股票期权定价公式 - 这枚诺贝尔奖章是怎样炼成的？

最近在箱底下找到了Fischer Black生前的一篇文章：How we come up with the Option Formula，介绍他是如何获得股票期权定价公式的。该文没有一个数学符号，估计应该是他在一个会议上的发言稿，并将一个简短的版本发表在1987年的Current Contents/ Social & Behavior Science杂志上。他1995年去世。1997年他的合作同事M. Scholes 和R. Merton因为发现了这个公式获得诺贝尔经济奖。为了纪念他的贡献，他生前工作所在的高盛公司将他的文章发表在Risk杂志上。

现在我将把Black的文章翻译成中文，供同学们学习。因为Black的本科是学习物理的，并拥有应用数学的博士学位，估计除了学金融的同学之外，许多理工科的同学们也会感兴趣。所以我也尽自己的能力，在文中用对一些金融方面的名词和术语做一些解释。如果同学们有更多名词和术语不好理解，也请在评论栏中告诉我，我将尽力而为。本人水平有限，翻译不对的地方，请与附件的英文原文为准。

先解释一下什么是期权。大家可能都买过股票。设市场上某个股票的报价是100元。那您支付100元钱，马上就可以得到一股股票。然后随着时间推移，如果股票涨价了，您将股票卖掉，就赚钱了；反之如果降价，您就亏钱的。期权是一个金融产品，它给您在未来某个时间，以现在确定好的价格来买卖股票的权利。例如您买了一个3个月的看涨期权（Call Option），现在确定好的价格为95元。那么到三个月时，您就有一个用95元购买股票的权利。结果是：如果那时股价涨到105元，您用95元买入，马上用105元卖掉，就赚了10元钱。但如果那时股价掉到95元以下，您就没有必要行权买股票了，直接放弃。用数学公式表示，记时间 $t=T$t=T 为3个月，那时的股价为 $S_T$S_T ,那么您的期权收益 $V_T$V_T 为

$$\begin{array}{}\text{(1)}& V_T=max(S_T-K,0)\end{array}$$V_T=\max(S_T - K,\,0) \tag{1}显然从今天 $(t=0)$(t=0) 去看， $V_T$V_T 是不确定的，但不会是负值。所以您购买期权的时候，银行不会白送给你，您需要支付一定的费用，即期权费。但银行收您多少期权费为合理呢？这在Black提出那个公式之前是没有人知道的。下面就是Black的文章：

我们是如何提出期权公式的

就像许多伟大的发明一样，它开始于不断摆弄尝试，结束于延迟的认可

作者：Fischer Black

摘要：我和M. Scholes关于期权公式的论文发表在1973年的春天，但在1972年的春天还发表了一篇论文，公布了一些对公式的实践测试的结果。我们从1969年的春天开始推导这个公式的，然而接触这个课题却是从1965年就开始了。以下是这个公式和那篇论文如何形成的故事。

简要回顾

在描述我们发现公式的事件之前，我想讲一下获得这个公式的思想背景。我们想得到一个公式，它能告诉我们，当购买一个股票期权时，期权的价值将如何依赖于基础股票的价格，股票的波动性，期权的执行价格，和期权到期日，以及利率。

我们期望，这样的公式能揭示其他一些问题，例如，当股票价格在短时间内做微小变动时，期权价值会如何变化。假设这个公式告诉我们，当股票上涨1.00美元时，期权约上涨0.50美元，当股票下跌1.00美元时，期权下跌0. 50美元。这样的话，你可以通过做空两个期权合约，并做多一个股票合约，这样来创建一个互相对冲的组合头寸。

注解 ----------

市场上一个合约称为1手，为100股， 做多就是买入，做空就是卖出。在看涨期权合约中，支付费用而买入行使权的一方为做多，合约的对手方为做空。

这里讲的是价值的变化量，并不是价值本身。价值可以很大的，例如股票价格为80美元/股，期权价格为5美元/股。上面这个组合头寸的总价值为100*80-200*5=7000美元。

注解结束----------

显然这个组合头寸是接近无风险的。因为对于股票短期内的小幅移动，你一方面的损失将被另一方面的收益抵消。如果股票上涨，你会在期权上亏损，但可以从股票上补回。如果股票下跌，你会在股票上亏损，但可以从期权上补回。

