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无选择大基数简介

加布里埃尔·戈德伯格

加州大学伯克利分校

2022

大纲


  • ZFC 中大基数层级的极限

  • 超越选择的大基数

  • 从 V V VV 到 V V VV 的嵌入结构理论

大基数


扩展和加强标准 Z F ( C ) Z F ( C ) ZF(C)Z F(C) 公理的理论的自然层次结构：大基数假设

  • 大基数提供了分析集合论原理所需的强大背景理论

  • 作为公理，大基数提供了集合宇宙的丰富而一致的图景

Kunen 定理


将其推向自然极端，现代制定大基数假设的范式产生了与选择公理不一致的原则

  • 这一层次的假设一致性无法通过与 AC 兼容的大基数假设来证明

  • 作为公理，这些无选择的大基数假设开始提供了一个丰富而连贯的图景……关于什么？


初等嵌入与大基数

定理（Scott）


基数 κ κ kappa\kappa 是可测的当且仅当可以找到一个内模型 M ⊆ V M ⊆ V M sube VM \subseteq V 和一个初等嵌入 j : V → M j : V → M j:V rarr Mj: V \rightarrow M ，使得 κ κ kappa\kappa 是 j j jj 的关键点。

  • 对于这样的 j : V → M j : V → M j:V rarr Mj: V \rightarrow M ，有 V κ + 1 ⊆ M V κ + 1 ⊆ M V_(kappa+1)sube MV_{\kappa+1} \subseteq M 和 j ↾ V κ = j ↾ V κ = j↾V_(kappa)=j \upharpoonright V_{\kappa}= id

  • κ κ kappa\kappa 是 2-强的，如果还可以获得 V κ + 2 ⊆ M V κ + 2 ⊆ M V_(kappa+2)sube MV_{\kappa+2} \subseteq M

  • κ κ kappa\kappa 是超级强的，如果 j ( V κ ) = V j ( κ ) j V κ = V j ( κ ) j(V_(kappa))=V_(j(kappa))j\left(V_{\kappa}\right)=V_{j(\kappa)}

  • 一般来说，人们只知道 j ( V κ ) = V j ( κ ) ∩ M j V κ = V j ( κ ) ∩ M j(V_(kappa))=V_(j(kappa))nn Mj\left(V_{\kappa}\right)=V_{j(\kappa)} \cap M

  • κ κ kappa\kappa 是 n n nn 倍超强的，如果 j n ( V κ ) = V j n ( κ ) j n V κ = V j n ( κ ) j^(n)(V_(kappa))=V_(j^(n)(kappa))j^{n}\left(V_{\kappa}\right)=V_{j^{n}(\kappa)}

定理（Kunen）


不存在从 V V VV 到 V V VV 的非平凡基本嵌入。

库南界限


假设 P , Q P , Q P,QP, Q 是传递的且 j : P → Q j : P → Q j:P rarr Qj: P \rightarrow Q 是初等的
  • 对于 n < ω , κ n ( j ) = j n ( crit ( j ) ) n < ω , κ n ( j ) = j n ( crit ( j ) ) n < omega,kappa_(n)(j)=j^(n)(crit(j))n<\omega, \kappa_{n}(j)=j^{n}(\operatorname{crit}(j))
  • κ ω ( j ) = sup n < ω κ n ( j ) κ ω ( j ) = sup n < ω   κ n ( j ) kappa_(omega)(j)=s u p_(n < omega)kappa_(n)(j)\kappa_{\omega}(j)=\sup _{n<\omega} \kappa_{n}(j)

所以 κ κ kappa\kappa 是 n n nn 重超强的当且仅当存在 j : V → M j : V → M j:V rarr Mj: V \rightarrow M 与 crit ( j ) = κ crit ( j ) = κ crit(j)=kappa\operatorname{crit}(j)=\kappa 和 V κ n ( j ) ⊆ M V κ n ( j ) ⊆ M V_(kappa_(n)(j))sube MV_{\kappa_{n}(j)} \subseteq M

公理 I 2 : κ I 2 : κ I_(2):kappa\mathbf{I}_{2}: \kappa 是 ω ω omega\omega 重超强的，如果存在一个临界点为 κ κ kappa\kappa 的 j : V → M j : V → M j:V rarr Mj: V \rightarrow M ，使得 V κ ω ( j ) ⊆ M V κ ω ( j ) ⊆ M V_(kappa_(omega)(j))sube MV_{\kappa_{\omega}(j)} \subseteq M

