The aim of active noise control (ANC) or active noise cancellation is to suppress unwanted noise by generating antinoise with secondary sources, i.e., loudspeakers. ANC techniques have been extensively investigated [1]–​[4] along with their practical applicability, especially for canceling low-frequency noise [5]–​[8].
アクティブノイズコントロール（ANC）またはアクティブノイズキャンセリングの目的は、二次ソース、すなわちスピーカーを用いて反対の音を生成することによって不要なノイズを抑制することです。ANC 技術は、特に低周波ノイズのキャンセルに関して、その実用性とともに広範に研究されています。

Achieving effective ANC over a three-dimensional (3D) space generally requires multiple microphones and loudspeakers to capture and synthesize a 3D sound field. Adaptive filters are typically used to minimize the cost function, which in conventional multipoint pressure control is defined as the power of the residual noise signals captured by error microphones [3], [9]. Thus, these methods primarily reduce noise local to error microphone positions. Virtual sensing techniques attempt to estimate the noise at locations remote from the physical error microphones [10]–​[12]; however, the cost function is still constructed as the power of the residual noise at discrete positions including virtual ones. Therefore, the noise field between the (physical/virtual) error microphone positions is not taken into consideration. Furthermore, most of the virtual sensing techniques require an identification stage to estimate a filter for predicting error signals at the virtual microphones.
効果的なANC（アクティブノイズキャンセリング）を三次元（3D）空間で実現するには、一般的に複数のマイクロフォンとスピーカーが必要で、3D 音場をキャプチャし合成します。適応フィルターは通常、コスト関数を最小化するために使用され、従来のマルチポイント圧力制御では、エラーマイクロフォンによってキャプチャされた残留ノイズ信号のパワーとして定義されます[3]、[9]。したがって、これらの方法は主にエラーマイクロフォンの位置に局所的なノイズを減少させます。仮想センシング技術は、物理的なエラーマイクロフォンから遠く離れた位置でのノイズを推定しようとします[10]–[12]が、コスト関数は依然として仮想位置を含む離散位置での残留ノイズのパワーとして構築されます。したがって、（物理的/仮想的）エラーマイクロフォンの位置間のノイズフィールドは考慮されていません。さらに、ほとんどの仮想センシング技術は、仮想マイクロフォンでのエラー信号を予測するためのフィルターを推定するために識別段階を必要とします。

In recent years, spatial ANC, which aims to control noise over a continuous 3D target region, has attracted attention [13]–​[19] owing to advancements in sound field recording and reproduction methods [20]–​[23]. Most spatial ANC methods are based on the expansion of the captured sound field into wave-domain basis functions, such as spherical and circular harmonics [24]. Consequently, the methods can only be applied to a simple array geometry, such as sphere, circle, or its combination [15], [18], [19]. Since the secondary sources and error microphones have to be placed surrounding the target region to suppress the interior noise field, it is preferable that their placement is flexible. Moreover, adaptive filtering algorithms for spatial ANC are derived in the frequency domain with a few exceptions [25], [26]. Implementing time-domain algorithms, especially for broadband noise, from these frequency-domain algorithms is not straightforward. Therefore, it is necessary to develop practical time-domain adaptive filtering algorithms for spatial ANC.
近年、連続した3Dターゲット領域におけるノイズ制御を目的とした空間 ANCが、音場の記録および再生方法の進展により注目を集めています[13]–[19]。ほとんどの空間 ANC 手法は、捕捉された音場を球面調和関数や円形調和関数などの波動領域基底関数に展開することに基づいています[24]。その結果、これらの手法は球体、円、またはその組み合わせのような単純な配列ジオメトリにのみ適用可能です[15]、[18]、[19]。二次音源と誤差マイクロフォンは、内部ノイズ場を抑制するためにターゲット領域の周囲に配置する必要があるため、その配置が柔軟であることが望ましいです。さらに、空間 ANCのための適応フィルタリングアルゴリズムは、いくつかの例外を除いて周波数領域で導出されます[25]、[26]。これらの周波数領域アルゴリズムから、特に広帯域ノイズに対する時間領域アルゴリズムを実装することは簡単ではありません。したがって、空間 ANCのための実用的な時間領域適応フィルタリングアルゴリズムを開発する必要があります。