当然，这个做空两个期权和做多一个股票来建立一个组合头寸，这个2:1=1:0.5的比例不是一成不变的。随着股票价格的变动，以及期权接近到期，为维持接近无风险的对冲所需的期权对股票的比例将会改变。为了维持一个风险中性对冲，您将需要改变在股票中的份额，或者在期权中的份额，或者两者都需要改变。

我们的想法是这样的：对于这样一个无风险的组合头寸，它在每个短期内的收益（注解：也就是上面例子中的7000美元的收益）应该是与短期内无风险存款的利息收益是一样的。根据这个单一定价原则，我们马上就可以得到那个期权公式。事实上，具有这样属性的期权定价公式是唯一的，即一个由期权和股票的组成的风险中性的组合头寸，它回报率总是等于短期利率。

-------- 注解

用数学语言来重述一下这段文字的意思：设 $S_t=S(t)$S_t=S(t) 为股票在 $t$t 时刻的价格，它有个增长率 $\mu$\mu ，波动率 $\sigma$\sigma , 随着时间变化 $\mathrm{d}t${\rm d}t ，股票的相对变化量为

$$\begin{array}{}\text{(2)}& {\displaystyle \frac{\mathrm{d}S}{S}=\mu \mathrm{d}t+\sigma \mathrm{d}w}\end{array}$$\displaystyle\frac{{\rm d}S}{S} = \mu {\rm d}t + \sigma {\rm d} w \tag{2} 其中， $w_t=w(t)$w_t=w(t) 为布朗运动，它在每个时间段 $\mathrm{d}t${\rm d}t 都是一个正态分布的随机变量，期望值为0，均方差为 $\sqrt{\mathrm{d}t}$\sqrt{{\rm d}t} 。这个式子说明，在 $\mathrm{d}t${\rm d}t 时间内，股票价值有一个确定收益部分 $\mu S\mathrm{d}t$\mu S {\rm d}t , 和一个有风险的随机增量部分 $\sigma S\mathrm{d}w$\sigma S {\rm d} w, 其中随机部分的值可落在 $(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$(-\infty,+\infty) 上，每一点取值有不同的概率，均值为0，方差为 ${\sigma }^2{S}^2\mathrm{d}t$\sigma^2S^2{\rm d}t 。

设 $V_t=V(S,t)$V_t= V(S,t) 为一个看涨期权的价格，所以当时间 $t$t 和股价 $S(t)$S(t) 变化时，

$$\begin{gathered} \begin{array}{}\text{(3)}& {\displaystyle \mathrm{d}V=\frac{\mathrm{\partial }V}{\mathrm{\partial }t}\mathrm{d}t+\frac{\mathrm{\partial }V}{\mathrm{\partial }S}\mathrm{d}S+\frac{1}{2}\frac{{\mathrm{\partial }}^{2}V}{\mathrm{\partial }{S}^2}\mathrm{d}{S}^2} \\ ={\displaystyle (\frac{\mathrm{\partial }V}{\mathrm{\partial }t}+\mu S\frac{\mathrm{\partial }V}{\mathrm{\partial }S}+\frac{1}{2}{\sigma }^2{S}^2\frac{{\mathrm{\partial }}^{2}V}{\mathrm{\partial }{S}^2})\mathrm{d}t+\sigma S\frac{\mathrm{\partial }V}{\mathrm{\partial }S}\mathrm{d}w}\end{array} \end{gathered}$$\displaystyle {\rm d}V = \frac{\partial V}{\partial t} {\rm d} t + \frac{\partial V}{\partial S} {\rm d}S + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 V}{\partial S^2}{\rm d}S^2 \\ \hspace{7mm} = \displaystyle\Big(\frac{\partial V}{\partial t} + \mu S \frac{\partial V}{\partial S} + \frac{1}{2}\sigma^2 S^2 \frac{\partial^2V}{\partial S^2}\Big) {\rm d} t + \sigma S \frac{\partial V}{\partial S} {\rm d} w \tag{3}

所以 $\mathrm{d}V${\rm d}V 也有一个确定收益部分, 和一个有风险的随机的增量部分。现在按 $1:m$1:m 的比例做多 $m$m 份股票，做空1份期权，总价值为 $(mS-V)$(mS-V) ，让两者有风险的随机增量部分相等来决定比例系数 $m$m ，就是

$\begin{array}{}\text{(4)}& {\displaystyle m(\sigma S\mathrm{d}w)=\sigma S\frac{\mathrm{\partial }V}{\mathrm{\partial }S}\mathrm{d}w}\end{array}$\displaystyle m(\sigma S {\rm d} w) = \sigma S \frac{\partial V}{\partial S} {\rm d} w \tag{4}

