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2024_07_31_516d987487a86a705f4eg
答案及详解
10 2019年世界数学团体锦标赛
初级答案表
个人赛 第一轮 个人赛第二轮
#1 （四） #1 164
#2 （三）
（二） #2 7
#4 （二）
（二） #3 13
#6 （三）
#7 （三） #4 97
#8 （一）
#9 （一） #5
（三） #6 1
#11 （三）
（二） #7 72
（一）
#14 （三） #8 3
（三）
接力赛
回合 1 15 回合 2 3681 回合 3 1203
团队回合
35 2
2 27
8 5
23 20
22 69
385 24
330 3405

10 2019
年世界数学团体锦标赛青少年个人赛第一轮

指导：本轮有 15 个问题（20 分钟）。
每个问题值 2 分。
提交错误答案不予扣分。
空白答案将被分配 0.5 分。
  1. 计算 .
    （一）
    （二）
    （三）
    （四）
    （五）
答案 ： （D）
  1. 大矩形的哪一部分是阴影的？

（一）
（二）
（三）
（四）
（五）
答案 ： （C）
阴影区域为 .

10 World Mathematics Team Championship 2019
Junior Level Individual Round 1

  1. How many two-digit positive integers have at least one ' 5 ' as a digit?
    (A) 17
    (B) 18
    (C) 19
    (D) 20
    (E) 21
Answer : (B) 18
Suppose we can only use the digits .
  1. The following figure is folded to make a cube. Which letter is opposite to ' M ' on the cube?
G O
W M T
C
(A) G
(B) O
(C) W
(D) T
(E) C
Answer : (B)
W, G, T, and C end up adjacent to M.
  1. . Find the value of .
    (A) 15
    (B) 20
    (C) 25
    (D) 30
    (E) 35
Answer : (B) 20
.
So, is also multiplied by 4 then the answer is .

10 World Mathematics Team Championship 2019
Junior Level Individual Round 1

  1. All sides of the building shown at below meet at right angles. If four of the sides measure 1 meter, 3 meters, 9 meters, and 17 meters as shown, then what is the perimeter of the building in meters?
    建筑物下方显示的所有边都相互垂直。如果四条边的长度分别为 1 米、3 米、9 米和 17 米，那么建筑物的周长是多少米？

（A） 58
（B） 59
（C） 60
（D） 61
（E） 62
答案 ： （C） 60
.
  1. 计算 .
    （一）
    （二）
    （三）
    （四）
    （五）
答案 ： （C）
.

2019
年世界数学团体锦标赛青少年个人赛第一轮

  1. 对立方体的面进行绘制，以便任何两个具有共同边缘的面都必须用不同的颜色进行绘制。所需的最小颜色数量是多少？ （A） 3
    （B） 4
    （C） 5
    （D） 6
    （E） 7
答案 ： （A） 3
考虑两个有共同边缘的面，并用不同的颜色绘制它们。然后是第三个面（在图中阴影），它与这两个面中的每一个都有一个共同的边缘，因此需要第三种颜色。整个立方体现在可能只使用三种颜色绘制相反的面，用相同的颜色绘制。
  1. 的值 等于
    （A） 400
    （B） 402
    （C） 404
    （D） 406
    （E） 408
答案 ： （A） 400
  1. 找到分数的小数点后的第2019位数字 .
    （A） 6
    （B） 4
    （C） 2
    （D） 8
    （E） 5
答案 ： （C） 2
周期长度为 6 和 .
第一个小数位以 6 开头，所以答案是 2。
10 2019年世界数学团体锦标赛

初级个人赛第一轮

  1. 三角形 我们有 和 .如果 平分法 然后 是

（一）
（二）
（三）
（四）
（五）
  1. 找到 的值 .
    （A） 4
    （B） 8
    （C） 16
    （D） 32
    （E） 64
答案 ： （B） 8
  1. 找到 的最后一位数字 .
    （A） 0
    （B） 2
    （C） 4
    （D） 6
    （E） 8

2019
年世界数学团体锦标赛青少年个人赛第一轮

  1. 数字 满足以下三个等式。
求一个正整数 这使得 .
（A） 1
（B） 2
（C） 3
（D） 4
（E） 5
答案 ： （C） 3
从第一个和第三个等式， 等于 .
从第二个等式来看， 等于 .
  1. 计算 .
    （A） 25
    （B） 26
    （C） 27
    （D） 28
    （E） 29

2019
年世界数学团体锦标赛青少年个人赛第二轮

指导：本轮有 8 个问题（40 分钟）。
问题编号 ，6 个各值 4 分。
问题编号 7 和 8 各占 8 分。
提交错误答案不予扣分。
  1. 除以 2 时余数为 3，除以 5 时余数为 4，除以 11 时余数为 10 的最小正整数是多少？

