Feynman's
TIPS ON PHYSICS
《费曼物理学讲义》的问题解决补充资料
由马修·桑兹撰写的回忆录
练习和答案
罗伯特·B·莱顿和罗库斯·E·沃格
旧金山 波士顿 纽约
开普敦 香港 伦敦 马德里 墨西哥城
蒙特利尔 慕尼黑 巴黎 新加坡 悉尼 东京 多伦多
主编：亚当·布莱克
发展助理：布拉德·帕特森
高级营销经理：克里斯蒂·劳伦斯
主编：Erin Gregg
生产主管：Shannon Tozier
生产管理和构成：WestWords，Inc.
插图：Athertoncustoms
制造业采购员：迈克尔·厄利
打印机和装订机：快递
文本设计师：Lisa Devenish
封面设计师：Yvo Riezebos Design
封面信用：费曼约 1962 年（摄影师不详），由拉尔夫提供
莱顿
国会图书馆编目数据
Feynman, Richard Phillips.
费曼物理学的技巧：费曼物理学讲义的问题解决补充/理查德·P·费曼，迈克尔·A·戈特利布和拉尔夫·莱顿；由马修·桑兹撰写的回忆录；由罗伯特·B·莱顿和罗克斯·E·沃格特编写的练习和答案。
页。厘米。
包括索引。
ISBN 0-8053-9063-4（平装书）
- Physics. 2. Physics-Problems, exercises, etc. I. Gottlieb, Michael A.
II. 莱顿，拉尔夫。III. 桑兹，马修·L.（马修·林兹）。
IV. Leighton, Robert B. V. Vogt, Rochus E. VI. Feynman, Richard Phillips.
Feynman lectures on physics. VII. Title.
QC23.F47 1989 补编
530 '.076-dc22
2005013077
ISBN 0-8053-9063-4
2006 年 Michelle Feynman，Carl Feynman，Michael Gottlieb 和 Ralph Leighton 版权所有。保留所有权利。在美利坚合众国制造。本出版物受版权保护，任何禁止的复制、存储在检索系统中或以任何形式或任何方式传输，包括电子、机械、复印、录音等，均需事先获得出版商的许可。要获得使用本作品材料的许可，请向 Pearson Education, Inc.，Permissions Department，1900 E. Lake Ave.，Glenview，IL 60025 提交书面请求。有关许可的信息，请致电(847) 486-2635。
许多制造商和销售商用来区分其产品的名称被视为商标。在本书中出现这些名称时，出版商已经意识到商标声明，这些名称已经以首字母大写或全部大写的形式印刷出来。
前言
在喜马拉雅边境上的一个孤独边防哨所，拉马斯瓦米·巴拉苏布拉马尼安透过望远镜看着驻扎在西藏的解放军士兵，他们也在透过瞄准镜回望着他。自 1962 年以来，印度和中国之间的紧张局势一直很高，当时两国在有争议的边界上交火。解放军士兵知道他们正被观察，他们挑衅地高举着西方更为熟知的《毛主席语录》——即“毛主席的小红书”的口袋大小、鲜红的副本，向巴拉苏布拉马尼安和他的印度战友们示威。
巴拉苏布拉马尼安（Balasubramanian）当时是一名被征召入伍的人，业余时间学习物理，很快对这些嘲讽感到厌倦。于是有一天，他带着一句合适的回应来到他的观察岗位。当解放军士兵们再次挥舞毛的《红宝书》时，他和另外两名印度士兵一起拿起并高举了三本明亮的大红色《费曼物理学讲义》。
有一天，我收到了巴拉苏布拉马尼先生的一封信。这是多年来我收到的数百封信中的一封，描述了理查德·费曼对人们生活的持久影响。在叙述了中印边境的“红皮书”事件后，他写道：“现在，二十年过去了，还有谁的红皮书在被阅读呢？”
事实上。今天，距离费曼物理学讲义出版已经超过四十年了，它们仍然被阅读，仍然在激励着人们，甚至在西藏，我猜想。
一个特殊的例子：几年前，我在一个派对上遇到了迈克尔·戈特利布，当时主人正在电脑屏幕上展示现场图瓦人喉音歌手的谐波共振-这种活动让生活在旧金山附近如此有趣。戈特利布学过数学，对物理学非常感兴趣，所以我建议他阅读《费曼物理学讲义》-大约一年后，他花了六个月的时间仔细阅读这些讲义。正如戈特利布在自己的介绍中描述的那样，最终导致了你现在正在阅读的这本书，以及《费曼物理学讲义》的新的“最终版”。
iv - 前言
因此，我很高兴全世界对物理感兴趣的人现在可以通过这个补充卷来学习《费曼物理学讲义》的更正确、更完整的版本——这是一部伟大的作品，将继续在未来几十年里为学生提供信息和启发，无论是在曼哈顿市中心还是喜马拉雅山高处。
拉尔夫·莱顿
2005 年 5 月 11 日
Richard Feynman, circa 1962
介绍
我第一次听说理查德·费曼和拉尔夫·莱顿是在 1986 年，通过他们有趣的书《费曼先生，您在开玩笑吗！》十三年后，我在一个派对上遇见了拉尔夫。我们成为朋友，接下来的一年里，我们一起设计了一枚致敬费曼的幻想邮票。与此同时，拉尔夫一直在给我推荐关于费曼的书籍，包括（因为我是一名计算机程序员）《费曼关于计算的讲座》。这本迷人的书中关于量子机械计算的讨论引起了我的兴趣，但由于我没有学过量子力学，我很难理解这些论点。拉尔夫建议我阅读《费曼物理学讲义第三卷：量子力学》，我开始阅读，但第三卷的第 1 和 2 章是从第一卷的第 37 和 38 章复制过来的，所以我发现自己在第一卷的引用中倒退，而不是在第三卷中继续前进。因此，我决定从头到尾阅读所有费曼的讲义-我决心学习一些量子力学！然而，随着时间的推移，我的目标变得次要起来，我越来越沉浸在费曼迷人的世界中。 学习物理的乐趣，仅仅是为了快乐，成为了我的最高优先事项。我着迷了！在第一卷的中途，我从编程中休息了一下，花了六个月在乡村哥斯达黎加全职学习《讲座》。
每天下午我学习一堂新的讲座并解决物理问题；早上我复习和校对昨天的讲座。我与拉尔夫通过电子邮件保持联系，他鼓励我跟踪我在第一卷中遇到的错误。这并不是什么负担，因为那一卷中的错误很少。然而，当我继续阅读第二卷和第三卷时，我惊讶地发现错误越来越多。最后，我总共编制了超过 170 个错误在《讲座》中。拉尔夫和我都感到惊讶：为什么这么多错误被长期忽视了呢？我们决定看看在下一版中如何纠正这些错误。
然后我注意到费曼序言中一些有趣的句子：
"没有关于如何解决问题的讲座的原因是有朗诵部分。虽然我在第一年确实安排了三次关于如何解决问题的讲座，但它们没有包括在这里。此外，还有一次关于惯性制导的讲座，它当然应该在有关旋转系统的讲座之后，但不幸地被遗漏了。"
这个建议了重建缺失的讲座的想法，如果它们被证明有趣，就将它们提供给加州理工学院和 Addison-Wesley，以便包括在更完整和错误更正的《讲座》版本中。但首先我必须找到缺失的讲座，而我仍然在哥斯达黎加！通过一点演绎逻辑和调查，拉尔夫能够找到讲座笔记，这些笔记以前被藏在他父亲的办公室和加州理工学院档案馆之间的某个地方。拉尔夫还获得了缺失讲座的录音带，而在我回到加利福尼亚后在档案馆中研究勘误时，我幸运地在一盒杂项底片中发现了黑板照片（长期以来被认为丢失）。费曼的继承人慷慨地允许我们使用这些材料，因此，在费曼-莱顿-桑兹三人组中现在唯一幸存的成员马特·桑兹提供了一些有用的批评后，拉尔夫和我重建了 B 评论作为样本，并将其与《讲座》的勘误一起呈现给加州理工学院和 Addison-Wesley。
Addison-Wesley 热情接受了我们的想法，但加州理工学院最初持怀疑态度。因此，拉尔夫向加州理工学院的理论物理学教授基普·索恩(Kip Thorne)求助，最终成功实现了所有相关人员之间的相互理解，并慷慨地自愿花时间监督我们的工作。由于加州理工学院不希望
为了历史原因修改《费曼物理学讲义》现有的卷册，拉尔夫建议将缺失的讲座放在一本单独的书中。这就是这个补充卷的起源。它与《费曼物理学讲义》的新定版同时出版，我发现的错误已经得到纠正，其他读者也发现了一些错误。
Matt Sands' memoir
在我们重建这四堂讲座的过程中，拉尔夫和我有许多问题。我们感到非常幸运，能够从马特·桑兹教授那里得到答案，他是发起这个雄心勃勃的项目的人，这个项目产生了《费曼物理学讲义》。我们惊讶地发现，他们的起源故事并不广为人知，意识到这个项目提供了一个机会来弥补这一不足，桑兹教授友好地同意撰写一篇关于《费曼物理学讲义》起源的回忆录，包括在这个补充材料中。
四堂讲座
从马特·桑兹那里，我们得知在 1961 年 12 月，费曼在加州理工学院新生物理课程的第一个学期末朝向，决定在期末考试前几天不公平地向学生介绍新材料。因此，在考试前一周，费曼进行了三次可选的复习讲座，其中没有介绍新材料。复习讲座旨在帮助课堂上遇到困难的学生，强调理解和解决物理问题的技巧。一些示例问题具有历史意义，包括卢瑟福德发现原子核和确定派介子质量。费曼还以典型的人类洞察力讨论了另一类问题的解决方案，这对他新生班至少一半的学生同样重要：找到自己处于平均水平以下的情感问题。
第四次讲座《动力效应及其应用》是在大一学生第二学期初期进行的，学生们刚从寒假回来不久。最初，这是第 21 讲，其背后的想法是为了从第 18 至 20 章节中呈现的困难理论讨论中休息一下，并向学生展示一些有趣的应用和由旋转产生的现象，"只是为了娱乐"。讲座的大部分时间用来讨论相对较新的技术，即 1962 年的实用惯性导航。讲座的其余部分讨论了由旋转产生的自然现象，并提供了一个线索，解释为什么费曼将这次讲座从《费曼物理学讲义》中删去描述为"不幸"。
讲座结束后
费曼讲完课后经常忘记关麦克风。这为我们提供了独特的机会，见证费曼与本科生互动的方式。这里给出的例子记录在动态效应及其应用课程之后，特别值得注意，因为它讨论了 1962 年从模拟到数字方法的实时计算中初期转变。
练习
在这个项目的过程中，拉尔夫重新与他父亲的好友和同事罗克斯·福格特取得了联系，后者慷慨地同意重新发布《入门物理学习题与解答》中的练习和解决方案，这是罗伯特·莱顿和他在 1960 年代为《讲座》特别创建的合集。由于空间限制，我只选择了第一卷第 1 至 20 章的练习（在动力效应及其应用之前涵盖的内容），更喜欢那些，引用罗伯特·莱顿的话说，“在数值上或分析上简单，但内容深刻而启发性的问题。”
网站
读者们可以访问 www.feynmanlectures.info 了解更多关于这一卷以及费曼物理学讲义的信息。
迈克·戈特利布
塔马林多海滩，哥斯达黎加
致谢
我们要向所有使这本书得以实现的人表示衷心的感谢，特别是：
托马斯·汤布雷洛代表加州理工学院物理、数学和天文学部主席批准了这个项目，卡尔·费曼和米歇尔·费曼，理查德·费曼的继承人，允许在这本书中出版他们父亲的讲座
马修·桑兹，感谢他的智慧、知识、建设性评论和建议；
迈克尔·哈特尔，感谢他对手稿的细致校对，以及在《费曼物理学讲义》勘误方面的勤奋工作；
Rochus E. Vogt，因《入门物理习题集》中巧妙的问题和答案以及允许在本卷中使用它们而受到表彰；
约翰·尼尔，为认真记录费曼在休斯飞机公司的讲座，并与我们分享这些笔记；
海伦·塔克，费曼的秘书多年来一直给予她鼓励和支持，
亚当·布莱克，Addison-Wesley 物理科学主编，因其热情和毅力将这一卷带到印刷
基普·索恩，因为他的优雅和不懈的工作，确保了所有参与者的信任和支持，并监督我们的工作。
内容
介绍 .....