We propose a spatial ANC approach based on the kernel interpolation of a sound field. The cost function is defined as the acoustic potential energy inside the target region. To minimize this cost function with an adaptive filter, it is necessary to estimate the noise field from discrete microphone measurements. We apply kernel interpolation [27], which makes it possible to estimate a continuous sound field in the frequency domain under the constraint of the Helmholtz equation. This interpolation method is equivalent to spherical/circular harmonic analysis of infinite order [28], [29] when using pressure microphones. The sound field can also be estimated from arbitrarily placed microphones. Therefore, the proposed method can meet the demand for flexible microphone and loudspeaker arrangements. Two time-domain algorithms based on kernel interpolation are developed. An extension of the well-known filtered-x least mean squares (FxLMS) algorithm [2], [3] for minimizing the regional noise power is derived, which is called kernel-interpolation-based FxLMS (KI-FxLMS). We also develop the fast block KI-FxLMS, which is a more computationally efficient algorithm using blockwise operations and the fast Fourier transform (FFT). Although preliminary results of this study are presented in [17], [30], we here describe in detail the derivations of the algorithms with a newly obtained optimal frequency-domain filter. In addition, extensive experimental results including 3D spatial ANC comparing with the virtual sensing technique and that using real data obtained in a practical environment are also presented.
我々は、音場のカーネル補間に基づく空間 ANCアプローチを提案する。コスト関数は、ターゲット領域内の音響ポテンシャルエネルギーとして定義される。このコスト関数を適応フィルタで最小化するためには、離散マイクロフォン測定からノイズ場を推定する必要がある。我々は、ヘルムホルツ方程式の制約の下で周波数領域における連続音場を推定することを可能にするカーネル補間[27]を適用する。この補間法は、圧力マイクロフォンを使用する際に無限次の球面/円形調和解析[28][29]に相当する。音場は、任意に配置されたマイクロフォンからも推定可能である。したがって、提案された方法は、柔軟なマイクロフォンおよびスピーカー配置の要求に応えることができる。カーネル補間に基づく2つの時間領域アルゴリズムが開発される。地域ノイズパワーを最小化するためのよく知られたフィルタ付きx 最小二乗法（FxLMS）アルゴリズム[2][3]の拡張が導出され、カーネル補間に基づくFxLMS（KI-FxLMS）と呼ばれる。 私たちは、ブロック単位の操作と高速フーリエ変換（FFT）を使用した、より計算効率の良いアルゴリズムである高速ブロックKI-FxLMSを開発しました。この研究の予備結果は[17]、[30]に示されていますが、ここでは新たに得られた最適な周波数領域フィルターを用いたアルゴリズムの導出を詳細に説明します。さらに、仮想センシング技術と実際の環境で得られた実データを使用した3D 空間 ANCとの比較を含む広範な実験結果も示されています。

The rest of this paper is organized as follows. In Section II, the problem statement of spatial ANC is described. The kernel interpolation method is introduced in Section III. In Section IV, the proposed spatial ANC algorithms are developed. Experimental results compared with those of the multipoint-pressure-control-based ANC method and the virtual sensing technique are reported in Section V. Finally, Section VI concludes this paper.
本論文の残りの部分は以下のように構成されています。第 II 節では、空間 ANCの問題定義が説明されます。第 III 節では、カーネル補間法が紹介されます。第 IV 節では、提案された空間 ANCアルゴリズムが開発されます。第 V 節では、マルチポイント圧力制御に基づくANC 手法および仮想センシング技術との比較実験結果が報告されます。最後に、第 VI 節で本論文を結論づけます。

