A. 分位数回归

t时刻光伏发电功率的预测目标记为y ( t )，预测模型的输入向量记为x ( t )。假设x ( t )是v维向量，即x ₍ t )=[ x1 ( t ), x2 ( t ),…, _xv ( _t )]。然后，光伏发电功率预测的数据集表示为

View Source\begin{align*} D = \lbrace {x}(t),y(t)\rbrace_{t = 1}^T \tag{1} \end{align*} 其中T是样本数。

为了估计y ( t ) 的概率分布，分位数q ^τ ( t ) 的概率为τ ∈ [0, 1] 定义为

View Source\begin{equation*} {q^\tau }(t) = F_t^{ - 1}(\tau) \tag{2} \end{equation*} 其中F _t是y ( t ) 的累积分布函数 (CDF)。

QR 方法以分位数的形式近似随机变量的条件概率分布 [25] 。具体来说，条件分位数是通过最小化非对称加权绝对偏差之和来估计的：

View Source\begin{equation*} {L_\tau } = \frac{1}{T}\sum\limits_{t = 1}^T {{\rho _\tau }(y(t) - {{\hat q}^\tau }(t))} \tag{3} \end{equation*} 在哪里 q^τ(t) 是预测的条件分位数， ρ _τ (·) 是以下弹球损失函数：

ρτ(ε)={τε,(τ−1)ε,ε≥0ε<0(4)

View Source\begin{equation*} {\rho _\tau }(\varepsilon) = \left\{ \begin{array}{ll} \tau \varepsilon, & \varepsilon \geq 0\\ (\tau - 1)\varepsilon, & \varepsilon < 0 \end{array} \right. \tag{4} \end{equation*}

基于预测分位数，标称覆盖概率为 1 − γ的预测区间 (PI) 如下

View Source\begin{equation*} {\rm{P}}{\rm{I}^{1 - \gamma }}(t) = [{{\hat {q}}^{\,\raise-2.5pt\hbox{$\scriptscriptstyle{{-}}$}\hspace{-4pt}{\tau} }}(t),{\hat q^{\bar \tau }}(t)] \tag{5} \end{equation*} 其中 PI 的上限和下限是概率的分位数 τ¯ 和 τ–– 。中央PI满足

τ––=1−τ¯=γ/γ22(6)

View Source\begin{equation*} \underline\tau = 1 - \bar \tau = {\gamma \mathord{\left/ {\vphantom {\gamma 2}} \right. } 2} \tag{6} \end{equation*}

B.MBLS的网络结构

MBLS 旨在预测具有单调递增分位数的光伏发电边际概率分布。与深度神经网络不同，MBLS扩展了单个隐藏层的宽度以增强其泛化性能。 MBLS的网络结构如图所示 Fig. 1 并介绍如下。

  图 1.

MBLS的网络结构。

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首先，输入矩阵X ∈ ℝ ^{N × u}分为两部分： X _M ∈ ℝ ^{N × m}包含与输出具有单调递增关系的输入变量 Y^ ，并且X _N ∈ ℝ ^{N × n}包含没有单调性约束的输入变量。具体来说，为了避免概率预测中的分位数交叉，希望分位数随其概率单调增加。因此， X _N为预测模型的输入样本，由(1)中的x ( t )组成； X _M是相应分位数的概率。输入矩阵由 (7) 给出：

View Source\begin{align*} {{\boldsymbol{X}}_{{\rm{M}}}} = \left[ {\begin{array}{c} {{\tau _1}}\\ {\ldots}\\ {{\tau _1}}\\ {{\tau _2}}\\ {\ldots}\\ {{\tau _2}}\\ {\ldots}\\ {{\tau _K}}\\ {\ldots}\\ {{\tau _K}} \end{array}} \right],\quad {{\boldsymbol{X}}_{{\rm{N}}}} = \left[ {\begin{array}{ccc} {{x_1}(1)}&{\ldots}&{{x_v}(1)}\\ {\ldots}&{\ldots}&{\ldots}\\ {{x_1}(T)}&{\ldots}&{{x_v}(T)}\\ {{x_1}(1)}&{\ldots}&{{x_v}(1)}\\ {\ldots}&{\ldots}&{\ldots}\\ {{x_1}(T)}&{\ldots}&{{x_v}(T)}\\ {\ldots}&{\ldots}&{\ldots}\\ {{x_1}(1)}&{\ldots}&{{x_v}(T)}\\ {\ldots}&{\ldots}&{\ldots}\\ {{x_1}(T)}&{\ldots}&{{x_v}(T)} \end{array}} \right] \tag{7} \end{align*}