关于费曼的起源
Lectures on Physics
马修·桑兹的回忆录 1
先决条件
复习讲座 A
1-1 审查讲座简介.....15
1-2 加州理工学院从底部开始..... 16
1-3 物理数学 ..... 18
1-4 差异化 ..... 19
1-5 集成 ..... 22
1-6 矢量 ..... 23
1-7 区分向量 ..... 29
1-8 线积分 ..... 31
1-9 一个简单的例子 ..... 33
1-10 三角测量 ..... 38
2 法律和直觉
复习讲座 B
2-1 物理定律 ..... 41
2-2 非相对论近似 ..... 43
2-3 运动与力 ..... 44
2-4 力和它们的势能 ..... 47
2-5 通过示例学习物理 ..... 49
2-6 理解物理学的物理学..... 50
2-7 机器设计中的一个问题 ..... 53
2-8 地球的逃逸速度 ..... 64
替代方案 ..... 67
使用几何学找到重量的加速度..... 67
B 通过找到重量的加速度
三角函数 ..... 68
使用力矩和力来找到重力对物体的作用力
角动量 ..... 69
问题和解决方案
复习讲座 C
3-1 卫星运动 ..... 71
3-2 原子核的发现 ..... 76
3-3 基本火箭方程式 ..... 80
3-4 数值积分 ..... 82
3-5 化学火箭 ..... 84
3-6 离子推进火箭 ..... 85
3-7 光子推进火箭 ..... 88
3-8 一个静电质子束偏转器 ..... 88
3-9 确定π介子的质量 ..... 91
4 个动力学效应及其应用
复习讲座 D
4-1 一个演示陀螺仪 ..... 96
4-2 方向陀螺仪 ..... 97
4-3 人工地平线 ..... 98
4-4 一种船舶稳定陀螺仪 ..... 99
4-5 陀螺罗经 ..... 100
4-6 陀螺仪设计和构造的改进.....104
4-7 加速度计 ..... 111
4-8 一个完整的导航系统 ..... 115
4-9 地球自转的影响 ..... 119
4-10 旋转盘..... 122
4-11 地球的章动 ..... 125
4-12 天文学中的角动量 ..... 125
4-13 Angular momentum in quantum mechanics ..... 127
4-14 讲座结束后..... 128
关于费曼的起源
Lectures on Physics
马修·桑兹的回忆录 1
先决条件
复习讲座 A
1-1 审查讲座简介.....15
1-2 加州理工学院从底部开始..... 16
1-3 物理数学 ..... 18
1-4 差异化 ..... 19
1-5 集成 ..... 22
1-6 矢量 ..... 23
1-7 区分向量 ..... 29
1-8 线积分 ..... 31
1-9 一个简单的例子 ..... 33
1-10 三角测量 ..... 38
2 法律和直觉
复习讲座 B
2-1 物理定律 ..... 41
2-2 非相对论近似 ..... 43
2-3 运动与力 ..... 44
2-4 力和它们的势能 ..... 47
2-5 通过示例学习物理 ..... 49
2-6 理解物理学的物理学..... 50
2-7 机器设计中的一个问题 ..... 53
2-8 地球的逃逸速度 ..... 64
替代方案 ..... 67
使用几何学找到重量的加速度..... 67
B 通过找到重量的加速度
三角函数 ..... 68
使用力矩和力来找到重力对物体的作用力
角动量 ..... 69
问题和解决方案
复习讲座 C
3-1 卫星运动 ..... 71
3-2 原子核的发现 ..... 76
3-3 基本火箭方程式 ..... 80
3-4 数值积分 ..... 82
3-5 化学火箭 ..... 84
3-6 离子推进火箭 ..... 85
3-7 光子推进火箭 ..... 88
3-8 一个静电质子束偏转器 ..... 88
3-9 确定π介子的质量 ..... 91
4 个动力学效应及其应用
复习讲座 D
4-1 一个演示陀螺仪 ..... 96
4-2 方向陀螺仪 ..... 97
4-3 人工地平线 ..... 98
4-4 一种船舶稳定陀螺仪 ..... 99
4-5 陀螺罗经 ..... 100
4-6 陀螺仪设计和构造的改进.....104
4-7 加速度计 ..... 111
4-8 一个完整的导航系统 ..... 115
4-9 地球自转的影响 ..... 119
4-10 旋转盘..... 122
4-11 地球的章动 ..... 125
4-12 天文学中的角动量 ..... 125
4-13 Angular momentum in quantum mechanics ..... 127
4-14 讲座结束后..... 128
5 个精选练习
5-1 能量守恒，静力学 135
5-2 开普勒定律和引力 138
5-3 运动学 138
5-4 牛顿定律 139
5-5 动量守恒 141
5-6 矢量 143
5-7 三维非相对论性两体碰撞
5-8 力量 144
5-9 电势和场 145
5-10 单位和尺寸 147
5-11 相对论能量和动量 147
5-12 维度中的旋转，质心 148
5-13 角动量，惯性矩 149
5-14 三维旋转 151
练习答案 155
照片来源 159
索引到讲座 161
关于费曼物理学讲义的起源
20 世纪 50 年代的教育改革
当我于 1953 年首次成为加州理工学院的常任教职人员时，被要求教授一些研究生课程。我对研究生课程计划感到非常沮丧。在第一年，他们只学习古典物理学-力学和电磁学课程。（甚至
大约在那个时候，麻省理工学院的杰罗尔德·扎卡里亚斯受到斯普特尼克的出现刺激，推动了一个计划，以振兴美国高中物理教育。其中一个结果是创建了 PSSC（物理科学研究委员会）计划，产生了许多新的材料和想法，以及一些争议。
当 PSSC 计划接近完成时，扎卡里亚斯和一些同事（我相信其中包括弗朗西斯·弗里德曼和菲利普·莫里森）决定是时候着手对大学物理进行修订。他们组织了几次大型物理教师会议，从中成立了大学物理委员会，这是一个由十几名大学物理教师组成的全国委员会。
得到国家科学基金会的支持，并被委托激励一些国家努力推动高校物理教学现代化。扎卡里亚斯邀请我参加了那些首次会议，后来我也在委员会任职，最终成为了主席。
加州理工学院项目
这些活动促使我开始思考加州理工学院本科项目可以做些什么，我一直对此感到不满。物理学的入门课程是基于米利坎、罗勒和沃森的书籍，这是一本非常好的书，我相信是在 1930 年代写的，尽管后来由罗勒进行了修订，但几乎没有现代物理学内容。此外，这门课程没有讲座，因此几乎没有机会引入新材料。课程的优势是由福斯特·斯特朗编写的一套复杂的“问题”，用于每周的家庭作业，以及每周两次的复习课，学生在其中讨论分配的问题。
像其他物理学院的教师一样，每年我都被指定为几位物理专业的学生的顾问。与学生交谈时，我经常感到沮丧，因为到了他们的大三，这些学生对继续学习物理感到沮丧——至少部分原因是因为他们已经学习了两年的物理，但仍然没有接触到任何现代物理学的想法。因此，
当拨款到位时，巴赫任命了一个小的工作组来领导该项目：罗伯特·莱顿担任主席，维克多·内赫和我。莱顿长期参与了高年级项目，他的著作《现代物理原理》是该项目的支柱，内赫被认为是一位杰出的乐器演奏家。当时，我有点生气巴赫没有让我成为这个小组的领导者。我猜想这可能部分原因是我已经相当忙于管理同步加速器实验室，但我一直认为他也担心我可能过于“激进”，他希望通过莱顿的保守来平衡这个项目。
委员会一开始就同意让内赫专注于开发新实验室，他有许多想法，我们应该努力在接下来的一年里推出一门讲座课程，认为讲座将为开发新课程内容提供最佳机制。莱顿和我负责为讲座设计教学大纲。我们开始独立工作，制定课程大纲，但每周会面，比较进展，并努力达成共识。
僵局与灵感
很快就清楚地意识到，很难找到一个共同点。我通常认为莱顿的方法太过于重新包装了已经流行了 60 年的物理课程内容。莱顿认为我在推动不切实际的想法——新生们还没有准备好接受我想要引入的“现代”内容。幸运的是，我通过与费曼频繁交谈而坚定了自己的决心。费曼已经以出色的讲师而闻名，尤其擅长向普通观众解释现代物理学的思想。我经常在从研究所回家的路上顺便去他家，向他请教我所思考的问题，他经常提出建议，总是支持我。
经过几个月的努力，我变得相当沮丧；我看不出莱顿和我如何能就课程大纲达成一致。我们对课程的概念似乎完全不同。然后有一天我有了灵感：为什么不请费曼来为这门课程讲课呢？我们可以给他提供莱顿和我的大纲，让他决定该怎么做。我立即以以下方式向费曼提出了这个想法：“瞧，迪克，你现在已经花了四十年的时间寻求对物理世界的理解。这是一个让你把一切都整合起来并呈现给新一代科学家的机会。明年为什么不给大一新生讲课呢？”他并不立刻热情，但在接下来的几周里，我们继续讨论这个想法，他很快就被这个想法吸引住了。他会说也许我们可以这样或那样。或者这个可以放在这里，等等。经过几周的讨论后，他问我：“有没有过一位伟大的物理学家为大一新生讲课的情况？”我告诉他我认为从来没有过。他的回答是：“我会做的。”
费曼将会进行讲座
在我们委员会的下次会议上，我充满热情地提出了我的提案，但被莱顿冷漠的回应所困扰。“那不是一个好主意。费曼从未教过本科课程。他不知道如何与新生交流，或者他们能学到什么。” 但内尔挽救了局面。他眼睛闪烁着兴奋，说：“那将是很棒的。迪克懂得很多物理知识，知道如何让它变得有趣。如果他真的这样做，那将是太棒了。” 莱顿被说服了，一旦被说服，就全力支持这个想法。