答案 ： 164

如果我们将 1 添加到这样的正整数中，则结果应该可以被 3 ， 5 和 11 整除。这样的最小数字是最小公倍数 因此，满足给定条件的最小正整数为 .
  1. 下图显示了一个圆周为 1 的圆围绕边长为 1 的规则六边形滚动。
当圆围绕六边形滚动一次而不会滑倒时，圆圈闭合了多少个完整的圈？

答案 ： 7

圆在沿着六边形的每一侧滚动时旋转一整圈，在每个角处旋转六分之一圈。
  1. 求出 和 .
（其中 和 是不同的数字，介于 1 和 15 之间）
答案 ： 13
每个分子都是分母的因数之一，分子是 1。15 的因子是 和 15 .使用这些因素，我们不能用三个因素的总和得出 13

2019
年世界数学团体锦标赛青少年个人赛第二轮

因素。所以我们认为另一个分数具有相同的值 喜欢 .
30 的因子是 和 30 .我们可以用三个因子之和得出 26，三个因子是 5,6 和 15。
  1. 上午 08：26 时钟的时针和分针之间的角度是多少度？（请注意，此时钟是模拟 12 小时制时钟。
答案 ： 97
分针每分钟移动 6 度，时针每分钟移动 0.5 度。
  1. 在直角三角形中 ，面积 是 和细分市场 和 垂直于 和段 和 垂直于 ，如图所示。找到阴影区域。

答案 ： 5

因为 是等腰的 和 然后 .同样在 高度 平分法 形成两个相同的三角形， 和 .由于这两个三角形是相同的，因此每个三角形的面积为 .在 和 所以 .因此 也是等腰的 .然后同样，海拔高度 平分法 形成两个相同的三角形， 和 .由于这两个三角形是相同的，因此每个三角形的面积为 .

2019
年世界数学团体锦标赛青少年个人赛第二轮

以这种方式继续下去，该领域 是 ，面积 是 ，面积 是 ，面积 是 ，则为 是 .根据这个过程，面积 是 和 是 .因此，阴影区域为 .
  1. 对于多少对正整数 这样 确实如此 拿？

答案 ： 1

为 ，可以看出 .检查小 表明唯一的解决方案是 .
  1. 九个圆圈的大小都相同。这些圆圈中的每一对都重叠，但没有一个圆恰好位于另一个圆的顶部。这九个圆圈的最大可能交点总数是多少？
答案 ： 72
我们首先注意到，每个圆最多可以与任何其他圆相交两次。首先，画第一个圆圈。然后绘制第二个圆与第一个圆重叠，并创建两个交点。由于每对圆重叠（但并不完全位于彼此的顶部），因此绘制的第三个圆可以与第一个圆相交两次，与第二个圆相交两次。我们以这种方式继续，绘制的每个新圆与先前绘制的每个圆相交两次。也就是说，绘制的第三个圆与前两个圆相交两次，第四个圆与前三个圆相交两次，依此类推。
# 圆圈数 # 新交叉路口 交叉路口总数 #
1 0 0
2 2 2
3
4
5
6
7
8
9
因此，使用九个圆圈的交点的最大可能总数为 .
我们还可以计算出每对两个圆在两个点相交，所以答案是 .
  1. 五名学生写了一个测验，最高分为 60 分。其中四名学生的分数是 和 59 .第五个学生的分数是正整数 .五名学生的平均分（平均值）与五名学生分的中位数相同。有多少个值 可能吗？

答案 ： 3

这五个分数是 和 59 .
如果 ，中位数分数为 53。
如果 ，中位数分数为 56。
如果 然后 是中位数。
我们会尝试每种情况。
中位数为 53 ，因此平均值应为 53 。
由于均值为 53 ，则 5 个分数的总和必须为 .
因此 ，确实小于53。
我们可以检查 ，59 都是 53 。
2）
中位数为 56 ，因此平均值应为 56 。
由于平均值是 56 ，那么 5 个分数的总和必须为 .
因此 ，这确实大于 56 。我们可以检查 ，60 都是 56 。

10 2019
年世界数学团体锦标赛青少年个人赛第二轮

中位数为 ，所以均值应该是 .
由于均值是 ，则 5 个分数的总和必须为 .
因此 ，确实在 53 到 56 之间。我们可以检查 的中位数和平均值 ，59 都是 55 。
因此，有 3 个可能的值 .

