测度的延拓（ver. 概率论）

从两个礼拜前开始学概率论和测度论，翻了两本书，看了很多帖子，最后发现，我不知道测度论一开始的一堆定理到底在干什么。看到了像环，半环，代数，半代数， $\sigma$\sigma -代数，还有单调类， $\pi$\pi -系， $\lambda$\lambda -系之类的一堆结构，而每个结构都对一些运算封闭。每次看了一个新的结构，就会忘记一个旧的结构。反正看了半天，除了 $\sigma$\sigma -代数以外，都不知道其他玩意到底有什么用。

在死磕书籍失败以后，开始听取友人的建议，转战网课。（数学太烂，自己啃啃不来）所幸碰到了一位叫Adam B Kashlak的教授的课程，看了前三节课，大概明白测度论引入各种结构，以及测度延拓的意义之所在，遂在此记录一下自己的理解，写得不会特别详细，不会把定义证明啥的全列出来。（这个教授好像The Flash里的博士啊。）

首先，在初等概率论里面，我们基本都知道概率是定义在全集 $\mathrm{\Omega }$\Omega 的子集 $A$A 上面的。也就是，在样本空间 $\mathrm{\Omega }$\Omega 上，我们可以抽出一个子集（事件） $A\subset \mathrm{\Omega }$A\subset \Omega ，然后计算这个子集（事件）的概率 $P(A)$P(A) 。在概率论里，我们需要考虑的一件很重要的事情就是，如何计算出样本空间 $\mathrm{\Omega }$\Omega 中所有事件 $A$A 的概率。样本空间上所有事件可以组成一个集合的集合 $\mathcal{F}$\mathcal F ，而计算事件之概率的这个东西就被称之为测度 $\mathcal{P}$\mathcal P ，也就是度量集合的大小的一个函数。三个东西在经过一定限制以后拼在一起，变成三元组 $(\mathrm{\Omega },\mathcal{F},\mathcal{P})$(\Omega, \mathcal F, \mathcal P) ，就变成了一个测度空间。

如果说我们对样本空间上的所有事件感兴趣，也就是对幂集 $2^{\mathrm{\Omega }}=\mathcal{P}(\mathrm{\Omega })$2^\Omega=\mathcal P(\Omega) 的所有元素都感兴趣，那我们就需要对幂集中所有的事件 $A$A 求测度。在古典概型的情况下，这大概可以搞定，也就是算 $2^{|\mathrm{\Omega }|}$2^{|\Omega|} 个测度的事儿。但是，如果我们要考虑的样本空间是实数系 $\mathbb{R}$\mathbb R 的话，这套办法就不顶用了，因为这样会有无穷多个测度需要去计算。但是，聪明的数学家引入了$\sigma$\sigma - 代数这一结构，将问题转换为了定义$\sigma$\sigma - 代数上的测度。至于为什么要定义在 $\sigma$\sigma - 代数上，我想大概是因为 $\sigma$\sigma - 代数满足的性质，包括对取补运算封闭，以及对可列并封闭，这些性质天然符合概率论公理的那三条，所以说就定义在这上面了。（此处不知道是先有$\sigma$\sigma -代数再有概率论公理，还是需要符合概率论公理才搬出 $\sigma$\sigma - 代数这个数学结构）