其次，对于N _g个特征映射组，每组中的N _f个特征节点，通过提取X _N的特征来生成_第i个特征映射组中的特征节点，如下所示：

View Source\begin{equation*} {{\bm F}_i} = \phi ({{\bm X}_{{\rm{N}}}}{{\bm W}_{{\rm{F}}i}} + {{\boldsymbol{\beta} }_{{\rm{F}}i}}),\quad i = 1,2, \ldots,{N_{\rm{g}}} \tag{8} \end{equation*} 其中特征节点的权重矩阵W _{F i}和偏置项β _{F i}是随机生成的；映射函数 ϕ 使用稀疏自动编码器建立 [22] 。

第三， N _{e 个}增强节点基于特征映射F = [ F ₁ , F ₂ , …, F _{N g} ] 和X _M构建：

View Source\begin{equation*} {\bm E} = \zeta ({\bm F}{{\bm W}_{\rm{E}}} + {{\bm X}_{{\rm{M}}}}{\bm V}_{{\rm{M}}}^2 + {{\boldsymbol{\beta} }_{\rm{E}}}) \tag{9} \end{equation*} 其中加权矩阵W _E和偏差项 βE 增强节点是随机生成的。本文中的激活函数z (·) 为双曲正切函数。

Finally, the hidden layer of MBLS contains both the feature and enhancement nodes, which are connected to the output layer. Therefore, the output of MBLS is given by

View Source\begin{equation*} {\hat {\bm Y}} = r({\bm F}{{\bm W}_{{\rm{N}}}} + {\boldsymbol{EW}}_{{\rm{M}}}^2 + {\boldsymbol{\beta} }) \tag{10} \end{equation*}

r(π)=⎧⎩⎨⎪⎪0,π,Pcap,π<00≤π≤Pcapπ>Pcap(11)

View Source\begin{equation*} r(\pi) = \left\{ \begin{array}{ll} 0, & \pi < 0\\ \pi, & {\rm{ 0}} \leq \pi \leq {P_{\text{cap}}}\\ {P_{\text{cap}}}, & \pi > {P_{\text{cap}}} \end{array} \right. \tag{11} \end{equation*}

For PV power probabilistic forecasting, the outputs Y^ are the predicted quantiles. When predicting the quantiles with probabilities τ₁ < τ₂ < … < τ_Κ, the prediction target Y and MBLS output YY^ are designed as

View Source \begin{align*} {\bm Y} = &{\left[ {y(1),\ldots(T),y(1),\ldots(T),\ldots,y(1),\ldots(T)} \right]^{\rm{T}}} \tag{12}\\ {\hat {\bm Y}} =& \left[ {{\hat q}^{{\tau _1}}}(1),\ldots,{{\hat q}^{{\tau _1}}}(T),{{\hat q}^{{\tau _2}}}(1),\ldots,{{\hat q}^{{\tau _2}}}(T),\ldots,\right.\\ &\left.{{\hat q}^{{\tau _K}}}(1),\ldots,{{\hat q}^{{\tau _K}}}(T) \right]^{\rm{T}} \tag{13} \end{align*}

For simplicity, if M is a matrix, then M_i denotes the i_th row of M while M_i,j denotes the element at the i_th row and j_th column of M. If v is a column vector, then v_i denotes the i_th element of v. We obtain Lemma 1 based on the structure of MBLS.

The proof of Lemma 1 is given in Appendix A. According to (7), the elements of X_N remain the same in predicting the quantiles of PV power at one time step. Hence, a higher quantile probability leads to a larger predicted quantile based on Lemma 1; thus, the monotonicity of quantiles is satisfied.