2019
年世界数学团体锦标赛青少年接力赛第一轮

R1-A。查找解决方案的数量 自 哪里 是正整数。

答案 ： 5

因为 和 是正整数， 和 .它表明 和 .
如果 所以 .
因此，较小的一个 和 小于或等于 8 ，且大于 4。
通过个案工作，答案是 5 ，所有的解决方案都是

R1-B。T = TNYWR（您将收到的数字）。

面积为 具有与正六边形相同的周长。六边形的面积是多少 ?
答案 ： 15
等边三角形和六边形由 4 个和 6 个较小的全等三角形组成。所以答案是 .

2019
年世界数学团体锦标赛青少年接力赛第二轮

R2-A型。6 个连续奇数的 5 个数字之和是 2019。这六个数字中最大的是多少？

答案 ： 409

六个连续的奇数可以写成 和 .五个数字的总和是 .因为 , 只有在以下情况下才有可能 和 .答案是 .

R2-B型。T = TNYWR（您将收到的数字）。

让 是仅由 9 组成的 T 位数字。求 的位数之和 .
Answer : 3681
\(9 \times 9=81,99 \times 9=891,999 \times 9=8991, \ldots\).
So the sum of the digits of \(9 N=8999 \cdots 991\) with \(T-1\) of 9's is
\(9(T-1)+8+1=3681\)

2019
年世界数学团体锦标赛青少年接力赛第三轮

R3-A型。你写了从 1 到 2019 的所有数字。有多少个“9”加在一起？
答案 ： 602
# 9 的单位数字 ： 202
# 9 的十位数字：200
# 9 的百位数字：200

R3-B型。T = TNYWR（您将收到的数字）。

求 0 到 2 之间分母为 T 的分数之和。
答案：1203
总和是

2019
年世界数学团体锦标赛青少年团体赛

指导：本轮有 14 个问题（40 分钟）。
每个问题值 5 分。
提交错误答案不予扣分。
  1. 如果等腰三角形的两条边的长度是 7 和 14 ，那么这个三角形的周长是多少？

答案 ： 35

由于三角形不等式，边长没有意义。
  1. 正整数的数量是多少 这样 等于其不同正除数的数量，包括 1 和 ?

答案 ： 2

对于质因数分解 ，不同正除数的数目 等于
但 对于任何质数 和一个正整数 除了 和 .因此，唯一可能的值为 （无主要因素）和 .
  1. 整数对的数是多少 满足

答案 ： 8

通过平移对称性，计算整数解的数量就足够了
By casework, one can easily check that the only possible solutions to this is , i.e. there are 8 of them.
  1. From the figure shown, three of the ten squares are to be selected. Each of the three selected squares must share a side with at least one of the other two selected squares. In how many ways can this be done?
    从所示的图中，将选择十个正方形中的三个。必须选择的三个正方形中的每一个必须与另外两个选择的正方形中的至少一个共享一条边。这可以以多少种方式完成？

World Mathematics Team Championship 2019
Junior Level Team Round

Answer : 23

First we recognize that given the conditions for the three selected squares, there are only 6 possible shapes that may be chosen. These are shown below.
To determine the number of ways that three squares can be selected, we count the number of ways in which each of these 6 shapes can be chosen from the given figure.
为确定选择三个正方形的方式数量，我们计算这 6 个形状中每个形状可以从给定图形中选择的方式数。
Shape
Thus, the total ways are .
  1. The answer of Problem #4.
One half of the water is poured out of a full container. Then one third of the remainder is poured out. Continue the process: one fourth of the remainder for the third pouring, one fifth of the remainder for the fourth pouring, etc. After how many pouring, does exactly of the original water remain?
将满容器中的一半水倒出。然后倒出剩下的三分之一。继续这个过程：第三次倒出四分之一的剩余量，第四次倒出五分之一的剩余量，等等。经过多少次倒出后，原始水量中恰好剩下 ？
Answer : 22
After the first pour remains, after the second remains, etc.
This becomes the product .

World Mathematics Team Championship 2019
Junior Level Team Round

Note that the terms cancel out leaving .
Now all that remains is to count the number of terms, as the numerators form an arithmetic sequence with a common difference of 1 and endpoints ( 1,22 ), the number of pouring is 22 .
现在剩下的就是计算项数，因为分子形成一个公差为 1 的等差数列，端点为（1,22），倒数的数量为 22。
  1. A certain positive integer has exactly eight divisors including 1 and itself. Two of its divisors are 35 and 77 . What is the integer?
Answer : 385
and by prime factorization. The least common multiple of 35 and 77 is . We can make sure that 385 has 8 divisors; .