定理（Kunen）


不存在基本嵌入 j : V → M j : V → M j:V rarr Mj: V \rightarrow M 使得 V κ ω ( j ) + 1 ⊆ M V κ ω ( j ) + 1 ⊆ M V_(kappa_(omega)(j)+1)sube MV_{\kappa_{\omega}(j)+1} \subseteq M 。


秩入秩嵌入


攀登大基数层级的另一种方法：


从累积层次结构的各个层级到其自身的嵌入

  • 如果 j : V → M j : V → M j:V rarr Mj: V \rightarrow M 与 V λ ⊆ M V λ ⊆ M V_(lambda)sube MV_{\lambda} \subseteq M 是初等的，其中 λ = κ ω ( j ) λ = κ ω ( j ) lambda=kappa_(omega)(j)\lambda=\kappa_{\omega}(j) ， j ↾ V λ j ↾ V λ j↾V_(lambda)j \upharpoonright V_{\lambda} 是从 V λ V λ V_(lambda)V_{\lambda} 到其自身的初等嵌入

  • 尽管 Kunen 的界限表明 V λ + 1 ⊈ M V λ + 1 ⊈ M V_(lambda+1)⊈MV_{\lambda+1} \nsubseteq M ，但基本 i : V λ + 1 → V λ + 1 ( i : V λ + 1 → V λ + 1 i:V_(lambda+1)rarrV_(lambda+1)(:}i: V_{\lambda+1} \rightarrow V_{\lambda+1}\left(\right. 公理 I 1 ) I 1 {:I_(1))\left.I_{1}\right) 被认为与 ZFC 并不矛盾

  • 另一方面，从 V λ + 2 V λ + 2 V_(lambda+2)V_{\lambda+2} 到其自身的非平凡基本嵌入与 ZFC 不一致

    这促使研究人员将注意力集中在刚刚超过 V λ + 1 V λ + 1 V_(lambda+1)V_{\lambda+1} 的“不一致边缘”上。


不一致的边缘


原则 D n ( λ ) D n ( λ ) D_(n)(lambda)\mathbf{D}_{n}(\lambda) 指出存在一个从 V λ + 1 V λ + 1 V_(lambda+1)V_{\lambda+1} 到 V λ + 1 V λ + 1 V_(lambda+1)V_{\lambda+1} 的 Σ n Σ n Sigma_(n)\Sigma_{n} -初等嵌入，且具有 λ = κ ω ( j ) λ = κ ω ( j ) lambda=kappa_(omega)(j)\lambda=\kappa_{\omega}(j) 。
定理（马丁）
D 0 ( λ ) < D 1 ( λ ) = D 2 ( λ ) < D 3 ( λ ) = D 4 ( λ ) < ⋯ D 0 ( λ ) < D 1 ( λ ) = D 2 ( λ ) < D 3 ( λ ) = D 4 ( λ ) < ⋯ D_(0)(lambda) < D_(1)(lambda)=D_(2)(lambda) < D_(3)(lambda)=D_(4)(lambda) < cdots\mathrm{D}_{0}(\lambda)<\mathrm{D}_{1}(\lambda)=\mathrm{D}_{2}(\lambda)<\mathrm{D}_{3}(\lambda)=\mathrm{D}_{4}(\lambda)<\cdots

D 0 ( λ ) D 0 ( λ ) D_(0)(lambda)D_{0}(\lambda) 相当于一个基本的 j : V λ → V λ j : V λ → V λ j:V_(lambda)rarrV_(lambda)j: V_{\lambda} \rightarrow V_{\lambda} ，而 D 1 ( λ ) D 1 ( λ ) D_(1)(lambda)D_{1}(\lambda) 相当于 ω ω omega\omega -超级强度。


不一致的边缘


公理 D n 1 ( λ ) D n 1 ( λ ) D_(n)^(1)(lambda)\mathbf{D}_{n}^{1}(\lambda) ：从 ( V λ + 1 , T ) V λ + 1 , T (V_(lambda+1),T)\left(V_{\lambda+1}, T\right) 到自身的 Σ n Σ n Sigma_(n)\Sigma_{n} -初等嵌入，其中 T T TT 表示 V λ + 1 V λ + 1 V_(lambda+1)V_{\lambda+1} 的满足谓词。

公理 D n 2 ( λ ) D n 2 ( λ ) D_(n)^(2)(lambda)\mathbf{D}_{n}^{2}(\lambda) ：从 ( V λ + 1 , S ) V λ + 1 , S (V_(lambda+1),S)\left(V_{\lambda+1}, S\right) 到其自身的 Σ n Σ n Sigma_(n)\Sigma_{n} -初等嵌入，其中 S S SS 表示 ( V λ + 1 , T ) V λ + 1 , T (V_(lambda+1),T)\left(V_{\lambda+1}, T\right) 的满足谓词。

