − δ sin ⁡ ϕ 3 Y n c = b 3 ′ = a − d − ℓ 5 + f t cos ⁡ θ sin ⁡ ϕ 3 + d + ℓ 5 − u − δ cos ⁡ ϕ 3 Z n c = − b 4 ′ = f t sin ⁡ θ {[A_(nc)=theta_(1)^(')=-phi_(2)],[C_(nc)=-theta_(5)^(')=-phi_(3)],[X_(nc)=-b_(2)^(')=-f_(t)cos theta cos phi_(3)+(ℓ_(5)+ℓ_(t)-u-delta)sin phi_(3)],[Y_(nc)=b_(3)^(')=a-d-ℓ_(5)+f_(t)cos theta sin phi_(3)+(d+ℓ_(5)-u-delta)cos phi_(3)],[Z_(nc)=-b_(4)^(')=f_(t)sin theta]:}\left\{\begin{array}{l} A_{n c}=\theta_{1}^{\prime}=-\phi_{2} \\ C_{n c}=-\theta_{5}^{\prime}=-\phi_{3} \\ X_{n c}=-b_{2}^{\prime}=-f_{t} \cos \theta \cos \phi_{3}+\left(\ell_{5}+\ell_{t}-u-\delta\right) \sin \phi_{3} \\ Y_{n c}=b_{3}^{\prime}=a-d-\ell_{5}+f_{t} \cos \theta \sin \phi_{3}+\left(d+\ell_{5}-u-\delta\right) \cos \phi_{3} \\ Z_{n c}=-b_{4}^{\prime}=f_{t} \sin \theta \end{array}\right.

在方程（30）中给出的 5 轴数控代码值可以直接在没有旋转工具中心点（RTCP）功能的传统机床中使用。此外，对于具有 RTCP 功能的高级机床，5 轴数控代码值的位置坐标可以通过相对于 RG 凸轮坐标系统的工具中心路径轻松确定，即，
{ A n c = − ϕ 2 C n c = − ϕ 3 X n c = P A z Y n c = − P A x Z n c = − P A y A n c = − ϕ 2 C n c = − ϕ 3 X n c = P A z Y n c = − P A x Z n c = − P A y {[A_(nc)=-phi_(2)],[C_(nc)=-phi_(3)],[X_(nc)=P_(Az)],[Y_(nc)=-P_(Ax)],[Z_(nc)=-P_(Ay)]:}\left\{\begin{array}{l}A_{n c}=-\phi_{2} \\ C_{n c}=-\phi_{3} \\ X_{n c}=P_{A z} \\ Y_{n c}=-P_{A x} \\ Z_{n c}=-P_{A y}\end{array}\right.

其中 P A x , P A y P A x , P A y P_(Ax),P_(Ay)P_{A x}, P_{A y} 和 P A z P A z P_(Az)P_{A z} 在公式 (24) 中显示。

关于本节讨论的五轴数控机床参数的数学推导，以下是总结。方程（21-27）表示五轴加工数控代码的数学推导过程。因此，以本文使用的五轴数控机床类型为例（如图 4 所示），五轴 D-H 标记参数（即 θ 1 , θ 5 , b 2 , b 3 θ 1 , θ 5 , b 2 , b 3 theta_(1),theta_(5),b_(2),b_(3)\theta_{1}, \theta_{5}, b_{2}, b_{3} 和 b 4 b 4 b_(4)b_{4} ）与 RG 凸轮表面坐标之间的数学关系是唯一的（如方程（26）所示）。然而，机床采用的五个轴的实际零点和正/负方向可能与 D-H 标记不同。因此，方程（28）和（29）给出了将五轴 D-H 标记参数转换为数控机床五轴参数的示例。最后，通过方程（21）-（29），可以获得数控机床五轴参数（即 A n c , C n c , X n c , Y n c A n c , C n c , X n c , Y n c A_(nc),C_(nc),X_(nc),Y_(nc)A_{n c}, C_{n c}, X_{n c}, Y_{n c} 和 Z n c Z n c Z_(nc)Z_{n c} ）与 RG 凸轮表面坐标之间的数学关系的完整推导（即方程（30）或（31））。