比较两边的 $\mathrm{d}w${\rm d}w 项的系数， 就得到无风险的比例系数： $m=\mathrm{\partial }V/\mathrm{\partial }S$m = {\partial V}/{\partial S} 。

然后，使用这个 $m$m 构成的组合头寸 $(mS-V)$(mS-V) 将是无风险的，它在 $\mathrm{d}t${\rm d}t 时间内的变化量$(m\mathrm{d}S-\mathrm{d}V)$(m{\rm d}S-{\rm d}V) 应该与做一个定期存款的得到利息一样，设存款利率为 $r$r ，就是

$$\begin{array}{}\text{(5)}& m\mathrm{d}S-\mathrm{d}V=(mS-V)r\mathrm{d}t\end{array}$$m{\rm d}S - {\rm d} V = (mS-V) r {\rm d}t \tag{5} 把以上各个表达式代入（5），就巧妙地消去了股票的增长率 $\mu$\mu ,得到一个微分方程：

$\begin{array}{}\text{(6)}& {\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }V}{\mathrm{\partial }t}+rS\frac{\mathrm{\partial }V}{\mathrm{\partial }S}+\frac{1}{2}{\sigma }^2{S}^2\frac{{\mathrm{\partial }}^{2}V}{\mathrm{\partial }{S}^2}=rV}\end{array}$ \displaystyle\frac{\partial V}{\partial t} + r S \frac{\partial V}{\partial S} + \frac{1}{2}\sigma^2 S^2 \frac{\partial^2V}{\partial S^2} = rV \tag{6}

$V(t)$V(t) 的生命区间为 $0\le t\le T$0\le t \le T 。利用终止条件（1）求解微分方程（6），将得到今天的期权价值 $V(0)$V(0) ，就是Black-Scholes的期权定价公式：

$\begin{array}{}\text{(7)}& V(0)=S_{0}N(d)-K{e}^{-rT}N(d-\sigma \sqrt{T})\end{array}$V(0)= S_0N(d) - K e^{-rT}N(d-\sigma\sqrt{T}) \tag{7}

其中，

$$\begin{gathered} \begin{array}{}\text{(8)}& {\displaystyle N(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{x}{\int }}{e}^{-\frac{1}{2}{\tau }^2}\mathrm{d}\tau ,} \\ d=\frac{\ln (S_0/K)+(r+{\sigma }^2/2)T}{\sigma \sqrt{T}}\end{array} \end{gathered}$$\displaystyle N(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^x e^{-\frac{1}{2} \tau^2} {\rm d} \tau, \\[3mm] d=\frac{ \ln(S_0/K) + (r+ \sigma^2/2)T}{\sigma \sqrt{T}} \tag{8} 注解结束----------

同样的观点也适用于“反向对冲”组合头寸，假设你可以做空股票，并将卖出股票的收益用于买入期权，使得股票的做空头寸与期权的多头头寸（以正确的比例）接近无风险。这样也可以得到一个风险中性的组合头寸。虽然你在该头寸中的股票是借来卖出的，但同样只有一个公式––就是我们前面得出的那个公式––它确认这个组合头寸的回报率是利率。

甚至使用一对价差期权交易，我们也可以构造一个可赚取无风险利率收益的组合头寸，由此也可以得到相关的期权定价公式。这里，你在同一股票上卖空一种期权，再买入另一种期权，并以正确的比例保证当股票变化时，一个期权的收益与另一个期权的亏损相等。 这样你就得到一个风险中性的组合头寸。当两个期权的总价值不一样时，您可能会从中得到很多钱，但是收益率应该还是无风险利率，前面的论点仍然是合理的。

实际上，不用买卖两个方向的交易来构造风险中性的组合头寸，我们也可以得到这个公式。方法是将买入股票与买入期权进行比较。例如在上面的例子中，将买入一手股票和买入两手期权进行比较。如果这两个交易的价值在短期内对股票价格的小幅变动有相同的变化，它们的回报的差额，应该等于两个交易总值的差额乘以利率。只要这样，投资人才能在股票和期权这两个产品之间找不到套利的机会。这个论点和我们前面推导期权公式的论点是一样的。