公理 D n α ( λ ) D n α ( λ ) D_(n)^(alpha)(lambda)\mathbf{D}_{n}^{\alpha}(\lambda) ：从 L α ( V λ + 1 ) L α V λ + 1 L_(alpha)(V_(lambda+1))L_{\alpha}\left(V_{\lambda+1}\right) 到自身的 Σ n Σ n Sigma_(n)\Sigma_{n} -初等嵌入。

伍丁公理 I 0 ( λ ) I 0 ( λ ) I_(0)(lambda)I_{0}(\lambda) ：存在一个初等嵌入
j : L ( V λ + 1 ) → L ( V λ + 1 ) j : L V λ + 1 → L V λ + 1 j:L(V_(lambda+1))rarr L(V_(lambda+1))j: L\left(V_{\lambda+1}\right) \rightarrow L\left(V_{\lambda+1}\right) 与 λ = κ ω ( j ) λ = κ ω ( j ) lambda=kappa_(omega)(j)\lambda=\kappa_{\omega}(j) 。

L ( R ) L ( R ) L(R)L(\mathbb{R}) 和 L ( V λ + 1 ) L V λ + 1 L(V_(lambda+1))L\left(V_{\lambda+1}\right)

定理（索洛维）

在 A D L ( R ) , ω 1 A D L ( R ) , ω 1 AD^(L(R)),omega_(1)A D^{L(\mathbb{R})}, \omega_{1} 下是可测量的在 L ( R ) L ( R ) L(R)L(\mathbb{R}) 中。

定理（伍丁）


在 I 0 ( λ ) , λ + I 0 ( λ ) , λ + I_(0)(lambda),lambda^(+)I_{0}(\lambda), \lambda^{+} 下在 L ( V λ + 1 ) L V λ + 1 L(V_(lambda+1))L\left(V_{\lambda+1}\right) 中是可测量的。

L ( R ) L ( R ) L(R)L(\mathbb{R}) 和 L ( V λ + 1 ) L V λ + 1 L(V_(lambda+1))L\left(V_{\lambda+1}\right)

定理（戴维斯）


在 L ( R ) L ( R ) L(R)L(\mathbb{R}) 中，根据 AD L ( R ) AD L ( R ) AD^(L(R))\mathrm{AD}^{L(\mathbb{R})} ， R R R\mathbb{R} 的每个不可数子集都与 R R R\mathbb{R} 存在双射关系。

定理（克拉默）


在 L ( V λ + 1 ) L V λ + 1 L(V_(lambda+1))L\left(V_{\lambda+1}\right) 中，根据 I 0 ( λ ) I 0 ( λ ) I_(0)(lambda)I_{0}(\lambda) ， V λ + 1 V λ + 1 V_(lambda+1)V_{\lambda+1} 的每个基数大于 λ λ lambda\lambda 的子集都与 V λ + 1 V λ + 1 V_(lambda+1)V_{\lambda+1} 双射。

L ( R ) L ( R ) L(R)L(\mathbb{R}) 和 L ( V λ + 1 ) L V λ + 1 L(V_(lambda+1))L\left(V_{\lambda+1}\right)


设 Θ L ( R ) Θ L ( R ) Theta^(L(R))\Theta^{L(\mathbb{R})} 表示所有作为 R R R\mathbb{R} 在 L ( R ) L ( R ) L(R)L(\mathbb{R}) 中的满射像的序数的上确界。

定理（Moschovakis）


在 L ( R ) L ( R ) L(R)L(\mathbb{R}) 中， A D L ( R ) , Θ L ( R ) A D L ( R ) , Θ L ( R ) AD^(L(R)),Theta^(L(R))A D^{L(\mathbb{R})}, \Theta^{L(\mathbb{R})} 是一个强不可达基数：即对于所有 η < Θ η < Θ eta < Theta\eta<\Theta ，从 P ( η ) P ( η ) P(eta)P(\eta) 到 Θ Θ Theta\Theta 的每个函数都是有界的。

设 Θ L ( V λ + 1 ) Θ L V λ + 1 Theta^(L(V_(lambda+1)))\Theta^{L\left(V_{\lambda+1}\right)} 表示所有作为 V λ + 1 V λ + 1 V_(lambda+1)V_{\lambda+1} 在 L ( V λ + 1 ) L V λ + 1 L(V_(lambda+1))L\left(V_{\lambda+1}\right) 中的满射像的序数的上确界。
定理（伍丁）