当然，光有 $\sigma$\sigma - 代数还不够，我们也很难直接在 $\sigma$\sigma - 代数上定义测度，因为 $\sigma$\sigma - 代数满足的性质很多，处理起来很麻烦。数学家的想法是，我们可以在一个比较简单的结构上定义好测度。然后，把测度给延拓到 $\sigma$\sigma - 代数上，这样就能很好的把概率论的地基给打实了。数学家的选择是在环上干这件事，环是一个对差集和并集运算封闭的结构。一个比较简单的例子就是： $\mathcal{A}=\{所有左开右比区间的有限并集\}$\mathcal A = \{所有左开右比区间的有限并集\} 。像在这个环上面，我们就可以很简单地定义出测度，假如有集合 $A=(a,b]\cup (c,d],a<b<c<d$A = (a,b]\cup (c,d],a<b<c<d ，其测度为 $\mu (A)=d-c+b-a$\mu(A)=d-c+b-a 。先整出一个环，然后整出环上的预测度，这个测度满足两点：1） $\mu (\mathrm{\varnothing })=0$\mu(\emptyset) = 0 ; 2) 对于 $\{A_i{\}}_{\{i=1\}}^{\mathrm{\infty }},A_i\cup A_j=\mathrm{\varnothing }$\{A_i\}^\infty_{\{i=1\}}, A_i\cup A_j=\emptyset ， 有 $\mu (\bigcup _{\{i=1\}}^{\mathrm{\infty }}{A}_i)=\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}\mu (A_i)$\mu(\bigcup^\infty_{\{i=1\}}A_i)=\sum^\infty_{i=1}\mu(A_i) 。那有了环 $\mathcal{A}$\mathcal A ，还有定义在环上的预测度 $\mu$\mu ，数学家 $Caratheodory$Caratheodory 证明了，预测度 $\mu$\mu 能够从环 $\mathcal{A}$\mathcal A 延拓到最小的 $\sigma$\sigma - 代数 $\sigma (\mathcal{A})$\sigma(\mathcal A) 上去。也就说明了延拓的存在性。（我要吐槽，这个定理证了整整3页纸....）

另外，还有测度的唯一性，我们希望延拓的这个测度是唯一的。此处又引入了俩新的结构 $\pi$\pi - 系 和 $\lambda$\lambda - 系。$\pi$\pi - 系 对于交集运算封闭的系统。（老师说这个结构最符合概率论的直觉，因为两个集合的交集还在系统之中）还有就是$\lambda$\lambda - 系，它对差集和可列不交并是封闭的。数学家 $Dynkin$Dynkin 证明了，如果一个$\pi$\pi - 系 $\mathcal{A}$\mathcal A 和一个$\lambda$\lambda - 系 $\mathcal{L}$\mathcal L ，有 $\mathcal{A}\subset \mathcal{L}$\mathcal A\subset \mathcal L，就会有 $\sigma (\mathcal{A})\subset \mathcal{L}$\sigma(\mathcal A) \subset \mathcal L 。某位数学家又根据这个定理，证明了在同一个$\pi$\pi - 系 上两个值相同的测度，在延拓到 $\sigma (\mathcal{A})$\sigma(\mathcal A) 上以后，它俩还是一样的，也就是测度延拓的唯一性。

虽然乍一看两个定理证明的东西好像不一样，一个证明的是环上预测度进行延拓后的存在性，另一个则证明的是$\pi$\pi - 系上测度延拓后的唯一性。但是，我们对环的这个结构进行验证，发现环其实也是对交集运算封闭的，$\{A,B\in \mathcal{A},A\cap B=(A\cup B)\mathrm{\setminus }(A\mathrm{△}B)\in \mathcal{A}\}$\{A,B\in \mathcal A, A\cap B= (A\cup B)\backslash (A\triangle B)\in \mathcal A\} 。也就是说，环一定是$\pi$\pi - 系。因此，如果唯一性证明中的$\pi$\pi - 系 $\mathcal{A}$\mathcal A 替换成了环 $\mathcal{A}$\mathcal A ，证明也是成立的。所以，根据上面这两大定理就可以得到环 $\mathcal{A}$\mathcal A 上的预测度 $\mu$\mu 可以唯一延拓到 $\sigma (\mathcal{A})$\sigma(\mathcal A) 上的结论。也就是说，我们可以先在简单的结构上定义出测度，然后给他延拓到 $\sigma$\sigma - 代数上。这样就可以进行概率论后续的操作了。

大概总结的东西就是这些，后面的东西学完以后再总结了。果然，学一个东西，不仅得知道它是什么，还得知道它为什么是这样的，这样才能加深对于它的理解，费曼学习法好啊。