微分方程

我1965年开始在亚瑟公司工作, 再那里遇到了J. Treynor。他从1961年开始开发了一个用于证券和其他资产定价的模型，现在被称为“资本资产定价模型”。W. Sharpe 和 J. Lintner两人也或多或少地独立开发了同一模型的另一个版本，并在在1965年开始发表。但Treynor的论文从未发表过，部分原因是他是一个完美主义者，一直没有一个模型使得他完全满足，还有部分原因（我认为）是他没有一份学术工作。

无论如何，Treynor激发了我对金融的兴趣，我开始花费越来越多的时间研究资本资产定价模型和其他金融理论。风险资产市场中的均衡概念对我极具吸引力。这意味着风险更高的证券必须有更高的预期回报，否则投资者不会持有它们——除非投资者不考虑他们能够分散掉的那部分风险。

-------- 注解

这里讲的“风险更高的证券必须有更高的预期回报”，就是前面的股票的增长率 $\mu$\mu 要高于存款利率 $r$r 的意思。但是股票的这个 $\mu$\mu 是谁都不知道的量。

注解结束----------

我开始尝试将资本资产定价模型应用于普通股以外的资产。我研究了债券、公司内部的现金流，甚至货币资产。Treynor的一篇论文是关于公司内部现金流的估值，他推导出了一个微分方程来帮助计算这个值。他的方程有一个错误，因为他遗漏了一些涉及二阶导数的项（注解：估计就是公式（6）中处理 $\mathrm{d}{S}^2${\rm d}S^2 的方法，学过随机分析的同学都会了解这一项），但我们找到了如何加入缺失的项并纠正方程。

有了这样的背景，我开始研究一个用于给认股权证估值的公式。在那个时候，我们对认股权证的考虑比对期权的考虑更多，因为场外期权市场仍然是一个非常不完善的市场。我记不得是什么时候开始研究认股权证问题的了，大概是在 1968 年或 1969 年。我留有包含该微分方程的笔记，日期是 1969 年 6 月。

-------- 注解

认股权证与期权的交易特点相同，它赋予持有者在规定的时间内以规定的价格购买一定数量的股票的权利。不同点有：1）认股权证是由特定上市公司自己发行的，最后行权认股就是买入这个公司的股票；期权可以由任何人发起，对任何股票或者其他的标的（如商品，外汇等）。2）购买了认股权证一般就持有到期，中途没有卖掉的市场，期权是可以随时反平卖出的。3）认股权证只有看涨（Call)一种，期权有看涨（Call）与看跌（Put）两种。

注解结束----------

在那时候，关于认股权证的大多数优秀论文都试图通过获取认股权证在到期时的预期值并将其折现到当前来确定认股权证的价值。那种方法有两个问题：为了找到认股权证在到期时的预期值，你必须知道股票的预期回报，而且你必须为认股权证选择一个贴现率。然而，没有单一的贴现率能行得通，因为认股权证的风险取决于股票价格和时间。因此，贴现率也取决于股票价格和时间。没有一篇论文处理过这个问题。

-------- 注解

数学上，就是假定 $S_T$S_T 有某一个概率分布的，然后对公式（1）求一个期望值，并用一个 $V_t$V_t 的增长率（与 $\mu$\mu类似）贴现到今天。但这些都是靠猜。 这也是一种求解方法，后面会谈到。

注解结束----------

解决这个问题的一个关键步骤是将认股权证的价值写成一个取决于股票价格和其他因素的公式。由于Treynor在他的“价值方程”中使用了这种方法，我也尝试了它。并且大约在我使用这种方法的同时，Samuelson and Merton在 1969 年发表的一篇论文中也使用了它（尽管他们没有得出相同的公式）。

另一件使解决该问题成为可能的事情是忽略所有各种复杂情况。我假设交易成本为零，借款和贷款都可以在一个单一的短期恒定利率下进行，并且一只股票的波动率是恒定的，这意味着该股票的未来价格遵循对数正态分布。我还做了其他一些简化假设。其中一些结果在后来的工作中证明是不必要的。

我的公式是这样的：认股权证的预期收益应该依赖于认股权证的风险（注解：意思是 $\mathrm{d}S${\rm d}S 会依赖有一个Brown运动项 $\mathrm{d}w${\rm d}w ），这与股票的预期收益依赖于股票的风险是一样的。我将这个资产定价模型应用于认股权证生命期中的每一个时刻(注解：就是从建立微分方程出发），针对每一种可能的股票价格和认股权证价值。换句话说，我使用资产定价模型来写下认股权证的贴现率如何随时间和股票价格而变化。