在 L ( V λ + 1 ) L V λ + 1 L(V_(lambda+1))L\left(V_{\lambda+1}\right) 中， I 0 ( λ ) , Θ L ( V λ + 1 ) I 0 ( λ ) , Θ L V λ + 1 I_(0)(lambda),Theta^(L(V_(lambda+1)))\mathrm{I}_{0}(\lambda), \Theta^{L\left(V_{\lambda+1}\right)} 是一个强不可达基数。

L ( R ) L ( R ) L(R)L(\mathbb{R}) 和 L ( V λ + 1 ) L V λ + 1 L(V_(lambda+1))L\left(V_{\lambda+1}\right)

定理（Kunen）


在 A D L ( R ) A D L ( R ) AD^(L(R))A D^{L(\mathbb{R})} 下，在 L ( R ) L ( R ) L(R)L(\mathbb{R}) 中，每个在小于 Θ Θ Theta\Theta 的序数上的 ω 1 ω 1 omega_(1)\omega_{1} -完全滤子都可以扩展为一个 ω 1 ω 1 omega_(1)\omega_{1} -完全超滤子。

定理（G.）


在 I 0 ( λ ) I 0 ( λ ) I_(0)(lambda)\mathrm{I}_{0}(\lambda) 下，在 L ( V λ + 1 ) L V λ + 1 L(V_(lambda+1))L\left(V_{\lambda+1}\right) 中，每个在小于 Θ Θ Theta\Theta 的序数上的 λ + λ + lambda^(+)\lambda^{+} -完全滤子都可以扩展为一个 λ + λ + lambda^(+)\lambda^{+} -完全超滤子。

超过 L ( V λ + 1 ) L V λ + 1 L(V_(lambda+1))L\left(V_{\lambda+1}\right)

定理（克拉默）


如果存在从 L ( V λ + 1 # ) L V λ + 1 # L(V_(lambda+1)^(#))L\left(V_{\lambda+1}^{\#}\right) 到其自身的初等嵌入，则存在一个 γ < λ γ < λ gamma < lambda\gamma<\lambda 的 ω ω omega\omega -俱乐部，使得 I 0 ( γ ) I 0 ( γ ) I_(0)(gamma)\mathrm{I}_{0}(\gamma) 成立。

L ( R ) L ( R ) L(R)L(\mathbb{R}) 和 L ( V λ + 1 ) L V λ + 1 L(V_(lambda+1))L\left(V_{\lambda+1}\right) 之间的类比延伸：

  • L ( R , Γ ) L ( R , Γ ) L(R,Gamma)L(\mathbb{R}, \Gamma) 中的确定性对于点类 Γ ⊆ P ( R ) Γ ⊆ P ( R ) Gamma sube P(R)\Gamma \subseteq P(\mathbb{R})

  • L ( V λ + 1 , Γ ) L V λ + 1 , Γ L(V_(lambda+1),Gamma)L\left(V_{\lambda+1}, \Gamma\right) 对于 Γ ⊆ P ( V λ + 1 ) Γ ⊆ P V λ + 1 Gamma sube P(V_(lambda+1))\Gamma \subseteq P\left(V_{\lambda+1}\right) 的基本嵌入

    例如，Woodin 构建了 A D R A D R AD_(R)A D_{\mathbb{R}} 的最小模型的 L ( V λ + 1 , Γ ) L V λ + 1 , Γ L(V_(lambda+1),Gamma)L\left(V_{\lambda+1}, \Gamma\right) 类比；即 L ( R , Γ ) L ( R , Γ ) L(R,Gamma)L(\mathbb{R}, \Gamma) ，其中 Γ ⊆ P ( R ) Γ ⊆ P ( R ) Gamma sube P(R)\Gamma \subseteq P(\mathbb{R}) 是 Wadge 极小的，使得 Γ Γ Gamma\Gamma 中 R R R\mathbb{R} 上的每个游戏都通过 Γ Γ Gamma\Gamma -策略确定。

超越交流电


无选择大基数假设似乎比所有这些原则都更强。例如：
定理（G.）
ZF + DC + j : V λ + 3 → V λ + 3 ZF + DC + j : V λ + 3 → V λ + 3 ZF+DC+j:V_(lambda+3)rarrV_(lambda+3)\mathrm{ZF}+\mathrm{DC}+j: V_{\lambda+3} \rightarrow V_{\lambda+3} 证明了 Con ( ZFC + I 0 ) Con ZFC + I 0 Con(ZFC+I_(0))\mathrm{Con}\left(\mathrm{ZFC}+\mathrm{I}_{0}\right) 。

