这是用户在 2024-6-3 22:05 为 https://zhuanlan.zhihu.com/p/699805575 保存的双语快照页面,由 沉浸式翻译 提供双语支持。了解如何保存?
首发于杂谈

股票期权定价公式 - 这枚诺贝尔奖章是怎样炼成的?

19 人赞同了该文章
发布于 2024-05-26 18:20・IP 属地上海 ,编辑于 2024-05-26 18:23・IP 属地上海

最近在箱底下找到了Fischer Black生前的一篇文章:How we come up with the Option Formula,介绍他是如何获得股票期权定价公式的。该文没有一个数学符号,估计应该是他在一个会议上的发言稿,并将一个简短的版本发表在1987年的Current Contents/ Social & Behavior Science杂志上。他1995年去世。1997年他的合作同事M. Scholes 和R. Merton因为发现了这个公式获得诺贝尔经济奖。为了纪念他的贡献,他生前工作所在的高盛公司将他的文章发表在Risk杂志上。

现在我将把Black的文章翻译成中文,供同学们学习。因为Black的本科是学习物理的,并拥有应用数学的博士学位,估计除了学金融的同学之外,许多理工科的同学们也会感兴趣。所以我也尽自己的能力,在文中用对一些金融方面的名词和术语做一些解释。如果同学们有更多名词和术语不好理解,也请在评论栏中告诉我,我将尽力而为。本人水平有限,翻译不对的地方,请与附件的英文原文为准。

先解释一下什么是期权。大家可能都买过股票。设市场上某个股票的报价是100元。那您支付100元钱,马上就可以得到一股股票。然后随着时间推移,如果股票涨价了,您将股票卖掉,就赚钱了;反之如果降价,您就亏钱的。期权是一个金融产品,它给您在未来某个时间,以现在确定好的价格来买卖股票的权利。例如您买了一个3个月的看涨期权(Call Option),现在确定好的价格为95元。那么到三个月时,您就有一个用95元购买股票的权利。结果是:如果那时股价涨到105元,您用95元买入,马上用105元卖掉,就赚了10元钱。但如果那时股价掉到95元以下,您就没有必要行权买股票了,直接放弃。用数学公式表示,记时间 t=Tt=T 为3个月,那时的股价为 STS_T ,那么您的期权收益 VTV_T

(1)VT=max(STK,0)V_T=\max(S_T - K,\,0) \tag{1}显然从今天 (t=0)(t=0) 去看, VTV_T 是不确定的,但不会是负值。所以您购买期权的时候,银行不会白送给你,您需要支付一定的费用,即期权费。但银行收您多少期权费为合理呢?这在Black提出那个公式之前是没有人知道的。下面就是Black的文章:

我们是如何提出期权公式的

就像许多伟大的发明一样,它开始于不断摆弄尝试,结束于延迟的认可

作者:Fischer Black

摘要:我和M. Scholes关于期权公式的论文发表在1973年的春天,但在1972年的春天还发表了一篇论文,公布了一些对公式的实践测试的结果。我们从1969年的春天开始推导这个公式的,然而接触这个课题却是从1965年就开始了。以下是这个公式和那篇论文如何形成的故事。

简要回顾

在描述我们发现公式的事件之前,我想讲一下获得这个公式的思想背景。我们想得到一个公式,它能告诉我们,当购买一个股票期权时,期权的价值将如何依赖于基础股票的价格,股票的波动性,期权的执行价格,和期权到期日,以及利率。

我们期望,这样的公式能揭示其他一些问题,例如,当股票价格在短时间内做微小变动时,期权价值会如何变化。假设这个公式告诉我们,当股票上涨1.00美元时,期权约上涨0.50美元,当股票下跌1.00美元时,期权下跌0. 50美元。这样的话,你可以通过做空两个期权合约,并做多一个股票合约,这样来创建一个互相对冲的组合头寸。

注解 ----------

市场上一个合约称为1手,为100股, 做多就是买入,做空就是卖出。在看涨期权合约中,支付费用而买入行使权的一方为做多,合约的对手方为做空。

这里讲的是价值的变化量,并不是价值本身。价值可以很大的,例如股票价格为80美元/股,期权价格为5美元/股。上面这个组合头寸的总价值为100*80-200*5=7000美元。

注解结束----------

显然这个组合头寸是接近无风险的。因为对于股票短期内的小幅移动,你一方面的损失将被另一方面的收益抵消。如果股票上涨,你会在期权上亏损,但可以从股票上补回。如果股票下跌,你会在股票上亏损,但可以从期权上补回。

当然,这个做空两个期权和做多一个股票来建立一个组合头寸,这个2:1=1:0.5的比例不是一成不变的。随着股票价格的变动,以及期权接近到期,为维持接近无风险的对冲所需的期权对股票的比例将会改变。为了维持一个风险中性对冲,您将需要改变在股票中的份额,或者在期权中的份额,或者两者都需要改变。

我们的想法是这样的:对于这样一个无风险的组合头寸,它在每个短期内的收益(注解:也就是上面例子中的7000美元的收益)应该是与短期内无风险存款的利息收益是一样的。根据这个单一定价原则,我们马上就可以得到那个期权公式。事实上,具有这样属性的期权定价公式是唯一的,即一个由期权和股票的组成的风险中性的组合头寸,它回报率总是等于短期利率。

-------- 注解

用数学语言来重述一下这段文字的意思:设 St=S(t)S_t=S(t) 为股票在 tt 时刻的价格,它有个增长率 μ\mu ,波动率 σ\sigma , 随着时间变化 dt{\rm d}t ,股票的相对变化量为

(2)dSS=μdt+σdw\displaystyle\frac{{\rm d}S}{S} = \mu {\rm d}t + \sigma {\rm d} w \tag{2} 其中, wt=w(t)w_t=w(t) 为布朗运动,它在每个时间段 dt{\rm d}t 都是一个正态分布的随机变量,期望值为0,均方差为 dt\sqrt{{\rm d}t} 。这个式子说明,在 dt{\rm d}t 时间内,股票价值有一个确定收益部分 μSdt\mu S {\rm d}t , 和一个有风险的随机增量部分 σSdw\sigma S {\rm d} w, 其中随机部分的值可落在 (,+)(-\infty,+\infty) 上,每一点取值有不同的概率,均值为0,方差为