Suppose that a target region Ω is set in the 3D space R3 and that undesired noise arrives from outside of Ω. The objective of spatial ANC is to reduce incoming noise over the region Ω by controlling the output of the placed loudspeakers. The incoming noise and the loudspeakers are called the primary noise and secondary sources, respectively. As shown in Fig. 1, error microphones are placed inside Ω to measure the error of the adaptation process. Although the error microphones can be arbitrarily placed inside Ω, it is usually desirable that the error microphones are placed near the boundary of Ω to save space for ANC users. It is also known that the microphones should be placed near the boundary to estimate an interior sound field, but arranging the pressure microphones to be completely on the boundary can lead to the forbidden frequency problem [31]. The secondary sources are placed around Ω and are used to generate an antinoise field of the primary noise from the signals captured by the reference microphones.
ターゲット領域 Ω が3D 空間 R3 に設定され、望ましくないノイズが Ω の外部から到着すると仮定します。空間 ANCの目的は、設置されたスピーカーの出力を制御することによって、領域 Ω 内の到着ノイズを減少させることです。到着ノイズとスピーカーはそれぞれ一次ノイズと二次ソースと呼ばれます。図 1に示すように、エラーマイクロフォンは適応プロセスの誤差を測定するために Ω 内に配置されます。エラーマイクロフォンは Ω 内に任意に配置できますが、通常、ANCユーザーのためにスペースを節約するために、エラーマイクロフォンは Ω の境界近くに配置されることが望ましいとされています。また、マイクロフォンは内部音場を推定するために境界近くに配置されるべきであることも知られていますが、圧力マイクロフォンを完全に境界上に配置すると禁止周波数問題を引き起こす可能性があります[31]。二次ソースは Ω の周囲に配置され、リファレンスマイクロフォンによってキャプチャされた信号から一次ノイズのアンチノイズフィールドを生成するために使用されます。

Fig. 1.  図 1。

Conceptual diagram of feedforward spatial active noise control.
フィードフォワード空間アクティブノイズコントロールの概念図。

Show All すべて表示

The signals of the reference microphones and secondary sources in the discrete time domain are denoted by x(n)∈RR and y(n)∈RL with the time index n, where the numbers of reference microphones and secondary sources are R and L, respectively. The error microphone signals and primary noise at the error microphone positions are denoted by e(n) and d(n) (∈RM), respectively. The number of error microphones is M. The total pressure field at the position r∈Ω and time n is denoted by u(r,n). The pressure field at the position of the mth microphone rm is equal to the mth element of e(n), meaning that em(n)=u(rm,n). The signals in the frequency domain are distinguished by the angular frequency ω as an argument, for example, as x(ω) (∈CR).
参照マイクロフォンと二次ソースの信号は、離散時間領域において x(n)∈RR および y(n)∈RL で表され、時間インデックスは n です。参照マイクロフォンの数は R 、二次ソースの数は L です。エラーマイクロフォン信号とエラーマイクロフォン位置での主ノイズは、それぞれ e(n) および d(n) （ ∈RM ）で表されます。エラーマイクロフォンの数は M です。位置 r∈Ω および時間 n における総圧力場は u(r,n) で表されます。 m 番目のマイクロフォン rm の位置における圧力場は、 e(n) の m 番目の要素に等しく、これは em(n)=u(rm,n) を意味します。周波数領域における信号は、角周波数 ω を引数として区別され、例えば x(ω) （ ∈CR ）のように表されます。

The impulse response between the secondary sources and the error microphones (secondary paths) is represented by a multiple-input multiple-output (MIMO) finite impulse response (FIR) filter G(i)∈RM×L of length J, where each i indicates a matrix of filter coefficients. The error microphone signal e(n) can be expressed as a superposition of the primary noise and the secondary source signals as
二次ソースと誤差マイクロフォン（セカンダリーパス）間のインパルス応答は、長さ J の多入力多出力（MIMO）有限インパルス応答（FIR）フィルター G(i)∈RM×L によって表され、各 i はフィルター係数の行列を示します。誤差マイクロフォン信号 e(n) は、一次ノイズと二次ソース信号の重ね合わせとして表現できます。

View Source ソースを表示 \begin{align*} \boldsymbol{e}(n) = \boldsymbol{d}(n) + \sum _{i=0}^{J-1} \boldsymbol{G}(i) \boldsymbol{y}(n-i). \tag{1} \end{align*}

y(n)=∑i=0I−1W(i)x(n−i).(2)

View Source ソースを表示 \begin{align*} \boldsymbol{y}(n) = \sum _{i=0}^{I-1} \boldsymbol{W}(i) \boldsymbol{x}(n-i). \tag{2} \end{align*}

