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Coupled cluster method tailored by quantum selected configuration interaction
量子選択配置相互作用によって調整された結合クラスター法

Luca Erhart, 1 1 ^(1){ }^{1} Yuichiro Yoshida, 1 , ∗ 1 , ∗ ^(1,**){ }^{1, *} and Wataru Mizukami 1 1 ^(1){ }^{1}
ルカ・エアハート、 1 1 ^(1){ }^{1} 吉田雄一郎、 1 , ∗ 1 , ∗ ^(1,**){ }^{1, *} 水上渉 1 1 ^(1){ }^{1} 1 1 ^(1){ }^{1} Center for Quantum Information and Quantum Biology, The University of Osaka, 1-2 Machikaneyama, Toyonaka, Osaka 560-0043, Japan
<大阪大学 量子情報・量子生物学研究センター 〒560-0043 大阪府豊中市待兼山 1-2

(Dated: June 23, 2025)
(日付：2025 年 6 月 23 日）

Abstract  要旨

We present the quantum-selected configuration interaction-tailored coupled-cluster (QSCI-TCC) method, a hybrid quantum-classical scheme that tailors coupled-cluster (CC) theory with a quantum-selected configuration interaction (QSCI) wave function. QSCI provides a scalable, shotefficient approach to reconstructing the many-electron state prepared on quantum hardware on a classical computer. The resulting active-space CI coefficients, which are free from additive shot noise, are mapped to fixed cluster amplitudes within the tailored coupled-cluster framework, after which a conventional CC calculation optimizes the remaining amplitudes. This workflow embeds static (strong) correlation from the quantum device and subsequently recovers dynamical (weak) correlation, yielding a balanced description of both. The method is classically simulated and applied to the simultaneous O − H O − H O-H\mathrm{O}-\mathrm{H} bond dissociation in H 2 O H 2 O H_(2)O\mathrm{H}_{2} \mathrm{O} and the triple-bond dissociation in N 2 N 2 N_(2)\mathrm{N}_{2}. QSCITCC and its perturbative-triples variant, QSCI-TCC(T), provide accurate results even where CCSD or CCSD ( T ) CCSD ( T ) CCSD(T)\operatorname{CCSD}(\mathrm{T}) begin to break down. Shot-count tests for the N 2 ( 6 e , 6 o ) N 2 ( 6 e , 6 o ) N_(2)(6e,6o)\mathrm{N}_{2}(6 \mathrm{e}, 6 \mathrm{o}) active space demonstrate that, with the © correction, chemically sufficient precision ( ≤ 1 kcal / mol ≤ 1 kcal / mol <= 1kcal//mol\leq 1 \mathrm{kcal} / \mathrm{mol} ) is achieved with only 1.0 × 10 5 1.0 × 10 5 1.0 xx10^(5)1.0 \times 10^{5} shots in the strongly correlated regime ( r = 2.2 Å r = 2.2 Å r=2.2"Å"r=2.2 \AAÅ ) - an order of magnitude fewer than required by an earlier matchgate-shadows implementation [J. Chem. Theory Comput., 20, 5068 (2024)]. By pairing resource-efficient quantum sampling with the CC theory, QSCI-TCC provides a promising pathway to quantum-chemical calculations of classically intractable systems.
我々は、量子選択配置相互作用（QSCI）波動関数で結合クラスター（CC）理論を調整するハイブリッド量子古典スキームである量子選択配置相互作用調整結合クラスター（QSCI-TCC）法を発表する。QSCIは、量子ハードウェア上に準備された多電子状態を古典コンピュータ上で再構成するためのスケーラブルで効率的なアプローチを提供する。得られたアクティブ空間 CI 係数は、加法的なショットノイズがなく、調整されたクラスタ結合の枠組みの中で固定クラスタ振幅にマッピングされ、その後、従来のCC 計算によって残りの振幅が最適化される。このワークフローは、量子デバイスから静的相関（強い相関）を組み込み、その後に動的相関（弱い相関）を復元することで、両者をバランスよく記述する。この方法は古典的にシミュレートされ、 H 2 O H 2 O H_(2)O\mathrm{H}_{2} \mathrm{O} の O − H O − H O-H\mathrm{O}-\mathrm{H} 結合解離と N 2 N 2 N_(2)\mathrm{N}_{2} の三重結合解離に同時に適用される。QSCITCCとその摂動-三重結合の変形であるQSCI-TCC(T)は、CCSDや CCSD ( T ) CCSD ( T ) CCSD(T)\operatorname{CCSD}(\mathrm{T}) が壊れ始めるところでも正確な結果を与える。 N 2 ( 6 e , 6 o ) N 2 ( 6 e , 6 o ) N_(2)(6e,6o)\mathrm{N}_{2}(6 \mathrm{e}, 6 \mathrm{o}) 活性空間のショット数テストでは、©の補正により、強相関領域( r = 2.2 Å r = 2.2 Å r=2.2"Å"r=2.2 \AAÅ )では 1.0 × 10 5 1.0 × 10 5 1.0 xx10^(5)1.0 \times 10^{5} ショットで化学的に十分な精度( ≤ 1 kcal / mol ≤ 1 kcal / mol <= 1kcal//mol\leq 1 \mathrm{kcal} / \mathrm{mol} )が得られることが実証された。リソース効率の高い量子サンプリングとCC 理論を組み合わせることで、QSCI-TCCは古典的に難解な系の量子化学計算に有望な道を提供する。

