第 10 讲：势力、陀螺力和耗散力。
汉密尔顿规范方程。
理论力学
达维多夫·马克西姆·尼古拉耶维奇
达维多夫·马克西姆·尼古拉耶维奇 理论力学
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第二种拉格朗日方程。
II型拉格朗日方程：
𝑑
𝑑𝑡
𝜕𝑇
∂ ̇q
−
𝜕𝑇
𝜕𝑞
= Qk = 1， . . . ， n.
定义
˙
q 是广义速度。
¨
q 是广义加速度。
拉格朗日方程的左侧，在用 t 微分运算后，包括：时间 t、广义坐标 q、广义速度 ̇q 和广义加速度 ̈q。拉格朗日方程右侧的广义力 Q 通常作为 t、q、̇q 的函数给出。
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第二类拉格朗日方程的研究。
为了构造拉格朗日方程，必须首先找到动能与时间 t、广义坐标 q 和广义速度 ̇q 的函数关系的表达式。让我们以一般的方式进行：
𝑇 =
1
2
𝑁
∑︁
𝑖=1
m ̇r=
1
2
𝑁
∑︁
𝑖=1
𝑚
(︃
𝑛
∑︁
𝑘=1
𝜕𝑟
𝜕𝑞
˙
𝑞+
𝜕𝑟
𝜕𝑡
)︃
=
=
1
2
𝑛
∑︁
k，l=1
A ̇Q ̇Q+
𝑛
∑︁
𝑘=1
a ̇q+ a.
这里，系数 a、a、a 是 t、q、. . . 、 q 的函数，由方程定义：
𝑎=
𝑁
∑︁
𝑖=1
𝑚
𝜕𝑟
𝜕𝑞
𝜕𝑟
𝜕𝑞
， a=
𝑁
∑︁
𝑖=1
𝑚
𝜕𝑟
𝜕𝑞
𝜕𝑟
𝜕𝑡
， a=
1
2
𝑁
∑︁
𝑖=1
𝑚
(︂
𝜕𝑟
𝜕𝑡
)︂
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第二类拉格朗日方程的研究。
因此，完整系统的动能是相对于广义速度的二阶多项式：
T = T+ T+ T，
𝑇=
1
2
𝑛
∑︁
k，l=1
a ̇q ̇q， T=
𝑛
∑︁
𝑘=1
a ̇q， T= a.
在硬化系统的情况下，当时间 t 不是 r 和 q 之间的明确关系时：
T = T=
1
2
𝑛
∑︁
k，l=1
一个 ̇q ̇q.
硬化系统的动能表示为广义速度的二阶（二次形式）的齐次函数。
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第二类拉格朗日方程的研究。
在任意（硬化症或风湿瘤）整体系统中，形式 T 始终是非简并的，即由其系数组成的行列式为非零：
det（a）̸ = 0。
让
它（a）≡ 0.
然后是齐次线性方程组
𝑛
∑︁
𝑘=1
aλ= 0 l = 1， . . . . ， n
有一个真正的非零解。将系统的每个方程乘以 λ 并将方程相加得到：
0 =
𝑛
∑︁
k，l=1
aλλ=
𝑛
∑︁
k，l=1
(︃
𝑁
∑︁
𝑖=1
𝑚
𝜕𝑟
𝜕𝑞
𝜕𝑟
𝜕𝑞
)︃
𝜆𝜆=
𝑁
∑︁
𝑖=1
𝑚
(︃
𝑛
∑︁
𝑘=1
𝜆
𝜕𝑟
𝜕𝑞
)︃
.