The above-described ANC setup is a typical multichannel feedforward ANC system, whose block diagram is depicted in Fig. 2. Although we focus only on feedforward ANC in this study, feedback ANC is also useful to suppress periodic noises [3]. One of the benefits of feedback ANC is its lack of reference microphones, leading to simple system configurations. Feedback ANC algorithms can be developed from the following derivations by constructing virtual reference signals as
上記のANC 設定は、典型的なマルチチャネルフィードフォワードANCシステムであり、そのブロック図は図 2に示されています。本研究ではフィードフォワードANCのみに焦点を当てていますが、フィードバックANCも周期的なノイズを抑制するのに有用です[3]。フィードバックANCの利点の一つは、参照マイクロフォンが不要であるため、システム構成が簡単になることです。フィードバックANCアルゴリズムは、仮想参照信号を構築することによって以下の導出から開発できます。

View Source ソースを表示 \begin{align*} \hat{\boldsymbol{x}}(n) = \boldsymbol{e}(n) - \sum _{j=0}^{J-1} \boldsymbol{G}(j) \boldsymbol{y}(n-j). \tag{3} \end{align*}

Fig. 2.

Block diagram of a multichannel feedforward ANC system.

Show All

Our objective is to reduce the power of u(r,n) over the region Ω by adapting the control filter W(i). Since the error microphones are placed inside Ω in discrete locations, the continuous sound field u(r,n) has to be predicted from e(n).

We here introduce the kernel interpolation of a sound field [27], with the goal of estimating the sound field inside the source-free target region Ω from microphone observations. The kernel interpolation method is formulated in the frequency domain; hence, the signals are dependent on ω, which is omitted for notational simplicity in this section.

The sound pressure u(r) at angular frequency ω is observed by M pressure microphones, i.e., the error microphones. The observed value of the mth microphone in the frequency domain is em∈C. The interpolation problem is formulated as

View Source \begin{align*} \mathop {\rm minimize}\limits _{u \in \mathcal {H}} \sum _{m=1}^M |u(\boldsymbol{r}_m) - e_m|^2 + \lambda \Vert u \Vert _{\mathcal {H}}^2. \tag{4} \end{align*}

A. Kernel Ridge Regression

When H is a function space called a reproducing kernel Hilbert space, the optimization problem (4) corresponds to kernel ridge regression, for which a closed-form solution can be obtained [32]. First, H is assumed to be a reproducing kernel Hilbert space with the inner product ⟨⋅,⋅⟩H and positive-definite reproducing kernel κ:H×H→C. On the basis of the representer theorem [33], the solution of (4) can be expressed as
H が再生核ヒルベルト空間と呼ばれる関数空間であるとき、最適化問題(4)はカーネルリッジ回帰に対応し、閉形式の解を得ることができる[32]。まず、 H が内積 ⟨⋅,⋅⟩H と正定値再生核 κ:H×H→C を持つ再生核ヒルベルト空間であると仮定する。表現定理[33]に基づいて、(4)の解は次のように表現できる。

u(r)=∑m=1Mαmκ(r,rm),(5)

View Source \begin{align*} u(\boldsymbol{r}) = \sum _{m=1}^M \alpha _m \kappa (\boldsymbol{r},\boldsymbol{r}_m), \tag{5} \end{align*} where αm∈C for m=1,…,M. By substituting (5) into the objective function of (4), we obtain
m=1,…,M のための αm∈C 。式(4)の目的関数に式(5)を代入することにより、次のようになります。

αH(KHK+λK)α−αHKHe−eHKα+eHe,(6)

View Source ソースを表示 \begin{align*} \boldsymbol{\alpha }^{\mathsf {H}} (\boldsymbol{K}^{\mathsf {H}} \boldsymbol{K} + \lambda \boldsymbol{K}) \boldsymbol{\alpha } - \boldsymbol{\alpha }^{\mathsf {H}} \boldsymbol{K}^{\mathsf {H}} \boldsymbol{e} - \boldsymbol{e}^{\mathsf {H}} \boldsymbol{K} \boldsymbol{\alpha } + \boldsymbol{e}^{\mathsf {H}}\boldsymbol{e}, \tag{6} \end{align*} where  どこ

αK:=[α1,…,αM]T,:=⎡⎣⎢⎢κ(r1,r1)⋮κ(rM,r1)…⋱…κ(r1,rM)⋮κ(rM,rM)⎤⎦⎥⎥.(7)(8)