I. INTRODUCTION  I.はじめに

Quantum computers have advanced rapidly, and quantum chemistry is now regarded as one of the most promising applications of quantum computing. The considerable attention to this field originates from the fact that the quantum phase estimation (QPE) algorithm [1,2] can determine eigenstates of the electronic structure Hamiltonian in polynomial time, whereas the best-known classical algorithms scale exponentially [3]. Consequently, reducing the resource cost of fault-tolerant quantum computation has become a central goal of the field [4-9]. Ongoing progress in hardware and algorithms promises to extend quantum-chemical accuracy to a wide range of problems in chemistry and materials science.
量子コンピュータは急速に発展しており、量子化学は量子コンピュータの最も有望な応用分野の一つと考えられている。この分野に大きな注目が集まっているのは、量子位相推定（QPE）アルゴリズム[1,2]が電子構造ハミルトニアンの固有状態を多項式時間で決定できるのに対し、最もよく知られた古典的アルゴリズムは指数関数的にスケーリングする[3]という事実に端を発している。その結果、フォールト・トレラント量子計算のリソース・コストを削減することが、この分野の中心的な目標となっている[4-9]。ハードウェアやアルゴリズムの進歩により、量子化学の精度は化学や材料科学における様々な問題にまで拡大することが期待されている。
In contrast to the long-term, fault-tolerant scenario outlined above, recent demonstrations of quantumchemical calculations using current quantum hardware have steadily approached the accuracy and accessible system sizes of advanced conventional electronic-structure methods. These advances have been enabled by hybrid approaches that embed quantum computationscapturing static (strong) correlation through coherent superpositions - within classical post-Hartree-Fock procedures that recover dynamical (weak) correlation, thus enabling quantitative accuracy. The integration of quantum computation with auxiliary-field quantum Monte Carlo (AFQMC) [10-12] and coupled cluster (CC) [13, 14] exemplifies this strategy.
上記のような長期的でフォールトトレラントなシナリオとは対照的に、現在の量子ハードウェアを用いた最近の量子化学計算の実証実験では、従来の高度な電子構造法の精度と利用可能なシステムサイズに着実に近づいている。このような進歩は、動的相関（弱い相関）を回復する古典的なポストハートリーフォック法の中に、コヒーレントな重ね合わせによって静的相関（強い相関）をとらえる量子計算を組み込んだハイブリッド・アプローチによって可能になった。量子計算と補助場量子モンテカルロ法（AFQMC）[10-12]および結合クラスタ法（CC）[13, 14]の統合は、この戦略の一例である。
CC theory is one of the most successful methods in modern quantum chemistry [ 15 , 16 ] [ 15 , 16 ] [15,16][15,16]. Widely imple-
CC 理論は、現代の量子化学 [ 15 , 16 ] [ 15 , 16 ] [15,16][15,16] で最も成功した手法の一つである。広く実装されている
mented in quantum chemistry software, CC excels at describing dynamical correlation and typically yields high accuracy for single-reference (SR) systems - those lacking significant orbital quasi-degeneracy. Its polynomial computational cost is attractive: CC singles and doubles (CCSD) scales as O ( N 6 ) O N 6 O(N^(6))O\left(N^{6}\right), while the perturbative triples extension, CCSD ( T ) CCSD ( T ) CCSD(T)\operatorname{CCSD}(\mathrm{T}), scales as O ( N 7 ) O N 7 O(N^(7))O\left(N^{7}\right). Further developments, such as linear-scaling CC methods [17-23], have extended CC to relatively small proteins. In addition, CC data now serve as valuable training data for machine learning [ 24 , 25 ] [ 24 , 25 ] [24,25][24,25]. Therefore, CC theory is significant for SR systems and has widespread applicability.
CCは量子化学ソフトウェアに組み込まれており、動的相関の記述に優れ、通常、単一参照(SR)系(軌道の準-縮退が顕著でない系)で高い精度が得られます。計算コストが多項式であることも魅力です：CCシングル＆ダブルス(CCSD)は O ( N 6 ) O N 6 O(N^(6))O\left(N^{6}\right) としてスケールするが，摂動トリプルの拡張である CCSD ( T ) CCSD ( T ) CCSD(T)\operatorname{CCSD}(\mathrm{T}) は O ( N 7 ) O N 7 O(N^(7))O\left(N^{7}\right) としてスケールする。線形スケーリングCC 法[17-23]などのさらなる発展により、CCは比較的小さなタンパク質にまで拡張された。さらに、CCデータは現在、機械学習 [ 24 , 25 ] [ 24 , 25 ] [24,25][24,25] の貴重な学習データとして役立っている。したがって、CC 理論はSRシステムにとって重要であり、広く応用可能である。
However, conventional CC cannot describe multireference (MR) systems, where quasi-degenerate orbitals yield strong correlation. The tailored CC (TCC) method [26,27] addresses this by embedding amplitudes obtained from an MR wave function into the CC ansatz. While early implementations employed complete active space configuration interaction (CASCI) [26, 27], recent studies have incorporated other MR solvers, such as density matrix renormalization group [28, 29] and full configuration interaction quantum Monte Carlo [30, 31], achieving a balanced treatment of strong and weak correlations.
しかし、従来のCCでは、準縮退軌道が強い相関をもたらす多参照(MR)系を記述することができない。テーラードCC(TCC)法[26,27]は、MR 波動関数から得られる振幅をCCアサッツに埋め込むことでこの問題に対処する。初期の実装では完全活性空間配置相互作用（CASCI）[26,27]が採用されていましたが、最近の研究では密度行列繰り込み群[28,29]や完全配置相互作用量子モンテカルロ[30,31]などの他のMRソルバーが取り入れられ、強相関と弱相関のバランスの取れた取り扱いが実現されています。
The integration of quantum computation into TCC has recently been proposed [13, 14]. This provides a significant advantage because it avoids estimating higher-order reduced density matrices (RDMs), which are expensive to obtain on a quantum device [32]. By contrast, the quantum state realized on a quantum computer is reconstructed via state-tomography techniques and converted directly into CC amplitudes. Two initial studies employed computational basis tomography [13] and matchgate shadows tomography [14], demonstrating balanced
最近、量子計算をTCCに統合することが提案されている[13, 14]。これは、量子デバイスで得るには高価な高次の縮小密度行列(RDM)を推定する必要がないため、大きな利点となる[32]。対照的に、量子コンピュータ上で実現される量子状態は、状態トモグラフィ技術によって再構成され、直接 CC 振幅に変換される。計算基底トモグラフィー[13]とマッチゲートシャドウトモグラフィー[14]を用いた2つの初期研究があり、バランスの取れた
accuracy but highlighting the need for efficient sampling from quantum states.
しかし、量子状態からの効率的なサンプリングの必要性を強調している。
Quantum-selected configuration interaction (QSCI) [33] is a scalable state tomography protocol that can work with relatively small shot budgets and is highly flexible. It can be combined with various quantum algorithms, such as the variational quantum eigensolver (VQE) [34] and QPE, to determine the eigenstate of the electronic structure Hamiltonian. QSCI has expanded quantum-classical hybrid calculations to 77 qubits [35], a scale that already enables practical quantum-chemical applications. Note that QSCI has been sometimes referred to as sampling-based quantum diagonalization (SQD) [35]; however, this study treats them as essentially identical. In QSCI, an exact quantum state is not always necessary, which reduces some workloads of quantum devices [33]. Furthermore, the hardness of classical sampling from unitary cluster Jastrow circuits suggests a potential quantum advantage in QSCI [36].
量子選択配置相互作用（QSCI）[33]は、スケーラブルな状態トモグラフィープロトコルであり、比較的小さなショットバジェットで動作し、非常に柔軟である。これは、変分量子固有値解法（VQE）[34]やQPEなどの様々な量子アルゴリズムと組み合わせて、電子構造ハミルトニアンの固有状態を決定することができます。QSCIは、量子-古典ハイブリッド計算を77 量子ビット[35]まで拡張しており、これはすでに実用的な量子化学応用を可能にする規模である。なお、QSCIはサンプリングに基づく量子対角化（SQD）と呼ばれることもあります[35]。QSCIでは、厳密な量子状態は必ずしも必要ではないため、量子デバイスの負荷を軽減することができます[33]。さらに、ユニタリー・クラスター・ジャストロー回路からの古典的なサンプリングの硬さは、QSCIにおける量子的な利点の可能性を示唆しています[36]。
Moreover, QSCI offers a significant advantage: its configuration-interaction (CI) coefficients are free from the additive shot noise that plagues many other tomography schemes. In QSCI, computational-basis states are first sampled from the prepared quantum state; although this sampling is stochastic, it affects only which determinants enter the subspace. The subsequent stepsconstructing the effective Hamiltonian within that subspace and diagonalizing it-are performed exactly. Consequently, the sole error in the CI coefficients stems from subspace truncation, not from statistical noise. This feature contrasts sharply with computational basis tomography (sampling) [37] and classical shadows methods [3840], both of which propagate shot noise directly into the reconstructed state. A noise-free wave function is particularly beneficial for downstream classical algorithms. For example, a quantum-classical hybrid quantum Monte Carlo method was performed stably [11], as opposed to additive errors that had prevented stable computation. Therefore, it makes QSCI a powerful partner for advanced correlated wave-function methods.
さらに、QSCIには、他の多くのトモグラフィ方式を悩ませている加法性ショットノイズがない、という大きな利点がある。QSCIでは、まず準備された量子状態から計算基底状態をサンプリングする。このサンプリングは確率的であるが、どの行列式が部分空間に入るかだけに影響する。このサンプリングは確率的であるが、どの行列式が部分空間に入るかだけに影響する。その後のステップは、部分空間内で有効ハミルトニアンを構築し、それを対角化することである。その結果、CI 係数の唯一の誤差は、統計的ノイズではなく、部分空間の切り捨てに起因する。この特徴は、計算基底トモグラフィ（サンプリング）[37]や古典的なシャドウ法[3840]とは対照的で、どちらもショットノイズを直接再構成状態に伝播させる。ノイズのない波動関数は、下流の古典的アルゴリズムにとって特に有益である。例えば、量子-古典ハイブリッド量子モンテカルロ法は[11]、安定な計算を妨げていた加法誤差とは対照的に、安定に実行された。従って、QSCIは高度な相関波動関数法の強力なパートナーとなる。
In this study, we introduce a TCC variant tailored with QSCI (denoted as QSCI-TCC). The QSCI procedure efficiently samples the electronic configurations realized on the quantum device and reconstructs the coherent wave function on a classical computer. This wave function, which captures the strong correlation, is mapped to CC amplitudes; subsequent CC iterations then recover the remaining dynamical correlation. We validate QSCI-TCC on several MR systems, such as the simultaneous bond dissociation in H 2 O H 2 O H_(2)O\mathrm{H}_{2} \mathrm{O} and the triple bond dissociation in N 2 N 2 N_(2)\mathrm{N}_{2}. We further investigate how finite shot measurements affect their accuracy.
本研究では、QSCIを用いて調整されたTCCの変形（QSCI-TCCと呼ぶ）を紹介する。QSCI 法は、量子デバイス上で実現される電子配置を効率的にサンプリングし、古典計算機上でコヒーレント波動関数を再構成する。この波動関数は強い相関を捉え、CC 振幅にマッピングされます。その後のCC 反復により、残りの動的相関が回復されます。われわれは、 H 2 O H 2 O H_(2)O\mathrm{H}_{2} \mathrm{O} の同時結合解離や N 2 N 2 N_(2)\mathrm{N}_{2} の三重結合解離など、いくつかのMR 系でQSCI-TCCを検証した。さらに、有限ショット測定がその精度にどのような影響を与えるかを調べる。
The remainder of this paper is organized as follows. Sec II reviews the TCC and QSCI formalisms and presents an overview of QSCI-TCC. Computational details are given in Sec III. Results are discussed in Sec IV, and Sec V summarizes our contributions and outlines the
本稿の残りの部分は以下のように構成されている。第 II 章では、TCCとQSCIの形式論をレビューし、QSCI-TCCの概要を示す。計算の詳細は第 III 節で述べる。結果は第 IV 節で議論し、第 V 節で我々の貢献を要約し、以下を概説する。
current limitations.  現在の限界

