解答过程

我们有两个工厂，每个工厂的生产函数都是 $q = \sqrt{kl}$，其中 $k$ 是资本数量，$l$ 是劳动投入。资本和劳动的租金价格均为1美元。

已知条件：

• 工厂1的资本数量 $k_1 = 36$
• 工厂2的资本数量 $k_2 = 81$
• 劳动和资本的租金价格 $w = v = 1$

我们需要在短期和长期内分别进行成本最小化的分析。

A. 短期资本固定时的产量分配

目标： 在资本固定的情况下，最小化总劳动成本 $C = l_1 + l_2$。

生产函数：

• 工厂1： $q_1 = \sqrt{36 \cdot l_1} = 6\sqrt{l_1}$
• 工厂2： $q_2 = \sqrt{81 \cdot l_2} = 9\sqrt{l_2}$

总产量： $Q = q_1 + q_2 = 6\sqrt{l_1} + 9\sqrt{l_2}$

成本最小化： 我们需要最小化 $l_1 + l_2$ 约束条件 $6\sqrt{l_1} + 9\sqrt{l_2} = Q$。

通过拉格朗日乘数法，得到最优分配比例 $q_1 : q_2 = 4 : 9$。

结论：

• 工厂1的产量 $q_1 = \frac{4}{13}Q$
• 工厂2的产量 $q_2 = \frac{9}{13}Q$

B. 短期下的总成本、平均成本和边际成本

总劳动成本：

• 工厂1： $l_1 = \left(\frac{q_1}{6}\right)^2 = \left(\frac{4Q}{13 \cdot 6}\right)^2 = \frac{16Q^2}{1521}$
• 工厂2： $l_2 = \left(\frac{q_2}{9}\right)^2 = \left(\frac{9Q}{13 \cdot 9}\right)^2 = \frac{Q^2}{169}$
• 总劳动成本： $l_1 + l_2 = \frac{16Q^2}{1521} + \frac{Q^2}{169} = \frac{13Q^2}{1521} = \frac{Q^2}{117}$

总成本：

• 固定资本成本： $k_1 + k_2 = 36 + 81 = 117$
• 总成本 $C = \frac{Q^2}{117} + 117$

平均成本（AC）： $AC = \frac{C}{Q} = \frac{Q}{117} + \frac{117}{Q}$

边际成本（MC）： $MC = \frac{dC}{dQ} = \frac{2Q}{117}$

结论：

• 短期总成本： $C = \frac{Q^2}{117} + 117$
• 短期平均成本： $AC = \frac{Q}{117} + \frac{117}{Q}$
• 短期边际成本： $MC = \frac{2Q}{117}$

C. 长期内的产量分配及成本计算

长期目标： 资本可以调整，最小化总成本。

单个工厂的成本最小化： 生产函数 $q = \sqrt{kl}$，输入价格 $w = v = 1$。

通过优化得出：

• 最优输入组合： $k = l$
• 由 $q = \sqrt{k \cdot l} = \sqrt{k^2} = k$，得 $k = q$，$l = q$
• 单个工厂的总成本： $C = k + l = 2q$

多个工厂的情况： 由于每个工厂的成本函数线性，使用一个或多个工厂的总成本不变： $C_{\text{总}} = 2(q_1 + q_2) = 2Q$

平均成本（AC）： $AC = \frac{C}{Q} = 2$

边际成本（MC）： $MC = \frac{dC}{dQ} = 2$

结论：

• 长期总成本： $C = 2Q$
• 长期平均成本： $AC = 2$
• 长期边际成本： $MC = 2$

解答过程

我们有一个生产计算器的厂商，其生产函数为： $q = 2\sqrt{l}$ 其中：

• $q$ 为计算器的产量
• $l$ 为劳动投入的小时数

市场条件：

• 计算器的售价为 $p$（价格接受者）
• 劳动的每小时工资率为 $w$（价格接受者）

我们需要求解以下部分：

A. 总成本函数

目标： 计算厂商的总成本函数 $C(q)$。

步骤：

1. 生产函数反求劳动投入 $l$： $q = 2\sqrt{l}$ 两边平方得到： $q^2 = 4l$ 解得： $l = \frac{q^2}{4}$

2. 总成本 $C$ 是劳动成本： $C = w \cdot l$ 代入 $l$ 的表达式： $C(q) = w \cdot \frac{q^2}{4} = \frac{w}{4} q^2$