这只是看似无尽层级的基础

  • λ λ lambda\lambda 是伯克利秩，如果对于所有 α < λ ≤ β α < λ ≤ β alpha < lambda <= beta\alpha<\lambda \leq \beta ，存在一个初等嵌入 j : V β → V β j : V β → V β j:V_(beta)rarrV_(beta)j: V_{\beta} \rightarrow V_{\beta} 且满足 α < crit ( j ) < λ α < crit ( j ) < λ alpha < crit(j) < lambda\alpha<\operatorname{crit}(j)<\lambda

  • δ δ delta\delta 是伯克利，如果对于所有传递的 M ⊇ δ M ⊇ δ M supe deltaM \supseteq \delta ，存在一个初等的 j : M → M j : M → M j:M rarr Mj: M \rightarrow M 与 α < crit ( j ) < δ α < crit ( j ) < δ alpha < crit(j) < delta\alpha<\operatorname{crit}(j)<\delta

    如果 j : V → V j : V → V j:V rarr Vj: V \rightarrow V 是初等的， κ ω ( j ) κ ω ( j ) kappa_(omega)(j)\kappa_{\omega}(j) 是伯克利秩。仅凭 ZF，一个伯克利基数证明了 ZFC + I 0 ZFC + I 0 ZFC+I_(0)\mathrm{ZFC}+\mathrm{I}_{0} 的一致性，可能还证明了所有研究过的 ZFC 大基数的一致性（归功于 Woodin）。


无选择大基数的一致性


如何掌握无选择大基数的一致性？

  • 如果无选择层次结构确实超越了 ZFC 大基数层次结构，通常的方法论将不再适用

  • 可以尝试在 ZF 中反驳无选择基数

  • 或者可以尝试发展他们的“结构理论”

HOD 猜想

定理（詹森）


以下条件中恰好有一个成立：

  • 每个不可数的序数集都包含在具有相同基数的可构造集中。

  • 每个不可数基数在 L 中都是强不可达的。

定理（伍丁）


如果 κ κ kappa\kappa 是可扩展的，则以下条件之一成立：

  • 每个大小至少为 κ κ kappa\kappa 的序数集都包含在一个具有相同基数的序数可定义集中。

  • 每个高于 κ κ kappa\kappa 的正则基数在 HOD 中都是可测的。

伍丁的 HOD 猜想（假设大基数存在）：存在一个正则基数的真类，这些基数在 HOD 中不可测。

独特嵌入


对于 P , Q P , Q P,QP, Q 传递性和 δ ∈ Ord P δ ∈ Ord P delta inOrd^(P)\delta \in \operatorname{Ord}^{P} ，嵌入 j 0 , j 1 : P → Q j 0 , j 1 : P → Q j_(0),j_(1):P rarr Qj_{0}, j_{1}: P \rightarrow Q 是 δ δ delta\delta -相似的，如果 j 0 ( δ ) = j 1 ( δ ) j 0 ( δ ) = j 1 ( δ ) j_(0)(delta)=j_(1)(delta)j_{0}(\delta)=j_{1}(\delta) 和 sup α < δ j 0 ( α ) = sup α < δ j 1 ( α ) sup α < δ   j 0 ( α ) = sup α < δ   j 1 ( α ) s u p_(alpha < delta)j_(0)(alpha)=s u p_(alpha < delta)j_(1)(alpha)\sup _{\alpha<\delta} j_{0}(\alpha)=\sup _{\alpha<\delta} j_{1}(\alpha) 。

定理


如果 κ κ kappa\kappa 是超紧的，则以下条件等价：

  • 对于所有常规的 δ ≥ κ δ ≥ κ delta >= kappa\delta \geq \kappa ，存在某些 α > δ α > δ alpha > delta\alpha>\delta ，如果 j 0 , j 1 : V α → M j 0 , j 1 : V α → M j_(0),j_(1):V_(alpha)rarr Mj_{0}, j_{1}: V_{\alpha} \rightarrow M 是 δ δ delta\delta -相似的初等嵌入，则 j 0 ↾ δ = j 1 ↾ δ j 0 ↾ δ = j 1 ↾ δ j_(0)↾delta=j_(1)↾deltaj_{0} \upharpoonright \delta=j_{1} \upharpoonright \delta 。