7. The answer of Problem #6.

The perimeter of the rectangle left below is . It is subdivided into six identical rectangle as shown
Find the perimeter of a smaller rectangle.
Answer : 330
Suppose that are row and column of the smaller rectangle, respectively.
The perimeter of a smaller rectangle is
  1. In the six-digit number , each letter represents a digit.
Given that , the value of is

Answer : 2

The units digit of the product is 1 , and so the units digit of must be equal to 1 . Therefore, the only possible value of is 7 .

World Mathematics Team Championship 2019
Junior Level Team Round

Substituting , we get

1ABCD7

Since is carried to the tens column. Thus, the units digit of is 7 , and so the units digit of is 5 . Therefore, the only possible value of is 5 .
Substituting , we get

1 ABC 57

Since is carried to the hundreds column. Thus, the units digit of is 5 and so the units digit of is 4 . Therefore, the only possible value of is 8 .
Substituting , we get
1AB857
Since is carried to the thousands column. Thus, the units digit of is 8 and so the units digit of is 6 . Therefore, the only possible value of is 2 .
Substituting , we get
1A2857
Since , there is no carry to the ten thousands column. Thus, the units digit of is 2 . Therefore, the only possible value of is 4 .
Substituting , we get

142857


Checking, we see that the product is correct,
.

World Mathematics Team Championship 2019
Junior Level Team Round

9. The answer of Problem #8.

There are two classes. In one class, the ratio of the number of boys to the number of girls is 3:4. In the other, this ratio is 2:3. If there are boys in total, find the least possible number of girls.
有两个班。在一个班里，男生人数与女生人数的比例为 3:4。在另一个班里，这个比例为 2:3。如果总共有 个男生，请找出女生人数的最小可能值。

Answer : 27

The following tables give the possible numbers of student in each class. The corresponding numbers of girls are 29,28 , and 27 . The least number of girl that he could have is 27 .
以下表格显示每个班级可能的学生人数。女孩的对应人数为 29、28 和 27。他可能拥有的女孩最少人数为 27。
类 一个 B 总
男孩 6 14 20
女孩 8 21 29
类 一个 B 总
男孩 12 8 20
女孩 16 12 28
类 一个 B 总
男孩 18 2 20
女孩 24 3 27
  1. 有一个八位数字 .该数可以被 7 整除，并且 和 是质数。多少对 和 存在？ 可以具有相同的数字值。

答案 ： 5

如果一个数字的倍数减去该数字的倍数仍然是该数字的倍数，这并不重要。例如
可以通过此过程减少为
再 应该是 7 的倍数。所以 可以是 、67 和 74

2019
年世界数学团体锦标赛青少年团体赛

11. 问题 #10 的答案。

的一点 在一边 三角形的 是这样的 .如果面积 是 ，求出 的面积 在 .

答案 ： 20

如 的比率 和 是 .面积比例 和 与长度之比相同 和 因为高度 和 都是一样的。作为区域 ，所以面积 是 .
  1. 在魔术三角形中，六个整数 20 到 25 中的每一个都放在其中一个圆圈中，以便三角形每边的三个数字的总和 S 相同。S 的最大可能值为

答案 ： 69

设顶部圆圈中的数字为 然后 和 ，按顺时针顺序进行。然后我们有了 和 .将这些方程式相加，我们得到
左侧可以被 3 整除，135 可以被 3 整除，所以 必须能被 3 整除。的最大可能值 是 ，以及 的相应值

2019年世界数学团体锦标赛青少年团体赛

是 .
事实证明，如果你让，这个总和是可以达到的
  1. 每天在学校，乔都会爬6个楼梯。Joe 一次可以走 1、2 或 3 个楼梯。例如，Joe 可以爬 3 个楼梯，然后是 1 个楼梯，然后是 2 个楼梯。
乔可以用多少种方式爬楼梯？

答案 ： 24

爬一个楼梯的方式数量是 1 。有2种方法可以爬两个楼梯 或 2 .
对于3个楼梯，有4种方式： .
对于 4 个楼梯，请考虑它们来自哪个台阶才能降落在第四个楼梯上。他们可以直接从第一个跳起，从 #2 开始做双倍，或者从 #3 开始使用一个步骤。执行这些步骤的方法包括 进入步骤 4 的方法 。
然后可以扩展该模式;4 个步骤： 方式。
5 个步骤： 方式。
6 个步骤： 方式。
  1. 问题 #12 的答案。
T = 问题 #13 的答案。
牙签用于制作网格，即 牙签长和 牙签高。一共使用多少根牙签？
答案 ： 3405
有 70 根竖柱，长度为 24 根牙签，有 25 排横列，长度为 69 根牙签。
因此，我们的答案是 .