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第二类拉格朗日方程的研究。
因此：
𝑛
∑︁
𝑘=1
𝜆
𝜕𝑟
𝜕𝑞
= 0 i = 1， . . . ， N
雅可比矩阵ρ的秩<n.⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒
𝜕𝑥
𝜕𝑞
· · ·
𝜕𝑥
𝜕𝑞
𝜕𝑦
𝜕𝑞
· · ·
𝜕𝑦
𝜕𝑞
𝜕𝑧
𝜕𝑞
· · ·
𝜕𝑧
𝜕𝑞
· · · · · · · · ·
𝜕𝑧
𝜕𝑞
· · ·
𝜕𝑧
𝜕𝑞
⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒⃒
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第二类拉格朗日方程的研究。
我们得出了一个矛盾，因为系统的最小独立坐标数等于自由度数 n，ρ < n。
雅可比矩阵的秩在单个（奇异点）处可以小于 n，其中 det（a） = 0。今后，我们会将该制度的此类特殊规定排除在考虑范围之外。
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第二类拉格朗日方程的研究。
显然，形式 T 是肯定的。
通过将动能的表达式代入拉格朗日方程：
𝑑
𝑑𝑡
𝜕𝑇
∂ ̇q
−
𝜕𝑇
𝜕𝑞
= Qk = 1， . . . . ， n
获取
𝑛
∑︁
𝑙=1
a ̈q+ （· ） = Q（t， q， . . . ， q， ̇q， . . . . ， ̇q） k = 1， . . . . ， n
通过 （· · · ） 是不包含时间坐标的二阶导数的项的总和。由于 det（a）̸ = 0，因此方程可以相对于二阶导数求解，并表示为：
¨
q= G（t， q， . . . ， q， ̇q， . . . ， ̇q） k = 1， . . . ， n
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第二类拉格朗日方程的研究。
¨
q= G（t， q， ̇q） k = 1， . . . ， n
从微分方程理论中可以知道，在关于G的右边部分的光滑度的某些假设下（存在所有一阶连续偏导数），在力学中总是假设满足这些假设，对于任意给定的初始数据q，̇q对于t = t，拉格朗日方程有一个且只有一个解。
因此，全息系统的运动由初始位置和初始速度唯一决定。也就是说，如果有源力 Q 具有一阶的连续导数，并且笛卡尔坐标和广义坐标之间的依赖关系具有直至三阶的连续导数，则此柯西问题具有单一解。
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潜在力量。
考虑广义力不依赖于广义速度的情况
Q= Q（t， q， . . . ， q） k = 1， . . . ， n
и существует функция P（t， q， . . . ， q） такая， что
Q= −
𝜕Π
𝜕𝑞
k = 1， . . . ， n.
定义
Q 是势力。Π 是势能。
在以下情况下，除了潜在力外，非潜在力也作用于系统：
Q= −
𝜕Π
𝜕𝑞
+ ̃Qk = 1， . . . . ， n
拉格朗日方程采用以下形式：
𝑑
𝑑𝑡
𝜕𝑇
∂ ̇q
−
𝜕𝑇
𝜕𝑞
= −
𝜕Π
𝜕𝑞
+ ̃Qk = 1， . . . ， n.
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潜在力量。
让我们将 E 表示为总能量等于动能和势能之和：E = T + Π。
让我们计算 dE/dt，我们将找到：
𝑑𝑇
𝑑𝑡
=
𝑛
∑︁
𝑘=1
(︂
𝜕𝑇
𝜕𝑞
˙
𝑞+
𝜕𝑇
∂ ̇q
¨
𝑞
)︂
+
𝜕𝑇
𝜕𝑡
=
𝑑
𝑑𝑡
𝑛
∑︁
𝑘=1
𝜕𝑇
∂ ̇q
˙
𝑞+
𝑛
∑︁
𝑘=1
(︂
𝜕𝑇
𝜕𝑞
−
𝑑
𝑑𝑡
𝜕𝑇
∂ ̇q
)︂
˙
𝑞+
𝜕𝑇
𝜕𝑡
.