  • HOD 猜想是正确的。

定理


如果 M M MM 是一个内模型且 j 0 , j 1 : V → M j 0 , j 1 : V → M j_(0),j_(1):V rarr Mj_{0}, j_{1}: V \rightarrow M 是初等嵌入，则 j 0 ↾ j 0 ↾ j_(0)↾j_{0} \upharpoonright Ord = j 1 ↾ = j 1 ↾ =j_(1)↾=j_{1} \upharpoonright Ord。

施卢滕贝格定理

定理（Schlutzenberg）


ZFC + I 0 ( λ ) ZFC + I 0 ( λ ) ZFC+I_(0)(lambda)\mathrm{ZFC}+\mathrm{I}_{0}(\lambda) 与 ZF + DC λ + ZF + DC λ + ZF+DC_(lambda)+\mathrm{ZF}+\mathrm{DC}_{\lambda}+ 存在一个从 V λ + 2 V λ + 2 V_(lambda+2)V_{\lambda+2} 到 V λ + 2 V λ + 2 V_(lambda+2)V_{\lambda+2} 的基本嵌入是等一致性的。

主要开放性问题： V λ + 3 V λ + 3 V_(lambda+3)V_{\lambda+3} 呢？ Or j : V → V Or j : V → V Or j:V rarr V\operatorname{Or} j: V \rightarrow V 呢？

定理（Schlutzenberg）


假设 j : L ( V λ + 1 ) → L ( V λ + 1 ) j : L V λ + 1 → L V λ + 1 j:L(V_(lambda+1))rarr L(V_(lambda+1))j: L\left(V_{\lambda+1}\right) \rightarrow L\left(V_{\lambda+1}\right) 与 λ = κ ω ( j ) λ = κ ω ( j ) lambda=kappa_(omega)(j)\lambda=\kappa_{\omega}(j) 是初等的。令 i = j ↾ ( V λ + 2 ) L ( V λ + 1 ) i = j ↾ V λ + 2 L V λ + 1 i=j↾(V_(lambda+2))^(L(V_(lambda+1)))i=j \upharpoonright\left(V_{\lambda+2}\right)^{L\left(V_{\lambda+1}\right)} 并令 M = L ( V λ + 1 , i ) M = L V λ + 1 , i M=L(V_(lambda+1),i)M=L\left(V_{\lambda+1}, i\right) 。那么
( V λ + 2 ) M = ( V λ + 2 ) L ( V λ + 1 ) V λ + 2 M = V λ + 2 L V λ + 1 (V_(lambda+2))^(M)=(V_(lambda+2))^(L(V_(lambda+1)))\left(V_{\lambda+2}\right)^{M}=\left(V_{\lambda+2}\right)^{L\left(V_{\lambda+1}\right)}

因此在 M , i M , i M,iM, i 中见证存在从 V λ + 2 V λ + 2 V_(lambda+2)V_{\lambda+2} 到其自身的初等嵌入。


累积层次结构中的周期性


假设 λ λ lambda\lambda 是一个极限序数。

  • 如果 j : V λ + 1 → V λ + 1 j : V λ + 1 → V λ + 1 j:V_(lambda+1)rarrV_(lambda+1)j: V_{\lambda+1} \rightarrow V_{\lambda+1} 是初等的， j j jj 可以从参数 i = j ↾ V λ i = j ↾ V λ i=j↾V_(lambda)i=j \upharpoonright V_{\lambda} 在 V λ + 1 V λ + 1 V_(lambda+1)V_{\lambda+1} 上定义：对于任何 X ∈ V λ + 1 X ∈ V λ + 1 X inV_(lambda+1)X \in V_{\lambda+1} ，
j ( X ) = ⋃ α < λ i ( X ∩ V α ) j ( X ) = ⋃ α < λ   i X ∩ V α j(X)=uuu_(alpha < lambda)i(X nnV_(alpha))j(X)=\bigcup_{\alpha<\lambda} i\left(X \cap V_{\alpha}\right)

  • 如果 j : V λ + 2 → V λ + 2 j : V λ + 2 → V λ + 2 j:V_(lambda+2)rarrV_(lambda+2)j: V_{\lambda+2} \rightarrow V_{\lambda+2} ，则 j j jj 在 V λ + 2 V λ + 2 V_(lambda+2)V_{\lambda+2} 上不可粗体定义

  • Schlutzenberg 问道：对于 n ≥ 3 n ≥ 3 n >= 3n \geq 3 ， j : V λ + n → V λ + n j : V λ + n → V λ + n j:V_(lambda+n)rarrV_(lambda+n)j: V_{\lambda+n} \rightarrow V_{\lambda+n} 是否必须在 V λ + n V λ + n V_(lambda+n)V_{\lambda+n} 上不可定义？