过了几天，我面临了下一个障碍。我向巴赫提出了这个想法。他并不看重这个想法。他认为费曼对研究生项目太重要，不能脱身。谁来教授量子电动力学？谁会和理论研究生一起工作？而且，他真的能降到新生的水平吗？在这一点上，我向物理系的一些资深成员进行了游说，他们向巴赫提供了一些支持性的话语。最后，我使用了学术界常用的论点：如果费曼真的想做，你难道要说他不应该吗？决定就这样做出了。
在第一堂讲座开始前还有六个月的时间，莱顿和我与费曼谈论了我们的想法。他开始全力发展自己的想法。每周至少一次，我会去他家，我们会讨论他的想法。他有时会问我是否认为某种特定方法对学生来说是可行的，或者我是否认为这样或那样。
材料的顺序会“起作用”最好。我可能会提到一个特定的例子。费曼一直在研究如何呈现波的干涉和衍射的思想，并且在寻找一个既简单又强大的数学方法方面遇到了困难。他没有办法在不使用复数的情况下想出一个方法。他问我是否认为新生能够处理复数代数。我提醒他，加州理工学院录取的学生主要是根据他们在数学方面表现出的能力进行选拔的，我相信只要他们对复数代数进行简要介绍，他们就不会有问题。他的第二十二讲包含了对复数量代数的精彩介绍，然后他能够在随后的许多讲座中使用它来描述振荡系统，物理光学问题等。
早期出现了一个小问题。费曼长期承诺在秋季学期的第三周不在加州理工学院，因此会错过两节课。我们一致认为这个问题很容易解决。我会在那几天代替他。然而，为了不打破他演讲的连贯性，我会讲授一些可能对学生有用但与他的主要发展方向无关的辅助主题的两节课。这就解释了为什么第一卷的第 5 章和第 6 章有些反常。
大多数情况下，费曼独自一人努力制定了整个一年的完整大纲，填写了足够的细节，以确保不会出现意外困难。他在接下来的学年里努力工作，到了九月（现在是 1961 年），他准备好开始他的第一年讲课。
新的物理课程
最初认为费曼的讲座将成为加州理工学院所有新生必修的两年入门课程的修订计划的起点。人们认为在接下来的几年里，其他教职员工将分别负责两年中的每一年，最终发展出一个“课程”-包括教科书、家庭作业、实验室等等。
然而，在最初的几年里，需要设计一种不同的格式。没有课程资料可用，必须在我们进行时创建。安排了两个一小时的讲座-分别在周二和周四上午 11 点，学生被分配到一个小时的讨论部分。
每周，由一名教职员或研究生助教带领。每周还有一个由 Neher 指导的三小时实验室。
在讲座期间，费曼携带一个麦克风，悬挂在他的脖子上，与另一个房间里的磁带录音机相连。黑板上的内容定期被拍照。这两项服务由汤姆·哈维（Tom Harvey）负责管理，他是讲堂的技术助理。哈维还帮助费曼为讲座设计了偶尔的演示。录制的讲座由打字员朱莉·库尔西奥（Julie Cursio）转录成了一种相当易读的形式。
那年，莱顿承担了确保透明度编辑成绩单的责任，并尽快完成，以便学生在讲座结束后不久就能拿到印刷的讲座笔记进行学习。最初认为可以通过将每次讲座分配给领导讨论课和实验室的研究生来完成这项工作。然而，这种安排并不奏效，因为学生花费的时间太长，最终产品更多地反映了学生的想法而不是费曼的想法。莱顿迅速改变了安排，自己承担了大部分工作，并招募了来自物理学和工程学的各种教职人员来负责编辑一项或多项讲座。根据这个计划，我在那一年的第一年也编辑了几次讲座。
在第二年的课程中进行了一些更改。莱顿接管了一年级学生的责任-讲课并管理课程。幸运的是，学生们现在从一开始就可以获得上一年费曼讲座的抄录笔记。我负责照顾第二年课程的细节，费曼现在正在讲课。我留下了及时制作编辑过的抄本的责任。由于第二年材料的性质，我得出结论，最适合自己承担这项任务。
我也几乎参加了所有的讲座，就像我在第一年那样，并且自己负责了一个讨论小组，以便我能看到课程对学生的影响。每次讲座结束后，费曼、杰瑞·诺伊格鲍尔和我，偶尔还有一两个人，通常会去学生餐厅吃午餐，我们会讨论关于讲座主题适合作为家庭作业的练习。费曼通常会有几个这些练习的想法，其他的则会从讨论中浮现。
Neugebauer 负责收集这些练习，并每周制作一个“问题集”。
讲座是什么样的
坐在讲座上是一种极大的乐趣。费曼会在讲座计划开始前大约五分钟左右出现。他会从衬衫口袋里拿出一两张小纸片，可能是 5 乘 9 英寸大小，展开它们，然后在讲座大厅前排的中央平整地摊开。这些是他讲座的笔记，尽管他很少参考它们。（第二卷第 19 章开头的一张照片显示费曼在讲座中，站在讲座前的讲台后面，讲台上可见两张笔记。）一旦铃声响起，宣布正式上课时间开始，他就会开始讲座。每次讲座都是精心策划的戏剧表演，他显然已经详细计划好了，通常包括引言、发展、高潮和结局。他的时间掌控非常令人印象深刻。他几乎从不会在整点前后超过一点时间结束。甚至讲座大厅前面的粉笔板的使用似乎也是精心编排的。 他会从左边第一个黑板的左上角开始，到讲座结束时，会刚好填满最右边的第二块黑板。
但最大的乐趣当然是观察原始思想序列的发展-清晰而有风格地呈现。
做一本书的决定
尽管最初我们并没有考虑将讲座记录变成一本书，但这个想法在 1963 年春季的讲座第二年中期开始认真考虑。这个想法部分是受到其他学校物理学家的询问刺激，他们想知道是否可以向他们提供记录，另一部分是受到几位书籍编辑的建议刺激——他们当然已经得知讲座正在进行，并可能看到了记录的副本——他们建议我们考虑出版一本书，并表示他们愿意出版。
经过一些讨论，我们决定可以将这些成绩单经过一些工作转化成一本书，因此我们向感兴趣的出版商提出了要求
向我们提出这样做的建议。最具吸引力的提议来自 Addison-Wesley 出版公司（A-W）的代表，他们提出可以在 1963 年 9 月班级开始时为我们提供精装书籍-这仅仅是决定出版后的六个月。此外，考虑到我们并未要求作者获得版税，他们提出这些书籍可以以相当低的价格提供。
这样快速的出版时间表是可能的，因为他们在内部拥有完整的设施和员工进行编辑、排版，直至照片胶印。通过采用一个新颖（当时）的格式，包括一栏宽文本和一侧非常宽的“边距”，他们可以容纳图表和其他辅助材料。这种格式意味着通常会用于铅字校样的内容可以直接用于最终页面布局，无需重新设置文本材料以适应图表等内容。
A-W 提案获胜。我承担了在讲座记录中进行任何必要修订和注释的任务，并通常与出版商一起校对排版材料等工作。（莱顿当时正忙于教授大一课程的第二轮。）我会为了清晰和准确而修改每个讲座记录，然后交给费曼进行最终检查，一旦几个讲座准备就绪，就会将它们发送给 A-W。
我很快发送了前几节课，很快收到了校样进行校对。这是一场灾难！A-W 的编辑进行了重大改写，将讲稿的非正式风格转换为传统、正式的教科书风格，将“你”改为“一个”等等。担心可能会就此事发生对抗，我给编辑打了电话。在解释我们认为非正式、会话式风格是讲座的重要组成部分，并且我们更喜欢个人代词而不是客观代词等等之后，她恍然大悟，此后做得很好——大多数情况下保持原样。与她合作是一种乐趣，但我希望能记住她的名字。
下一个绊脚石更为严重：为这本书选择一个名字。我记得有一天去费曼的办公室讨论这个话题。我建议我们采用一个简单的名字，比如“物理学”或“物理学一”，作者应该是费曼、莱顿和桑兹。他并不特别喜欢这个建议的标题，并对提议的作者有了相当激烈的反应：“为什么你们的名字要在那里——你们只是在做速记员的工作！”我不同意，指出如果没有莱顿和我的努力，这些讲座就永远不会存在。
书。分歧并没有立即解决。几天后，我回到讨论中，我们一起提出了一个妥协：“费曼物理学讲义，作者费曼、莱顿和桑兹”。
费曼序言
在第二年讲座结束后-大约在 1963 年 6 月初，我正在办公室为期末考试分配成绩，费曼突然来拜访我，告别后离开城镇（也许去巴西）。他问学生们考得怎么样。我说我觉得还不错。他问平均分是多少，我告诉他-我记得大约是 65％。他的回答是：“哦，那太糟糕了，他们应该做得更好。我是个失败者。”我试图劝说他不要这样想，指出平均分是非常随意的，取决于许多因素，如所给问题的难度、评分方法等-我们通常会尽量使平均分足够低，以便成绩有一定的分布，为分配字母等级提供一个合理的“曲线”。（顺便说一句，这是我今天不赞成的态度。）我说我认为许多学生显然从这门课中受益匪浅。他并不被说服。
我随后告诉他，《讲座》的出版正在加快进行，不知道他是否愿意提供某种序言。这个想法对他很有趣，但他时间不够。我建议我可以打开我桌上的口授机，他可以口授他的序言。所以，他仍在考虑他对第二年学生期末考试平均成绩的沮丧，他口授了费曼序言的第一稿，你会在《讲座》的每一卷前面找到。在序言中，他说：“我认为我对学生们的帮助不是很好。”我经常后悔我以这种方式安排他做序言，因为我认为这不是一个经过深思熟虑的判断。我担心这已被许多老师用作不尝试与学生一起听《讲座》的借口。
第二卷和第三卷
第二年讲座出版的故事与第一年有些不同。首先，当第二年结束时（现在大约是 1963 年 6 月），决定将讲座笔记分成两部分，制作两个单独的卷：电学和磁学，以及量子。
物理学。其次，人们认为可以通过一些增补和相当广泛的改写大大改进量子物理学的讲义。为此，费曼提议，他将在接下来的一年末，就量子物理学进行一系列额外的讲座，这些讲座可以与原始讲座结合起来，组成印刷讲义的第三卷。
有一个额外的复杂情况。联邦政府大约一年前授权在斯坦福大学建造一条两英里长的线性加速器，用于产生
到了那年的五月，费曼已经进行了有关量子物理的额外讲座，我们开始着手第三卷的工作。由于需要进行一些重大的重组和修订，我多次前往帕萨迪纳与费曼进行长时间的磋商。问题很容易就得到解决，第三卷的材料在十二月份完成。
学生的回应
通过与我讨论小组的学生接触，我对他们对讲座的反应有了相当清晰的印象。我相信许多学生，如果不是大多数，意识到他们正在经历一种特权体验。我也看到他们经常被思想的激动所吸引，并学到了很多物理知识。当然，并不是所有学生都是这样。请记住，这门课是所有新生必修的，尽管不到一半的学生打算成为物理专业，因此其他许多学生实际上形成了一个被动听众。此外，一些课程的不足之处也变得明显。
在学习过程中，学生们经常很难将讲座中的关键观点与一些引入的次要材料分开，以提供说明性应用。他们发现在备考考试时尤其令人沮丧。