图 6. 显示工具在凸轮槽中的位置的插图。

图 7. 工具与滚轮之间关系的示意图，包括滚轮上的接触曲线和机器误差，显示为(a) 3D 图和(b) 俯视图。

6. Error analysis under tool radius compensation manufacturing


从公式（12）可以回忆到，接触角 θ θ theta\theta 随着滚轮与 RG 凸轮的接触点而变化。换句话说，滚轮与凸轮之间的接触不是一条直线，而是一个空间曲线（如图 7 所示）。然而，刀具半径补偿的方向应参考接触角 θ θ theta\theta （如公式（23）所示）。

因此，如果工具的补偿仅参考特定滚轮接触位置 u u uu 的接触角 θ θ theta\theta ，在切割过程中其他凸轮槽位置将会出现不足的切割误差（导致残留材料）。

如图 7 所示， θ | u = 0 θ u = 0 theta|_(u=0)\left.\theta\right|_{u=0} 是滚轮根部位置的接触角 ( u = 0 ) ( u = 0 ) (u=0)(u=0) ，而 θ | u = ℓ r θ u = ℓ r theta|_(u=ℓ_(r))\left.\theta\right|_{u=\ell_{r}} 是滚轮顶部位置的接触角 ( u = ℓ r ) u = ℓ r (u=ℓ_(r))\left(u=\ell_{r}\right) 。如果刀具半径补偿过程参考接触角 θ | u = 0 θ u = 0 theta|_(u=0)\left.\theta\right|_{u=0} ，则滚轮顶部位置的加工误差 ε ε epsi\varepsilon 可以确定为
ε = r r + ( r t − r r ) cos ⁡ Δ θ − r t 2 − ( r t − r r ) 2 sin 2 ⁡ Δ θ ε = r r + r t − r r cos ⁡ Δ θ − r t 2 − r t − r r 2 sin 2 ⁡ Δ θ epsi=r_(r)+(r_(t)-r_(r))cos Delta theta-sqrt(r_(t)^(2)-(r_(t)-r_(r))^(2)sin^(2)Delta theta)\varepsilon=r_{r}+\left(r_{t}-r_{r}\right) \cos \Delta \theta-\sqrt{r_{t}^{2}-\left(r_{t}-r_{r}\right)^{2} \sin ^{2} \Delta \theta}
  哪里
Δ θ = θ | u = ℓ r − θ | u = 0 Δ θ = θ u = ℓ r − θ u = 0 Delta theta= theta|_(u=ℓ_(r))- theta|_(u=0)\Delta \theta=\left.\theta\right|_{u=\ell_{r}}-\left.\theta\right|_{u=0}

需要注意的是（见图 8），理想滚轮与理想凸轮之间的接触曲线在每个接触时刻并不是一个固定的几何形状。因此，无法使用单一的修正型刀具来补偿所有切削点的加工误差 ε ε epsi\varepsilon 。

较大的 Δ θ Δ θ Delta theta\Delta \theta 值会导致更大的加工误差 ε ε epsi\varepsilon 。然而，在寻求减少 Δ θ Δ θ Delta theta\Delta \theta 时，不建议将滚子根部位置 ( u = 0 ) ( u = 0 ) (u=0)(u=0) 的接触角 θ | u = 0 θ u = 0 theta|_(u=0)\left.\theta\right|_{u=0} 作为刀具半径补偿的参考方向。因此，如图 8 所示，刀具半径补偿的最佳参考方向 θ opt θ opt  theta_("opt ")\theta_{\text {opt }} 被指定为 θ | u = 0 θ u = 0 theta|_(u=0)\left.\theta\right|_{u=0} 和 θ | u = ℓ r θ u = ℓ r theta|_(u=ℓ_(r))\left.\theta\right|_{u=\ell_{r}} 之间的平均值。
θ opt = θ | u = u o p t = θ | u = 0 + θ | u = ℓ r 2 θ opt  = θ u = u o p t = θ u = 0 + θ u = ℓ r 2 theta_("opt ")= theta|_(u=u_(opt))=( theta|_(u=0)+ theta|_(u=ℓ_(r)))/(2)\theta_{\text {opt }}=\left.\theta\right|_{u=u_{o p t}}=\frac{\left.\theta\right|_{u=0}+\left.\theta\right|_{u=\ell_{r}}}{2}