定理（G., Schlutzenberg）


假设 j : V α → V α j : V α → V α j:V_(alpha)rarrV_(alpha)j: V_{\alpha} \rightarrow V_{\alpha} 是初等嵌入。那么 j j jj 在 V α V α V_(alpha)V_{\alpha} 上可定义当且仅当 α α alpha\alpha 是奇数序数。


反思与收集


一个基数 κ κ kappa\kappa 是 Σ 2 Σ 2 Sigma_(2)\Sigma_{2} -反射的，如果 V κ ⪯ Σ 2 V V κ ⪯ Σ 2 V V_(kappa)-<=Sigma_(2)VV_{\kappa} \preceq \Sigma_{2} V 。


定理（良序集合引理）


假设 λ λ lambda\lambda 是伯克利秩，且 κ ≥ λ κ ≥ λ kappa >= lambda\kappa \geq \lambda 是一个奇异的 Σ 2 Σ 2 Sigma_(2)\Sigma_{2} -反映基数。如果 F F F\mathcal{F} 是一个具有 | F | ≤ κ | F | ≤ κ |F| <= kappa|\mathcal{F}| \leq \kappa 的非空集合族，那么存在一个集合 { a x : x ∈ V κ } a x : x ∈ V κ {a_(x):x inV_(kappa)}\left\{a_{x}: x \in V_{\kappa}\right\} 与 F F F\mathcal{F} 中的每个集合相交。

注意，如果存在从 V λ + 2 V λ + 2 V_(lambda+2)V_{\lambda+2} 到自身的初等嵌入，则大小为 λ + λ + lambda^(+)\lambda^{+} 的族的选择公理不成立。

推论


如果 λ λ lambda\lambda 是伯克利秩且 κ ≥ λ κ ≥ λ kappa >= lambda\kappa \geq \lambda 是 Σ 2 Σ 2 Sigma_(2)\Sigma_{2} -反射的，则 κ κ kappa\kappa 或 κ + κ + kappa^(+)\kappa^{+} 是正则的。

序数上的测度

定理


假设 λ λ lambda\lambda 是伯克利秩，且 κ ≥ λ κ ≥ λ kappa >= lambda\kappa \geq \lambda 是 Σ 2 Σ 2 Sigma_(2)\Sigma_{2} -反射的。那么每个在序数上的 κ κ kappa\kappa -完全超滤器集都可以被良序化。

这与 AD 定理类似，即小于 θ ω + 2 θ ω + 2 theta_(omega+2)\theta_{\omega+2} 的序数上的超滤集可以被良序化。

定理


假设 λ λ lambda\lambda 是伯克利秩，且 κ ≥ λ κ ≥ λ kappa >= lambda\kappa \geq \lambda 是 Σ 2 Σ 2 Sigma_(2)\Sigma_{2} -反射的。那么每个在序数上的 κ κ kappa\kappa -完全滤子都可以扩展为一个 κ κ kappa\kappa -完全超滤子。

俱乐部过滤器


过滤器 F F FF 是原子的，如果每个 F F FF -正集 S S SS 都有一个 F F FF -正子集 T T TT ，使得 F ∪ { T } F ∪ { T } F uu{T}F \cup\{T\} 生成一个超滤器。

定理


如果 λ λ lambda\lambda 是伯克利秩且 κ ≥ λ κ ≥ λ kappa >= lambda\kappa \geq \lambda 是 Σ 2 Σ 2 Sigma_(2)\Sigma_{2} -反射的，那么在 κ κ kappa\kappa 之上的任何正则基数上的俱乐部滤子是 κ κ kappa\kappa -完备且原子的。

在这种情况下，俱乐部过滤器的结构与 AD 下的预期结构非常相似。

推论


如果 λ λ lambda\lambda 是伯克利秩且 κ ≥ λ κ ≥ λ kappa >= lambda\kappa \geq \lambda 是 Σ 2 Σ 2 Sigma_(2)\Sigma_{2} -反射的，则 κ κ kappa\kappa 或 κ + κ + kappa^(+)\kappa^{+} 是可测的。