这给了我一个微分方程。这是一个关于认股权证公式的方程。如果我们使用认股权证在到期时的已知值以及当时我还不知道的另一个条件，它就只有一个解。

我花了很多很多天试图找到那个方程的解。我有应用数学的博士学位，但从未在微分方程上花太多时间，所以我不知道用于解决此类问题的标准方法。我有物理学的文学学士学位，但我没有将这个方程认作是“热方程”的一个版本，而热方程有众所周知的解。

-------- 注解

方程（6）是一个反向的热传导方程，其中 $\mathrm{\partial }V/\mathrm{\partial }t$\partial V/\partial t 与 ${\mathrm{\partial }}^{2}V/\mathrm{\partial }{S}^2$\partial^2V/\partial S^2 的符号是相同的。求解时是已知终点条件 $V_T$V_T 来求初始值 $V_0$V_0 。这与常规的正向热传导方程式不一样的。估计这一点让Black困惑了。

注解结束----------

我确实注意到原始方程中的一些因素不在最终方程中。认股权证的价值似乎并不区别股票的风险中，那部分可分散掉，那部分是不可分散的。它只取决于股票的总风险（例如，通过股票回报的标准差来衡量）。认股权证的价值不依赖于股票的预期回报（注解：就是 $\mu$\mu 不出现在微分方程式（6）中），也不依赖于任何其他资产的预期回报。这让我很着迷。

但我仍然无法得出这个解答的公式。所以我把这个问题搁置一边，去做其他事情了。

在 1969 年，M. Scholes在麻省理工学院，而我在波士顿附近有自己的办公室，在那里我既做研究也做咨询（在美国，Consulting表示到其他公司去做领工资的工作）。Scholes邀请我和他一起参与麻省理工学院的一些研究活动。从那开始，我们一起研究期权问题并且取得了迅速的进展。

定价公式

首先，我们专注于期权公式将取决于基础股票波动率的这一因素——而不是其预期回报。这意味着我们可以使用股票的任何预期回报来解决这个问题。

我们决定尝试假设股票的预期回报等于利率。（我们假设利率是恒定的，所以短期和长期利率是相等的。）换句话说，我们假设股票的贝塔系数为零；它所有的风险都可以被分散掉。

-------- 注解

这应该是推理上的一个飞跃：既然微分方程（6）和定价条件（1）都不依赖与 $\mu$\mu , 最终解答也会与 $\mu$\mu 无关，所以 $\mu$\mu 取什么值都无所谓的，所以就简单取为利率 $r$r ，并且认为它在 $0\le t\le T$0\le t \le T 内都是一个常数。

注解结束----------

由于我们还假设股票的波动率是恒定的（当以百分比表示时），所以很容易计算出在期权到期时对股票的每一种可能投资价值的可能性。我们知道股票的最终价值（包括再投资的股息）将符合对数正态分布。

-------- 注解

假定 $\mu =r$\mu =r 和波动率 $\sigma$\sigma 为常数之后，代入方程(2)，并积分，得到

$$\begin{array}{}\text{(9)}& S_T=S_0{e}^{(r-\frac{1}{2}{\sigma }^2)T+\sigma w_T}\end{array}$$S_T=S_0\,e^{(r-\frac{1}{2}\sigma^2)T +\sigma w_T} \tag{9} 其中 $\frac{1}{2}{\sigma }^{2}T$\frac{1}{2}\sigma^2T 一项是对Brown运动 $w(t)$w(t) 的Ito积分带来的，没有学过随机分析的同学可以先承认它, 而 $w_T=\sqrt{T}\xi$w_T=\sqrt{T}\xi , 以 $\xi \sim N(0,1)$\xi\sim N(0,1) 为一个高斯分布的随机变量。可见这就是股票 $S$S 在终点 $T$T 时刻的分布了。

注解结束----------

其他关于期权的作者对基础股票也做出了类似的假设。但他们没有假设预期回报等于利率。然而，他们确实假设了一个恒定的预期回报，这意味着对于不支付股息的股票的最终价值是对数正态分布（注解：只要假定 $\mu$\mu 和 $\sigma$\sigma 为常数就可以积分得到这个分布，但后面怎样解释就会有困难）。