解方程（34），滚筒位置 u o p t u o p t u_(opt)u_{o p t} 的最佳解为
u o p t = − δ + n r ( a − δ cos ⁡ ϕ 3 ) tan ⁡ θ o p t 1 + n r cos ⁡ ϕ 3 tan ⁡ θ o p t u o p t = − δ + n r a − δ cos ⁡ ϕ 3 tan ⁡ θ o p t 1 + n r cos ⁡ ϕ 3 tan ⁡ θ o p t u_(opt)=(-delta+n_(r)(a-delta cos phi_(3))tan theta_(opt))/(1+n_(r)cos phi_(3)tan theta_(opt))u_{o p t}=\frac{-\delta+n_{r}\left(a-\delta \cos \phi_{3}\right) \tan \theta_{o p t}}{1+n_{r} \cos \phi_{3} \tan \theta_{o p t}}

将方程（35）代入方程（12），得到 Δ θ opt Δ θ opt  Deltatheta_("opt ")\Delta \theta_{\text {opt }} 的最优值为
Δ θ opt = θ | u = u o p t − θ | u = 0 = θ | u = ℓ r − θ | u = u o p t Δ θ opt  = θ u = u o p t − θ u = 0 = θ u = ℓ r − θ u = u o p t Deltatheta_("opt ")= theta|_(u=u_(opt))- theta|_(u=0)= theta|_(u=ℓ_(r))- theta|_(u=u_(opt))\Delta \theta_{\text {opt }}=\left.\theta\right|_{u=u_{o p t}}-\left.\theta\right|_{u=0}=\left.\theta\right|_{u=\ell_{r}}-\left.\theta\right|_{u=u_{o p t}}

最后，将方程（36）代入方程（32），最佳加工误差 ε opt ε opt  epsi_("opt ")\varepsilon_{\text {opt }} 被确定为
ε o p t = ε | Δ θ = Δ θ o p t = r r + ( r t − r r ) cos ⁡ Δ θ o p t − r t 2 − ( r t − r r ) 2 sin 2 ⁡ Δ θ o p t ε o p t = ε Δ θ = Δ θ o p t = r r + r t − r r cos ⁡ Δ θ o p t − r t 2 − r t − r r 2 sin 2 ⁡ Δ θ o p t {:[epsi_(opt)= epsi|_(Delta theta=Deltatheta_(opt))],[=r_(r)+(r_(t)-r_(r))cos Deltatheta_(opt)-sqrt(r_(t)^(2)-(r_(t)-r_(r))^(2)sin^(2)Deltatheta_(opt))]:}\begin{gathered} \varepsilon_{o p t}=\left.\varepsilon\right|_{\Delta \theta=\Delta \theta_{o p t}} \\ =r_{r}+\left(r_{t}-r_{r}\right) \cos \Delta \theta_{o p t}-\sqrt{r_{t}^{2}-\left(r_{t}-r_{r}\right)^{2} \sin ^{2} \Delta \theta_{o p t}} \end{gathered}

关于最佳加工误差的理论概念，以下是总结。需要注意的是，本文中 RG 凸轮的表面设计有其特殊要求。如第 2 节所示，RG 凸轮表面与滚轮之间的干涉对于产生预载至关重要。因此，最佳加工路径解决方案不应牺牲原始干涉值（由设计师给出），以避免降低甚至消除预载。尽管一些研究者（例如，Redonnet [16] 和 Senatore [17]）提出了优化圆柱刀具位置的方法以最小化误差幅度，但他们的解决过程不仅复杂，而且最佳加工误差可能导致预载降低甚至消失。因此，他们的方法可能并不完全适用于本文的 RG 凸轮。因此，本文提出的最佳加工路径解决方案将最佳加工误差 ε opt ε opt  epsi_("opt ")\varepsilon_{\text {opt }} 定义为最小化实际使用的刀具（半径为）之间的间隙。