II. COMPUTATIONAL METHODS
II.計算方法

A. Review of tailored coupled cluster
A.テーラード・カップルド・クラスターのレビュー

TCC [ 26 , 27 ] [ 26 , 27 ] [26,27][26,27] factorizes the cluster exponential e T ^ e T ^ e^( hat(T))e^{\hat{T}} as
TCC [ 26 , 27 ] [ 26 , 27 ] [26,27][26,27] はクラスタ指数 e T ^ e T ^ e^( hat(T))e^{\hat{T}} を次のように因数分解する。
| Ψ TCC ⟩ = e T ^ | Ψ 0 ⟩ = e T ^ rest e T ^ active | Ψ 0 ⟩ , Ψ TCC = e T ^ Ψ 0 = e T ^ rest  e T ^ active  Ψ 0 , |Psi_(TCC):)=e^( hat(T))|Psi_(0):)=e^( hat(T)^("rest "))e^( hat(T)^("active "))|Psi_(0):),\left|\Psi_{\mathrm{TCC}}\right\rangle=e^{\hat{T}}\left|\Psi_{0}\right\rangle=e^{\hat{T}^{\text {rest }}} e^{\hat{T}^{\text {active }}}\left|\Psi_{0}\right\rangle,
where | Ψ 0 ⟩ Ψ 0 |Psi_(0):)\left|\Psi_{0}\right\rangle is a reference Slater determinant. The cluster operator is partitioned into an active-space component T ^ active T ^ active  hat(T)^("active ")\hat{T}^{\text {active }}, which acts entirely within the active space, and a remainder T ^ rest T ^ rest  hat(T)^("rest ")\hat{T}^{\text {rest }}. The splitting of the cluster exponential into static and dynamical parts in TCC is similar to that in the mixed-exponentially generated four (MEG4) method of Nakatsuji et al. [41, 42]; however, the subsequent formalism is substantially different.
ここで | Ψ 0 ⟩ Ψ 0 |Psi_(0):)\left|\Psi_{0}\right\rangle は参照スレーター行列式である。クラスターオペレーターは、活性空間内で完全に作用する活性空間成分 T ^ active T ^ active  hat(T)^("active ")\hat{T}^{\text {active }} と余り T ^ rest T ^ rest  hat(T)^("rest ")\hat{T}^{\text {rest }} に分割される。TCCにおけるクラスターエクスポネンシャルの静的部分と動的部分への分割は、Nakatsujiら[41, 42]のMEG4(mixed-exponentially generated four)法と同様であるが、その後のフォーマリズムは大きく異なる。
The split cluster operators are explicitly written as,
スプリットクラスター演算子は、明示的に次のように書かれる、
T ^ active = T ^ 1 active + T ^ 2 active = ∑ i , a t i a a ^ a † a ^ i + ∑ i , j , a , b t i j a b a ^ a † a ^ b † a ^ i a ^ j , i , j , a , b ∈ active space , T ^ active  = T ^ 1 active  + T ^ 2 active  = ∑ i , a   t i a a ^ a † a ^ i + ∑ i , j , a , b   t i j a b a ^ a † a ^ b † a ^ i a ^ j , i , j , a , b ∈  active space  , {:[ hat(T)^("active ")= hat(T)_(1)^("active ")+ hat(T)_(2)^("active ")],[=sum_(i,a)t_(i)^(a) hat(a)_(a)^(†) hat(a)_(i)+sum_(i,j,a,b)t_(ij)^(ab) hat(a)_(a)^(†) hat(a)_(b)^(†) hat(a)_(i) hat(a)_(j)","],[i","j","a","b in" active space "","]:}\begin{aligned} \hat{T}^{\text {active }}= & \hat{T}_{1}^{\text {active }}+\hat{T}_{2}^{\text {active }} \\ = & \sum_{i, a} t_{i}^{a} \hat{a}_{a}^{\dagger} \hat{a}_{i}+\sum_{i, j, a, b} t_{i j}^{a b} \hat{a}_{a}^{\dagger} \hat{a}_{b}^{\dagger} \hat{a}_{i} \hat{a}_{j}, \\ & i, j, a, b \in \text { active space }, \end{aligned}
and  そして
T ^ rest = T ^ 1 rest + T ^ 2 rest = ∑ i , a t i a a ^ a † a ^ i + ∑ i , j , a , b t i j a b a ^ a † a ^ b † a ^ i a ^ j , { i , j , a , b } ⊄ active space , T ^ rest = T ^ 1 rest + T ^ 2 rest = ∑ i , a   t i a a ^ a † a ^ i + ∑ i , j , a , b   t i j a b a ^ a † a ^ b † a ^ i a ^ j , { i , j , a , b } ⊄  active space  , {:[ hat(T)^(rest)= hat(T)_(1)^(rest)+ hat(T)_(2)^(rest)],[=sum_(i,a)t_(i)^(a) hat(a)_(a)^(†) hat(a)_(i)+sum_(i,j,a,b)t_(ij)^(ab) hat(a)_(a)^(†) hat(a)_(b)^(†) hat(a)_(i) hat(a)_(j)","],[{i","j","a","b}⊄" active space "","]:}\begin{aligned} \hat{T}^{\mathrm{rest}}= & \hat{T}_{1}^{\mathrm{rest}}+\hat{T}_{2}^{\mathrm{rest}} \\ = & \sum_{i, a} t_{i}^{a} \hat{a}_{a}^{\dagger} \hat{a}_{i}+\sum_{i, j, a, b} t_{i j}^{a b} \hat{a}_{a}^{\dagger} \hat{a}_{b}^{\dagger} \hat{a}_{i} \hat{a}_{j}, \\ & \{i, j, a, b\} \not \subset \text { active space }, \end{aligned}
where a ^ a † a ^ a † hat(a)_(a)^(†)\hat{a}_{a}^{\dagger} and a ^ i a ^ i hat(a)_(i)\hat{a}_{i} are the creation and annihilation operators for orbitals a a aa and i i ii, respectively, and t i a , t i j a b t i a , t i j a b t_(i)^(a),t_(ij)^(ab)t_{i}^{a}, t_{i j}^{a b} are the CC amplitudes.
ここで、 a ^ a † a ^ a † hat(a)_(a)^(†)\hat{a}_{a}^{\dagger} と a ^ i a ^ i hat(a)_(i)\hat{a}_{i} はそれぞれ軌道 a a aa と i i ii の生成・消滅演算子であり、 t i a , t i j a b t i a , t i j a b t_(i)^(a),t_(ij)^(ab)t_{i}^{a}, t_{i j}^{a b} はCC 振幅である。
In conventional CC theory, the amplitudes are obtained by solving the amplitude equations [43]. In TCC, the amplitudes within the active space are fixed by CI coefficients via
従来のCC 理論では、振幅は振幅方程式を解くことによって得られる[43]。TCCでは、アクティブ空間内の振幅は、CI 係数によって固定される。
T ^ 1 active = C ^ 1 , T ^ 2 active = C ^ 2 − 1 2 C ^ 1 2 , T ^ 1 active  = C ^ 1 , T ^ 2 active  = C ^ 2 − 1 2 C ^ 1 2 , {:[ hat(T)_(1)^("active ")= hat(C)_(1)","],[ hat(T)_(2)^("active ")= hat(C)_(2)-(1)/(2) hat(C)_(1)^(2)","]:}\begin{aligned} & \hat{T}_{1}^{\text {active }}=\hat{C}_{1}, \\ & \hat{T}_{2}^{\text {active }}=\hat{C}_{2}-\frac{1}{2} \hat{C}_{1}^{2}, \end{aligned}
where C ^ 1 C ^ 1 hat(C)_(1)\hat{C}_{1} and C ^ 2 C ^ 2 hat(C)_(2)\hat{C}_{2} are the CI singles and doubles operators. With a constant T ^ active T ^ active  hat(T)^("active ")\hat{T}^{\text {active }}, the remaining amplitudes are solved in the usual CC manner.
ここで、 C ^ 1 C ^ 1 hat(C)_(1)\hat{C}_{1} と C ^ 2 C ^ 2 hat(C)_(2)\hat{C}_{2} はCIのシングルスとダブルスの演算子である。定数 T ^ active T ^ active  hat(T)^("active ")\hat{T}^{\text {active }} で、残りの振幅は通常のCCの方法で解かれます。
In addition to this tailored coupled-cluster singles-anddoubles approach, a perturbative triples ( T ) correction can be introduced [44]. This correction is introduced by setting the active-space amplitudes to zero, thereby preventing the double counting of static correlation.
この調整されたクラスターシングルアンドダブルスアプローチに加えて，摂動的トリプル( T )補正を導入することができる[44]。この補正は活性空間の振幅をゼロにすることで導入され、静的相関の二重計数を防ぐことができます。