林登鲍姆数


如果 α α alpha\alpha 是一个序数，那么 θ α θ α theta_(alpha)\theta_{\alpha} 表示所有作为 V α V α V_(alpha)V_{\alpha} 中集合的满射像的序数的上确界。
  • θ ω = ω θ ω = ω theta_(omega)=omega\theta_{\omega}=\omega
  • θ ω + 1 = ω 1 θ ω + 1 = ω 1 theta_(omega+1)=omega_(1)\theta_{\omega+1}=\omega_{1}
  • θ ω + 2 = c + θ ω + 2 = c + theta_(omega+2)=c^(+)\theta_{\omega+2}=\mathfrak{c}^{+} 假设 AC

  • 更一般地， θ ω + α + 1 = ( ℶ α ) + θ ω + α + 1 = ℶ α + theta_(omega+alpha+1)=(ℶ_(alpha))^(+)\theta_{\omega+\alpha+1}=\left(\beth_{\alpha}\right)^{+} 假设 AC

  • 所以在 AC 下， θ ω + α = ℵ α θ ω + α = ℵ α theta_(omega+alpha)=aleph_(alpha)\theta_{\omega+\alpha}=\aleph_{\alpha} 对所有序数 α α alpha\alpha 成立当且仅当 GCH 成立
  • ( θ ω + 2 ) L ( R ) = Θ L ( R ) θ ω + 2 L ( R ) = Θ L ( R ) (theta_(omega+2))^(L(R))=Theta^(L(R))\left(\theta_{\omega+2}\right)^{L(\mathbb{R})}=\Theta^{L(\mathbb{R})}

  • 如果 α α alpha\alpha 是一个极限序数， θ α θ α theta_(alpha)\theta_{\alpha} 是一个强极限且 θ α + 1 = ( θ α ) + θ α + 1 = θ α + theta_(alpha+1)=(theta_(alpha))^(+)\theta_{\alpha+1}=\left(\theta_{\alpha}\right)^{+}

  • 在 AD , θ ω + 2 AD , θ ω + 2 AD,theta_(omega+2)\mathrm{AD}, \theta_{\omega+2} 下是一个严格的限制， θ ω + 3 = ( θ ω + 2 ) + θ ω + 3 = θ ω + 2 + theta_(omega+3)=(theta_(omega+2))^(+)\theta_{\omega+3}=\left(\theta_{\omega+2}\right)^{+}

周期性，继续


如果 α α alpha\alpha 是一个序数，那么 θ α θ α theta_(alpha)\theta_{\alpha} 表示所有作为 V α V α V_(alpha)V_{\alpha} 中集合的满射像的序数的上确界。

定理


如果 λ λ lambda\lambda 是伯克利秩且 κ ≥ λ κ ≥ λ kappa >= lambda\kappa \geq \lambda 是 Σ 2 Σ 2 Sigma_(2)\Sigma_{2} -反射的，那么对于所有偶数序数 ϵ ≥ κ ϵ ≥ κ epsilon >= kappa\epsilon \geq \kappa ：

  • θ ϵ θ ϵ theta_(epsilon)\theta_{\epsilon} 是一个强极限基数：如果 η < θ ϵ η < θ ϵ eta < theta_(epsilon)\eta<\theta_{\epsilon} ，则 θ ϵ θ ϵ theta_(epsilon)\theta_{\epsilon} 不是 P ( η ) P ( η ) P(eta)P(\eta) 的满射像。

  • θ ϵ + 1 θ ϵ + 1 theta_(epsilon+1)\theta_{\epsilon+1} 不是一个强极限基数：事实上， θ ϵ + 1 θ ϵ + 1 theta_(epsilon+1)\theta_{\epsilon+1} 是 P ( θ ϵ ) P θ ϵ P(theta_(epsilon))P\left(\theta_{\epsilon}\right) 的满射像。
开放性问题： θ ϵ + 1 = ( θ ϵ ) + θ ϵ + 1 = θ ϵ + theta_(epsilon+1)=(theta_(epsilon))^(+)\theta_{\epsilon+1}=\left(\theta_{\epsilon}\right)^{+} 是吗？
  • 可以显示 | Reg ∩ ( θ ϵ , θ ϵ + 1 ) | < λ Reg ∩ θ ϵ , θ ϵ + 1 < λ |Reg nn(theta_(epsilon),theta_(epsilon+1))| < lambda\left|\operatorname{Reg} \cap\left(\theta_{\epsilon}, \theta_{\epsilon+1}\right)\right|<\lambda

计划


  • 讲座 2：可测基数与可构造性，序数可定义性与 HOD 猜想

  • 讲座 3：累积层次结构中的周期性

  • 讲座 4：模拟选择公理，俱乐部滤子的结构

  • 第 5 讲：序数上的测度， θ α θ α theta_(alpha)\theta_{\alpha} 序列

谢谢