题目分析：
题目要求找到两个自然数之和等于99时，这两个数的乘积最大是多少。
解题思路：
- 设定变量：设这两个自然数分别为 和 。
- 等式关系：根据题意，有 。
- 目标函数：我们要最大化 。
解题步骤：
- 变量替换：
由于 ，我们可以将 表示为 。
- 构建目标函数：
将 代入乘积公式中，得到：
其中， 表示乘积。
- 求最大值：
这是一个关于 的二次函数 ，它的图像是开口向下的抛物线。二次函数 的顶点处的 值为 。
在这里，，，所以顶点处的 值为：
- 验证自然数：
由于题目要求 和 是自然数，且自然数是正整数，所以我们需要考虑 和 的整数部分。
- 当 ，
- 当 ，
- 计算乘积：
- 当 时，
- 当 时，
可以看到，这两个情况下的乘积都是 2450。
答案：
当两个自然数之和等于99时，它们的乘积最大是 2450。
知识点讲解：
- 二次函数的顶点：二次函数 的顶点处的 值为 ，这是求二次函数极值的常用方法。
- 自然数：自然数是从1开始的正整数，包含1, 2, 3, 4, ...。
扩展思维：
- 进一步思考：如果题目要求两个数是整数而不仅仅是自然数，会有什么不同？
- 应用场景：类似的最大化问题在实际中也常见，比如在资源分配、经济学中的利润最大化等。
希望这个解答对你有所帮助！如果有任何疑问或需要进一步解释的地方，请随时提问。