View Source ソースを表示 \begin{align*} \boldsymbol{\alpha } &:= \begin{bmatrix}\alpha _1, & \ldots, & \alpha _M \end{bmatrix}^{\mathsf {T}},\tag{7} \\ \boldsymbol{K} &:= \begin{bmatrix}\kappa (\boldsymbol{r}_1,\boldsymbol{r}_1) & \ldots & \kappa (\boldsymbol{r}_1,\boldsymbol{r}_M) \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \kappa (\boldsymbol{r}_M,\boldsymbol{r}_1) & \ldots & \kappa (\boldsymbol{r}_M,\boldsymbol{r}_M) \end{bmatrix}. \tag{8} \end{align*} Since K is Hermitian and positive-definite, α is obtained by minimizing (6) as
K がエルミートかつ正定値であるため、 α は(6)を最小化することによって得られます

α=(K+λIM)−1e.(9)

View Source ソースを表示 \begin{align*} \boldsymbol{\alpha } = \left(\boldsymbol{K} + \lambda \boldsymbol{I}_M \right)^{-1} \boldsymbol{e}. \tag{9} \end{align*} Therefore, u(r) is estimated as
したがって、 u(r) は次のように推定されます

u(r)=κ(r)T(K+λIM)−1e,(10)

View Source ソースを表示 \begin{align*} u(\boldsymbol{r}) = \boldsymbol{\kappa }(\boldsymbol{r})^{\mathsf {T}} \left(\boldsymbol{K} + \lambda \boldsymbol{I}_M \right)^{-1} \boldsymbol{e}, \tag{10} \end{align*} where  どこ

κ(r)=[κ(r,r1),…,κ(r,rM)]T.(11)

View Source ソースを表示 \begin{align*} \boldsymbol{\kappa }(\boldsymbol{r}) = \begin{bmatrix}\kappa (\boldsymbol{r},\boldsymbol{r}_1), & \ldots, & \kappa (\boldsymbol{r},\boldsymbol{r}_M) \end{bmatrix}^{\mathsf {T}}. \tag{11} \end{align*} Thus, the closed-form solution of (4) is (10). Next, it is necessary to define appropriate H and ⟨⋅,⋅⟩H, as well as κ.
したがって、(4) の閉形式解は (10) です。次に、適切な H と ⟨⋅,⋅⟩H 、および κ を定義する必要があります。

B. Reproducing Kernel for Sound Field Interpolation
B. 音場補間のための再生カーネル

The pressure field u inside the source-free simply connected region Ω can be modeled as a solution of the following (homogeneous) Helmholtz equation [24]:
ソースのない単純連結領域 Ω 内の圧力場 u は、以下の（均質な）ヘルムホルツ方程式 [24] の解としてモデル化することができます：

(∇2+ꝁ2)u=0,(12)

View Source \begin{align*} (\nabla ^2 + \mathit{\unicode{0xA741}}^2) u = 0, \tag{12} \end{align*} where ∇2 is the Laplacian. Any solution of (12) can be well approximated by the superposition of plane waves, i.e., the Herglotz wave function [29], [34], as
ここで ∇2 はラプラシアンです。(12)の任意の解は、平面波の重ね合わせ、すなわちヘルグロッツ波動関数[29]、[34]によって良好に近似されることができます。

u(r)=14π∫S2u~(ξ)e−jkTrdξ,(13)

View Source \begin{align*} u(\boldsymbol{r}) = \frac{1}{4\pi } \int _{\mathbb {S}_2} \tilde{u}(\boldsymbol{\xi }) e^{-\mathrm{j} \boldsymbol{k}^{\mathsf {T}}\boldsymbol{r}} \mathrm{d}\boldsymbol{\xi }, \tag{13} \end{align*} where u~ is the (square-integrable) complex amplitude of the plane wave of arrival direction ξ∈S2, and k:=−ꝁξ is the wave vector. Using this representation, we define the inner product and norm over the Hilbert space H as
u~ は到達方向 ξ∈S2 の平面波の（平方可積分）複素振幅であり、 k:=−ꝁξ は波ベクトルです。この表現を用いて、ヒルベルト空間 H における内積とノルムを定義します。

⟨u1,u2⟩H∥u∥H=14π∫S21γ(ξ)u~1(ξ)∗u~2(ξ)dξ,=⟨u,u⟩H−−−−−−√,(14)(15)