在《费曼物理学讲义》纪念版的特别序言中，大卫·古德斯坦和杰瑞·诺伊格鲍尔写道：“...随着课程的进行，注册学生的出勤率开始急剧下降。”我不知道他们是从哪里得到这个信息的。我想知道他们有什么证据表明：“许多学生都害怕上这门课...”古德斯坦当时不在加州理工学院。诺伊格鲍尔是课程工作人员之一，有时会开玩笑地说讲堂里只剩下研究生了。这可能影响了他的记忆。我大多数时候坐在讲堂后排，我的记忆——当然，被岁月淡化了——是也许有大约 20%的学生没有去上课。这样的数字对于大型讲座课程来说并不罕见，我不记得有人“感到惊慌”。虽然在我的小组讨论课上可能有一些学生害怕上课，但大多数学生都对讲座感兴趣和激动——尽管其中一些很可能害怕作业。
我想给出三个例子，说明这些讲座对那两年的学生产生的影响。第一个例子发生在课程进行时，虽然那已经是 40 多年前的事情，但它给我留下了深刻的印象，我依然记忆犹新。那是在第二年的开头，由于时间安排的偶然，我的讨论小组恰好在那一年费曼的第一次讲座之前首次见面。由于我们没有讲座可讨论，也没有布置作业，不清楚我们应该谈论什么。我开始课堂时让学生们谈谈他们对前一年讲座的印象——那些讲座已经结束了大约三个月。在一些回答之后，一个学生说他被讨论蜜蜂眼睛结构的内容所吸引，以及它是如何通过几何光学效应和光的波动性质之间的平衡来优化的（见第 1 卷第 36-4 节）。我问他是否能重构这些论点。 他走到黑板前，几乎不需要我的提示，就能够重现论点的基本要素。而且这是在讲座六个月后，没有复习的情况下。
第二幅插图是我在 1997 年收到的一封信提供的，这是在讲座结束后 34 年，来自一位名叫比尔·萨特思维特的学生
谁参加了讲座，以及我的朗诵部分。这封信突如其来，是因为他在麻省理工学院遇到了我的一个老朋友。他写道：
这封信是为了感谢你和其他所有人对费曼物理的支持……费曼博士在序言中说他认为自己没有很好地为学生服务……我不同意。我和我的朋友们总是喜欢这些课程，并意识到它们是一次独特而美妙的经历。我们也学到了很多。至于我们的感受是否客观，我不记得我在加州理工学院的职业生涯中有其他任何一堂常规讲座会得到掌声，但我的记忆告诉我，在费曼博士的讲座结束时，这种情况经常发生……
最后一幅插图是几周前的。我碰巧正在阅读道格拉斯·奥舍罗夫写的自传草稿，他与大卫·李和罗伯特·理查森一起因在氦-3 中发现超流态而获得了 1996 年的诺贝尔物理学奖。奥舍罗夫写道：
这是在加州理工学院的一个好时机，因为费曼正在教授他著名的本科课程。这两年的课程对我的教育非常重要。虽然我不能说我全部理解了，但我认为它对我的物理直觉的发展起到了最大的贡献。
事后的想法
我在卡尔特克理工学院第二年讲座结束后匆匆离开，因此没有机会观察初级物理课程的后续发展。因此，我对后来学生对已发表讲座的效果知之甚少。一直以来，很明显《讲座》本身不能作为教科书。教科书通常缺少太多常见的要素：章节摘要、详细的实例、家庭作业练习等等。这些必须由勤奋的教师提供，有些由莱顿和罗克斯·福格特提供，他们在 1963 年后负责该课程。我曾经考虑过这些内容可能会在补充卷中提供，但从未实现。
在我与大学物理委员会有关的旅行中，我经常会与各大学的物理系教师见面。我听说大多数教师认为《讲座》不适合在他们的课堂上使用，尽管我听说有些教师在“荣誉”课程中使用了其中一本书，或者作为常规教材的补充。（我必须说，我经常有这样的印象，一些教师可能是）
由于担心学生会问他们无法回答的问题，所以对尝试《讲座》持谨慎态度。最常见的情况是，我听说研究生发现《讲座》是资格考试复习的绝佳来源。
似乎《讲座》在国外的影响力比在美国更大。出版商已经安排将《讲座》翻译成许多语言，我记得有十二种。当我出国参加高能物理会议时，经常被问及是否是那些红书中的桑兹。我经常听说《讲座》被用于物理导论课程。
我离开加州理工学院的另一个不幸后果是，我再也无法与费曼和他的妻子格温斯保持密切的联系。自洛斯阿拉莫斯时代以来，他和我一直保持着友好的同事关系，在 20 世纪 50 年代中期，我还参加了他们的婚礼。1963 年后，我偶尔访问帕萨迪纳时，会和他们住在一起，或者当我和家人一起访问时，我们总会共度一个晚上。在最后一次这样的场合上，他告诉我们他最近为癌症接受的手术的故事，不久之后，这场病夺去了他的生命。
我非常高兴地得知，现在距离费曼物理学讲义首次出版已经有大约四十年了，它们仍然在印刷、销售、阅读，并且我敢说，受到了赏识。
Santa Cruz, California
2004 年 12 月 2 日
先决条件
1-1 回顾讲座介绍
这三堂可选讲座将会很无聊：它们涉及的内容与我们之前讲过的内容完全相同，没有任何新的东西。所以看到这么多人在这里，我感到非常惊讶。坦率地说，我更希望你们中间会有更少的人，而且这些讲座不会是必要的。
此时放松的目的是给你时间思考事情，闲逛一下你听到的事情。这绝对是学习物理最有效的方式：进来听一些复习并不是个好主意；最好是自己进行复习。所以我建议你——如果你没有太迷失、完全困惑和混乱——忘记这些讲座，自己闲逛一下，尝试找出有趣的事情，而不是一味地沿着某个特定轨道前行。通过选择一个你觉得有趣的问题来琢磨，比如你听到但不理解的事情，或者想进一步分析，或者想玩弄一些技巧——这是学习的最佳方式。
到目前为止我们一直在进行的讲座是一门新课程，旨在回答我们假定存在的一个问题：没有人知道如何教授物理，或者教育人们-这是一个事实，如果你不喜欢目前的教学方式，那是非常自然的。教学是不可能令人满意的：几百年来，甚至更长时间以来，人们一直在努力弄清楚如何教学，但没有人真正弄清楚。因此，如果这门新课程不令人满意，那并不是独一无二的。
在加州理工学院，我们总是改变课程，希望能够改进它们，今年我们再次改变了物理课程。过去的一个抱怨是，那些成绩靠前的学生觉得力学这门学科很枯燥：他们发现自己一直在做题、复习、考试，没有时间思考任何事情；没有激情；没有描述它与现代物理的关系，或者类似的内容。因此，这套讲座的设计就是为了在一定程度上更好地帮助那些同学，并且通过将其与宇宙的其他部分联系起来，尽可能地使这门学科更有趣。
另一方面，这种方法的缺点是让很多人感到困惑，因为他们不知道他们应该学习什么，或者说，有太多的东西他们无法全部学习，而且他们没有足够的智力来弄清楚什么对他们感兴趣，只关注那些内容。
因此，我面向那些发现讲座非常混乱、非常恼人和令人恼火的人，他们不知道该学什么，有点迷茫。其他人，不觉得迷茫的人，不应该在这里，所以现在我给你们机会离开...
我看到没有人有勇气。或者我猜我是一个巨大的失败者，如果我让每个人都迷失了的话！（也许你只是来这里娱乐的。）
1-2 加州理工学院从底部
现在，我想象着你们中的一位走进我的办公室说：“费曼，我听了所有的讲座，参加了期中考试，试着做题，但什么也做不出来，我觉得自己在班里排名最后，不知道该怎么办。”
我会对你说什么？
我要指出的第一件事是：来到加州理工学院在某些方面是有优势的，而在其他方面是有劣势的。它是优势的一些方面你可能曾经知道，但现在忘记了，这与学校拥有卓越的声誉有关，而这个声誉是当之无愧的。这里有非常好的课程。（我不了解这门特定的物理课程；当然我对此有自己的看法。）那些从加州理工学院毕业的人，当他们进入工业界，或者从事研究工作等等时，总是说他们在这里得到了非常好的教育，当他们与去过其他学校的人进行比较时（尽管许多其他学校也非常优秀），他们从未觉得自己落后或缺少什么；他们总是觉得自己上的是最好的学校。所以这是一个优势。
但也存在一定的缺点：因为加州理工学院声誉如此之高，几乎每个在高中班级中排名前两名的人都会申请这里。有很多高中，所有最优秀的人都会申请。现在，我们已经尝试设计一套选拔系统，进行各种测试，以便选出最优秀的人。因此，你们被精心挑选出来从所有这些学校来到这里。但我们仍在努力，因为我们发现了一个非常严重的问题：无论我们如何谨慎地选择这些人，无论我们如何耐心地进行分析，当他们来到这里时，总会发生一些事情：结果总是大约一半的人低于平均水平！
当然，你会对此感到好笑，因为对于理性思维来说，这是不言自明的，但对于情感思维来说却不是-情感思维无法对此感到好笑。当你一直以高中科学课程中的第一名或第二名（甚至可能是第三名）生活，当你知道你来自的科学课程中处于平均水平以下的每个人都是一个完全的白痴，而现在你突然发现自己处于平均水平以下-你们中有一半是如此-这是一个可怕的打击，因为你想象这意味着你和那些高中时的家伙一样蠢，相对而言。这就是加州理工学院的巨大劣势：这种心理打击是如此难以承受。当然，我不是心理学家；我只是在想象这一切。我当然不知道真实情况会是怎样！
问题是如果你发现自己低于平均水平该怎么办。有两种可能性。首先，你可能会发现这是如此困难和烦人，以至于你不得不离开-这是一个情感问题。你可以运用你的理性思维，并指出给自己我刚刚指出给你的：这里一半的人会低于平均水平，即使他们都是顶尖的，所以这并不代表什么。你看，如果你能忍受那些胡说八道、滑稽的感觉四年，然后你会再次走出世界，你会发现世界还是和以前一样-例如，当你在某个地方找到工作时，你会发现自己又是第一人，你会得到成为专家的巨大快乐，每当他们不知道如何将英寸转换为厘米时，他们都会来找你！ 这是真的：那些进入工业界或去一所声誉不佳的小学校学习物理的男性，即使他们曾经在班级的最后三分之一、最后五分之一或最后十分之一，如果他们不努力自我驱动（我会在一分钟内解释），那么他们会发现自己非常受欢迎，他们在这里学到的东西非常有用，他们又回到了以前的位置：快乐，第一。
另一方面，你可能犯一个错误：有些人可能会逼迫自己达到一个程度，坚持要成为第一，尽管一切都想去研究生院，想成为最好的博士生，即使他们从这里的班级最底层开始。嗯，他们很可能会感到失望，并让自己在一群非常优秀的人中始终处于最底层，因为他们选择了那个群体。这是一个问题，这取决于你的个性。（记住，我在和那个因为成绩最低而来找我谈话的人说话；我不是在和那些因为成绩在前十而感到高兴的人说话-这本来就是少数！）