C. Monotone Broad Learning System Training

To predict K quantiles of T time steps, we modify the loss function of (3) as

View Source\begin{equation*} L = \frac{1}{N}\sum\limits_{n = 1}^N {{\rho _{{\tau _n}}}({Y_n} - {{\hat Y}_n})},{\rm{ }}{\tau _n} = {X_{{\rm{M}}n}} \tag{14} \end{equation*}

Since the pinball loss function (4) and the ramp function (11) are not differentiable everywhere, we establish the Huber-norm versions of (4) and (10) to make the loss function differentiable [14]. The approximated pinball loss and ramp functions are denoted by ρ_τ^(A)(ε) and r^(A)(π), of which the detailed formulas are given in Appendix B. In addition, regularization terms are considered in the loss function to prevent overfitting. Finally, the loss function is stated as

View Source\begin{align*} {L^{(\rm{A})}} =& \frac{1}{N}\sum\limits_{n = 1}^N {\rho _{{\tau _n}}^{(\rm{A})}({Y_n} - \hat Y_n^{(\rm{A})})} + {\lambda _{{V_{{\rm{M}}}}}}\frac{1}{{{N_{\rm{e}}}}}\sum\limits_{i = 1}^{{N_{\rm{e}}}} {V_{{\rm{M}}1,i}^2} \\ & + {\lambda _{{W_{{\rm{M}}}}}}\frac{1}{{{N_{\rm{e}}}}}\sum\limits_{i = 1}^{{N_{\rm{e}}}} {W_{{\rm{M}}i}^2} + {\lambda _{{W_{{\rm{N}}}}}}\frac{1}{{{N_{\rm{g}}}{N_{\rm{f}}}}}\sum\limits_{i = 1}^{{N_{\rm{e}}}} {W_{{\rm{N}}i}^2} \tag{15} \end{align*}

YY^(A)=r(A)(FFWWN+EW2M+β)(16)

View Source\begin{equation*} {{\hat {\bm Y}}^{(\rm{A})}} = {r^{(\rm{A})}}({\bm F}{{\bm W}_{{\rm{N}}}} + {\boldsymbol{EW}}_{{\rm{M}}}^2 + \boldsymbol{\beta }) \tag{16} \end{equation*}

The parameters of MBLS, including V_M, W_M, W_N, βE, and β, are estimated using the gradient-based Adam algorithm [26]. The gradient of L^(A) is calculated via backpropagation, which is derived in Appendix C.

  A. 自组织映射

SOM是一种基于神经网络的聚类技术，将原始输入空间转换为二维输出空间 [27] 。输入样本 χ SOM 的 ( t ) ∈ ℝ ^{N I}是不同PV单元的预测模型的输入向量的组合。输出层由N _O = N _R × N _C神经元组成，排列为N _R行和N _C列。这些神经元竞争被激活，对于每个输入样本，只有一个活跃神经元，称为“获胜神经元” χ （ t ）。输出层中每个神经元的权重向量表示为w _i ∈ ℝ ^{N I} ( i = 1, 2, …, N _O )。权重向量最接近输入样本的神经元被选为获胜神经元w _W ，它代表输入样本的簇。

View Source\begin{equation*} {{\bm w}_{\rm{W}}} = \arg \mathop {\min }\limits_{{\boldsymbol{ w}_i}} \left\| {{\bm\chi }(t) - {\boldsymbol{ w}_i}} \right\| \tag{17} \end{equation*}

算法1给出了SOM的训练过程。SOM将光伏发电数据集聚类成具有不同外部条件的多个子集，然后根据每个子集的历史光伏发电数据获得时空光伏发电依赖关系。

  B. 系词理论

对于N个_PV机组和N个_超前预测，_{光伏发电功率预测的概率模型中存在NPV} × N个_超前随机变量。本文利用Copula理论建立多个随机变量的联合概率分布，得到光伏发电功率的时空依赖性。具体来说，根据Sklar定理，建立随机变量的联合概率分布为 [5] ,

View Source\begin{equation*} {F_{\rm{J}}}({\xi _1},{\xi _2}, \ldots,{\xi _d}) = C({F_1}({\xi _1}),{F_2}({\xi _2}), \ldots,{F_d}({\xi _d})) \tag{18} \end{equation*} 其中F _J是多个随机变量的联合 CDF； C是Copula函数； F ( j = 1, 2, …, d and d = N _PV × N _Lead ) 是每个随机变量的边际 CDF。在本文中，我们使用高斯 Copula 将高维随机变量建模为：

c(u1,u2,…,ud)=1|Σ|1/2exp(−12zzT(Σ−II)zz)(19)