B. Review of quantum selected configuration interaction
B.量子選択配置相互作用のレビュー

1. Basic formulation of QSCI
1.QSCIの基本定式化

The QSCI method [33] samples the quantum state prepared on a quantum computer. The resulting configurations { | Φ i ⟩ } Φ i {|Phi_(i):)}\left\{\left|\Phi_{i}\right\rangle\right\} span a subspace of the Fock space, and an effective Hamiltonian
QSCI 法[33]は、量子コンピュータ上で準備された量子状態をサンプリングします。得られた配置 { | Φ i ⟩ } Φ i {|Phi_(i):)}\left\{\left|\Phi_{i}\right\rangle\right\} はフォック空間の部分空間にまたがり、有効ハミルトニアン
H ^ i j eff = ⟨ Φ i | H ^ | Φ j ⟩ H ^ i j eff = Φ i H ^ Φ j hat(H)_(ij)^(eff)=(:Phi_(i)| hat(H)|Phi_(j):)\hat{H}_{i j}^{\mathrm{eff}}=\left\langle\Phi_{i}\right| \hat{H}\left|\Phi_{j}\right\rangle
is constructed and efficiently diagonalized on a classical computer,
が構築され、古典的なコンピュータ上で効率的に対角化される、
H ^ eff | Ψ QSCI ⟩ = E QSCI | Ψ QSCI ⟩ , H ^ eff Ψ QSCI = E QSCI Ψ QSCI , hat(H)^(eff)|Psi_(QSCI):)=E_(QSCI)|Psi_(QSCI):),\hat{H}^{\mathrm{eff}}\left|\Psi_{\mathrm{QSCI}}\right\rangle=E_{\mathrm{QSCI}}\left|\Psi_{\mathrm{QSCI}}\right\rangle,
where E QSCI E QSCI E_(QSCI)E_{\mathrm{QSCI}} is the energy of QSCI. The eigenstate is expressed as
ここで E QSCI E QSCI E_(QSCI)E_{\mathrm{QSCI}} はQSCIのエネルギーである。固有状態は次式で表される。
| Ψ QSCI ⟩ = ∑ i = 1 R c i | Φ i ⟩ , Ψ QSCI = ∑ i = 1 R   c i Φ i , |Psi_(QSCI):)=sum_(i=1)^(R)c_(i)|Phi_(i):),\left|\Psi_{\mathrm{QSCI}}\right\rangle=\sum_{i=1}^{R} c_{i}\left|\Phi_{i}\right\rangle,
where c i c i c_(i)c_{i} is the expansion coefficient of the i i ii th basis state. R R RR is the number of retained configurations, which can be truncated based on the sampling frequency. Thus, the quantum state is faithfully reconstructed on a classical computer.
ここで、 c i c i c_(i)c_{i} は i i ii 番目の基底状態の展開係数である。 R R RR は保持される状態の数であり、サンプリング周波数に基づいて切り捨てることができる。このように、量子状態は古典コンピュータ上で忠実に再構成される。

2. Cartesian product of bitstrings
2.ビット列のデカルト積

Finite shot noise can lead to spin-symmetry breaking in the sampled space. To mitigate this, each sampled determinant can be separated into its α α alpha\alpha - and β β beta\beta-spin parts,
有限のショットノイズは、サンプリングされた空間におけるスピン対称性の破れにつながる可能性がある。これを緩和するために、サンプリングされた各行列式を α α alpha\alpha -と β β beta\beta -スピン部分に分離することができます、
| Φ i ⟩ = | Φ i α ⟩ | Φ i β ⟩ , Φ i = Φ i α Φ i β , |Phi_(i):)=|Phi_(i)^(alpha):)|Phi_(i)^(beta):),\left|\Phi_{i}\right\rangle=\left|\Phi_{i}^{\alpha}\right\rangle\left|\Phi_{i}^{\beta}\right\rangle,
and the Cartesian product can be formed
そしてデカルト積は次のようになる。
{ | Φ ~ k ⟩ } = { | Φ i α ⟩ | Φ j β ⟩ , ∀ i , j ≤ R } , Φ ~ k = Φ i α Φ j β , ∀ i , j ≤ R , {| tilde(Phi)_(k):)}={|Phi_(i)^(alpha):)|Phi_(j)^(beta):),^(AA)i,j <= R},\left\{\left|\tilde{\Phi}_{k}\right\rangle\right\}=\left\{\left|\Phi_{i}^{\alpha}\right\rangle\left|\Phi_{j}^{\beta}\right\rangle,{ }^{\forall} i, j \leq R\right\},
thereby enlarging the subspace spanned by { | Φ ~ i ⟩ } Φ ~ i {| tilde(Phi)_(i):)}\left\{\left|\tilde{\Phi}_{i}\right\rangle\right\} instead of { | Φ i ⟩ } Φ i {|Phi_(i):)}\left\{\left|\Phi_{i}\right\rangle\right\} and increasing the likelihood that all relevant spin eigenfunctions are included [11, 35]. Although this increases the dimension of H ^ eff H ^ eff  hat(H)^("eff ")\hat{H}^{\text {eff }}, it often improves accuracy.
それによって、 { | Φ i ⟩ } Φ i {|Phi_(i):)}\left\{\left|\Phi_{i}\right\rangle\right\} の代わりに { | Φ ~ i ⟩ } Φ ~ i {| tilde(Phi)_(i):)}\left\{\left|\tilde{\Phi}_{i}\right\rangle\right\} によってスパンされる部分空間を拡大し、すべての関連するスピン固有関数が含まれる可能性を高めます[11, 35]。これは H ^ eff H ^ eff  hat(H)^("eff ")\hat{H}^{\text {eff }} の次元を増加させますが、しばしば精度を向上させます。
To ensure spin adaptation, we treat the union of the determinants sampled for the α α alpha\alpha - and β β beta\beta-spin sectors as the configuration set for each spin. Whenever a determinant of the form Eq. (9) is sampled, the subspace is enlarged by adding its spin-swapped partner | Φ i ′ ⟩ Φ i ′ |Phi_(i^(')):)\left|\Phi_{i^{\prime}}\right\rangle, defined as
スピン適応を確実にするために、 α α alpha\alpha -と β β beta\beta -スピンセクターのためにサンプリングされた行列式の和を各スピンに対するコンフィギュレーションセットとして扱います。式(9)の行列式がサンプリングされるたびに、部分空間はスピンスワップされたパートナー | Φ i ′ ⟩ Φ i ′ |Phi_(i^(')):)\left|\Phi_{i^{\prime}}\right\rangle を追加することによって拡大されます。
| Φ i ′ α ⟩ = | Φ i β ⟩ | Φ i ′ β ⟩ = | Φ i α ⟩ . Φ i ′ α = Φ i β Φ i ′ β = Φ i α . {:[|Phi_(i^('))^(alpha):)=|Phi_(i)^(beta):)],[|Phi_(i^('))^(beta):)=|Phi_(i)^(alpha):).]:}\begin{aligned} \left|\Phi_{i^{\prime}}^{\alpha}\right\rangle & =\left|\Phi_{i}^{\beta}\right\rangle \\ \left|\Phi_{i^{\prime}}^{\beta}\right\rangle & =\left|\Phi_{i}^{\alpha}\right\rangle . \end{aligned}

C. QSCI-TCC  C.QSCI-TCC

1. Overview  1.概要

The proposed QSCI-TCC scheme performs a TCC calculation using a QSCI wave function (Fig. 1). First, a quantum algorithm such as VQE or QPE prepares the strongly correlated active-space wave function | Ψ Q C active ⟩ Ψ Q C active  |Psi_(QC)^("active "):)\left|\Psi_{Q C}^{\text {active }}\right\rangle (Fig. 1 (a)). Repeated measurements yield bitstrings from which QSCI reconstructs | Ψ QSCI active ⟩ Ψ QSCI  active  |Psi_("QSCI ")^("active "):)\left|\Psi_{\text {QSCI }}^{\text {active }}\right\rangle on a classical computer (Fig. 1 (b)). Finally, | Ψ QSCI active ⟩ Ψ QSCI active  |Psi_(QSCI)^("active "):)\left|\Psi_{\mathrm{QSCI}}^{\text {active }}\right\rangle is mapped to CC amplitudes, e T ^ active e T ^ active  e^( hat(T)_("active "))e^{\hat{T}_{\text {active }}} is formed, and the remaining amplitudes are optimized while keeping the active-space amplitudes fixed (Fig. 1 ©).
提案するQSCI-TCCスキームは、QSCI 波動関数を用いてTCC 計算を行う（図 1）。まず、VQEやQPEなどの量子アルゴリズムにより、強相関活性空間波動関数 | Ψ Q C active ⟩ Ψ Q C active  |Psi_(QC)^("active "):)\left|\Psi_{Q C}^{\text {active }}\right\rangle を準備する（図 1（a））。測定が繰り返されるとビット列が得られ、そこからQSCIが古典コンピュータ上で | Ψ QSCI active ⟩ Ψ QSCI  active  |Psi_("QSCI ")^("active "):)\left|\Psi_{\text {QSCI }}^{\text {active }}\right\rangle を再構成する（図 1 (b)）。最後に、 | Ψ QSCI active ⟩ Ψ QSCI active  |Psi_(QSCI)^("active "):)\left|\Psi_{\mathrm{QSCI}}^{\text {active }}\right\rangle がCC 振幅にマッピングされ、 e T ^ active e T ^ active  e^( hat(T)_("active "))e^{\hat{T}_{\text {active }}} が形成され、アクティブ空間の振幅を固定したまま残りの振幅が最適化される（図 1 ©）。