View Source ソースを表示 \begin{align*} \langle u_1, u_2 \rangle _{\mathcal {H}} &= \frac{1}{4\pi } \int _{\mathbb {S}_2} \frac{1}{\gamma (\boldsymbol{\xi })} \tilde{u}_1(\boldsymbol{\xi })^{\ast } \tilde{u}_2(\boldsymbol{\xi }) \mathrm{d}\boldsymbol{\xi }, \tag{14} \\ \Vert u\Vert _{\mathcal {H}} &= \sqrt{\langle u, u \rangle _{\mathcal {H}}}, \tag{15} \end{align*} respectively. Here, γ(ξ) is a directional weighting function, which is introduced to incorporate prior knowledge on source directions.
それぞれ。ここで、 γ(ξ) は方向重み付け関数であり、これはソース方向に関する事前知識を組み込むために導入されます。

We set the kernel function κ(r1,r2) as
カーネル関数 κ(r1,r2) を次のように設定します

κ(r1,r2)=14π∫S2γ(ξ)e−jkT(r1−r2)dξ.(16)

View Source ソースを表示 \begin{align*} \kappa (\boldsymbol{r}_1, \boldsymbol{r}_2) = \frac{1}{4\pi } \int _{\mathbb {S}_2} \gamma (\boldsymbol{\xi }) e^{-\mathrm{j} \boldsymbol{k}^{\mathsf {T}}(\boldsymbol{r}_1-\boldsymbol{r}_2)} \mathrm{d}\boldsymbol{\xi }. \tag{16} \end{align*} When we denote κ(r,r′) by κr′(r), ⟨κr′,u⟩ is obtained as
κ(r,r′) を κr′(r) で示すと、 ⟨κr′,u⟩ が得られます

⟨κr′,u⟩H=14π∫S2γ(ξ)1γ(ξ)e−jkTr′u~(ξ)dξ=14π∫S2u~(ξ)e−jkTr′dξ=u(r′).(17)

View Source ソースを表示 \begin{equation*} \begin{aligned} \langle \kappa _{\boldsymbol{r}^{\prime }}, u \rangle _{\mathcal {H}} &= \frac{1}{4\pi } \int _{\mathbb {S}_2} \gamma (\boldsymbol{\xi }) \frac{1}{\gamma (\boldsymbol{\xi })} e^{- \mathrm{j} \boldsymbol{k}^{\mathsf {T}} \boldsymbol{r}^{\prime }} \tilde{u}(\boldsymbol{\xi }) \mathrm{d}\boldsymbol{\xi } \\ &= \frac{1}{4\pi } \int _{\mathbb {S}_2} \tilde{u}(\boldsymbol{\xi }) e^{- \mathrm{j} \boldsymbol{k}^{\mathsf {T}} \boldsymbol{r}^{\prime }} \mathrm{d}\boldsymbol{\xi } \\ &= u(\boldsymbol{r}^{\prime }). \end{aligned} \tag{17} \end{equation*} Therefore, we can confirm that κ(r1,r2) is the reproducing kernel of H. In this study, we set the directional weighting function to be uniform, i.e., γ(ξ)=1. Thus, the specific kernel function κ(r1,r2) is obtained from (49) as
したがって、 κ(r1,r2) が H の再生カーネルであることを確認できます。本研究では、方向重み付け関数を一様に設定し、すなわち γ(ξ)=1 とします。したがって、特定のカーネル関数 κ(r1,r2) は(49)から得られます。

κ(r1,r2)=14π∫S2e−jkT(r1−r2)dξ=j0(ꝁ∥r1−r2∥2),(18)

View Source ソースを表示 \begin{align*} \kappa (\boldsymbol{r}_1, \boldsymbol{r}_2) &= \frac{1}{4\pi } \int _{\mathbb {S}_2} e^{- \mathrm{j} \boldsymbol{k}^{\mathsf {T}}(\boldsymbol{r}_1-\boldsymbol{r}_2)} \mathrm{d}\boldsymbol{\xi } \\ &= j_0(\mathit{\unicode{0xA741}} \Vert \boldsymbol{r}_1 - \boldsymbol{r}_2\Vert _2), \tag{18} \end{align*} where j0(⋅) is the 0th-order spherical Bessel function of the first kind. See Appendix for the kernel function when using a directional weighting. The Gram matrix K when using this kernel function (18) corresponds to the normalized spatial covariance matrix in a diffuse sound field [35]. When a two-dimensional (2D) sound field is assumed instead, the corresponding kernel function becomes
j0(⋅) は第一種のゼロ次球ベッセル関数です。方向重み付けを使用する際のカーネル関数については付録を参照してください。このカーネル関数（18）を使用したときのグラム行列 K は、拡散音場における正規化された空間共分散行列に対応します[35]。二次元（2D）音場が仮定される場合、対応するカーネル関数は次のようになります。