图 8. 工具与辊之间最佳关系的示意图，包括辊上的接触曲线和最佳机器误差，显示为(a) 3D 图和(b) 俯视图。
  表 2

滚筒驱动系统的参数。
Parameter   价值   单位
  滚筒编号 n r = 24 n r = 24 n_(r)=24n_{r}=24 ( NA ) ( NA ) (NA)(\mathrm{NA})
Roller radius r r = 9.5 r r = 9.5 r_(r)=9.5r_{r}=9.5 mm
  滚筒长度 ℓ r = 16.5 ℓ r = 16.5 ℓ_(r)=16.5\ell_{r}=16.5 mm

炮塔中心到滚轮底部的距离		 δ = 95.0 δ = 95.0 delta=95.0\delta=95.0 mm
  中心距离 a = 123.0 a = 123.0 a=123.0a=123.0 mm
  有效的 RG 相机长度 ℓ g = 111.0 ℓ g = 111.0 ℓ_(g)=111.0\ell_{g}=111.0 mm
Effective RG-cam diameter d g = 70.0 d g = 70.0 d_(g)=70.0d_{g}=70.0 mm
Parameter Value Unit Roller number n_(r)=24 (NA) Roller radius r_(r)=9.5 mm Roller length ℓ_(r)=16.5 mm Distance from turret center to roller bottom delta=95.0 mm Center distance a=123.0 mm Effective RG-cam length ℓ_(g)=111.0 mm Effective RG-cam diameter d_(g)=70.0 mm| Parameter | Value | Unit | | :--- | :--- | :--- | | Roller number | $n_{r}=24$ | $(\mathrm{NA})$ | | Roller radius | $r_{r}=9.5$ | mm | | Roller length | $\ell_{r}=16.5$ | mm | | Distance from turret center to roller bottom | $\delta=95.0$ | mm | | Center distance | $a=123.0$ | mm | | Effective RG-cam length | $\ell_{g}=111.0$ | mm | | Effective RG-cam diameter | $d_{g}=70.0$ | mm |
  表 3

插图示例中滚筒与 RG 凸轮之间的干扰和间隙设置。

RG 相机的侧面 槽
Side of RG-cam groove| Side of RG-cam | | :--- | | groove |

滚筒的角位置 (学位)
Angular position of roller (degree)| Angular position of roller | | :--- | | (degree) |

干扰或间隙 a a  ^("a "){ }^{\text {a }} ( mm ) ( mm ) (mm)(\mathrm{mm})
Interference or gap ^("a ") (mm)| Interference or gap ${ }^{\text {a }}$ | | :--- | | $(\mathrm{mm})$ |
  左 -45.0 0.10
-31.5 -0.05
-6.0 -0.05
6.0 0.10
  右 45.0 0.10
-45.0 0.10
-6.0 0.10
6.0 -0.05
31.5 -0.05
45.0 -0.10
"Side of RG-cam groove" "Angular position of roller (degree)" "Interference or gap ^("a ") (mm)" Left -45.0 0.10 -31.5 -0.05 -6.0 -0.05 6.0 0.10 Right 45.0 0.10 -45.0 0.10 -6.0 0.10 6.0 -0.05 31.5 -0.05 45.0 -0.10| Side of RG-cam <br> groove | Angular position of roller <br> (degree) | Interference or gap ${ }^{\text {a }}$ <br> $(\mathrm{mm})$ | | :--- | :--- | :--- | | Left | -45.0 | 0.10 | | | -31.5 | -0.05 | | | -6.0 | -0.05 | | | 6.0 | 0.10 | | Right | 45.0 | 0.10 | | | | | | | -45.0 | 0.10 | | | -6.0 | 0.10 | | | 6.0 | -0.05 | | | 31.5 | -0.05 | | | 45.0 | -0.10 |