结论： $\boxed{C(q) = \frac{w}{4} q^2}$

B. 利润函数

目标： 计算厂商的利润函数 $\pi(q)$。

步骤：

1. 总收入 $TR$： $TR = p \cdot q$

2. 总成本 $C(q)$： 已在A部分求得： $C(q) = \frac{w}{4} q^2$

3. 利润 $\pi(q)$： $\pi(q) = TR - C(q) = p \cdot q - \frac{w}{4} q^2$

结论： $\boxed{\pi(q) = p q - \frac{w}{4} q^2}$

C. 供给函数 $q(p, w)$

目标： 确定厂商的供给函数 $q(p, w)$，即在价格 $p$ 和工资率 $w$ 下，厂商愿意供应的产量。

步骤：

1. 利润函数： $\pi(q) = p q - \frac{w}{4} q^2$

2. 利润最大化条件： 对 $q$ 求导并设导数为零： $\frac{d\pi}{dq} = p - \frac{w}{2} q = 0$ 解得： $p = \frac{w}{2} q$ $q = \frac{2p}{w}$

结论： $\boxed{q(p, w) = \frac{2p}{w}}$

总结

• 总成本函数： $C(q) = \frac{w}{4} q^2$
• 利润函数： $\pi(q) = p q - \frac{w}{4} q^2$
• 供给函数： $q(p, w) = \frac{2p}{w}$

这些结果展示了厂商如何根据市场价格和工资率调整其产量，以实现利润最大化。

解题思路

在完全竞争的长期均衡中，厂商的利润为零，市场价格等于长期平均成本的最低点（即 $P = \text{min ATC}$）。利用这一特性，可以逐步求解行业的长期总产出 $Q^*$、长期均衡价格 $p^*$、每个厂商的产出 $q^*$ 以及长期内的厂商数目。

已知条件：

• 行业总市场需求函数：$Q = 1500 - 50p$
• 每个厂商在产出为 $q_i = 10$ 时，其每单位产出的长期平均成本最小，为 $\text{ATC}_{\text{min}} = 20$ 美元/单位。
• 行业具有完全竞争和大量潜在进入者。

1. 行业的长期总产出 $Q^*$ 是多少？

步骤：

1. 确定长期均衡价格 $p^*$： 在长期均衡下，完全竞争市场的价格 $p^*$ 等于厂商的长期平均成本最低点，即：

   $$p^* = \text{ATC}_{\text{min}} = 20 \text{美元/单位}$$

2. 代入需求函数求总产出 $Q^*$：

   $$Q = 1500 - 50p$$

   将 $p^* = 20$ 代入：

   $$Q^* = 1500 - 50 \times 20 = 1500 - 1000 = 500 \text{单位}$$

结论：

2. 市场上的长期均衡价格 $p^*$ 是多少？

步骤：

在完全竞争的长期均衡中，市场价格 $p^*$ 等于每个厂商的长期平均成本最低点。因此：

结论：

3. 长期内每个厂商的产出 $q^*$ 是多少？

已知：

• 每个厂商在产出 $q_i = 10$ 时，其每单位产出的长期平均成本最小，为 $\text{ATC}_{\text{min}} = 20$ 美元/单位。
• 在长期均衡中，厂商会调整产量至 $\text{ATC}_{\text{min}}$。

因此，长期内每个厂商的产出为：

4. 长期内厂商的数目是多少？

步骤：

1. 确定行业总产出 $Q^*$ 和每个厂商的产出 $q^*$：

   • $Q^* = 500$ 单位
   • $q^* = 10$ 单位/厂商

2. 计算厂商数目 $N$：

   $$N = \frac{Q^*}{q^*} = \frac{500}{10} = 50 \text{家}$$

结论：

总结

通过上述步骤，我们得出以下结论：

1. 行业的长期总产出： $Q^* = 500$ 单位
2. 市场上的长期均衡价格： $p^* = 20$ 美元/单位
3. 长期内每个厂商的产出： $q^* = 10$ 单位
4. 长期内厂商的数目： $N = 50$ 家

这些结果符合完全竞争市场长期均衡的基本特征，即市场价格等于最低平均成本，行业总产出由市场需求决定，且厂商数目调整至利润为零。