κ(r1,r2)=J0(ꝁ∥r1−r2∥2),(19)

View Source ソースを表示 \begin{align*} \kappa (\boldsymbol{r}_1, \boldsymbol{r}_2) = J_0(\mathit{\unicode{0xA741}} \Vert \boldsymbol{r}_1 - \boldsymbol{r}_2\Vert _2), \tag{19} \end{align*} where J0(⋅) is the 0th-order Bessel function of the first kind.
J0(⋅) は第一種のゼロ次ベッセル関数です。

The kernel interpolation of a sound field from the microphone measurements e is achieved by using (10) with the kernel function (18) or (19). Depending on the setting of the number and placement of microphones, the inversion of the Gram matrix K sometimes becomes numerically unstable. One simple strategy to prevent this problem is to appropriately set the regularization parameter λ. Another well-known strategy is low-rank approximation of K [36], [37].
音場のカーネル補間は、マイクロフォン測定 e から、カーネル関数(18)または(19)を用いて(10)によって達成されます。マイクロフォンの数と配置の設定に応じて、グラム行列 K の逆行列が数値的に不安定になることがあります。この問題を防ぐための一つの簡単な戦略は、正則化パラメータ λ を適切に設定することです。もう一つのよく知られた戦略は、 K の低ランク近似です[36]、[37]。

The objective of spatial ANC is to reduce the power of the sound field inside the target region Ω. Therefore, we define the cost function for adapting the control filter as the acoustic potential energy inside Ω,
空間 ANCの目的は、ターゲット領域内の音場のパワーを低減することです Ω 。したがって、制御フィルターを適応させるためのコスト関数を Ω 内の音響ポテンシャルエネルギーとして定義します。

View Source ソースを表示 \begin{align*} \mathcal {L} := \mathbb {E} \left[ \int _{\Omega } u(\boldsymbol{r},n)^2 \mathrm{d}\boldsymbol{r} \right], \tag{20} \end{align*}

L¯(ω):=∫Ω|u(r,ω)|2dr.(21)

View Source ソースを表示 \begin{align*} \bar{\mathcal {L}}(\omega) := \int _{\Omega } |u(\boldsymbol{r},\omega)|^2 \mathrm{d}\boldsymbol{r}. \tag{21} \end{align*}

A. Optimal Filter in Frequency Domain
A. 周波数領域における最適フィルタ

The relationship between the principal signals, given in the time domain in (1) and (2), can be similarly obtained in the frequency domain as
主信号間の関係は、(1)および(2)で時間領域において与えられるように、周波数領域でも同様に得られる

e(ω)y(ω)=d(ω)+G(ω)y(ω),=W(ω)x(ω).(22)(23)

View Source ソースを表示 \begin{align*} \boldsymbol{e}(\omega) &= \boldsymbol{d}(\omega) + \boldsymbol{G}(\omega) \boldsymbol{y}(\omega),\tag{22} \\ \boldsymbol{y}(\omega) &= \boldsymbol{W}(\omega) \boldsymbol{x}(\omega). \tag{23} \end{align*}

The pressure distribution u(r,ω) can be estimated from the error signals e(ω) as
圧力分布 u(r,ω) は、誤差信号 e(ω) から次のように推定できます

u(r,ω)z(r,ω)=zT(r,ω)e(ω)=[(K(ω)+λIM)−1]Tκ(r,ω).(24)(25)

View Source ソースを表示 \begin{align*} u(\boldsymbol{r},\omega) &= \boldsymbol{z}^{\mathsf {T}}(\boldsymbol{r},\omega) \boldsymbol{e}(\omega) \tag{24} \\ \boldsymbol{z}(\boldsymbol{r},\omega) &= \left[ \left(\boldsymbol{K}(\omega) + \lambda \boldsymbol{I}_M \right)^{-1} \right]^{\mathsf {T}} \boldsymbol{\kappa }(\boldsymbol{r},\omega). \tag{25} \end{align*} Here, z(r,ω) is the interpolation filter in the frequency domain, which is directly obtained from the kernel ridge regression formulation in (10). The kernel function is given in (18) for the 3D case and (19) for the 2D case. By substituting (24) into (21), we can rewrite the frequency-domain cost function L¯(ω) as
ここで、 z(r,ω) は周波数領域における補間フィルタであり、式(10)のカーネルリッジ回帰の定式化から直接得られます。カーネル関数は3Dの場合に式(18)で、2Dの場合に式(19)で与えられます。式(24)を式(21)に代入することにより、周波数領域のコスト関数 L¯(ω) を次のように書き換えることができます。