如：
T = T+ T+ T。
𝑛
∑︁
𝑘=1
𝜕𝑇
∂ ̇q
˙
q= T，
𝑛
∑︁
𝑘=1
𝜕𝑇
∂ ̇q
˙
q= 2T⇒
𝑛
∑︁
𝑘=1
𝜕𝑇
∂ ̇q
˙
q= 2T+ T
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潜在力量。
让我们使用拉格朗日方程：
𝑑𝑇
𝑑𝑡
=
𝑑
𝑑𝑡
（2T+ T） +
𝑛
∑︁
𝑘=1
(︂
𝜕Π
𝜕𝑞
− Q
)︂
˙
𝑞+
𝜕𝑇
𝜕𝑡
=
𝑑
𝑑𝑡
（2T+ 2T+ 2T） −
𝑑
𝑑𝑡
（T+ 2T） +
𝑛
∑︁
𝑘=1
𝜕Π
𝜕𝑞
˙
𝑞−
𝑛
∑︁
𝑘=1
˜
Q ̇q+
𝜕𝑇
𝜕𝑡
=
2
𝑑𝑇
𝑑𝑡
−
𝑑
𝑑𝑡
（T+ 2T） +
𝑑Π
𝑑𝑡
−
𝜕Π
𝜕𝑡
−
𝑛
∑︁
𝑘=1
˜
Q ̇q+
𝜕𝑇
𝜕𝑡
.
让我们来表达总能量的变化：
𝑑𝐸
𝑑𝑡
=
𝑑𝑇
𝑑𝑡
+
𝑑Π
𝑑𝑡
= 2
𝑑𝑇
𝑑𝑡
−
𝑑
𝑑𝑡
（T+ 2T） + 2
𝑑Π
𝑑𝑡
−
𝜕Π
𝜕𝑡
−
𝑛
∑︁
𝑘=1
˜
Q ̇q+
𝜕𝑇
𝜕𝑡
.
𝑑𝐸
𝑑𝑡
= 2
𝑑𝐸
𝑑𝑡
−
𝑑
𝑑𝑡
（T+ 2T） −
𝜕Π
𝜕𝑡
−
𝑛
∑︁
𝑘=1
˜
Q ̇q+
𝜕𝑇
𝜕𝑡
.
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潜在力量。
𝑛
∑︁
𝑘=1
˜
Q ̇q=
1
𝑑𝑡
𝑛
∑︁
𝑘=1
˜
Qdq=
δ ̃A
𝑑𝑡
.
定义
非势力的幂 ̃Q：
˜
𝑁 =
𝑛
∑︁
𝑘=1
˜
Q ̇qk = 1， . . . ， n.
最后，我们得到：
定理（关于任意全息系统运动中总机械能的变化）
𝑑𝐸
𝑑𝑡
=
𝑑
𝑑𝑡
（T+ 2T） +
𝜕Π
𝜕𝑡
+ ̃N −
𝜕𝑇
𝜕𝑡
.
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巩膜系统。
1.巩膜系统。T= T= 0，
𝜕𝑇
𝜕𝑡
= 0
然后：
𝑑𝐸
𝑑𝑡
=
𝜕Π
𝜕𝑡
+ ̃N =
𝜕Π
𝜕𝑡
+
𝑛
∑︁
𝑘=1
˜
Q ̇q.
2. 具有势能的硬化系统，没有明确的时间依赖性。
𝑑𝐸
𝑑𝑡
=
𝑛
∑︁
𝑘=1
˜
Q ̇q.
总能量的时间导数等于非势力的幂。
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保守的系统。
3.制度是保守的。硬化系统;
所有的力量都是潜在的;势能 P 没有明确的时间依赖性。即，对于系统的任何运动，E = const = h。
保守系统的总能量不会随着系统的移动而变化。
该方程定义了运动方程的第一个积分。
这称为能量积分。
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陀螺力。
定义
如果非势力的功率为零，则称其为陀螺仪：
𝑛
∑︁
𝑘=1
˜
Q ̇q= 0.
然后：
𝑑𝐸
𝑑𝑡
=
𝑑
𝑑𝑡
（T+ 2T） +
𝜕Π
𝜕𝑡
−
𝜕𝑇
𝜕𝑡
.