View Source\begin{equation*} c({u_1},{u_2}, \ldots,{u_d}) = \frac{1}{{{{\left| {\boldsymbol{\Sigma} } \right|}^{1/2}}}}\exp \left({ - \frac{1}{2}{{\bm z}^T}({\boldsymbol{\Sigma} } - {\bm I}){\bm z}} \right) \tag{19} \end{equation*} 其中 u = F(xi) 且服从区间 [0, 1] 上的均匀分布； Σ 是高斯 Copula 的相关矩阵； z = ( z ₁ , z ₂ , …, z _d ) ^T且 z = Φ ^-1 (u) 其中Φ (·) 作为标准正态分布的 CDF； |Σ| 是的决定因素 Σ ; I是单位矩阵。每个随机变量的边际 CDF F(xi) 是根据预测分位数获得的 Σ 使用最大似然估计算法进行估计 [28] 对于每个光伏发电数据集群。

C. 光伏发电时空预测框架

所提出的光伏发电功率预测方法的框架如图所示 Fig. 2 。离线模型训练的流程如下：

1. 
   训练基于QRMBLS的概率预测模型：训练不同PV单元和前瞻时间的边际概率预测模型。

2. 
   训练SOM并估计Gaussian Copula参数：为了区分不同气象条件下光伏发电功率的时空依赖性，将各个光伏机组的预测输入组合起来形成输入样本 χ （ t ）。然后，SOM 会将输入样本分为几个簇。最后根据各集群的光伏发电数据，得出参数 Σ 高斯 Copula 的估计代表了不同条件下的时空依赖性。

  图 2.

所提出的概率预测模型的总体框架。

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在线预测流程如下：

1. 
   预测光伏发电量边际概率分布：对于N个_PV光伏机组和N个_超前预测，通过预训练的QRMBLS模型获得NPV × N个_超前光伏发电量边际概率分布。

2. 
   预测光伏发电功率的时空依赖性：首先，组合光伏发电功率预测的输入变量，形成SOM的输入样本。其次，根据预训练的SOM确定输入样本的聚类。第三，获得所选聚类的高斯 Copula 相关矩阵。最后将边际分布与高斯Copula相结合得到光伏发电的联合概率分布。

基于预测的概率分布模型，通过采样方法生成时空光伏功率样本 [29] 评估光伏发电功率预测的准确性。

A. 边际概率预测的评价标准

边际概率预测方法的性能从可靠性和锐度两个方面进行评价 [3] 。

1. 
   可靠性：可靠性是根据实际和预测光伏发电的概率分布之间的相似性来衡量的。这里，我们使用绝对偏差指标来评估概率预测的可靠性 [4] :

   Devk=|τ^k−τk|(20)
   View Source\begin{equation*}\text{De}{\rm{v}_k} = \left| {{{\hat \tau }_k} - {\tau _k}} \right| \tag{20} \end{equation*}

在哪里 τ^k 是经验分位数概率：

τ^k=1Ttest∑t=1Ttestητk(t)(21)

View Source\begin{equation*} {\hat \tau _k} = \frac{1}{{{T_{\text{test}}}}}\sum\limits_{t = 1}^{{T_{\text{test}}}} {{\eta ^{{\tau _k}}}(t)} \tag{21} \end{equation*} 和 ητk(t) 是一个由下式给出的指标

ητk(t)={1,0,y(t)≤q^τk(t)y(t)>q^τk(t)(22)

View Source\begin{equation*} {\eta ^{{\tau _k}}}(t) = \left\{ {\begin{array}{ll} 1, & y(t) \leq {{\hat q}^{{\tau _k}}}(t)\\ 0, & y(t) > {{\hat q}^{{\tau _k}}}(t) \end{array}} \right. \tag{22} \end{equation*}

1. 
   清晰度：我们使用预测区间的平均宽度来评估清晰度：

   δ¯γ=1Ttest∑t=1Ttest(q^1−γ/γ22(t)−q^γ/γ22(t))(23)
   View Source\begin{equation*}{\bar \delta ^\gamma } = \frac{1}{{{T_{\text{test}}}}}\sum\limits_{t = 1}^{{T_{\text{test}}}} {\left({{\hat q}^{1 - {\gamma \mathord{\left/ {\vphantom {\gamma 2}} \right. } 2}}}(t) - {{\hat q}^{{\gamma \mathord{\left/ {\vphantom {\gamma 2}} \right. } 2}}}(t)\right)} \tag{23} \end{equation*}