L¯(ω)=eH(ω)A(ω)e(ω),(26)

View Source ソースを表示 \begin{equation*} \bar{\mathcal {L}}(\omega) = \boldsymbol{e}^{\mathsf {H}}(\omega) \boldsymbol{A}(\omega) \boldsymbol{e}(\omega), \tag{26} \end{equation*} where  どこ

A(ω):=∫Ωz∗(r,ω)zT(r,ω)dr=PH(ω)[∫Ωκ∗(r,ω)κT(r,ω)dr]P(ω).(27)

View Source \begin{equation*} \begin{aligned} \boldsymbol{A}(\omega) &:= \int _{\Omega } \boldsymbol{z}^{\ast }(\boldsymbol{r},\omega) \boldsymbol{z}^{\mathsf {T}}(\boldsymbol{r},\omega) \mathrm{d} \boldsymbol{r} \\ &= \boldsymbol{P}^{\mathsf {H}}(\omega) \left[ \int _{\Omega } \boldsymbol{\kappa }^{\ast }(\boldsymbol{r},\omega) \boldsymbol{\kappa }^{\mathsf {T}}(\boldsymbol{r},\omega) \mathrm{d} \boldsymbol{r} \right] \boldsymbol{P}(\omega). \end{aligned} \tag{27} \end{equation*} Here, P(ω):=(K(ω)+λIM)−1 is defined. Thus, the cost function L¯(ω) is the power of the error signals subject to the weighting matrix A(ω). The elements of A(ω) can be determined from the positions of the error microphones alone. Numerical integration must be performed to calculate the integral in (27) in most cases; however, it can be avoided for some simple shapes of Ω [17], [38].
ここで、 P(ω):=(K(ω)+λIM)−1 が定義されます。したがって、コスト関数 L¯(ω) は、重み行列 A(ω) に従った誤差信号の二乗です。 A(ω) の要素は、誤差マイクロフォンの位置のみから決定できます。ほとんどの場合、(27)の積分を計算するために数値積分を行う必要がありますが、いくつかの単純な形状の Ω については回避できます[17]、[38]。

The gradient of L¯(ω) with respect to W∗(ω) is derived as

∂L¯∂W∗=∂∂W∗eHAe=GHA(GWx+d)xH,(28)

View Source \begin{equation*} \begin{aligned} \frac{\partial \bar{\mathcal {L}}}{\partial \boldsymbol{W}^{\ast }} &= \frac{\partial }{\partial \boldsymbol{W}^{\ast }} \boldsymbol{e}^{\mathsf {H}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{e} \\ &= \boldsymbol{G}^{\mathsf {H}} \boldsymbol{A} \left(\boldsymbol{G}\boldsymbol{W}\boldsymbol{x} + \boldsymbol{d} \right) \boldsymbol{x}^{\mathsf {H}}, \end{aligned} \tag{28} \end{equation*} where ω is omitted. The optimal control filter W(ω) satisfies ∂L¯(ω)/∂W∗(ω)=0 as

W(ω)=−(GHAG)−1GHARdxR−1xx,(29)

View Source \begin{align*} \boldsymbol{W}(\omega) = - (\boldsymbol{G}^{\mathsf {H}}\boldsymbol{A}\boldsymbol{G})^{-1} \boldsymbol{G}^{\mathsf {H}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{R}_{dx} \boldsymbol{R}_{xx}^{-1}, \tag{29} \end{align*} where Rdx=dxH and Rxx=xxH. This control filter W(ω) is noncausal and includes the unobservable value d, but can still be useful to investigate fundamental properties. Although steepest descent algorithms for minimizing L¯(ω) can be derived from the gradient ∂L¯/∂W∗=GHAexH, the direct use of such frequency-domain adaptive filters suffers from a significant delay.