a a ^(a){ }^{a} 负值和正值分别表示干扰和间隙。

图 9. 示范例中滚轮与 RG 凸轮之间的干涉和间隙设置。

r t r t r_(t)r_{t} 小于滚筒的半径 r r r r r_(r)r_{r} ) 和理论接触线（如图 8 所示）。理论上，这种提议的方法不会减少预加载，而只会略微增加它。最大加工误差只会发生在 RG 凸轮表面的顶部或底部，因此不需要对中间点进行采样以进行评估。此外，最佳加工误差 ε opt ε opt  epsi_("opt ")\varepsilon_{\text {opt }} 可以通过解析代数公式（即方程（37））获得，而无需诉诸数值方法。此外，确定最佳加工路径不需要数值求解复杂的非线性方程；相反，可以使用本文推导的解析代数公式来实现（即将方程（35）代入方程（12））。因此，本文提出的加工路径优化方法是一种代数公式化、可靠且简单明了的设计方法。


7. 提议方法的可行性


本节提供了一个示例，以展示所提议的设计和制造方法的有效性。表 2 列出了所考虑的滚轮驱动系统的参数。表 3 显示了滚轮与 RG 凸轮之间的干涉和间隙设置，其中负号表示干涉，正号表示间隙。图 9 显示了滚轮在 RG 凸轮槽中运行时，滚轮与 RG 凸轮槽左侧（或右侧）之间的干涉（或间隙）变化。

图 10 显示了示例 RGcam 驱动系统的接触比分析结果。单侧接触比约为 2 ∼ 3 2 ∼ 3 2∼32 \sim 3 ，总接触比约为 4 ∼ 5 4 ∼ 5 4∼54 \sim 5 。图 11 显示了压力角随炮塔旋转角度的变化。左侧的最大压力角约为 22.3 ∘ 22.3 ∘ 22.3^(@)22.3^{\circ} ，发生在炮塔角度 − 2 ∘ − 2 ∘ -2^(@)-2^{\circ} 时。同样，右侧的最大压力角约为 22.3 ∘ 22.3 ∘ 22.3^(@)22.3^{\circ} ，发生在炮塔角度 2 ∘ 2 ∘ 2^(@)2^{\circ} 时。图 12 显示了主曲率半径随炮塔旋转角度的变化，其中 r 1 r 1 r_(1)r_{1} 和 r 2 r 2 r_(2)r_{2} 分别表示第一和第二主曲率半径，正值和负值的

图 10. 说明性示例的接触比率分析：(a) 左侧接触比率；(b) 右侧接触比率；(c) 总接触比率。

半径分别表示凸面和凹面。请注意，为了清晰起见，图 12 中仅显示了顶部和根部主曲率半径。图 13 显示了相对于炮塔旋转角度的最佳工具补偿参考位置 u opt u opt  u_("opt ")u_{\text {opt }} （由公式（35）确定）。图 14 显示了工具半径补偿对三个参考补偿位置 u = u = u=u= 、 0 , u = 0.5 ℓ r 0 , u = 0.5 ℓ r 0,u=0.5ℓ_(r)0, u=0.5 \ell_{r} 和 u = u o p t u = u o p t u=u_(opt)u=u_{o p t} 产生的加工误差。由于误差分布相对于炮塔旋转角度 0 ∘ 0 ∘ 0^(@)0^{\circ} 是对称的，图 14 仅显示了炮塔旋转角度范围 0 ∘ ∼ 45 ∘ 0 ∘ ∼ 45 ∘ 0^(@)∼45^(@)0^{\circ} \sim 45^{\circ} 的误差分布。表 4 显示了三个参考补偿位置的最大加工误差。如果参考补偿位置设置为 u = 0 u = 0 u=0u=0 ，最大加工误差为 ε = 0.0136 mm ε = 0.0136 mm epsi=0.0136mm\varepsilon=0.0136 \mathrm{~mm} ，并发生在顶部。