所以，如果你能承受这种心理打击-如果你能对自己说，“我在班级的后三分之一，但有三分之一的人在班级的后三分之一，因为情况就是这样！我在高中是顶尖的人，我仍然是一个聪明的家伙。我们国家需要科学家，我将成为一名科学家，当我离开这所学校时，我会没事的，该死的！我会成为一个优秀的科学家！”-那么这将是真实的：你将成为一个优秀的科学家。唯一的问题是你是否能在这四年里忍受这些有趣的感觉，尽管有理性的论据。如果你发现自己无法忍受这些有趣的感觉，我想最好的做法是尝试去其他地方。这不是失败的问题；这只是一种情感问题。
即使你是班上最后几个人之一，也不代表你不行。你只需要将自己与一个合理的群体进行比较，而不是与加州理工学院这里的疯狂集合比较。因此，我特意为那些迷失的人做这个评论，让他们仍然有机会多留一会儿，看看自己是否能应对，好吗？
我现在再强调一点：这不是为了考试或类似的准备。我对考试一无所知——我的意思是，我与出题无关，也不知道考试内容会是什么，所以绝对不能保证考试内容只涉及这些讲座中复习过的内容，或者任何类似的胡说八道。
1-3 物理数学
所以，这个人走进我的办公室，要求我尽力让他学会的一切变得清晰明了，这是我能做到的最好的。问题在于要试图解释当时所教授的内容。所以我现在开始复习。
我会告诉这个家伙，“你必须学会的第一件事是数学。这涉及到，首先，微积分。在微积分中，有微分。”
现在，数学是一个美丽的学科，也有它的门道，但我们正在努力弄清楚为了物理目的我们必须学习的最少量是什么。因此，这里采取的态度是一种“不尊重”数学的态度，仅仅出于效率考虑；我并不是在试图否定数学。
我们要做的是学会区分，就像我们知道 3 加 5 是多少，或者 5 乘以 7 是多少一样，因为这种工作经常涉及到，最好不要被搞混。当你写下某样东西时，你应该能够立刻区分出来，甚至不用思考，也不会犯任何错误。你会发现你需要一直做这个操作-不仅在物理学中，而且在所有科学中。因此，区分就像你在学代数之前必须学会的算术一样。
顺便说一句，代数也是一样的：有很多代数。我们假设你可以在睡觉时倒立做代数，而不会出错。我们知道这不是真的，所以你也应该练习代数：写很多表达式，练习它们，不要犯任何错误。
代数、微分和积分中的错误只是胡说八道；它们只会让物理学变得烦人，让你在分析某事时感到烦躁。你应该尽可能快地进行计算，并尽量减少错误。这只需要死记硬背练习-这是唯一的方法。就像在小学时制作乘法表一样：他们会在黑板上写一堆数字，然后你会去：“这个乘以那个，这个乘以那个”，依此类推-嘭！嘭！嘭！
1-4 差异化
以同样的方式，你必须学会区分。制作一张卡片，在卡片上写下一些以下一般类型的表达式：例如，
等等。写下，比如说，十几个这样的表达。然后，偶尔从口袋里拿出卡片，用手指指着一个表达，然后读出它的派生词。
换句话说，您应该能立即看到：
看到了吗？所以第一件事就是要记住怎么做导数-冷静。这是必要的练习。
现在，对于区分更复杂的表达式，求和的导数很简单：它只是每个单独求和项的导数之和。在我们物理课程的这个阶段，不需要知道如何区分比上面更复杂的表达式，或者它们的求和，所以在这个复习的精神中，我不应该告诉你更多。但是有一个用于区分复杂表达式的公式，通常在微积分课程中不会以我将要告诉你的形式给出，结果证明非常有用。你以后不会学到它，因为没有人会告诉你，但知道如何做这件事是很重要的。
假设我想要区分以下内容：
现在，问题是如何迅速地做到这一点。这就是你如何迅速地做到这一点。（这些只是规则；这是我简化数学的程度，因为我们正在与勉强能够坚持下去的人一起工作。）看！
您再次写下表达式，并在每个加数后面加上括号：
接下来，您将在括号内写入一些内容，这样当您完成所有工作时，您将得到原始表达式的导数。（这就是为什么您要再次写下表达式，以防您不想丢失它。）
现在，您看每个术语，画一条线-一个分隔符-并将术语放在分母中：第一个术语是
6 怎么样？忘了吧！前面的任何数字都没有任何区别：如果你愿意的话，你可以开始，“6 放在分母里；它的幂，1，放在前面；它的导数，0，放在分子里。”
下一个项：
下一个被加数，第一项：幂是
这是原始表达式的导数。因此，您可以看到，通过记忆这种技巧，您可以对任何东西进行区分-除了正弦、余弦、对数等等，但您可以很容易地学习这些规则；它们非常简单。然后，即使术语包括切线和其他内容，您也可以使用这种技巧。
我注意到当我把它写下来时，你担心这是一个如此复杂的表达，但我认为你现在可以欣赏到这是一种非常强大的区分方法，因为它可以立即给出答案，无论多么复杂。
这里的想法是，函数
(其中
然而，在这门物理课程中，我怀疑任何问题都不会那么复杂，所以我们可能不会有机会使用这个。无论如何，这就是我区分的方式，现在我做得相当不错，所以就这样吧。
1-5 整合
现在，相反的过程是积分。您应该尽快学会同样熟练地进行积分。积分并不像微分那样容易，但您应该能够在脑中积分简单的表达式。并不需要能够积分每一个表达式；例如，
我没有更多关于微积分的东西要告诉你了。剩下的就看你了：你必须练习微分和积分，当然还有减少像方程（1.7）这样可怕的代数。以这种乏味的方式练习代数和微积分-这是第一要务。
1-6 矢量
我们参与的数学的另一个分支作为一门纯数学学科是矢量。你首先必须知道什么是矢量，如果你对它没有感觉，我不知道该怎么办：我们需要互相交流一段时间，让我了解你的困难，否则我无法解释。矢量就像一个具有特定方向的推力，或者具有特定方向的速度，或者具有特定方向的运动-它在纸上由一个指向事物方向的箭头表示。例如，我们通过一个指向力方向的箭头来表示对某物体的力，箭头的长度是力的大小在某种任意比例尺度上的度量-然而，这个比例尺度必须对问题中的所有力保持不变。如果你使另一个力强度加倍，你可以用一个长度加倍的箭头来表示。（见图 1-1。）
现在，这些向量可以进行操作。也就是说，如果有两个力同时作用于一个物体，比如说，两个人在推一个东西，那么这两个力可以用两个向量表示。
图 1-1 两个由箭头表示的向量。
图 1-2 在同一点施加的两个力的表示。
箭头
如果我们想要知道与矢量相加对应的净合力或总力，我们可以通过将一个矢量的尾部移动到另一个矢量的头部来绘制这个矢量。 （因为它们在移动后仍然是相同的矢量，因为它们具有相同的方向和相同的长度。）然后
另一方面，假设有两个作用于物体的力，但我们只知道其中一个是
图 1-3“平行四边形法”进行矢量相加。
否则，
现在，第二种方法的缺点是，您可能会倾向于绘制如图 1-5 所示的箭头；尽管差异的方向和长度是正确的，但力的应用并不位于箭头的尾部-所以要小心。如果您对此感到紧张，或者有任何困惑，请使用第一种方法。（见图 1-6。）
我们也可以沿着某些方向投影向量。例如，如果我们想知道在“
图 1-4 矢量减法，第一种方法。
图 1-5 矢量减法，第二种方法。
图 1-6 在同一点施加的两个力的减法。
方向，我们称之为
现在，如果将
图 1-7 矢量
图 1-8 矢量和的一个分量等于相应矢量分量的和。
特别方便的是描述向量的方法，即它们在垂直轴上的分量
图 1-9 中的一个向量在
这是容易的部分；现在变得有点困难。有一种方法可以将两个向量相乘，得到一个标量-一个在任何坐标系中都相同的数字。（事实上，有一种方法可以从一个向量中得到一个标量，我会回头再讲。）你看，如果坐标轴改变，那么分量也会改变，但向量之间的角度和它们的大小保持不变。如果
很明显，由于
我们也可以根据
从
图 1-10 矢量点积
当我们将一个向量与自身进行点积时，
1-7 区分向量
现在，我们可以做所谓的矢量微分。矢量关于时间的导数是没有意义的，除非矢量当然取决于时间。这意味着我们必须想象一些始终不同的矢量：随着时间的推移，矢量不断变化，我们想要变化的速率。
例如，向量
规则如下：在区间
当然，间隔
图 1-11 位置矢量
图 1-12 位置矢量
顺便提一下，在同一张图中绘制位置矢量和速度矢量是危险的，除非你非常小心——而且由于我们对这些事情有点困惑，我指出我能想到的所有可能的陷阱，因为你接下来可能想做的事情是为某种目的添加
为了我能够真正绘制任何矢量的图像，我必须决定比例尺。当我们谈论力量时，我们说，多少牛顿将由 1 英寸（或 1 米，或其他）表示。在这里，我们必须说，多少米每秒将由 1 英寸表示。其他人可以用与我们相同长度的位置矢量绘制图像，但速度矢量的长度只有我们的三分之一，他只是为他的速度矢量使用不同的比例尺。绘制矢量的长度没有唯一的方法，因为比例尺的选择是任意的。
现在，根据
然后取极限，我们有导数的分量：
这对于任何方向都是正确的：如果我在任何方向上取
这些是区分向量时的一些偏差和困难。
当然，您可以区分矢量的导数，然后再进行区分，依此类推。我将 A 的导数称为“速度”，但那只是因为
1-8 线积分
最后，我还有一件事情要谈论向量，那就是一个可怕而复杂的东西，叫做“线积分”
我们以一个例子来说明，假设您有一个特定的向量场
图 1-13 定义在直线路径上的恒定力 F
从
在这一刻，我将定义沿着任意曲线的任意矢量场的线积分，但首先让我们考虑一个情况，即
记住，
更一般地，线积分定义如下。首先，我们通过将
图 1-14 上定义在曲线
到无穷大：你把线段取得尽可能细；你再细一点，就得到了正确的积分：
这个积分当然取决于曲线-通常情况下-尽管在物理学中有时并非如此。
好了，那就是你现在必须了解的数学知识，以便进行物理学研究，至少目前是这样的，尤其是微积分和向量理论的早期部分，应该变得轻车熟路。有些东西，比如线积分，现在可能还不是那么熟练，但随着你的使用，它们最终会变得熟练；它们还不是那么重要，这就更难了。你现在必须牢记的是微积分，以及有关在不同方向上取向量分量的小技巧。
1-9 一个简单的例子