WMTC 初级

2020
年11月 个人赛第一轮
  1. D 8
  2. 乙 2500
  3. C 6
  4. C 19
  5. C 5
  6. C 2
  7. C .....9
  8. 一个。。。。。3
  9. B .....3
  10. C .....19
  11. C .....120
  12. B .....430
  13. D .....12
  14. C .....198
  15. E .....625
    个人赛 2
  16. 5
  17. 1700
  18. 16
  19. 12
  20. 5
  21. 2
  22. 10
  23. 15

WMTC 初级

2020 年 11 月

接力赛第一轮

  1. 90
  2. 89

第二轮接力赛

  1. 36
  2. 34

接力赛第三轮

  1. 5
  2. 31

WMTC 初级

2020 年 11 月

团队回合

  1. 60
  2. 66
  3. 1
  4. 10
  5. 8
  6. 15
  7. 22
  8. 60
  9. 29
  10. 24
11.12
12.129
13.16
14.20

团队赛试题说明:

因疫情影响，当年采用 “个人为导向（IO）” 模式组织。团队赛共
14 道题, 比赛中会拆分为 6 套题, 每位同学回答 1 套题 ( 4 个问题/1
套），以下为每套题中问题对应的答案序号。
问题1 问题2 问题3 问题4
#1试题 4 5 6 8
#2试题 1 2 6 7
#3试题 2 8 9 10
#4试题 3 4 10 11
#5试题 1 12 13 14
#6试题 3 12 13 14
2021 年 11 月

个人赛 第一轮

  1. 电话：D 40040
  2. 一个 48
  3. 乙 5
  4. E 2112
  5. 乙 385
  6. 乙 80
  7. C 10
  8. E 6977
  9. A A
  11. 一个 6 英尺 8 英寸。
  12. 乙 94
  13. C 12
  14. C 4
  15. D 814型

个人赛第二轮

  1. 72
  2. 45
  3. 18
  4. 336
  5. 729
  6. 25
  7. 680
  8. 20
WMTC Junior Level
November 2021

Relay Round 1

1A. 24
1B. 10

Relay Round 2

2A. 3
2B. 6

Relay Round 3

3A. 6
3B. 24
WMTC Junior Level
November 2021

Team Round

  1. 81
  2. 4222
  3. 24
  4. 10
  5. 150
  6. 750
  7. 286
  8. 14
  9. 196
  10. 888
11.84
12.90
13.6
14. 7927

团队赛试题说明:

因疫情影响，当年采用 "个人为导向（IO）" 模式组织。团队赛共
14 道题, 比赛中会拆分为 6 套题, 每位同学回答 1 套题 ( 4 个问题/1
套），以下为每套题中问题对应的答案序号。
问题1 问题2 问题3 问题4
#1试题 4 5 6 8
#2试题 1 2 6 7
#3试题 2 8 9 10
#4试题 3 4 10 11
#5试题 1 12 13 14
#6试题 3 12 13 14

JUNIOR LEVEL
November 2021 - Annual WMTC

INDIVIDUAL ROUND 1 (2 Points For Each Correct Answer, (20 Minutes) Points For Each Blank Answer, 0 Point For Each Incorrect Answer)

  1. Compute .
    (A) 40010
    (B) 40020
    (C) 40030
    (D) 40040
    (E) 40050
    (D)     .
  2. 如果您以同一方向行驶 2 个路段（每段长 200 英里），第一段以每小时 40 英里的恒定速度行驶，第二段以每小时 60 英里的恒定速度行驶，您整个旅程的平均速度是多少？ （A） 48
    （B） 49
    （C） 50
    （D） 51
    （E） 52
（A） 第一部分： 小时。第二部分： 小时。平均速度 .
  1. 教室里所有学生的平均数学考试成绩是 81 分。男生平均数学考试成绩为77分，女生平均数学考试成绩为87分。如果这个班级有 27 名男性，并且 是班级中男性和女性之间的比率（减少到最简单的分数），找到 . （A） 3
    （B） 5
    （C） 10
    （D） 15
    （E） 18
（B） 让 男生人数， 女生人数，以及 .
然后 或 .所以 .
因此，男性和女性之间的比例是 和 .
  1. 找出 2021 年所有可能的积极因素的总和。
    （A） 2022年
    （B） 2042年
    （C） 2068年
    （D） 2111年
    （英） 2112年
（五） .因此，2021 年的可能因素包括 1、43、47 和 2021。它们的总和是 .
  1. 大约多少个月是十亿 秒？
    （A） 32
    （B） 385
    （C） 950
    （D） 1650
    （E） 11500
    （B）     秒 纪要 小时 日 月份。
  2. 给定一个六角星形图形，它由 2 个重叠的等边三角形组成，每个三角形的面积为 60，并且构成其 6 个“点”的三角形具有相同的面积。求出这个星形图的面积。