如果系统是硬化的，并且势能没有明确依赖于 t，那么
𝑑𝐸
𝑑𝑡
= 0
因此，
对于具有陀螺力的硬化系统，还有一个能量 E = const = h 的积分。
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耗散力。
定义
如果非势力的功率为负或为零，则称其为耗散力：
𝑛
∑︁
𝑘=1
˜
Q ̇q⩽ 0.
如果系统是硬化的，并且势能没有明确依赖于 t，那么
𝑑𝐸
𝑑𝑡
⩽ 0
因此，
对于硬化系统，在耗散力作用下，总能量在运动过程中会降低。
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流变系统。
在硬化系统的情况下
𝑁
∑︁
𝑖=1
𝐹 ·dr=
𝑛
∑︁
𝑘=1
QDQ⇒
𝑁
∑︁
𝑖=1
𝐹 ·v=
𝑛
∑︁
𝑘=1
Q ̇q.
因此，陀螺仪和常规力耗散的条件是：
𝑁
∑︁
𝑖=1
𝐹 ·v= 0，
𝑁
∑︁
𝑖=1
𝐹 ·v⩽ 0.
在流变系统的情况下，情况可能并非如此：
𝑁
∑︁
𝑖=1
𝐹 ·δr=
𝑛
∑︁
𝑘=1
Qδq， δr= dr−
𝜕𝑟
𝜕𝑡
DT的。
𝑁
∑︁
𝑖=1
𝐹 ·
(︂
𝑣−
𝜕𝑟
𝜕𝑡
)︂
=
𝑛
∑︁
𝑘=1
Q ̇q.
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广义力 Q 通常取决于广义速度。让我们考虑一下这种关系是线性和同质的重要特殊情况。
1. 顺其自然
˜
𝑄=
𝑛
∑︁
𝑙=1
γ ̇q， γ= −γk = 1， . . . . ， n，
即系数矩阵γ是斜对称的。然后：
𝑛
∑︁
𝑘=1
˜
Q ̇q=
𝑛
∑︁
k，l=1
γ ̇q ̇q=
𝑛
∑︁
𝑘=1
γ Q+
𝑛
∑︁
K<L
（γ+ γ） ̇q ̇q= 0
因此
系数矩阵的偏对称性γ不仅是足够的，而且是施加在硬化系统的力是陀螺仪的必要条件。
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例子。
考虑一个在非惯性坐标系中移动的点系统。施加到点 P 的科里奥利惯性力：
J= −2m（ω× v）
然后：
𝑁
∑︁
𝑖=1
𝐽·v=
𝑁
∑︁
𝑖=1
−2m（ω× v） ·v= 0。
硬化系统的科里奥利惯性力是陀螺力。
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例子。
考虑一个具有固定点 O 的刚体，其角速度为 ω = ω+ ω，并且主角 L = J（ω× ω） 的力作用在它上面。那么施加力的功率为：
𝐿·ω = J（ω× ω） ·𝜔 = 0.
这对应于具有动态对称性的物体的情况，J 是相对于对称轴的惯性矩，ω 是沿对称轴方向的适当旋转的角速度，ω 是进动运动的角速度。
力矩 L = J（ω× ω） 称为陀螺仪，这导致了术语“陀螺力”。
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2. 顺其自然
˜
Q= −
𝑛
∑︁
𝑙=1
b ̇q， b= bk = 1， . . . ， n，
即，系数 b 的矩阵是对称的。并让二次形式为正数：
𝑛
∑︁
k，l=1
b ̇q ̇q⩾ 0.
然后，对于硬化系统：
𝑛
∑︁
𝑘=1
˜
Q ̇q= −
𝑛
∑︁
k，l=1
b ̇q ̇q⩽ 0.
在这种情况下，力 ̃Q 将是耗散的。
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瑞利耗散函数。
定义
二次形
𝑅 =
1
2
𝑛
∑︁
k，l=1
B ̇Q ̇Q
称为瑞利耗散函数。
然后：
˜
Q= −
𝜕𝑅
∂ ̇q
.