我将举一个例子-只是一个非常简单的例子-来展示如何取向量的分量。假设我们有一种机器，如图 1-15 所示：它有两根杆通过一个枢轴连接（就像一个肘关节），上面有一个大重物。一根杆的末端通过一个固定枢轴连接到地板，另一根杆的末端有一个滚动枢轴，在地板上的槽中滚动-它是机器的一部分，看到了吧，它在咚咚响，咚咚响-滚轮来回移动，重物上下移动，等等。
choo-
choog
图 1-15 一个简单的机器。
假设重量为
问题是要弄清楚在滚轮上需要施加多大的水平推力
图 1-16 需要多大的力 P 来支撑重量？
在两端枢轴，我只能沿着杆推动。因此，让我们假设我们知道力必须沿着杆的方向。
我们还从物理学中知道另一件事：杆的两端的力是相等且相反的。例如，杆对滚轮施加的任何力必须也由该杆在相反方向对重物施加。所以，这就是问题所在：根据这些关于杆的性质的想法，我们试图弄清楚滚轮上的水平力是多少。
我认为我想尝试的方法是这样的：杆对滚轮施加的水平力是其净力的某个分量。（当然，由于“限制槽”的垂直分量也是未知且无趣的；它是滚轮的净力的一部分，与重量的净力完全相反。）因此，如果我能得到杆对重量施加的力的分量，我就可以得到杆对滚轮施加的力的分量，特别是我想要的水平分量。如果我称重量上的水平力为
杆上对重物的垂直力
嗯，我们有三角形的投影，设计得非常好，水平边与垂直边的比例为 3 比 4；这与
我们得出结论，滚轮上需要施加的水平力以支撑重量为 14.7 牛顿。这就是这个问题的答案。
图 1-17 杆上的重力和滚轮上的力。
还是吗？
你看，你不能只靠插入公式来做物理学：如果除了知道规则、投影公式和所有那些东西之外没有其他东西，你永远不会有所进展；你必须对真实情况有一定的感觉！我马上会再多谈一些关于这个问题的看法，但在这里，在这个特定问题中，困难在于：作用在重物上的净力不仅来自一个杆，还有另一个杆对其施加的力，朝某个方向，当我进行分析时，我忽略了这一点，所以一切都错了！
我还必须担心固定枢轴的杆对重物施加的力。现在情况变得复杂了：我怎么才能弄清楚那个力是多少呢？嗯，所有对重物的净力是多少呢？只有重力-它只是平衡重力；重物水平方向上没有力。所以，我可以找到沿着固定枢轴的杆上有多少“力量”的线索，就是注意到它必须水平施加足够的力量来平衡另一个杆施加的水平力。
因此，如果我要绘制具有固定枢轴的杆杆施加的力，其水平分量将恰好与具有滚轮的杆杆施加的水平分量相反，垂直分量将相等，因为杆杆形成的 3-4-5 等边三角形相同：两根杆都在向上推同样的量，因为它们的水平
组件必须平衡-如果杆子长度不同，你需要做更多的工作，但是这是相同的想法。
所以，让我们再次从重量开始：杆上的力是首先要弄清楚的。所以，让我们看看杆对重量的力。我一直重复这个是因为否则我会把符号搞混：重量对杆的力与杆对重量的力相反。我总是在这种情况下不得不重新开始；我必须再次考虑一下，并决定我想要谈论什么。所以我说，“看看杆对重量的力：有一个力
现在，这两股力的合力——啊！我开始看到光明了！这两股力的合力没有水平分量，垂直分量为 19.6 牛顿。啊！让我再画一次图片，因为之前我画错了。（见图 1-18。）
图 1-18 重物的受力和滚轮和枢轴的受力，来自两根杆。
水平力平衡，因此垂直分量相加，19.6 牛顿不仅仅是来自一个杆的力的垂直分量，而是来自两个杆的总和；由于每根杆贡献一半，带有滚轮的杆的垂直分量仅为 9.8 牛顿。
现在当我们将这个力的水平投影乘以
1-10 三角测量
我还有一点时间，所以我想就数学与物理之间的关系做一点小演讲-事实上，这个小例子很好地说明了这一点。记住公式是不够的，对自己说“我知道所有的公式；我要做的就是弄清楚如何把它们应用到问题中！”是行不通的。
现在，您可能会成功一段时间，您越是努力记忆公式，您就能坚持更久使用这种方法，但最终它不起作用。
你可能会说，“我不会相信他，因为我一直很成功：这就是我一直的做法；我总是会这样做。”
你不会总是那样做的：你不会今年挂科，也不会明年，但最终，当你找到工作，或者其他什么事情时，你会在某个地方失去，因为物理是一个非常广泛的东西：有数百万个公式！记住所有的公式是不可能的-这是不可能的！
你正在忽略的伟大事物，你没有利用的强大机器是：假设图 1-19 是所有物理公式、物理关系的地图。（它应该有超过两个维度，但让我们假设它是这样的。）
现在，假设您的思维发生了某种变化，某个区域中的所有材料都被抹去了，那里有一小块缺失的物质。自然的关系是如此美妙，以至于通过逻辑，可以从已知的内容“三角测量”到洞中的内容。（见图 1-20。）
图 1-19 所有物理公式的虚拟地图。
图 1-20 忘记的事实可以通过从已知事实三角测量来重新创建。
你可以永远重新创造你忘记的事物-如果你没有忘记太多，并且你知道足够多。换句话说，有一个时刻-你还没有完全到达的时候-你会知道很多事情，以至于当你忘记它们时，你可以从你仍然记得的碎片中重建它们。因此，重要的是你知道如何“三角测量”-也就是说，知道如何从你已经知道的东西中推断出某事。这是绝对必要的。你可能会说，“啊，我不在乎；我是一个很好的记忆者！我知道如何真正记忆！事实上，我上过一门记忆课！”
那还是不行！因为物理学家的真正用途是发现自然界的新规律，并在工业中开发新事物，因此
图 1-21 物理学家通过从已知到以前未知的三角测量来进行新发现。
不是谈论已知的事情，而是做一些新的事情，所以他们从已知的事物中进行三角测量：他们做出了以前没有人做过的“三角测量”。（见图 1-21。）
为了学会如何做到这一点，你必须忘记公式的记忆，努力学习理解自然的相互关系。这在开始时要困难得多，但这是唯一成功的方法。
法律和直觉
复习讲座 B
上次我们讨论了你需要了解的数学知识来做物理学，我指出方程式应该被记住作为一种工具，但记住一切并不是一个好主意。事实上，长期来看，凭记忆做所有事情是不可能的。这并不意味着什么都不要靠记忆来做——在某种意义上，你记得越多，越好，但你应该能够重新创造任何你忘记的东西。
顺便提一下，在你来到加州理工学院时突然发现自己处于平均水平以下的话题，我们上次也讨论过，如果你以某种方式逃脱了成为班级下半部分的命运，那么你只是让其他人感到痛苦，因为现在你正在迫使其他人下降到下半部分！但有一种方法可以做到不干扰任何人：找到并追求一些让你特别喜欢的有趣事物，这样你就成为了某种你听说过的现象的临时专家。这是拯救你灵魂的方法——然后你总是可以说，“至少其他人对这个一无所知！”
2-1 物理定律
现在，在这篇评论中，我将谈论物理定律，首先要做的是说明它们是什么。到目前为止，在讲座中我们已经用很多话语陈述过它们，而且很难在不使用同样的时间再次说出来，但物理定律也可以用一些方程式来总结，我会在这里写下来。（到这个时候，我假设你的数学已经发展到一个可以立刻理解符号的程度。）以下是你应该知道的所有物理定律。
首先：
即力
我想强调的是，在任何物理方程中，有必要理解字母代表什么。这并不意味着说，“哦，我知道那是
相反，要理解
现在，这是另一个你应该知道的物理定律，叫做动量守恒：
动量守恒定律表明，在任何情况下总动量都是恒定的。这在物理上意味着什么？例如，在碰撞中，这意味着碰撞前所有粒子的动量之和等于碰撞后所有粒子的动量之和。在相对论世界中，碰撞后粒子可能会有所不同-你可以创造新粒子并摧毁旧粒子-但仍然是真实的，即碰撞前后所有事物的总动量矢量和是相同的。
你应该知道的下一个物理定律叫做能量守恒定律，它具有相同的形式：
这意味着碰撞前所有粒子的能量之和等于碰撞后所有粒子的能量之和。为了使用这个公式，您必须知道粒子的能量是什么。具有静止质量
2-2 非相对论近似
现在，这些是相对论世界中正确的定律。在非相对论近似情况下，也就是说，如果我们观察速度远低于光速的粒子，那么上述定律就有一些特殊情况。
首先，低速时的动量很容易：
这意味着力的公式，
粒子在低速下的动量守恒与方程（2.3）具有相同形式，只是动量的公式为
然而，低速下的能量守恒变为两个定律：首先，每个粒子的质量是恒定的-你不能创造或销毁任何物质-其次，所有粒子的动能总和（总动能，或 K.E.）是恒定的。
如果我们将大型日常物体视为具有低速度的粒子，比如一个烟灰缸是一个粒子，那么在碰撞之前的动能总和等于之后的总和这个法则就不成立，因为在物体内部可能会有一些粒子的运动混合在一起，比如内部运动-热量。因此，在大型物体之间的碰撞中，这个法则似乎不适用。这只对基本粒子成立。当然，对于大型物体，可能会发生不多的能量转化为内部运动，因此能量守恒似乎几乎成立，这被称为几乎弹性碰撞，有时被理想化为完全弹性碰撞。因此，能量比动量更难跟踪，因为当涉及到大型物体时，能量守恒可能不成立，比如重物等。
2-3 运动与力量
现在，如果我们不看碰撞，而是看力量作用时的运动-那么我们首先得到一个定理，告诉我们粒子的动能变化等于力对其所做的功：
记住，这意味着一些事情-你必须知道所有字母的含义：这意味着如果一个粒子沿着某条曲线移动，从点
and
在某些情况下，这个积分可以很容易地提前计算，因为粒子上的力只取决于它的位置，以一种简单的方式。在这种情况下，我们可以写出对粒子所做的功等于另一个称为势能或 P.E.的量的变化。这样的力被称为“保守力”。
图 2-1
顺便说一句，我们在物理学中使用的词汇很糟糕：“保守力”并不意味着力是被保守的，而是指这些力使得受力物体的能量可以被保守。这非常令人困惑，我承认，但我无能为力。
粒子的总能量是其动能加上其势能：
当只有保守力作用时，粒子的总能量不会改变
但是当非保守力量起作用-即不包括在任何势能中的力量时，粒子能量的变化等于这些力量对其所做的功。
图 2-2 圆周运动的速度和加速度矢量。
现在，当我们列出所有已知各种力的规则时，这部分评论的结尾就到了。
但在我这样做之前，有一个加速度公式非常有用：如果在某一时刻，一个物体以速度
表 2-1
一般来说是错误的
真实永远
（仅在低速下有效）
力量
动量
能源
表格
真实的保守力量
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|
定义：动能，K.E.