（A） 75
（B） 80
（C） 85
（D） 90
（E） 95
（B） 这 12 个小三角形的大小都相同，它们构成了星星。其中 9 个将形成一个面积为 60 的等边三角形，因此每个小三角形的面积为 .因此，这个星图的面积为 .
  1. 在数字中 ，最后 4 个零称为尾随零。的最终乘积中有多少个尾随零 ?
    （A） 8
    （B） 9
    （C） 10
    （D） 11
    （E） 12
    （C）     . There is a total of zeros.
  2. What is the total number of digits in the numbers from 1 to 2021 ?
    (A) 2021
    (B) 3967
    (C) 5923
    (D) 6577
    (E) 6977
    (E)
    9 位数字

    数字

    数字


    位数 合计     数字。
  3. 计数数字 排列成 5 列，如右图所示。一个
数字 2021 会出现在哪一列字母下？
1 2 3 4 5
10 9 8 7 6
（A） A
（B） B
（C） C
（D） D
（E） E
. . . .
（A） 由于 2021 除以 5 时余数为 1，因此数字 2021 必须位于 A 列或 E 列下，具体取决于 2021 是列在奇数行还是偶数行中。2021年被列入 排 提醒 1 ），因此它必须在列下 .
  1. 一个男人在他的家和办公室之间穿梭。如果他双向骑自行车，他需要 35 分钟。如果他走单向路，在回来的路上骑自行车，他需要 46 分钟。他要花多长时间才能双向走？ （A） 48
    （B） 50
    （C） 70
    （D） 55
    （E） 57
（E） 如果他双向骑自行车，他需要 35 分钟，这意味着 分钟单程。所以，这意味着这需要他 单向步行分钟或双向步行 57 分钟。
  1. 在公制中，1 米 厘米 和 1 厘米 毫米 .在美式/英式系统中，1 英尺 英寸 （in），其中 1 米的长度与 39.37 英寸的长度相同。以下哪一个选项最接近 2 米 2 厘米 9 毫米？ （A） 6 英尺 8 英寸
    （B） 6 英尺 6 英寸
    （C） 6 英尺 9 英寸
    （D） 7 英尺 5 英寸
    （E） 7 英尺 6 英寸
（一） 这相当于 在 .
  1. 43 个连续正整数的总和是 2021。求这 43 个数字中的第一个和最后一个之和。
    （A） 47
    （B） 94
    （C） 26
    （D） 68
    （E） 83
（二）
第一个数字 .最后一个数字 .因此，总和为 .总和也等于 .
  1. 一个人在 70 秒内跑 8.4 米。如果她要保持 100 米的相同速度，那么她 100 米的时间（以秒为单位）是多少？
    （A） 10
    （B） 11
    （C） 12
    （D） 13
    （E） 14
（C） 速度 70 米 距离 时间 .
跑步100米的时间 距离 速度 秒。
  1. 信用卡号中的 14 位数字应写在下面的框中。如果任意三个连续数字之和 （ 连续数字） 为 20，求值 .
9 7
（A） 2
（B） 3
（C） 4
（D） 5
（E） 6
（C） 如果任何三个连续数字的总和为 20，则它们必须出现在长度为 3 的周期内。美国广播公司（ABC）、美国广播公司（ABC）、美国广播公司（ABC）、美国广播公司所以 或 .
  1. 下图由 3 个正方形组成，放置在 40 英寸线段的顶部。中间的正方形分别比其左侧和右侧的正方形高 20 英寸和 21 英寸。求所有三个正方形的面积之和。

(A) 729
(B) 760
(C) 782
(D) 814
(E) 846
(D) Let the middle square be a square. Then the left square is and the right square is . Therefore, or .
The sum of all three areas is .