RC-cam 凹槽的区域（由公式（32）确定）。相比之下，如果参考补偿位置设置为 u = 0.5 ℓ r = 9.5 mm u = 0.5 ℓ r = 9.5 mm u=0.5ℓ_(r)=9.5mmu=0.5 \ell_{r}=9.5 \mathrm{~mm} ，最大加工误差为 ε = 0.0064 mm ε = 0.0064 mm epsi=0.0064mm\varepsilon=0.0064 \mathrm{~mm} （相比于设置 u = 0 u = 0 u=0u=0 改善了 53 % 53 % 53%53 \% ），并发生在 RC-cam 凹槽的顶部区域，而 RC-cam 凹槽根部区域的误差约为 ε = ε = epsi=\varepsilon= 0.0013 毫米（由公式（32）确定）。最后，如果参考补偿位置设置为 u = u opt u = u opt  u=u_("opt ")u=u_{\text {opt }} （由公式（35）确定），最大加工误差为 ε opt = 0.0034 mm ε opt  = 0.0034 mm epsi_("opt ")=0.0034mm\varepsilon_{\text {opt }}=0.0034 \mathrm{~mm} （相比于设置 u = 0 u = 0 u=0u=0 改善了 75 % 75 % 75%75 \% ），并发生在 RC-cam 凹槽的顶部和根部区域（由公式（37）确定），在实际情况下足够小，可以忽略不计。图 15 展示了制造的 RG-cam 及其在滚轮驱动系统中的组装照片。

图 11. RG 凸轮的压力角分析示例：(a) 左侧接触区域的压力角；(b) 右侧接触区域的压力角。

图 16 显示了基于 ISO 230-2 标准的炮塔旋转精度的评估结果。可以看出，炮塔在正向或反向完成一整圈时的旋转误差小于 10 秒。

  8. 结论


对于需要精确旋转定位的机床旋转台，传统的蜗轮驱动系统逐渐被 RG 凸轮驱动系统所取代，因为后者具有更高的旋转精度和传动效率。在这种驱动系统中，滚轮与 RG 凸轮之间的啮合是预加载的，从而消除了它们之间的间隙，使 RG 凸轮系统超精确。然而，控制滚轮与 RG 凸轮之间的预加载啮合需要使用非成形工具的五轴数控加工，这不可避免地引入了加工误差。因此，本研究提出了一种全面而简单的方法，用于在传统的五轴数控加工中心上设计、分析和制造精确的 RG 凸轮系统。值得注意的是，通过使用刀具半径补偿方法，所提出的方法能够控制和最小化加工误差。

提议的方法包括干扰/间隙序列图；RG-cam 表面方程、主曲率、压力角、接触比、加工误差、最佳刀具补偿参考位置、滚轮驱动的旋转误差分析；以及用于加工 RG-cam 的 5 轴机床所需的 NC 代码。通过对一个示例 RG-cam 的设计、分析和制造，证明了所提方法的有效性。结果表明，加工误差从 ε = 0.0136 mm ε = 0.0136 mm epsi=0.0136mm\varepsilon=0.0136 \mathrm{~mm} （当参考补偿位置设定为 u = 0 u = 0 u=0u=0 时）改善到 ε opt = 0.0034 mm ε opt  = 0.0034 mm epsi_("opt ")=0.0034mm\varepsilon_{\text {opt }}=0.0034 \mathrm{~mm} （当参考补偿位置设定为 u = u o p t u = u o p t u=u_(opt)u=u_{o p t} 时），这一误差足够小，可以在实际情况下忽略。此外，滚轮驱动系统在 ISO 230-2 标准的基础上，显示出在正向或反向旋转一整圈时，定位精度优于 10 秒。

为了更清晰地验证和分析 RGcam 的制造结果，使用坐标测量机（CMM）测量 RG-cam 的空间表面目前是相对可靠、高精度和大范围的测量方法之一。然而，对于如此复杂的空间表面测量，CMM 的测量路径 NC 代码、测量点与理论点的匹配、误差分析等，提出了另一个具有挑战性的课题。

图 12. RG-cam 的主半径分析示例（仅显示 RG-cam 槽的根部和顶部位置的值）。

图 13. 相对于炮塔的各个旋转角度的最佳工具补偿参考位置 u opt u opt  u_("opt ")u_{\text {opt }} 。

图 14. 调整 u = 0 , u = 0.5 ℓ r u = 0 , u = 0.5 ℓ r u=0,u=0.5ℓ_(r)u=0, u=0.5 \ell_{r} 和 u = u opt u = u opt  u=u_("opt ")u=u_{\text {opt }} 的参考补偿位置时的工具补偿加工误差。
  表 4