2-4 力和它们的势能
现在，为了重新回到正轨，我将列出一系列力的定律，以及它们的势能公式。
表 2-3
| 力量 | 潜力 | |
重力，接近地球表面 |
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重力，粒子之间 |
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| 电荷 |
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| 电场 |
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| 理想的春天 |
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| 摩擦 |
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首先是地球上的表面重力。力是向下的，但不要在意符号；只需记住力的方向，因为谁知道你的坐标轴是什么-也许你正在将
接下来是粒子之间的空间重力；这种力是向中心方向作用的，并且与两个质量的乘积除以两者之间距离的平方成正比，
记住力的方向比担心符号更重要。但这部分你必须记住：重力的力与粒子之间距离的平方反比。（那么符号是哪个方向？嗯，重力中喜欢相互吸引，所以力与半径矢量方向相反。这告诉你我不记得符号；我只记得物理上符号的方向：粒子相互吸引-这就是我要记住的全部。）
现在，两个粒子之间的势能是
对于电力，力与电荷的乘积成正比，
根据电学定律的一些技术要点：对
继续这个公式表，接下来是一个理想弹簧。拉出理想弹簧到距离
你看，像我记不住的标志这样的细节，我尝试通过论证来重建，这就是我记住所有我不记得的事情的方式。
摩擦：干燥表面上的摩擦力是
现在，在表 2-3 中摩擦的势能下，答案是否定的：摩擦不会保存能量，因此我们没有摩擦的势能公式。如果你沿着表面推动物体，你会做功；然后，当你把它拖回来时，你又会做功。所以在完成一个完整的循环后，你并没有没有能量变化；你已经做了功-因此摩擦没有势能。
2-5 通过示例学习物理
这些是我记得必要的所有规则。所以你说，“嗯，这很容易：我只需记住整个该死的表格，然后我就会知道所有的物理。”嗯，这行不通。
实际上，一开始可能会运作得相当不错，但随着时间的推移会变得越来越困难，正如我在第一章中指出的那样。因此，我们接下来要学习的是如何将数学应用于物理，以便理解这个世界。方程式为我们跟踪事物，因此我们将它们用作工具，但为了做到这一点，我们必须知道方程式所讨论的对象是什么。
如何从旧事物中推导出新事物，以及如何解决问题的问题，真的很难教，我真的不知道该怎么做。我不知道如何告诉你一些东西，可以让你从一个无法分析新情况或解决问题的人，变成一个可以的人。在数学的情况下，我可以通过给你所有的规则，将你从一个无法区分的人变成一个可以区分的人。但在物理学的情况下，我无法将你从一个无法的人变成一个可以的人，所以我不知道该怎么办。
因为我直觉地理解物理上发生的事情，我发现很难沟通：我只能通过展示示例来做到。因此，本讲座的其余部分以及下一讲将包括大量的小示例-应用示例，物理世界或工业世界中的现象，物理在不同地方的应用-来展示您已经知道的东西如何使您能够理解或分析正在发生的事情。只有通过示例，您才能掌握。
我们发现了许多古巴比伦数学的古老文本。其中有一个巨大的图书馆，里面装满了学生的数学练习册。而且非常有趣：巴比伦人能够解决二次方程；他们甚至有解决三次方程的表格。他们能够做三角形（见图 2-3）；他们能够做各种各样的事情，但他们从不写下。
图 2-3：公元前约 1700 年的普林普顿 322 号板上的毕达哥拉斯三元组。
一个代数公式。古巴比伦人没有写公式的方法；相反，他们一个接一个地做示例-就是这样。这个想法是你应该看示例直到你明白。这是因为古巴比伦人没有数学形式的表达能力。
今天我们没有表达力来告诉学生如何在物理上理解物理学！我们可以写出物理定律，但我们仍然无法说出如何在物理上理解它们。你能够在物理上理解物理学的唯一方法，是因为我们缺乏表达这一点的机器，就是按照乏味的巴比伦方式做大量问题，直到你明白为止。这就是我能为你做的一切。在巴比伦没有理解的学生不及格，理解了的人死了，所以都一样！
所以，现在我们尝试。
2-6 理解物理学的物理学
我在第 1 章提到的第一个问题涉及很多物理事物。有两根杆，一个滚轮，一个枢轴和一个重物-我相信是
图 2-4 第 1 章的简单机器。
问题是，如图 2-4 所示，滚轮上需要多大的水平力
现在，如果你只是放开手中的方程式，静下心来思考一会儿，卷起袖子挥动双臂，你几乎可以理解答案将会是什么，至少
图 2-5 从重量到杆，再到滚轮和枢轴的力分布。
你可以说，“嗯，重力作用力是直下的，与
现在，让我们看看是否有意义：根据这个想法，如果滚轮被推得离枢轴更近，使得两腿之间的距离更小，我会预期滚轮上的力会减少很多。是真的吗，当重物在很高的地方时，滚轮上的力应该很小吗？是的！（见图 2-6。）
如果你看不见它，很难解释原因-但是如果你试图用梯子支撑某物，然后把梯子直接放在物体下面，就很容易防止梯子滑出去。但是如果梯子倾斜得很厉害，要保持物体不掉下来就很难了！事实上，如果你走得很远，以至于梯子的远端只有非常微小的距离离地面，你会发现需要几乎无限的水平力来保持物体在一个非常轻微的角度上。
现在，所有这些事情你都可以感受到。你不必感受它们；你可以通过制作图表和计算来解决它们，但随着问题变得越来越困难，当你试图在越来越复杂的情况下理解自然时，你能够猜测、感受和理解的越多，而不是实际计算，你就会更好！这就是你应该在各种问题上练习的方法：当你有时间的时候，而且不用担心为了测验或其他事情而得到答案，看看问题，看看当你改变一些数字时，你是否能大致理解它的行为。
图 2-6：滚轮上的力与重量的高度变化。
现在，如何解释如何做到这一点，我不知道。我记得曾经试图教一个在物理课上遇到很多困难的人，尽管他在数学上表现不错。他发现无法解决的一个问题的一个很好的例子是这样的：“有一张三条腿的圆桌。你应该在哪里倾斜，这样桌子会最不稳定？”
学生的解决方案是：“可能在其中一条腿的顶部，但让我看看：我会计算产生什么提升力的力量有多大，等等，在不同的地方。”
然后我说，“不要计算了。你能想象一张真实的桌子吗？”
"但这不是你应该做的方式！"
不要在意你应该如何做；你这里有一个真正的桌子，有各种腿，你看到了吧？现在，你认为你会倚靠在哪里？如果你直接在一条腿上用力推下会发生什么？
"什么都没有！"
我说，“没错；如果你在边缘附近向下按压，靠近两条腿之间的中间位置会发生什么？”
"它翻过来了！"
我说：“好的！这样更好！”
这个关键是学生没有意识到这些不仅仅是数学问题；它们描述了一张真实的有腿的桌子。实际上，这不是一张真实的桌子，因为它是完全圆形的，腿是笔直向上和向下的，等等。但它几乎描述了，粗略地说，一张真实的桌子，通过了解真实桌子的功能，你可以很好地了解这张桌子的功能，而无需计算任何东西——你非常清楚你必须往哪里倾斜才能让桌子翻倒。
所以，如何解释这个，我不知道！但一旦你明白问题不是数学问题而是物理问题，这会帮助很多。
现在我要将这种方法应用到一系列问题中：首先是机械设计；其次是卫星运动；第三是火箭推进；第四是梁分析器，然后，如果我还有时间，再到π介子的衰变，以及其他一些事情。所有这些问题都相当困难，但随着我们的进行，它们展示了各种要点。所以，让我们看看会发生什么。
2-7 机器设计中的问题
首先，机器设计。这里有一个问题：有两根枢轴杆，每根半米长，承载着一个重量为
每秒 2 米的速度，好吗？你的问题是，当重物的高度为 0.4 米时，需要多大的力才能做到这一点？（见图 2-7。）
您可能会想：“我们已经做过了！平衡重量所需的水平力是
但我认为，“力量不是
你可能会反驳说，“当一个物体在运动时，需要施加力来保持它运动吗？不需要！”
"改变物体运动需要力量。"
"是的，但是滚筒正在以恒定速度移动！"
啊，是的，没错：滚轮以每秒 2 米的恒定速度移动。但是重量呢：它是否以恒定速度移动？让我们感受一下：重量有时移动缓慢，有时移动快吗？
"是的 . . ."
然后它的运动正在改变-这就是我们面临的问题：要计算出在重量位于 0.4 米高度时保持滚轮以每秒 2 米的恒定速度运动所需的力。
让我们看看是否能理解重量的运动是如何变化的。
嗯，如果重量靠近顶部，滚轮几乎直接在其下方，重量几乎不会上下移动。在这个位置，重量移动得不太快。但是如果重量很低，就像之前一样，你把滚轮向右推一点点，那个重量就得往上移动才能躲开！所以，当我们推动滚轮时，重量开始很快地向上移动，然后减速，对吗？如果它很快地向上移动然后减速，那么加速度是朝哪个方向的呢？加速度必须是向下的：就像我把它快速抛起然后减速——就像它在下落一样，所以力必须减小。也就是说，我要进行的水平力是
图 2-7 运动中的简单机器。
上滚筒的速度会比它静止时要小。因此，我们必须弄清楚要少多少。(我之所以要经历这一切是因为我在方程式中无法保持正确的符号，所以最后不得不通过这种物理论证来弄清楚符号的方向。)
顺便说一下，我已经做了这个问题大约四次——每次都犯了错误——但最终，我做对了。我明白第一次做问题时会有很多混淆的事情：我把数字搞混了，我忘记平方了，我把时间的符号搞错了，还有很多其他错误，但无论如何，现在我做对了，我可以向你展示如何正确地做——但我必须坦率地承认，我花了相当长时间才做对。（天啊，我庆幸我还留着我的笔记！）
现在，为了计算力，我们需要加速度。仅仅通过查看图表是不可能找到加速度的，因为在感兴趣的时间点，所有尺寸都是固定的。要找到变化率，我们不能将其固定-我的意思是，我们不能说，“嗯，这是 0.3，这是 0.4，这是 0.5，这是每秒 2 米，加速度是多少？”没有简单的方法来解决这个问题。找到加速度的唯一方法是找到一般运动并将其与时间微分。然后我们可以输入与这个特定图表对应的时间值。
因此，我需要在更一般的情况下分析这件事情，当重量位于某个任意位置时。假设在时间
记住
现在，几何形状是这样的，重量始终（水平）位于滚轮和枢轴之间的中点。因此，如果我们将坐标系的原点放在枢轴上，那么重量的
现在我们需要加速度，而加速度有两个分量：一个是水平加速度，另一个是垂直加速度。如果有水平加速度，那么就会有水平力，我们必须通过杆追踪下来并弄清楚在滚轮上是什么。这个问题比看起来要简单一些，因为没有水平加速度-重量的
因此，为了获得加速度，我必须对重量的高度进行两次微分：一次是为了获得
尽管重量在上升，但结果是负的。但我的符号搞错了，所以我就这样留着吧；反正，我知道速度是正的，所以如果
现在，我们来计算加速度。有几种方法可以做到这一点：您可以使用普通方法，但我将使用我在第 1 章中向您展示的新的“超级”方法：您再次写下
图 2-8 使用毕达哥拉斯定理来找到重量的高度。
"我想要对第一个幂进行求导，
现在我们随时都有加速度。为了找到力，我们需要将其乘以质量。因此，力-也就是因加速度而涉及的除重力外的额外力-是质量，即 2 千克，乘以这个加速度。让我们把数字放进这个公式中：
我在计算时总是检查事情，因为我犯了很多错误。检查的一种方法是非常仔细地进行数学运算；另一种检查的方法是不断看看得出的数字是否合理，是否描述了真实发生的事情。
现在我们来计算。（第一次我做这个时，我把
所以，加速度为 3.9，现在对于力量：这个加速度对应的垂直力是 3.9 倍 2 千克乘以
但请记住，现在，这是对重量的垂直力。滚轮上的水平力有多大？答案是，滚轮上的水平力是重量垂直力的四分之三的一半。我们之前注意到过：向下拉的力被两条腿平衡，这将它分成两半，然后几何形状使水平分量与垂直分量的比率为 0 - 因此答案是，滚轮上的水平力是垂直力的三分之一。
在重量上。我计算出了这些物体的三分之八，得到了 7.35 的重力，2.925 的惯性力，两者之差为 4.425 牛顿，比物体静止时支撑重量所需的力少了约 3 牛顿。（见图 2-9。）
无论如何，这就是你设计机器的方式；你知道需要多少力量来推动那个东西向前。