2. The (c) correction
2.c）補正

Because TCC at the singles-and-doubles level includes only up to second-order excitations, mapping CI coefficients to CC amplitudes introduces an error in the QSCITCC energy E QSCI − TCC E QSCI − TCC E_(QSCI-TCC)E_{\mathrm{QSCI}-\mathrm{TCC}}. Two main sources contribute to this error: (i) the neglect of triples or higher excitations and (ii) an incomplete set of determinants in QSCI. To compensate, a corrected energy
一重二重励起レベルのTCCは二次励起までしか含まないので、CI 係数をCC 振幅にマッピングするとQSCITCCのエネルギー E QSCI − TCC E QSCI − TCC E_(QSCI-TCC)E_{\mathrm{QSCI}-\mathrm{TCC}} に誤差が生じる。この誤差には2つの主な原因がある：(i)3 倍以上の励起の無視、(ii)QSCIの不完全な行列式のセット。これを補うために、補正されたエネルギー
E QSCI − TCC ( c ) = E QC active + ( E QSCI − TCC − E QSCI − TCC active ) E QSCI − TCC ( c ) = E QC active  + E QSCI − TCC − E QSCI − TCC active  {:[E_(QSCI-TCC(c))=E_(QC)^("active ")],[+(E_(QSCI-TCC)-E_(QSCI-TCC)^("active "))]:}\begin{aligned} E_{\mathrm{QSCI}-\mathrm{TCC}(\mathrm{c})} & =E_{\mathrm{QC}}^{\text {active }} \\ & +\left(E_{\mathrm{QSCI}-\mathrm{TCC}}-E_{\mathrm{QSCI}-\mathrm{TCC}}^{\text {active }}\right) \end{aligned}
is introduced [13]. Here, E Q C active E Q C active  E_(QC)^("active ")E_{Q C}^{\text {active }} denotes the total energy obtained within the active-space approximation via quantum computing. In this study, we substitute the QSCI analog E QSCI active E QSCI active  E_(QSCI)^("active ")E_{\mathrm{QSCI}}^{\text {active }} for E QC active E QC active  E_(QC)^("active ")E_{\mathrm{QC}}^{\text {active }}. The last term,
が導入されている[13]。ここで、 E Q C active E Q C active  E_(QC)^("active ")E_{Q C}^{\text {active }} は、量子計算によって活性空間近似内で得られる全エネルギーを示す。本研究では、QSCIアナログ E QSCI active E QSCI active  E_(QSCI)^("active ")E_{\mathrm{QSCI}}^{\text {active }} を E QC active E QC active  E_(QC)^("active ")E_{\mathrm{QC}}^{\text {active }} に置き換える。最後の項は
E QSCI-TCC active = ⟨ Ψ 0 | H ^ e T ^ active | Ψ 0 ⟩ , E QSCI-TCC  active  = Ψ 0 H ^ e T ^ active  Ψ 0 , E_("QSCI-TCC ")^("active ")=(:Psi_(0)| hat(H)e^( hat(T)^("active "))|Psi_(0):),E_{\text {QSCI-TCC }}^{\text {active }}=\left\langle\Psi_{0}\right| \hat{H} e^{\hat{T}^{\text {active }}}\left|\Psi_{0}\right\rangle,
corresponds to the energy obtained immediately after tailoring, i.e., before the amplitudes outside the active space are optimized.
は、テーラリング直後、つまりアクティブスペース外の振幅が最適化される前に得られるエネルギーに相当する。

III. COMPUTATIONAL DETAILS
III.計算の詳細

This section summarizes the settings used for the numerical evaluation of QSCI-TCC.
このセクションでは、QSCI-TCCの数値評価に使用した設定をまとめる。
We used PySCF 2.2.1 [45, 46] for quantum chemical calculations, including Hartree-Fock (HF), CCSD, CCSD(T), and full configuration interaction (FCI). The basis set used for each calculation is specified individually in the corresponding subsection of Sec. IV.
量子化学計算にはPySCF 2.2.1 [45, 46]を使用し、Hartree-Fock (HF)、CCSD、CCSD(T)、full configuration interaction (FCI)を含む。各計算に使用した基底セットは、Sec.IVの対応するサブセクションに個別に記載されている。
Simulations of quantum computing were performed with Quri-Parts 0.20.3. VQE simulation runs relied on Chemqulacs [47] and used two ansatzes: the disentangled unitary coupled cluster singles and doubles (UCCSD) ansatz [34, 48] and the GateFabric ansatz [49]. Fermionic operators were mapped to qubits using the Jordan-Wigner transformation.
量子コンピューティングのシミュレーションは、Quri-Parts 0.20.3で行った。VQEシミュレーションは、Chemqulacs [47]を使用し、2つのアサッツを使用しました。核融合作用素はJordan-Wigner 変換を用いて量子ビットにマッピングした。
FIG. 1: Schematic depiction of QSCI-TCC. (a) A quantum algorithm prepares | Ψ QC active ⟩ Ψ QC active  |Psi_(QC)^("active "):)\left|\Psi_{\mathrm{QC}}^{\text {active }}\right\rangle. (b) QSCI reproduces this state classically as | Ψ QSCI active ⟩ Ψ QSCI active  |Psi_(QSCI)^("active "):)\left|\Psi_{\mathrm{QSCI}}^{\text {active }}\right\rangle. © TCC then recovers the dynamical correlation.
図 1：QSCI-TCCの模式図。(a) 量子アルゴリズムが | Ψ QC active ⟩ Ψ QC active  |Psi_(QC)^("active "):)\left|\Psi_{\mathrm{QC}}^{\text {active }}\right\rangle を準備する。 (b) QSCIはこの状態を | Ψ QSCI active ⟩ Ψ QSCI active  |Psi_(QSCI)^("active "):)\left|\Psi_{\mathrm{QSCI}}^{\text {active }}\right\rangle として古典的に再現する。
We performed the 10 7 10 7 10^(7)10^{7} shot measurements for sampling quantum states in the investigation of energy curves in Sec. IV A. The influence of shot count is analyzed in detail in Sec. IV B. Effective Hamiltonians generated by QSCI were diagonalized using the kernel_fixed_space function in PySCF.
QSCIで生成した有効ハミルトニアンはPySCFのkernel_fixed_space 関数を用いて対角化した。

IV. RESULTS AND DISCUSSION
IV.結果と考察

A. Bond dissociation  A.結合解離

We benchmark QSCI-TCC on two prototypical strongcorrelation problems: the simultaneous dissociation of both O − H O − H O-H\mathrm{O}-\mathrm{H} bonds in H 2 O H 2 O H_(2)O\mathrm{H}_{2} \mathrm{O} and the triple bond dissociation in N 2 N 2 N_(2)\mathrm{N}_{2}. These systems are widely used to test methods designed for MR situations.
H 2 O H 2 O H_(2)O\mathrm{H}_{2} \mathrm{O} における O − H O − H O-H\mathrm{O}-\mathrm{H} 両結合の同時解離と N 2 N 2 N_(2)\mathrm{N}_{2} における三重結合の解離である。これらの系はMRの状況を想定した手法のテストに広く使われている。

1. Simultaneous dissociation of the OH bonds in H 2 O H 2 O H_(2)O\mathrm{H}_{2} \mathrm{O}
1. H 2 O H 2 O H_(2)O\mathrm{H}_{2} \mathrm{O} のOH 結合が同時に解離する。