如果你知道股票最终价值的分布，你可以在期权的行权价格处将其截断，从而得到期权最终价值的分布。该截断分布的期望值就会给你期权预期的最终价值。

-------- 注解

将（9）代入（1）得到期权的终点分布

$$\begin{array}{}\text{(9)}& V_T=max(S_0{e}^{(r-\frac{1}{2}{\sigma }^2)T+\sigma \sqrt{T}\xi }-K,0)\end{array}$$V_T=\max (S_0\,e^{(r-\frac{1}{2}\sigma^2)T +\sigma \sqrt{T} \xi} - K,\, 0) \tag{9}取数学期望值得到期权的预期的最终价值为

$$\begin{gathered} \begin{array}{}\text{(10)}& {\displaystyle {\overline{V}}_T=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{V}_T\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{1}{2}{\xi }^2}\mathrm{d}\xi } \\ {\displaystyle =\underset{(r-\frac{1}{2}{\sigma }^2)T+\sigma \sqrt{T}\xi \ge \ln (K/S_0)}{\int }(S_0{e}^{(r-\frac{1}{2}{\sigma }^2)T+\sigma \sqrt{T}\xi }-K)\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{1}{2}{\xi }^2}\mathrm{d}\xi }\end{array} \end{gathered}$$\displaystyle \bar{V}_T = \int\limits_{-\infty}^{\infty} V_T \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}\xi^2} {\rm d} \xi \tag{10} \\[10mm] \displaystyle=\int\limits_{(r-\frac{1}{2}\sigma^2)T+\sigma \sqrt{T}\xi \,\ge\,\ln(K/S_0)}\Big( S_0\,e^{(r-\frac{1}{2}\sigma^2)T +\sigma \sqrt{T} \xi} - K\Big)\frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}\xi^2} {\rm d} \xi

完成积分后为

$$\begin{array}{}\text{(11)}& {\overline{V}}_T={\displaystyle S_0{e}^{rT}N(d)-KN(d-\sigma \sqrt{T})}\end{array}$$\bar{V}_T = \displaystyle S_0e^{rT}N(d) - K N(d-\sigma\sqrt{T}) \tag{11} 其中 $N(x)$N(x) 和 $d$d 由公式 (8) 给出。

注解结束----------

C. Sprenkle 的一篇文章也提出了一个在这些相同假设下期权预期最终价值的公式，但他允许股票有任何恒定的预期回报。通过将股票收益回报的利率代入他的公式，就可以得到期权的预期最终价值。

但是，我们并不想要期权的预期终值。我们想要的是期权的现值。包括在期权到期前的某个时间的价值。所以，我们必须找到一种方式来将期权的预期终值折现到现在。

相当突然地，它来到了我们心中。我们正在寻找一个将期权价值与股票价格相关联的公式。如果股票的预期收益等于利率，那么期权的预期收益也将等于利率。毕竟，如果所有股票的风险都可以被分散，那么所有期权的风险也可以被分散。如果股票的贝塔值为零，那么期权的贝塔值也为零。

如果该选项的期望回报始终等于利率，那么将我们从选项的预期未来价值引导到其现值的折现率将始终是利率。折现率不会取决于时间或股票价格，就像如果股票的预期回报不是利率时那样。

因此，我们以恒定的利率折现期权的预期终值，以获得期权的现值。然后，我们采用Sprenkle的公式，将利率作为股票的预期回报率，再将利率作为期权的折现率。我们有了我们的期权公式。

-------- 注解

期权在 $t=T$t=T 时刻的价值为（11）式，在今天 $t=0$t=0 值多少钱呢？因为是期权的价值，按常规都想着找一个 $\mu$\mu 来贴现。他们突然想到可以使用利率 $r$r 作为贴现利率，从而贴现因子就是 $e^{-rT}$e^{-rT} ，期权现值为

$$\begin{array}{}\text{(11)}& V_0={\overline{V}}_T{e}^{-rT}={\displaystyle S_{0}N(d)-K{e}^{rT}N(d-\sigma \sqrt{T})}\end{array}$$V_0=\bar{V}_Te^{-rT} = \displaystyle S_0N(d) - K e^{rT}N(d-\sigma\sqrt{T}) \tag{11} 这样，就得到了解答公式（7）。

注解结束----------

我们将公式与微分方程进行了对照，果然，它是符合的。我们知道它是正确的。稍作改动，我们也得到了看跌期权的公式。

-------- 注解

就是将公式（11）的 $T,S_0,V_0$T,S_0,V_0 分别换成 $T-t,S_t,V_t$T-t,S_t,V_t , 然后代入微分方程（6），验证它们满足方程，确认是一个解答。