示例中的最大加工误差。

参考补偿 位置
Reference compensation position| Reference compensation | | :--- | | position |

最大加工误差 ( mm ) ( mm ) (mm)(\mathrm{mm})
Maximum machining error (mm)| Maximum machining | | :--- | | error | | $(\mathrm{mm})$ |
   改善率
u = 0 u = 0 u=0u=0 ε = 0.0136 ε = 0.0136 epsi=0.0136\varepsilon=0.0136 (NA)
u = 0.5 ℓ r u = 0.5 ℓ r u=0.5ℓ_(r)u=0.5 \ell_{r} ε = 0.0064 ε = 0.0064 epsi=0.0064\varepsilon=0.0064 53 % 53 % 53%53 \%
u = u opt u = u opt  u=u_("opt ")u=u_{\text {opt }} ε opt = 0.0034 ε opt  = 0.0034 epsi_("opt ")=0.0034\varepsilon_{\text {opt }}=0.0034 75 % 75 % 75%75 \%
"Reference compensation position" "Maximum machining error (mm)" Improvement rate u=0 epsi=0.0136 (NA) u=0.5ℓ_(r) epsi=0.0064 53% u=u_("opt ") epsi_("opt ")=0.0034 75%| Reference compensation <br> position | Maximum machining <br> error <br> $(\mathrm{mm})$ | Improvement rate | | :--- | :--- | :--- | | $u=0$ | $\varepsilon=0.0136$ | (NA) | | $u=0.5 \ell_{r}$ | $\varepsilon=0.0064$ | $53 \%$ | | $u=u_{\text {opt }}$ | $\varepsilon_{\text {opt }}=0.0034$ | $75 \%$ |

因此，在目前有限的评估方法中，按照工业标准 ISO 230-2 直接测量和分析最终 RG-cam 系统的操作错误是更可行和具有代表性的性能评估方法之一。当然，使用 CMM 对 RG-cam 进行空间表面测量和误差分析已成为我们未来下一个重要研究课题之一。

目前，滚筒驱动系统中使用的减速器主要分为蜗轮齿轮型和滚轮齿轮凸轮（RG-凸轮）型。与蜗轮组的滑动传动不同，RG-凸轮型采用滚动传动。圆柱形滚子是能够产生滚动运动的最简单形状。在滚子获取方面，从制造的角度来看，圆柱形滚子在精度控制上更容易；从市场采购的角度来看，圆柱形滚子也更容易。

更容易从轴承供应商那里获得标准零件。因此，圆柱滚子具有成本优势。因此，本文以最简单的圆柱滚子为研究起点，成功建立了一套详细的几何推导过程，用于 RG 凸轮轮廓、RG 凸轮加工程序和 RG 凸轮几何误差控制方法。对于其他轮廓的滚子，例如桶形滚子，有许多优点，例如，接触面积减少以降低摩擦，更容易在 RG 凸轮上滚动，运行更安静，等等。然而，它们的几何形状更复杂，预计会遇到更复杂的设计和制造问题。例如：如何设计相应的 RG 凸轮接触轮廓；如何加工相应的 RG 凸轮轮廓；如何优化桶形滚子轮廓与 RG 凸轮轮廓的匹配；等等。这些都是复杂但值得进一步研究的课题。

本文最终直接使用工业标准 ISO230-2 测试了 RG-cam 系统的操作误差。评估结果证明了本文提出的方法具有初步有效性。此外，本文的成果可以作为未来更复杂设计和分析的基础。还有机会通过先进的 CAE 分析软件（如 Altair HyperWorks、MSC Adams、Abaqus 等）纳入更多边界条件（如力、载荷、速度、润滑等），并分析更多物理现象（如应力、应变、效率等）。