Figure 2 (a) shows the potential energy curves for the simultaneous stretching of the two O − H O − H O-H\mathrm{O}-\mathrm{H} bonds. Starting from the HF baseline, static correlation within the (8e, 6o) active space is introduced and captured. Both active-space QSCI and VQE lower the energy relative to HF, and the resulting gap widens as the bond lengths r r rr become larger.
図 2(a)は、2つの O − H O − H O-H\mathrm{O}-\mathrm{H} 結合の同時伸長に対するポテンシャルエネルギー曲線を示している。HFベースラインから出発して、(8e, 6o)活性空間内の静的相関が導入され、捕捉される。活性空間 QSCIとVQEの両方がHFに比べてエネルギーを下げ、その結果、結合長 r r rr が大きくなるにつれてギャップが広がる。
The subsequent TCC calculations incorporate dynamical correlation from the remaining orbitals, further lowering the energy across the entire region.
その後のTCC 計算では、残りの軌道からの動的相関が組み込まれ、領域全体のエネルギーがさらに低下する。
We also plot CCSD, CCSD(T), and exact FCI energies for comparison. Their curves are nearly indistinguishable from the QSCI-TCC curves; however, CCSD ( T ) CCSD ( T ) CCSD(T)\operatorname{CCSD}(\mathrm{T}) begins to depart from the others at approximately r = 2.0 Å r = 2.0 Å r=2.0"Å"r=2.0 \AAÅ.
比較のためにCCSD、CCSD(T)、正確なFCIエネルギーもプロットした。これらの曲線はQSCI-TCCの曲線とほとんど区別がつかない。しかし、 CCSD ( T ) CCSD ( T ) CCSD(T)\operatorname{CCSD}(\mathrm{T}) は約 r = 2.0 Å r = 2.0 Å r=2.0"Å"r=2.0 \AAÅ で他の曲線から離れ始める。
Fig. 2 (b) shows the deviation from FCI. Although CCSD(T) begins to diverge from the FCI reference at approximately r = 2.0 Å r = 2.0 Å r=2.0"Å"r=2.0 \AAÅ, the QSCI-TCC(T) error remains almost flat over the entire range. This indicates that the static correlation captured in the QSCI wave function stabilizes the description even at large bond separations. The difference between the CCSD and corresponding QSCI-TCC energy error curves highlights the
図 2(b)はFCIからの乖離を示している。CCSD(T)は約 r = 2.0 Å r = 2.0 Å r=2.0"Å"r=2.0 \AAÅ でFCI 基準から乖離し始めるが、QSCI-TCC(T)の誤差は全範囲でほぼ平坦なままである。このことは、QSCI 波動関数に取り込まれた静的相関が、大きな結合間隔でも記述を安定させていることを示している。CCSDと対応するQSCI-TCCのエネルギー誤差曲線の違いは、以下の点を強調しています。
effect of amplitude embedding; both are accurate for this system. The additional © correction alters the energies only marginally and is therefore negligible here.
この系ではどちらも正確である。この系ではどちらも正確である。追加の©補正はエネルギーをわずかに変えるだけなので、ここでは無視できる。

2. Triple-bond dissociation in N 2 N 2 N_(2)N_{2}
2. N 2 N 2 N_(2)N_{2} における三重結合解離。

Fig. 3 (a) presents the potential energy curves for the dissociation of the triple bond in N 2 N 2 N_(2)\mathrm{N}_{2}. Similar to H 2 O H 2 O H_(2)O\mathrm{H}_{2} \mathrm{O}, static correlation recovered within the ( 6 e , 6 o 6 e , 6 o 6e,6o6 \mathrm{e}, 6 \mathrm{o} ) active space is essential for a qualitatively correct description of the dissociation region. Our VQE calculation, which employs a three-layer GateFabric ansatz, fails to produce a smooth energy curve; nevertheless, QSCI delivers a stable result even when the underlying VQE wave function is imperfect. This robustness can be attributed to the fact that the effective Hamiltonian is built from computational basis states that belong to the exact wave function, regardless of the quality of the trial state. All methods that include correlation over the full set of orbitals - such as QSCI-TCC and its variants, CCSD(T), and the semistochastic heat-bath CI (SHCI) reference - converge to an essentially common curve on the scale of Fig. 3 (a). The only exception is that CCSD underestimates the energy. The referential SHCI data are taken from Ref. [50].
図 3(a)は N 2 N 2 N_(2)\mathrm{N}_{2} における三重結合の解離のポテンシャルエネルギー曲線である。 H 2 O H 2 O H_(2)O\mathrm{H}_{2} \mathrm{O} と同様に、( 6 e , 6 o 6 e , 6 o 6e,6o6 \mathrm{e}, 6 \mathrm{o} )活性空間内で回収される静的相関は、解離領域を定性的に正しく記述するために不可欠である。しかし、QSCIはVQEの波動関数が不完全であっても安定した結果を得ることができる。この頑健性は、試行状態の質に関係なく、正確な波動関数に属する計算基底状態から有効ハミルトニアンを構築していることに起因しています。QSCI-TCCとその変種、CCSD(T)、セミストカスティック・ヒートバスCI(SHCI)など、軌道の全セットの相関を含むすべての方法は、図 3(a)のスケールで本質的に共通の曲線に収束します。唯一の例外は、CCSDがエネルギーを過小評価していることである。参考にしたSHCIデータは文献[50]から引用しました。[50].
For further evaluation of accuracy, Fig. 3 (b) shows the energy deviation from SHCI. The CCSD error grows monotonically over the scanned range. In the region from 1.8 to 2.0 Å 2.0 Å 2.0"Å"2.0 \AAÅ, the CCSD ( T ) CCSD ( T ) CCSD(T)\operatorname{CCSD}(\mathrm{T}) error also starts to increase, reflecting the well-known breakdown of CCSD ( T ) CCSD ( T ) CCSD(T)\operatorname{CCSD}(\mathrm{T}) for N 2 N 2 N_(2)\mathrm{N}_{2} dissociation. By contrast, the QSCI-TCC and QSCITCC(T) error curves remain nearly flat, mirroring the behavior already observed for H 2 O H 2 O H_(2)O\mathrm{H}_{2} \mathrm{O}. This stability indicates that the CC amplitudes not only describe dynamical correlation but also successfully incorporate static correlation by embedding the QSCI wave function.
さらに精度を評価するために、図 3（b）にSHCIからのエネルギー偏差を示す。CCSDの誤差はスキャンされた範囲で単調に増加している。1.8から 2.0 Å 2.0 Å 2.0"Å"2.0 \AAÅ の領域では、 CCSD ( T ) CCSD ( T ) CCSD(T)\operatorname{CCSD}(\mathrm{T}) 誤差も増加し始め、これは N 2 N 2 N_(2)\mathrm{N}_{2} 解離に対する CCSD ( T ) CCSD ( T ) CCSD(T)\operatorname{CCSD}(\mathrm{T}) のよく知られた破綻を反映している。対照的に、QSCI-TCCとQSCITCC(T)の誤差曲線はほぼ平坦で、 H 2 O H 2 O H_(2)O\mathrm{H}_{2} \mathrm{O} で観測された振る舞いを反映している。この安定性は、CC 振幅が動的相関を記述するだけでなく、QSCI 波動関数を埋め込むことによって静的相関をうまく取り込んでいることを示している。
Similar to the case of water, the additional © correction has a negligible effect on the resulting energy curves.
水の場合と同様、©補正を加えても、エネルギー曲線に与える影響はごくわずかである。
FIG. 2: (a) Energy curve and (b) energy difference compared to FCI for simultaneous O − H O − H O-H\mathrm{O}-\mathrm{H} bond dissociation in H 2 O H 2 O H_(2)O\mathrm{H}_{2} \mathrm{O} at the cc-pVDZ basis set level. The active space is (8e, 6o), and the ansatz for VQE is the UCCSD ansatz.
図 2: (a) cc-pVDZ 基底セットレベルでの H 2 O H 2 O H_(2)O\mathrm{H}_{2} \mathrm{O} における O − H O − H O-H\mathrm{O}-\mathrm{H} 結合同時解離のエネルギー曲線と(b)FCIと比較したエネルギー差。活性空間は(8e, 6o)で、VQEのアサッツはUCCSDアサッツである。
FIG. 3: (a) Energy curve and (b) energy difference compared to SHCI for N 2 N 2 N_(2)\mathrm{N}_{2} dissociation at the cc-pVTZ basis set level. The active space is (6e,6o). The GateFabric ansatz with three layers is used for VQE.
図 3：(a)cc-PVTZ 基底セットレベルでの N 2 N 2 N_(2)\mathrm{N}_{2} 解離のエネルギー曲線と(b)SHCIとのエネルギー差。活性空間は(6e,6o)。VQEには3 層のGateFabric 解析法を用いた。