JUNIOR LEVEL
November 2021 - 12 Annual WMTC

INDIVIDUAL ROUND 2 (#1 - #6 4 Points Each, #7 - #8 8 Points Each)

  1. Given two intersecting circles A and B with radii 7 and 5, respectively. Circle B passes through the center of circle A. Find the absolute difference of the area of A that is outside of B and the area of B that is outside of A. (Use 3 for the value of )
    给定两个半径分别为 7 和 5 的相交圆 A 和 B。圆 B 通过圆 A 的中心。找出 A 的在 B 外部的面积与 B 的在 A 外部的面积的绝对差值。（使用 3 作为 的值）
  2. .
  1. If reducing a number by 18 and then multiply the answer by 18 produces the same result as reducing the original number by 27 and then multiply the answer by 27 , find the original number.
    如果将一个数字减去 18，然后将答案乘以 18 得到的结果与将原始数字减去 27，然后将答案乘以 27 得到的结果相同，请找出原始数字。
  2. .
  3. Four rectangles of identical size plus a square of area 25 make up the large square as shown on figure. If the area of this large square is 81 , what is the perimeter of each of these rectangles?
    四个相同大小的矩形加上一个面积为 25 的正方形组成了如图所示的大正方形。如果这个大正方形的面积是 81，那么这些矩形的周长是多少？
Area of large square or or .
Perimeter of each rectangle .
  1. What is the whole number portion of ?
  2. The exact number of this fraction is between and . So, the whole number portion of this fraction is 336.
  3. The positive integers are grouped as followed:
Find the sum of all numbers in the group that ends in 89 .
  1. The last number from each row and the sum of each sum form the following patterns:
Row 1 1 Sum: 1
Row 2
Row 3
Row 4
Row 5
Row 6
Row 7
Row 8
Row 9
  1. Given 2 identical squares and each of area 100. Place Square on top of Square with corner at the center of . Let and be points where the sides of intersect the sides of . If , find the area of the overlapped four-sided region .
    给定 2 个面积均为 100 的相同正方形 和 。将正方形 放在正方形 的顶部，使角 位于 的中心。让 和 成为 的边与 的边相交的点。如果 ，找出重叠的四边形区域 的面积。
  2. Extend and so that they intersect with sides and , respectively. This would divide the Square into 4 equal sized quadrilaterals and so the area of is equal to of the area of Square . Since area of is 100 , area of is . Note that the length of does not affect the problem.
    扩展 和 ，使它们分别与边 和 相交。这将把正方形 分成 4 个相等大小的四边形，因此 的面积等于正方形 的面积的 。由于 的面积为 100， 的面积为 。请注意， 的长度不影响问题。
  3. Suppose a school is offering 3 sports A, B, and C to all its students. Students may join none, one, two, or all three sports. The following table shows their students' participation in those sports. How many students are in this school?
    假设一所学校为所有学生提供 3 项运动 A、B 和 C。学生可以参加零项、一项、两项或全部三项运动。以下表格显示了学生参与这些运动的情况。这所学校有多少学生？
Students who join no sport 180
Students who join sport A 160
Students who join sport B 210
Students who join sport C 300
Students who join sports A & B 50
Students who join sports B & C 70
Students who join sports A & C 80
Students who join sports A, B, & C 30
  1. Let Number of students who join no sport
Number of students who join just sport A
Number of students who join just sport B
参加just sport C的学生人数
只参加体育运动的学生人数 和 而不是
只参加体育运动的学生人数 和 而不是
只参加运动 A 和 C 而不参加运动 B 的学生人数
参加体育运动的学生人数 和 C
因此，学生总数
.
  1. 给定一个 广场 .让 成为广场的中心 和线段 对角线。如果 是边的中点 ，找到该区域的面积 .
  1. 给定一个 广场 .连接 和 并让 是此扩展与侧的交点 应该是一侧的中点 也。
面积 广场的一半面积 三角形面积 三角形面积

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1A. The figure shown below consists of nine squares, each of side length 4 units. Let be a point located on the side of a square as shown in the figure so that the straight line connecting and divides this figure into two regions with the same area. Find .
1A. 下图所示的图形由九个边长为 4 个单位的正方形组成。让 是位于正方形边上的一个点，如图所示，连接 和 的直线将这个图形分成两个面积相同的区域。找到 。
  1. This figure has an area of . According to the problem, divides this figure in halves.
So, half of area of this figure is
Area of Area of one square which means . Since .
1B. Let TNYWR. Each of the lines drawn on this regular hexagon (6-sided figure) is an axis of symmetry. If the area of hexagon is and points and are the midpoints of the opposite sides, what is the area of shaded region?
1B. 让 TNYWR。在这个正六边形（6 边形）上画的每一条线都是对称轴。如果六边形的面积是 ，点 和 是对边的中点，那么阴影区域的面积是多少？
  1. The area to the right side of the vertical line is . The other line removed of this area. So, the area of the shaded region is .

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2A. Let where is reduced to the simplest fraction. Find .
3.
.
So, .
2B. Let TNYWR. If both the difference and quotient of two numbers are , find the sum of these two numbers.
  1. Let and be these two numbers. According to the problem, and . So, or and . Therefore, .