2. 
   综合标准：我们使用技能分数（SS） [4] 和温克勒评分 (WS) [7] 综合评估预测结果的可靠性和敏锐度。 SS 是在测试数据集上计算的 pinball 损失：

   SS=1TtestK∑t=1Ttest∑k=1K(τk−ητk(t))(y(t)−q^τk(t))(24)
   View Source\begin{equation*}\text{SS} = \frac{1}{{{T_{\text{test}}}K}}\sum\limits_{t = 1}^{{T_{\text{test}}}} {\sum\limits_{k = 1}^K {({\tau _k} - {\eta ^{{\tau _k}}}(t))(y(t) - {{\hat q}^{{\tau _k}}}(t))} } \tag{24} \end{equation*}

WS 定义为

View Source\begin{equation*} {\text{WS}} = \frac{1}{{{T_{\text{test}}}{N_{\text{PI}}}}}\sum\limits_{t = 1}^{{T_{\text{test}}}} {\sum\limits_{i = 1}^{{N_{\text{PI}}}} {{\rm{W}}{{\rm{S}}_{{\gamma _i}}}(t)} } \tag{25} \end{equation*} 其中N _PI是 PI 的数量，WS _γ ( t ) 是t时刻覆盖率为 (1 − γ ) 的 PI 的 Winkler 分数，表示为

WSγ(t)=⎧⎩⎨⎪⎪δγ(t),LBγ(t)≤y(t)≤UBγ(t)δγ(t)+2[LBγ(t)−y(t)]/2[LBγ(t)−y(t)]γ,y(t)<LBγ(t)γ,y(t)<LBγ(t)δγ(t)+2[y(t)−UBγ(t)]/2[y(t)−UBγ(t)]γ,y(t)>UBγ(t)γ,y(t)>UBγ(t)(26)

View Source\begin{align*} {\rm{W}}{{\rm{S}}_\gamma }(t) = \left\{ {\begin{array}{l} {{\delta _\gamma }(t),\qquad \,\qquad \qquad {\rm{ L}}{{\rm{B}}_\gamma } (t) \leq y(t) \leq {\rm{U}}{{\rm{B}}_\gamma }(t)}\\ {{\delta _\gamma }(t) + {{2[{\rm{L}}{{\rm{B}}_\gamma }(t) - y(t)]} \mathord{\left/ {\vphantom {{2[\rm{L}{\rm{B}_\gamma }(t) - y(t)]} {\gamma,{\rm{ }}y(t) < \rm{L}{\rm{B}_\gamma }(t)}}} \right. } {\gamma,{\rm{ }}y(t) < {\rm{L}}{{\rm{B}}_\gamma }(t)}}}\\ {{\delta _\gamma }(t) + {{2[y(t) - {\rm{U}}{{\rm{B}}_\gamma }(t)]} \mathord{\left/ {\vphantom {{2[y(t) - \rm{U}{\rm{B}_\gamma }(t)]} {\gamma,{\rm{ }}y(t) > \rm{U}{\rm{B}_\gamma }(t)}}} \right. } {\gamma,{\rm{ }}y(t) > {\rm{U}}{{\rm{B}}_\gamma }(t)}}} \end{array}} \right. \tag{26} \end{align*} 其中_LBγ ( t )和_UBγ ( t )是PI的下限和上限， _δγ ( t )= _UBγ ( t ) _−LBγ ( t )。因为 SS 和 WS 都是负向的，所以分数越小意味着性能越好。

1. 
   交叉损耗：我们使用交叉损耗（CL） [30] 评估概率预测结果的分位数交叉问题：

   CL=1Ttest(K−1)∑t=1Ttest∑k=1K−1max(0,q^τk(t)−q^τk+1(t))(27)
   View Source\begin{equation*}\text{CL} = \frac{1}{{{T_{\text{test}}}(K - 1)}}\sum\limits_{t = 1}^{{T_{\text{test}}}} {\sum\limits_{k = 1}^{K - 1} {\max (0,{{\hat q}^{{\tau _k}}}(t) - {{\hat q}^{{\tau _{k + 1}}}}(t))} } \tag{27} \end{equation*}

B. 时空预报评价标准

我们使用对数分数 (LS) [17] 和能量分数 (ES) [19] 评估时空概率预测模型。 LS 是测量时评估的预测分布的平均负对数似然：