B. Dependence on measurement shots
B.測定ショットへの依存

We investigated how the number of measurement shots influences the statistical uncertainty of QSCI-TCC©. The QSCI sampling was varied as 10 3 , 10 4 , 10 5 10 3 , 10 4 , 10 5 10^(3),10^(4),10^(5)10^{3}, 10^{4}, 10^{5}, and 10 6 10 6 10^(6)10^{6} shots, and these measurements were repeated 10 3 10 3 10^(3)10^{3} times independently. All simulations employed a twolayer GateFabric ansatz and (6e, 6o) active space, corresponding to twelve Jordan-Wigner qubits. Two N 2 N 2 N_(2)\mathrm{N}_{2} geometries were considered: r = 1.1 Å r = 1.1 Å r=1.1"Å"r=1.1 \AAÅ, close to the equilibrium bond length, and r = 2.2 Å r = 2.2 Å r=2.2"Å"r=2.2 \AAÅ, far into the strongly correlated regime. Identical configuration sets obtained from repeated measurements were first grouped. Then, a single TCC calculation was performed for each unique set while we separately recorded how many times that set appeared. To restore the spin symmetry, the data were analyzed with and without taking the union of the separated α α alpha\alpha - and β β beta\beta-spin determinants, as shown in Eq. (11).
測定ショット数がQSCI-TCC©の統計的不確かさにどのように影響するかを調べた。QSCIのサンプリングは 10 3 , 10 4 , 10 5 10 3 , 10 4 , 10 5 10^(3),10^(4),10^(5)10^{3}, 10^{4}, 10^{5} ショット、 10 6 10 6 10^(6)10^{6} ショットと変化させ、これらの測定を 10 3 10 3 10^(3)10^{3} 回独立に繰り返した。すべてのシミュレーションは2 層のGateFabricアナザッツと(6e, 6o)活性空間を用い、12 個のJordan-Wigner 量子ビットに対応した。二つの N 2 N 2 N_(2)\mathrm{N}_{2} 幾何学が考慮された： r = 1.1 Å r = 1.1 Å r=1.1"Å"r=1.1 \AAÅ は平衡結合長に近く、 r = 2.2 Å r = 2.2 Å r=2.2"Å"r=2.2 \AAÅ は強相関領域に遠い。繰り返し測定から得られた同一の配置セットをまずグループ化した。次に、それぞれのユニークな集合に対してTCC 計算を行い、その集合が何回現れたかを別々に記録した。スピン対称性を復元するために，式(11)に示すように，分離した α α alpha\alpha -と β β beta\beta -スピン行列式の和を取る場合と取らない場合でデータを解析した。
Fig. 4 summarizes the results. In every panel, the QSCI-TCC© energy converges rapidly as the shot count increases. We observed that the 1.0 × 10 5 1.0 × 10 5 1.0 xx10^(5)1.0 \times 10^{5} shots are sufficient in each condition, but the convergence behaviors differ between the two bond lengths. The details are described below.
図 4はその結果をまとめたものである。どのパネルでも、QSCI-TCC©のエネルギーはショット数が増加するにつれて急速に収束している。各条件において 1.0 × 10 5 1.0 × 10 5 1.0 xx10^(5)1.0 \times 10^{5} ショットで十分であるが、2つの結合長で収束の挙動が異なることが観察された。詳細は後述する。
At the near-equilibrium geometry ( r = 1.1 Å ( r = 1.1 Å (r=1.1"Å"(r=1.1 \AAÅ; Figs. 4 (a) and (b)), the repeated 10 5 10 5 10^(5)10^{5} shot measurements sample 22 grouped subsets with the union option and 41 subsets without the union. The corresponding QSCI-TCC© energies fall into a single bin of width 5.3 × 10 − 4 E h 5.3 × 10 − 4 E h 5.3 xx10^(-4)E_(h)5.3 \times 10^{-4} E_{\mathrm{h}}. Because the molecule is close to equilibrium, a relatively small subset of dominant determinants, such as the HF state, is sufficient. Hence, once the limited set is included, the energy is considered to be determined with high precision.
平衡に近い形状 ( r = 1.1 Å ( r = 1.1 Å (r=1.1"Å"(r=1.1 \AAÅ (図 4(a)と(b))では、 10 5 10 5 10^(5)10^{5} ショットの繰り返し測定は、22のグループ化されたサブセット(ユニオンオプションあり)と41のサブセット(ユニオンなし)をサンプリングします。対応するQSCI-TCC©エネルギーは幅 5.3 × 10 − 4 E h 5.3 × 10 − 4 E h 5.3 xx10^(-4)E_(h)5.3 \times 10^{-4} E_{\mathrm{h}} の1つのビンに収まります。分子は平衡に近いので、HF 状態のような支配的な決定基の比較的小さなサブセットで十分である。従って、一旦限られたセットが含まれれば、エネルギーは高精度で決定されると考えられる。
In the strongly correlated regime ( r = 2.2 Å ( r = 2.2 Å (r=2.2"Å"(r=2.2 \AAÅ; Figs. 4 © and (d)), 10 5 10 5 10^(5)10^{5} shots yield only two distinct determinant sets with the union option and one without it. Consequently, each peak in the 10 5 10 5 10^(5)10^{5}-shot histograms of panels © and (d) corresponds to the energy of a single unique subset. The pronounced peak near − 109.04 E h − 109.04 E h -109.04E_(h)-109.04 E_{\mathrm{h}}, for example, arises from a subset containing 361 ( = 19 2 ) 361 = 19 2 361(=19^(2))361\left(=19^{2}\right) configurations. Here, the Cartesian product enlargement allows for a more diverse set of basis states, making 10 5 10 5 10^(5)10^{5} shots sufficient.
強相関領域 ( r = 2.2 Å ( r = 2.2 Å (r=2.2"Å"(r=2.2 \AAÅ (図 4 ©と(d))では、 10 5 10 5 10^(5)10^{5} ショットは、ユニオンオプションのある2つの異なる行列式セットと、ユニオンオプションのない1つのみをもたらします。その結果、パネル©と(d)の 10 5 10 5 10^(5)10^{5} ショットヒストグラムの各ピークは、単一のユニークなサブセットのエネルギーに対応します。例えば、 − 109.04 E h − 109.04 E h -109.04E_(h)-109.04 E_{\mathrm{h}} 付近の顕著なピークは、 361 ( = 19 2 ) 361 = 19 2 361(=19^(2))361\left(=19^{2}\right) 構成を含む部分集合から生じる。ここでは、デカルト積の拡大により、より多様な基底状態のセットが可能になり、 10 5 10 5 10^(5)10^{5} ショットで十分である。
In the cases of less than 10 5 10 5 10^(5)10^{5} shots, the observed energy distribution is discrete rather than continuous, reflecting the binary occurrence of key determinants in the sampled set. The energies can be lower than the converged value because CC theory is not variational in nature.
10 5 10 5 10^(5)10^{5} ショット未満の場合、観測されたエネルギー分布は連続的ではなく離散的であり、これはサンプリングされた集合における主要な決定基の二者択一的な出現を反映している。CC 理論は本質的に変分ではないため、エネルギーは収束値よりも低くなる可能性があります。
FIG. 4: Influence of the number of measurement shots on QSCI-TCC© for N 2 N 2 N_(2)\mathrm{N}_{2} at the cc-pVTZ basis-set level. (a) r = 1.1 Å r = 1.1 Å r=1.1"Å"r=1.1 \AAÅ with the union option; (b) r = 1.1 Å r = 1.1 Å r=1.1"Å"r=1.1 \AAÅ without the union; © r = 2.2 Å r = 2.2 Å r=2.2"Å"r=2.2 \AAÅ with the union; (d) r = 2.2 Å r = 2.2 Å r=2.2"Å"r=2.2 \AAÅ without the union.
図 4：cc-PVTZ 基底セットレベルでの N 2 N 2 N_(2)\mathrm{N}_{2} のQSCI-TCC©における測定ショット数の影響。(a) r = 1.1 Å r = 1.1 Å r=1.1"Å"r=1.1 \AAÅ with the union option; (b) r = 1.1 Å r = 1.1 Å r=1.1"Å"r=1.1 \AAÅ without the union; © r = 2.2 Å r = 2.2 Å r=2.2"Å"r=2.2 \AAÅ with the union; (d) r = 2.2 Å r = 2.2 Å r=2.2"Å"r=2.2 \AAÅ without the union.
From the above observations, we conclude that the 10 5 10 5 10^(5)10^{5} shot measurements achieve an error below 1 kcal / mol 1 kcal / mol 1kcal//mol1 \mathrm{kcal} / \mathrm{mol} ( ∼ 1.6 × 10 − 3 E h ∼ 1.6 × 10 − 3 E h ∼1.6 xx10^(-3)E_(h)\sim 1.6 \times 10^{-3} E_{\mathrm{h}} ) in this setting. No apparent difference is observed between the union and non-union treatments in this study; in both cases, the number of measurements required for convergence remains of the same order.
以上の観察から、 10 5 10 5 10^(5)10^{5} ショット測定は、この設定において 1 kcal / mol 1 kcal / mol 1kcal//mol1 \mathrm{kcal} / \mathrm{mol} ( ∼ 1.6 × 10 − 3 E h ∼ 1.6 × 10 − 3 E h ∼1.6 xx10^(-3)E_(h)\sim 1.6 \times 10^{-3} E_{\mathrm{h}} )以下の誤差を達成すると結論づけられる。この研究では、ユニオン処理と非ユニオン処理の間に明らかな違いは見られず、どちらの場合も収束に必要な測定回数は同じオーダーのままである。
The present requirement of 10 5 10 5 10^(5)10^{5} shots outperforms earlier quantum-classical hybrid TCC studies. Computational basis tomography required 3 × 10 7 3 × 10 7 3xx10^(7)3 \times 10^{7} shots to achieve the standard deviation of 0.61 × 10 − 3 E h 0.61 × 10 − 3 E h 0.61 xx10^(-3)E_(h)0.61 \times 10^{-3} E_{\mathrm{h}} in the r = 5.355 r = 5.355 r=5.355r=5.355 Bohr ( ∼ 2.8 Å ∼ 2.8 Å ∼2.8"Å"\sim 2.8 \AAÅ ) case at the cc-pVDZ level [13]. Although this previous study was conducted under a challenging bond-distance setting, the relative phases need to be determined for computational basis tomography [37]; therefore, QSCI is considered superior. In addition, at the cc-pVDZ level, the estimated result of the matchgate shadows tomography demonstrates that 1.0 × 10 5 1.0 × 10 5 1.0 xx10^(5)1.0 \times 10^{5} and 2.2 × 10 6 2.2 × 10 6 2.2 xx10^(6)2.2 \times 10^{6} shots were required to obtain chemical precision at r = 1.1 r = 1.1 r=1.1r=1.1 and 2.2 Å 2.2 Å 2.2"Å"2.2 \AAÅ, respectively [14], where the latter bond length is more strongly correlated. These comparisons underscore the shot efficiency of QSCI-TCC.
現在の 10 5 10 5 10^(5)10^{5} ショットの必要性は、以前の量子-古典ハイブリッドTCC 研究よりも優れている。計算基底トモグラフィーでは、cc-pVDZレベルで r = 5.355 r = 5.355 r=5.355r=5.355 Bohr ( ∼ 2.8 Å ∼ 2.8 Å ∼2.8"Å"\sim 2.8 \AAÅ )の場合の標準偏差 0.61 × 10 − 3 E h 0.61 × 10 − 3 E h 0.61 xx10^(-3)E_(h)0.61 \times 10^{-3} E_{\mathrm{h}} を達成するために 3 × 10 7 3 × 10 7 3xx10^(7)3 \times 10^{7} ショットが必要であった[13]。この先行研究は難しい結合距離の設定の下で行われたが、計算基底トモグラフィー[37]のためには相対相を決定する必要があるため、QSCIが優れていると考えられる。さらに、cc-pVDZレベルでは、マッチゲート・シャドー・トモグラフィーによる推定結果は、 r = 1.1 r = 1.1 r=1.1r=1.1 と 2.2 Å 2.2 Å 2.2"Å"2.2 \AAÅ で化学的精度を得るために、それぞれ 1.0 × 10 5 1.0 × 10 5 1.0 xx10^(5)1.0 \times 10^{5} と 2.2 × 10 6 2.2 × 10 6 2.2 xx10^(6)2.2 \times 10^{6} ショットが必要であることを示している[14]。これらの比較は、QSCI-TCCのショット効率を強調している。