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3A. How many rectangles of different perimeters but with a common area of 2020? (Sides of these rectangles are all measured in whole numbers)
6. .
Possible rectangles with area 2020 are:
3B. Let . The areas of three adjacent faces of a rectangular box are , and 12 . What is the volume of this rectangular box?
  1. Let , and be edge lengths of this rectangular box. Then, .
So, their product and its volume is since .

初级 2021 年 11 月 - 12 日 年度 WMTC

  1. 求以下产品的数字之和 .
数字之和 .
  1. 一个长方形的木块被2021年小包装 块。如果这个大块在整个外表面上涂成蓝色，那么已经画了多少个小块面？（如果此木块有多个配置，请使用给出最小答案的配置。
  2. .
这些 2021 年的小块有两种配置来形成一个大矩形块。
(1) .这块大块的外表面涂成蓝色后，
画了小块面。
(2) .这块大块的外表面涂成蓝色后，
画了小块面。
  1. 包括 1 和 540,540 的因数总数是多少？
  2. .
1 因素
2 因素
3 个因素
4 个因素
5 个因素
6 个因素
  1. 锐角是 和 .从下图中，假设角度 小于 .使用 5 个线段可以形成多少个锐角 , 和 ?

10.
  1. 让 来自问题 #4 的 TNYWR。给定一个直径的圆 .在圆上选取 4 个点，使这 4 个点是面积最小的正方形的 4 个顶点（角）。现在在圆上选取 2 个点，使这 2 个点是面积最大的正方形的 2 个顶点。求这两个正方形的面积之和。
    让 TNYWR from Problem #4. 给定直径为 的圆。在圆上选取 4 个点，使这 4 个点成为面积最小的正方形的 4 个顶点。现在在圆上选取 2 个点，使这 2 个点成为面积最大的正方形的 2 个顶点。找出这两个正方形的面积之和。
面积之和 .
  1. Let be the number of 4 -digit numbers that are divisible by both 6 and 8 . Find .
  2. and .
Since and , there are 4-digit numbers that are divisible by both 6 and 8 and .
  1. Let TNYWR from Problem #6. A book has less than 1000 pages. In numbering the pages of this book, digits were used. What is the last page number in the book?
  2. Pages 1 to 9 ( 9 digits, 9 pages)
Pages 10 to digits, pages)
第 100 页至 数字 页面
总： 页面。
  1. 从 1 到 100 有多少个数字将 7 作为它们的质因数之一？
  2. （太大） 数字
（太大）， （太大）...5 个数字
（太大）， （太大） 数字 .
  1. 让 来自问题 #8。如图所示，四个圆（每个圆的半径为 T）的排列方式使每个圆正好与其他两个圆相切（恰好在一个点上接触另外两个圆）。求这 4 个圆之间的空间面积（阴影区域）。（假设 ).
    让 from Problem #8. 四个半径为 T 的圆排列在一起，使得每个圆恰好与其他两个圆相切（在一个点上恰好接触其他两个圆），如图所示。找出这 4 个圆之间的空间面积（阴影区域）。（假设 ）。
  1. 将这 4 个圆的中心连接起来，形成一个边的正方形 T.这个正方形由 4 个四分之一圆加上阴影区域组成。由于这个正方形的面积是 而这 4 个四分之一的圆就形成了一个完整的圆，
阴影区域面积 正方形面积 - 圆的面积 .
因为 ，阴影区域的面积为 .
  1. 让 不同不可约分数的数量 哪里 和 是整数，使得 和 .找到 .
888 .
干掉那些甚至有 denom 的人。
取出那些 3 倍数的人。
总数： 和 .
  1. 让 问题 #10 中的 TNYWR。100 和 100 之间的多少个 3 位整数 他们的数字是否严格按照（没有重复的数字）递减顺序？
  2. (1) 210
,
总 .
  1. 五边形的四个外角（5 面多边形） 如下图所示。 的第五个外角是 .找到 .（图未按比例绘制）
  2. （解决方案 1）任何多边形的所有外角的总度量为 .
所以 或
（解决方案 2）使用补充天使。
所以 或 .
  1. 是一个面积为 16 的正方形。让 和 是 的中点 和 分别。
求出的区域 .
  1. 由于广场的面积 是 16 和 和 是 的中点 和 , 和 和面积 面积 正方形的面积，即 .
所以，面积 .因此，面积 是 .
  1. 让 TNYWR 来自问题 和 来自问题 #13 的 TNYWR。找到 左边起的数字 随附的三角形数字模式的行。
  1. 每行最右边的数字 是完美的正方形，所以最正确的数字 row 是 以及 下一行左侧起的数字应为 .
  1. 答案 ： （A） 0
    ，则最后一位数字为 0 。