现在，你说，这是正确的做法吗？
没有这种事！没有“正确”的做事方式。做事的特定方式可能是正确的，但不是唯一正确的方式。你可以按你想要的方式去做！（嗯，对不起：有错误的做事方式……）
现在，如果我足够聪明，我可以直接看这个东西告诉你力量是多少，但我不够聪明，所以我必须用其他方式来做——但有很多种方法。我将说明另一种方式，这种方式非常有用，特别是如果你涉及设计真实机器。通过让腿相等等方式，这个问题有些简化，因此我不想使算术变得复杂。但物理思想是这样的，你可以用另一种方式计算整个问题，即使几何形状不那么简单。这就是以下有趣的另一种方式。
当你有很多杠杆移动很多重量时，你可以这样做：当你驱动物体前进时，所有的重量开始移动
图 2-9 使用相似三角形来找到滚轮上的力。
由于所有的杠杆，你正在做一定量的工作，
正如您可能从讲座中记得的那样，功率等于力乘以速度：
因此，我们有
那么，这个想法是，在某一时刻，这些重物具有某种速度，因此它们具有动能。它们也有一定高度离地面，因此它们具有势能。因此，如果我们可以弄清楚重物的运动速度和位置，以便获得它们的总能量，然后我们对时间进行微分，这将等于力在被作用物体移动方向上的分量与速度的乘积。
让我们看看我们是否可以将这个应用到我们的问题上。
现在，当我以速度
所有约束力量所做的工作怎么样呢-滚轮、枢轴和所有其他保持这些物体运动正确的机械装置呢？只要它们在运动过程中没有受到其他力量的作用，它们就不会做任何工作。例如，如果有人坐在那边，把一条腿拉出来，而我在推另一条腿，我必须考虑到另一个人所做的工作！但没有人这样做，所以，对于
所以如果我能计算
准备好了吗？走吧！
现在，我们有两块重量的总能量：动能加势能。嗯，势能很容易：它是 mgy（见表 2-3）。我们已经知道
我还没有准备好：不幸的是，我不想要这种能量！我需要能量关于时间的导数，你不能通过计算现在的数量来找出某物体变化的速度！你要么在两个相邻的时间点计算它-现在，然后立即之后-要么，如果你想使用数学形式，你可以在任意时间点计算它，
大多数人立即尝试将问题以数学形式表达并加以区分，因为他们对算术缺乏足够的经验，无法欣赏使用数字而不是字母进行计算的巨大力量和便利性。尽管如此，我们将使用字母来做。
再次，我们必须解决这个问题，其中
现在，我们需要的是势能。这个很容易得到：它是高度
但更有趣，也更难理解的是动能。动能是
嗯，经过思考，一个优秀的机械设计师通常可以从几何原理和机械布局中找到答案。例如，由于支点是固定的，重量必须围绕它做圆周运动。那么，重量的速度必须朝哪个方向呢？它不能沿杆平行运动，因为那样会改变杆的长度，对吧？因此，速度矢量垂直于杆。（见图 2-10。）
你可能会对自己说，“哦！我得学会那个技巧！”
那招数只对特定类型的问题有效；大多数情况下并不适用。很少会需要计算围绕固定点旋转的物体的速度；没有规则说“速度与杆垂直”，或者类似的。你必须尽可能多地运用常识。在这里重要的是以几何方式分析机器的整体概念，而不是任何具体规则。
所以，现在我们知道速度的方向。速度的水平分量，我们已经知道，是 1，因为它是滚筒速度的一半。但是看！速度是一个直角三角形的斜边。
图 2-10 重量在圆圈内移动，因此其速度与杆垂直。
类似于三角形，杆作为其斜边！获得速度的大小并不比找到它与水平分量的比例更难，我们可以从另一个三角形中得到这个比例，而我们已经对它了如指掌。（见图 2-11。）
最后，对于动能，我们得到
现在，关于符号：动能肯定是正的，而势能是正的，因为我测量了与地板的距离。所以现在我对符号都没问题了。因此，任何时候的能量都是
现在，为了使用这个技巧找到力量，我们需要对能量进行微分，然后我们可以除以二，一切都会准备就绪。（我做这个看似轻松的事情是假的：我发誓在弄对之前我做过不止一次！）
现在，我们对时间进行能量微分。我不打算在这里拖延；你应该知道如何进行微分了。所以，我们得到了
图 2-11 使用相似三角形来找到重物的速度。
所以我已经全部完成了；我只需要在
现在，让我们看看这是否有意义。如果没有运动，我不必担心动能，那么重物的总能量将只是其势能，其导数应该是由于重力的力。
事实上，这就是为什么我不得不这样做那么多次：第一次做完后，对我的错误答案感到完全满意后，我决定尝试另一种完全不同的方式来做。在我用另一种方式做完后，我对一个完全不同的答案感到满意！当你努力工作时，会有一些时刻让你觉得，“终于，我发现数学是不一致的！”但很快你会发现错误，就像我最终做到的那样。
无论如何，这只是解决这个问题的两种方式。没有一种特定问题的独特方法。通过越来越大的创造力，你可以找到需要越来越少工作的方法，但这需要经验。
2-8 地球的逃逸速度
我剩下的时间不多，但我们接下来要讨论的问题是涉及行星运动的事情。我得回头再说，因为这次肯定不能告诉你关于这个问题的一切。第一个问题是，离开地球表面所需的速度是多少？某物必须以多快的速度移动才能刚好逃离地球的引力？
现在，解决这个问题的一种方法是通过计算在重力作用下的运动，但另一种方法是通过能量守恒。当物体到达远处，无限远的时候，动能将为零，而势能将是无限距离时的值。重力势能的公式在表 2-3 中；它告诉我们，对于无限远处的粒子，势能等于零。
因此，当某物以逃逸速度离开地球时的总能量，在该物体走了无限距离并且地球的引力将其减速至零速度后必须保持不变（假设没有其他力参与）。如果
顺便提一下，引力常数
所以你必须以每秒 11 公里的速度离开，这相当快。
接下来，我将讨论的是，如果你以每秒 15 公里的速度前进，并且以某个距离飞过地球会发生什么。
现在，以每秒 15 公里的速度，这个物体有足够的能量可以脱离，直线向上。但如果它不是直线向上，它显然需要脱离吗？这个物体可能会绕过来再回来吗？这并不是显而易见的；这需要一些思考。你说，“它有足够的能量可以脱离”，但你怎么知道？我们没有计算那个方向的逃逸速度。可能是地球引力造成的侧向加速足以使其转向吗？（见图 2-12。）
原则上是可能的。你知道的法则是，在相等的时间内扫过相等的面积，所以你知道当你走得很远时，你必须以某种方式侧向移动。并不清楚你需要逃脱的一些运动是否是侧向移动，所以即使以每秒 15 公里的速度，你也逃不掉。
实际上，事实证明，以每秒 15 公里的速度逃逸-只要速度大于我们上面计算的逃逸速度。只要它能逃逸，它就会逃逸-尽管这并不是显而易见的-下次，我会尝试展示它。但为了给你一个提示，让你自己尝试一下，我将展示如何做到，就是以下内容。
我们将在两点 A 和
这个人搞定了！
图 2-12 逃逸速度是否保证逃逸？
事物在
然而我们确实：根据相等时间内扫过的相等面积的法则，我们知道
图 2-13 近日点和远日点的卫星距离和速度。
迈克尔·A·戈特利布的备选解决方案
以下是解决本章节中提出的机器设计问题的另外三种方法（第 2-7 节），从第 39 页开始。
使用几何学找到重量的加速度
重量始终水平位于滚轮和枢轴之间，因此其水平速度为
因为重量在圆上移动，其加速度的径向分量是
根据方程（2.17）。重量的垂直加速度是其径向和横向分量的总和。（见图 2-14b。）
再次利用相似三角形，我们得到垂直加速度：
(a)
(b)
图 2-14
B 使用三角法找到重量的加速度
重量沿半径
重物的水平速度为
因此，
当
图 2-15
使用力矩和角动量找到作用在重量上的力量
重量上的扭矩为
重量的角动量很容易找到，因为重量在圆圈中移动。它的角动量就是杆的长度
将所有这些放在一起，我们有：
在时间
图 2-16
3 个问题和解决方案
我们将通过解决一系列问题来继续这个物理学的复习。我选择的所有问题都是复杂而困难的；我会留给你们去做简单的问题。另外，我患有所有教授都患有的病——那就是，似乎永远没有足够的时间，我设计的问题比我们能够解决的问题还要多，因此我试图通过提前在黑板上写一些东西来加快进度，带有每位教授都有的幻觉：如果他谈论更多东西，他就会教授更多东西。当然，人类大脑吸收材料的速度是有限的，然而我们忽视了这一现象，尽管如此我们还是走得太快了。所以，我想我会慢慢地进行，看看我们能走多远。
3-1 卫星运动
我们上次讨论的最后一个问题是卫星运动。我们正在讨论一个问题，即一个粒子是否会逃逸，因为这并不是显而易见的。如果它直线向外径向运动，那么它会逃逸；但如果它垂直于半径运动，它是否会逃逸，这是另一个问题。
图 3-1 逃逸速度径向和垂直于半径方向。
事实证明，如果我们能记住凯普勒的一些定律，并添加一些其他定律，比如能量守恒定律，我们就可以推断出，如果粒子没有逃逸，它将形成一个椭圆，我们可以推断出它会飞多远，这就是我们现在要做的。如果椭圆的近日点是
图 3-2 卫星在椭圆轨道上近日点和远日点的速度和距离。
图 3-3 从质量
上次我们通过能量守恒来计算逃逸速度。(见图 3-3。)
现在，这是在半径
不幸的是，
但是如果我们记得开普勒的等面积定律，我们知道在给定的时间内，在近日点和远日点扫过的面积是相同的：在短时间内，近日点的粒子移动了距离
这样，我们就得到了一个关于
图 3-4 使用开普勒的等面积定律来找到卫星在近日点的速度。
除以
如果你看一下方程（3.5）一会儿，你可能会说，“嗯，我可以乘以
我不打算从这里讨论代数；你知道如何解二次方程，并且对于
问题是我们是否可以以这样的方式编写公式，以便可以轻松地看出
这是最终结果，而且相当有趣。首先假设
为了大致检查我们的分析有多准确，一个好的方法是玩弄我们在第九讲中对轨道进行的数值计算，
无论如何，这就是当
但有趣的是：假设首先
另一个问题是，如果
3-2 原子核的发现
这种双曲线轨道的业务很有趣，并且有一个非常有趣的历史应用，我想向您展示；如图 3-5 所示。我们考虑一个极高速度和相对较小力的极限情况。也就是说，物体移动得非常快，以至于在第一次近似中它沿直线运动。（见图 3-5。）
假设我们有一个带电核
这实际上是解决任何复杂或陌生问题的方法：首先得到一个大致的想法；然后在更好地理解后，再仔细地做。
因此，第一次粗略分析将会是这样的：当质子飞过时，来自原子核的侧向力会作用在它上面-当然，这
核心
图 3-5 高速质子在靠近原子核时被电场偏转。
我们的印章出现在《Back TUVA Future》的封套说明中，这是一张 CD，由图瓦喉音大师 Ondar 演唱，并由理查德·费曼（Warner Bros. 9 47131-2）客串演出，于 1999 年发行。Feynman Lectures on Computation, by Richard P. Feynman, edited by Anthony J.G. Hey and Robin W. Allen. 1996. Addison-Wesley, ISBN 0-201-48991-0.
加州理工学院的学年分为三个学期；第一个学期从九月下旬到十二月初，第二个学期从一月初到三月初，第三个学期从三月下旬到六月初。
本卷第 5 章的练习包括福斯特·斯特朗收集的十几个问题，这些问题在罗伯特·B·莱顿和罗克斯·E·沃格特的《入门物理练习》中得到了许可后再现。
《现代物理学原理》，作者罗伯特·B·莱顿，1959 年，麦格劳希尔出版社，国会图书馆目录卡号 58-8847。
所有脚注均为作者（费曼除外）、编辑或贡献者的评论。
没有人出去。
1961 年，只有男性被允许进入加州理工学院。
查看第一卷，第 11-7 节。
是粒子的速度； 是光速。
通过将 的泰勒级数展开式的前两项代入方程式（2.5），可以很容易地看出粒子的动能与其总（相对论）能量之间的关系。
当力在粒子从一个地方移动到另一个地方时所做的总功是相同的，无论粒子移动的路径如何-总功仅取决于路径的端点。特别是，保守力对粒子在封闭路径上所做的功，最终回到起点，总是零。请参见第一卷，第 14-3 节。
查看第 67 页上的备选解决方案，以找到不需要微分的重量加速度的方法 。
查看第 I 卷，第 13 章。
总能量对 的导数是由于重力产生的力的大小（在 方向）。然而，由于在这个特定问题中 恰好等于 ，重力能量对 的导数等于它对 的导数。
查看备选解决方案，从第 67 页开始，了解解决这个问题的其他三种方法。
"不幸地"，在巴西葡萄牙语中。
查看第 I 卷，第 9-7 节。