V. CONCLUSIONS  V.結論

We introduced QSCI-TCC, a quantum-classical hybrid method that integrates the QSCI wave function into the TCC framework. QSCI provides a scalable, shot-efficient way to reconstruct a quantum-prepared state on a classical computer. The wave function reconstructed by QSCI contains no statistical error, only model error, providing a stable state for classical post-processing. Embedding the resulting CI coefficients as fixed active space amplitudes, the subsequent CC calculation supplies the missing dynamical correlation, yielding a balanced treatment of static (strong) and dynamical (weak) correlation effects.
我々は、QSCI 波動関数をTCCの枠組みに統合した量子-古典ハイブリッド法であるQSCI-TCCを導入した。QSCIは、古典計算機上で量子準備状態を再構成するスケーラブルでショット効率の高い方法を提供する。QSCIによって再構築された波動関数は統計誤差を含まず、モデル誤差のみを含むため、古典的な後処理に対して安定した状態を提供します。得られたCI 係数を固定された活性空間振幅として埋め込むことで、その後のCC 計算で欠落していた動的相関が供給され、静的相関効果（強相関）と動的相関効果（弱相関）をバランスよく取り扱うことができる。
Benchmark calculations for simultaneous O − H O − H O-H\mathrm{O}-\mathrm{H} bond dissociation in H 2 O H 2 O H_(2)O\mathrm{H}_{2} \mathrm{O} and triple-bond dissociation in N 2 N 2 N_(2)\mathrm{N}_{2} show that, even in regions of the dissociation curves where CCSD or CCSD(T) begins to deteriorate, QSCITCC and QSCI-TCC(T) continue to deliver accurate results. Thus, the static correlation captured by quantum computation, although a simulator has been used in this
H 2 O H 2 O H_(2)O\mathrm{H}_{2} \mathrm{O} の O − H O − H O-H\mathrm{O}-\mathrm{H} 結合解離と N 2 N 2 N_(2)\mathrm{N}_{2} の三重結合解離を同時に行うベンチマーク計算では、解離曲線のCCSDやCCSD(T)が劣化し始める領域でも、QSCITCCとQSCI-TCC(T)は正確な結果を出し続けている。このように、量子計算によって捉えられる静的相関は、シミュレーターを用いたとはいえ、この
study, is successfully embedded within the coupled cluster description.
の研究は、連成クラスターの記述の中にうまく組み込まれている。
Shot-count investigations on N 2 ( 6 e , 6 o ) N 2 ( 6 e , 6 o ) N_(2)(6e,6o)\mathrm{N}_{2}(6 \mathrm{e}, 6 \mathrm{o}) active space further show that QSCI-TCC© converges rapidly with respect to the number of shots. We found that 10 5 10 5 10^(5)10^{5}-shot measurements are sufficient to reach chemical precision. This represents an order-of-magnitude improvement in measurement efficiency compared to an earlier implementation using matchgate shadows tomography in the r = 2.2 Å r = 2.2 Å r=2.2"Å"r=2.2 \AAÅ case, where it is a strongly correlated scenario.
さらに、 N 2 ( 6 e , 6 o ) N 2 ( 6 e , 6 o ) N_(2)(6e,6o)\mathrm{N}_{2}(6 \mathrm{e}, 6 \mathrm{o}) 活性空間でのショット数測定により、QSCI-TCC©はショット数に応じて急速に収束することが示された。化学的精度に達するには 10 5 10 5 10^(5)10^{5} ショット測定で十分であることがわかった。これは、 r = 2.2 Å r = 2.2 Å r=2.2"Å"r=2.2 \AAÅ の場合にマッチゲートシャドウトモグラフィーを用いた以前の実装と比較して、測定効率が一桁向上したことを意味する。
Efficient quantum state tomography-using QSCI as well as other tomography methods-remains a key research topic. Most recently, Lenihan et al. have introduced a related study on another shadows-based protocol combined with a surrogate CC model [51].
QSCIや他のトモグラフィ手法を用いた効率的な量子状態トモグラフィは、依然として重要な研究テーマである。最近では、LenihanらがサロゲートCCモデルと組み合わせた別のシャドウ・ベース・プロトコルに関する関連研究を紹介している[51]。
It is worth mentioning a critical issue with QSCI and the proposed improvements in recent years. In strongly correlated systems, the number of Slater de-
QSCIと近年提案されている改良について、重大な問題に言及する価値がある。強い相関を持つシステムでは、スレーターデ
terminants with non-trivial coefficients can grow exponentially with system size. To mitigate this, enhanced sampling schemes that utilize real-time evolution have been proposed [52-54]. Besides, Reinholdt et al. have compared QSCI with a conventional selected CI intensively [55]. Improving sampling efficiency, therefore, remains an important avenue for future work.
非自明な係数を持つターミナントは、システムサイズとともに指数関数的に増大する可能性がある。これを緩和するために、リアルタイム進化を利用した拡張サンプリング方式が提案されている[52-54]。また、Reinholdtらは、QSCIと従来の選択 CIを集中的に比較している[55]。従って、サンプリング効率の改善は、今後の重要な課題である。

ACKOWLEDGEMENTS  謝辞

The authors are grateful to Takuma Murokoshi for his technical support. This project was supported by funding from the MEXT Quantum Leap Flagship Program (MEXTQLEAP) through Grant No. JPMXS0120319794. This study was conducted as part of a joint research in the Quantum Software Research Hub (Grant No. JPMJPF2014), and further supported by TOPPAN Digital Inc.
室越琢磨氏の技術支援に感謝する。本プロジェクトは、文部科学省量子リープフラッグシップ研究プログラム（MEXTQLEAP）の助成金（助成番号：JPMXS0120319794）の支援を受けて実施した。本研究は、量子ソフトウェア研究ハブにおける共同研究（助成金番号 JPMJPF2014）の一環として実施され、さらに株式会社トッパンデジタルによる支援を受けた。
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[46] Q. Sun, T. C. Berkelbach, N. S. Blunt, G. H. Booth, S. Guo, Z. Li, J. Liu, J. D. McClain, E. R. Sayfutyarova, S. Sharma, S. Wouters, and G. K.-L. Chan, Pyscf: the python-based simulations of chemistry framework, WIREs Comput. Mol. Sci. 8, e1340 (2018).
このような場合、[46] Q. Sun, T. C. Berkelbach, N. S. Blunt, G. H. Booth, S. Guo, Z. Li, J. Liu, J. D. McClain, E. R. Sayfutyarova, S. Sharma, S. Wouters, and G. K.-L. Chan, Pyscf: the python-based simulations of chemistry framework, WIREs Comput.Mol.Sci. 8, e1340 (2018).
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