如果系统是硬化的，并且势能没有明确的时间依赖性，那么：
𝑑𝐸
𝑑𝑡
=
𝑛
∑︁
𝑘=1
˜
Q ̇q= −2R。
加倍瑞利函数等于总能量的衰减率。
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例。
让我们考虑一个系统，其中施加介质阻力的点，与点速度的第一次幂成正比：F = −βv。
然后：
𝑅 =
1
2
𝛽
𝑛
∑︁
𝑘=1
𝑣,
𝑁
∑︁
𝑖=1
F v= −2R。
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势力情况下的拉格朗日方程。
设广义力 Q 为势力，即存在势力势能（势能）
Q= −
𝜕Π
𝜕𝑞
k = 1， . . . ， n.
如果作用在物质点上的有力力 F 在笛卡尔坐标 （i = 1， . . . ， N） 中具有势 Π（t， x， y， z），则这些力在独立坐标 q（k = 1， . . . ， n） 中具有相同的势 Π，但仅用坐标 q 表示：
𝑛
∑︁
𝑘=1
Qδq=
𝑁
∑︁
𝑖=1
（Fδx+ Fδy+ Fδz） =
=
𝑁
∑︁
𝑖=1
(︂
−
𝜕Π
𝜕𝑥
δx+ −
𝜕Π
𝜕𝑦
δy+ −
𝜕Π
𝜕𝑧
𝛿𝑧
)︂
= −sP = −
𝑛
∑︁
𝑘=1
𝜕Π
𝜕𝑞
δq。
一般来说，反之则不然！
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动能势。
定义
拉格朗日函数或动势：L = T − Π。
然后拉格朗日方程写成：
𝑑
𝑑𝑡
𝜕𝐿
∂ ̇q
−
𝜕𝐿
𝜕𝑞
= 0 k = 1， . . . ， n.
动势 L 和动能 T 是相对于广义速度 L = L+ L+ L 的二阶函数：
𝐿=
1
2
𝑛
∑︁
k，l=1
c ̇q ̇q， L=
𝑛
∑︁
𝑘=1
c ̇q， L= c.
这里，系数 c、c、c 是坐标 q 和时间 t 的函数。显然：L = T，L = T，L = T− π。
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广义潜力。
定义
函数 V （t， q， ̇q） 是广义势 如果
𝑄=
𝑑
𝑑𝑡
𝜕𝑉
∂ ̇q
−
𝜕𝑉
𝜕𝑞
k = 1， . . . ， n.
然后是拉格朗日方程：
𝑑
𝑑𝑡
𝜕𝑇
∂ ̇q
−
𝜕𝑇
𝜕𝑞
=
𝑑
𝑑𝑡
𝜕𝑉
∂ ̇q
−
𝜕𝑉
𝜕𝑞
k = 1， . . . ， n.
让我们表示 L = T − V 并再次得到：
𝑑
𝑑𝑡
𝜕𝐿
∂ ̇q
−
𝜕𝐿
𝜕𝑞
= 0 k = 1， . . . ， n.
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广义潜力。
𝑄=
𝑑
𝑑𝑡
𝜕𝑉
∂ ̇q
−
𝜕𝑉
𝜕𝑞
=
𝑛
∑︁
𝑙=1
𝜕𝑉
∂ ̇q∂ ̇q
¨
q+ （· · · ） k = 1， . . . . ， n.
超越 （· · · ） 是不包含广义加速度的部分。如前所述，只有当广义力 Q 不明确依赖于广义加速度，而仅取决于时间、坐标和广义速度时，才考虑这种情况：
Q= Q（t， q， . . . ， q， ̇q， . . . ， ̇q） k = 1， . . . . .
这意味着就广义速度而言，V 二阶的所有偏导数必须等于零，即
广义势 V 与广义势 V 呈线性关系
速度：
𝑉 =
𝑛
∑︁
𝑘=1
B ̇q+ V= V+ V。
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