看跌期权也是一个金融产品，它给您在未来某个时间，以现在确定好的价格来卖出股票的权利，期权的收益记为

$$\begin{array}{}\text{(12)}& V_T=max(K-S_T,0)\end{array}$$V_T=\max(K-S_T,\,0) \tag{12}

求解的微分方程是一样的。

注解结束----------

努力出版

我们的首要想法是发表一篇描述这个公式的论文。（后来，我们也考虑试图利用这个公式通过期权和认股权证交易赚钱。）当我们在撰写论文时，我们与也在研究期权评估的R. Merton进行了长时间的讨论。

Merton提出了一些建议，这些建议改进了我们的论文。特别是，他指出，如果你假设在期权或股票中进行连续交易，你可以在它们之间保持一个连续的风险中性的比例。在论文的最终版本中，我们以这种方式推导出了公式，因为它似乎是最通用的推导。

Merton也开始研究关于期权公式方面的论文。他能够证明，除了其他重要的观点，如果你不希望公式中的利率是常数，你应该使用一个与期权同时到期的债券的收益率。

-------- 注解

Merton得到的公式是在远期测度下成立的， 变量不是今天的 $S_0$S_0 , 而是 $T$T 时刻的远期价格 $S_T$S_T 。在很多市场上式有远期价格的连续报价。股指期货市场的报价就是一个远期价格。Merton的公式中，利率就可以不再是一个常数。

注解结束----------

Scholes和我开始考虑将公式应用于计算风险公司债券和普通股的价值。Merton也开始思考这个问题，但我们俩都没有告诉对方。我们都在撰写关于公式的论文，所以处于一种竞争与合作的混合状态。1970年夏天，Scholes和我在由富国银行赞助的资本市场理论会议上提供了我们论文的早期版本。我们当时讨论了企业金融的应用。 Merton也参加了会议，但在我们发表演讲的那天早上他睡过头了，因此直到后来我们才发现我们都在研究企业金融应用的课题。

我们描述期权公式的第一份幸存草稿（1970年10月）被称为“期权、认股权证和其他证券的理论估值公式”。我将其发送到了政治经济学杂志，但马上收到了一封拒信。他们说，它对他们来说太专业了，更适合在金融杂志上发布。然后，我将其发送到了经济统计评论，也很快收到了另一封拒信。他们说他们收到的论文太多了，只能发表少数论文。这两家杂志都没有审查过这篇论文。

我怀疑这些期刊之所以不重视这篇论文的一个原因是我的非学术回邮地址。无论如何，我们重写了这篇论文，强调了公式推导背后的经济学原理。下一份草案（日期为1971年1月）被称为“资本市场均衡理论与企业负债的定价”。

芝加哥大学的M. Miller 和 E. Fama 对这篇论文产生了兴趣。他们对这份草案进行了深入的评论，并向政治经济学杂志（该杂志在那里出版）建议，也许这篇论文值得更严肃的考虑。1971年8月，该杂志接受了这篇论文，但有一个附加条件，必须根据审稿人的建议进一步修改文章。

论文的最后草稿（日期为1972年5月）被称为“期权和公司负债的定价”。它发表在1973年5月/6月的政治经济学杂志上。与此同时，我们写了一篇关于公式一些实证测试结果的论文。该文发表在1972年5月的财务杂志上。

测试公式

当我们在撰写论文，讲述这个公式时，我们也开始寻找方法在真实的证券上测试它。我们从认股权证开始。

我们估算了一组有未到期认股权证的公司股票的波动率。我们以一种简单的方式将公式应用于这些认股权证，忽略了认股权证与期权的一些不同之处。我们注意到有几个认股权证看起来是非常好的买入机会。其中，National General 的新认股权证似乎是所有中最值得买入的。

Scholes、Merton和我以及其他人立刻投身其中，并购入了一堆这样的认股权证。开始一段时间，看起来我们是买对了。然后想不到有一家名为美国金融的公司宣布了对 National General 股票的进行收购。收购条款中大幅降低了认股权证的价值。换句话说，我们公式的估值太高了，市场知道一些我们的公式不知道的事情。市场知道这样的收购是否有可能或很可能发生的。这就是为什么认股权证的价格看起来如此之低。尽管我们的交易结果不太好，没有赚到钱，但这一事件有助于验证该公式。市场出现偏差是有非常充分的理由的。