图 15. 完成的 RG-cam 型滚筒驱动系统的照片。

图 16. 旋转误差分析示例的炮塔（RG-凸轮的一个旋转周期）…

CRediT authorship contribution statement


蔡忠宇：写作 - 审稿与编辑，写作 - 原始草稿，监督，软件，资源，项目管理，方法论，调查，资金获取，正式分析，数据管理，概念化。


利益冲突声明


作者声明他们没有已知的竞争性财务利益或个人关系，这些关系可能会影响本文所报告的工作。

  数据可用性


文章中描述的研究没有使用任何数据。

  附录 A


根据齐次矩阵原理[26]，平移和旋转算子分别表示为
Tran ( t ) = Tran ( t x , t y , t z ) = [ 1 0 0 t x 0 1 0 t y 0 0 1 t z 0 0 0 1 ] Tran ( t ) = Tran t x , t y , t z = 1 0 0 t x 0 1 0 t y 0 0 1 t z 0 0 0 1 Tran(t)=Tran(t_(x),t_(y),t_(z))=[[1,0,0,t_(x)],[0,1,0,t_(y)],[0,0,1,t_(z)],[0,0,0,1]]\operatorname{Tran}(\mathrm{t})=\operatorname{Tran}\left(t_{x}, t_{y}, t_{z}\right)=\left[\begin{array}{cccc}1 & 0 & 0 & t_{x} \\ 0 & 1 & 0 & t_{y} \\ 0 & 0 & 1 & t_{z} \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right]
Rot ( x , ϕ x ) = [ 1 0 0 0 0 cos ⁡ ϕ x − sin ⁡ ϕ x 0 0 sin ⁡ ϕ x cos ⁡ ϕ x 0 0 0 0 1 ] Rot x , ϕ x = 1 0 0 0 0 cos ⁡ ϕ x − sin ⁡ ϕ x 0 0 sin ⁡ ϕ x cos ⁡ ϕ x 0 0 0 0 1 Rot(x,phi_(x))=[[1,0,0,0],[0,cos phi_(x),-sin phi_(x),0],[0,sin phi_(x),cos phi_(x),0],[0,0,0,1]]\operatorname{Rot}\left(x, \phi_{x}\right)=\left[\begin{array}{cccc}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \phi_{x} & -\sin \phi_{x} & 0 \\ 0 & \sin \phi_{x} & \cos \phi_{x} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right]
Rot ( y , ϕ y ) = [ cos ⁡ ϕ y 0 sin ⁡ ϕ y 0 0 1 0 0 − sin ⁡ ϕ y 0 cos ⁡ ϕ y 0 0 0 0 1 ] Rot y , ϕ y = cos ⁡ ϕ y 0 sin ⁡ ϕ y 0 0 1 0 0 − sin ⁡ ϕ y 0 cos ⁡ ϕ y 0 0 0 0 1 Rot(y,phi_(y))=[[cos phi_(y),0,sin phi_(y),0],[0,1,0,0],[-sin phi_(y),0,cos phi_(y),0],[0,0,0,1]]\operatorname{Rot}\left(y, \phi_{y}\right)=\left[\begin{array}{cccc}\cos \phi_{y} & 0 & \sin \phi_{y} & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ -\sin \phi_{y} & 0 & \cos \phi_{y} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right]
Rot ( z , ϕ z ) = [ cos ⁡ ϕ z − sin ⁡ ϕ z 0 0 sin ⁡ ϕ z cos ⁡ ϕ z 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ] Rot z , ϕ z = cos ⁡ ϕ z − sin ⁡ ϕ z 0 0 sin ⁡ ϕ z cos ⁡ ϕ z 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 Rot(z,phi_(z))=[[cos phi_(z),-sin phi_(z),0,0],[sin phi_(z),cos phi_(z),0,0],[0,0,1,0],[0,0,0,1]]\operatorname{Rot}\left(z, \phi_{z}\right)=\left[\begin{array}{cccc}\cos \phi_{z} & -\sin \phi_{z} & 0 & 0 \\ \sin \phi_{z} & \cos \phi_{z} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right]

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  致谢


本研究得到了台湾国家科学技术委员会的支持，资助编号为 NSTC 112-2221-E-194-037，以及高科技创新制造高级研究院（AIMHI）。


遵守伦理标准


没有利益冲突，也没有涉及人类参与者和/或动物的研究。

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