它还阐述了一个一般规则。我们这个公式， 和我们代入公式的波动性估计始终是基于手头的信息的。市场上总会有某些我们不了解的信息，直接影响期权和认股权证的价值。有时，公式给出的值会比市场价格更好；其他时候，市场价格会比公式的值更好。

在接下来的一组测试中，我们再次了解到了那条规则。Scholes的一名学生从场外期权市场的一位经纪人给客户卖出期权所收到的一批期权费数据。该数据涵盖了好几年的时间段。

我们使用该公式，以及一些简单的波动率估计，来测试交易规则。我们想弄清楚：假如当时我们用低于公式计算的那些价格购买期权，用高于公式计算的那些价格卖出期权，我们可以赚多少钱。

忽略交易成本，我们的利润似乎相当可观。由于这些是场外期权，我们假设头寸持有至到期。为了突出利润和损失，我们将每个期权头寸与不断变化的股票头寸相结合，始终创造了一个接近无风险的对冲。利润稳定在每份合约每天约 50 美分左右。然而，场外期权市场的交易成本（注解：如买卖价差与税收）很容易抹去这些利润。

我们还尝试假设，我们按照公式给出的值，而不是市场价格，买入了定价过低（即市场价低于公式价）的期权，卖出了定价过高的期权。然后，我们每天每份合约的损失约为50美分。换句话说，公式似乎有市场没有的一些信息，但市场也有公式没有的同样多的信息。

-------- 注解

估计Black的意思是：计算得到的盈亏的方向是对的，但数量不够覆盖交易成本。

注解结束----------

我们的发现并不意味着如果你使用公式进行交易就会亏损。如果你按照市场价格交易，你可以从市场的信息中获益。但是，坚持按照公式给出的价值进行交易并不是一个好主意。市场可能因为一些公式无法考虑的原因来运转。

后来，在芝加哥期货交易所开始挂牌进行期权交易后，D. Galai在芝加哥大学写了一篇博士论文，他在其中测试了基于该公式的交易规则。忽略交易成本，他发现在上市期权交易中的利润远大于我们在场外期权交易中发现的利润，因为他假设每当期权定价过低或过高时，期权的持仓都会发生变化。

例如，他测试了持续保持风险中性的价差期权的盈利能力。中性价差期权是在同一股票上的一个期权的多头头寸与另一个期权的空头头寸的组合，该头寸接近于无风险。要维持风险中性，你需要随着股票和到期时间的变化，改变你的多头头寸或空头头寸（或两者都）。

Galai使用基于过去的每日股票价格数据的简单波动性估计来计算期权价值。他只有期权的收盘价格，但他试图消除其中的一些扭曲。他假设你通过比较一天的期权价值和收盘期权价格来决定该怎么做，但你在第二天的收盘价格进行交易。如果收盘价格连续两天都在同一方向上被扭曲，那么它们可能仍然会高估你的价格。但是，如果只可能在有利的价格上进行交易，而不是在任何第二天的价格上，那么这将低估你的利润。这种方法也忽略了市场做市商在一天内开启和关闭头寸可以赚取的利润。

Galai研究的价差期权交易是买入被低估的期权的一个合同，并根据维持风险中性的要求，卖出多于或少于一个被高估定价的期权合同。忽略交易成本，平均每天能稳定获得4.00美元或5.00美元的利润。

这听起来像是快速赚钱的方式。但是它确实忽略了交易成本，这对于必须支付零售佣金的人来说尤其高。并且，它假设了在第二天的收盘价进行交易 --- 虽然是一个保守的假设，但仍然可能导致利润被高估。但是，Galai研究的时期是1973年7月至1974年4月。如今，这样的机会已经很难得到了。

今天已经没有这种套利机会的一个原因，是交易员现在广泛地使用这个公式进行交易定价。他们使用它的程度如此之大，以至于即使在应该有很大差异的情况下，例如，现金收购某个公司导致可能会结束期权或权证的生命周期的情况下，市场价格通常仍然也接近公式值。

Fisher Black 在去世之前是纽约高盛公司量化策略组的合伙人和总监。这篇文章的短版本出现在《当前内容/社会与行为科学》Vol. 19，No. 33，（1987年），由位于宾夕法尼亚州费城19014的科学信息研究所出版。本文版权@1989 归高盛公司。