Kapitel I  Chapter I

Als einleitende Beispiele möchte ich den Satz von Herbrand-Ribet und die Birch und Swinnerton-Dyer-Vermutungen kurz diskutieren und die Analogie zwischen ihnen herausarbeiten.
As introductory examples, I would like to briefly discuss the Herbrand-Ribet theorem and the Birch and Swinnerton-Dyer conjectures, and highlight the analogy between them.

Ich beginne mit dem Satz von Herbrand-Ribet.
I will start with the sentence of Herbrand-Ribet.

Es sei eine Primzahl . Mit bezeichnen wir den Galoismodul der -ten Einheitswurzeln, ist der duale Modul dazu, und für ist . Die Operation der Galoisgruppe auf faktorisiert über die Quotientengruppe , und diese operiert durch einen Charakter, den wir mit notieren wollen. Es gilt für und sein Bild , daß .
Let be a prime . With we denote the Galois module of the -th roots of unity, is the dual module to it, and for is . The operation of the Galois group on factorizes over the quotient group , and this operates through a character that we want to denote with . It holds for and its image that .

Für eine gerade Zahl mit sucht man Galoismoduln , die freie -Moduln vom Rang 2 sind und die in einer exakten Sequenz
For an even number with , one looks for Galois modules , which are free -modules of rank 2 and which in an exact sequence

sitzen. Man möchte, daß diese Galoismoduln noch einige weitere Eigenschaften haben:
sit. It is desired that these Galois modules have some additional properties:

i) Sie spalten nicht, d.h. ist nicht direkte Summe von zwei eindimensionalen unter der Galoisgruppe invarianten Moduln.
i) They don't split, i.e. is not a direct sum of two one-dimensional modules that are invariant under the Galois group.

ii) Sie sind unverzweigt außerhalb von , und ihre Einschränkung auf ist sogar überall unverzweigt.
ii) They are unramified outside of , and their restriction to is even unramified everywhere.

Schon Euler hat gezeigt, daß der Wert eine rationale Zahl ist, die darüberhinaus an der Stelle ganz ist. Der Satz von Herbrand-Ribet besagt nun, daß es einen solchen Modul genau dann gibt, wenn die Primzahl ein Teiler des Wertes ist.
Even Euler showed that the value is a rational number, which is also an integer at the position . The Herbrand-Ribet theorem states that there is such a module if and only if the prime number is a divisor of the value .

Die Existenz dieses Moduls impliziert, daß es eine zyklische unverzweigte Erweiterung vom Grad des Körpers gibt, auf deren Galoisgruppe die Galoisgruppe durch operiert. Das Fazit ist also, daß aus der Teilbarkeit des Wertes der Zetafunktion die Existenz einer sehr spezifischen Erweiterung von folgt, die insbesondere starken lokalen Einschränkungen unterliegt (Bedingung ii)).
The existence of this module implies that there is a cyclic unramified extension of degree of the field , on whose Galois group the Galois group acts by . The conclusion is that from the divisibility of the value of the zeta function, the existence of a very specific extension of follows, which is subject to particularly strong local restrictions (condition ii)).

Der Satz (die Richtung von Ribet) wird ganz grob dadurch bewiesen, daß man den Modul als die Galoisdarstellung zu einer Modulform realisiert (siehe die Arbeit [Ri] und [Ha-M] Chap VI, [Ha-P]). Diese besondere Modulform , die den gesuchten Modul "konstruiert", verdankt ihrerseits ihr Leben der obigen Teilbarkeitsrelation.
The theorem (Ribet's direction) is roughly proven by realizing the module as the Galois representation of a modular form (see the work [Ri] and [Ha-M] Chap VI, [Ha-P]). This particular modular form , which "constructs" the sought-after module, owes its existence to the above divisibility relation.

Ich komme nun zur Birch und Swinnerton-Dyer-Vermutung. Es sei eine elliptische Kurve über , und sei ein rationaler Punkt. Wir wählen wieder eine Primzahl . Der Einfachheit halber nehmen wir noch an, daß keine -Torsion hat. Der Tate-Modul von ist dann der projektive Limes über die Gruppen der Teilungspunkte auf der Kurve (siehe z.B. [Si], III, §7). Und entsprechend ist wie üblich der projektive Limes über die -ten Einheitswurzeln. Dann wird wie oben definiert (siehe auch 1.2.4.). Für eine natürliche Zahl betrachten wir
I now come to the Birch and Swinnerton-Dyer conjecture. Let be an elliptic curve over , and let be a rational point. Again, we choose a prime number for simplicity, assuming that has no -torsion. The Tate module of is then the projective limit over the groups of division points on the curve (see, e.g., [Si], III, §7). And correspondingly, as usual, is the projective limit over the -th roots of unity. Then is defined as above (see also 1.2.4.). For a natural number , we consider

Wenn ein Punkt unendlicher Ordnung auf der elliptischen Kurve ist, dann ist die zweite Komponente durch die erste bestimmt und die Elemente sind gerade alle ten Wurzeln aus . Wenn wir variieren, erhalten wir ein projektives System. Wir gehen zum projektiven Limes über. Dieser wird dann -- wegen der obigen Annahme - ein freier -Modul , der als Untermodul den Tate-Modul der Kurve enthält. Wir erhalten eine exakte Sequenz von Galoismoduln
If is a point of infinite order on the elliptic curve, then the second component is determined by the first, and the elements are precisely all -th roots of . Varying , we obtain a projective system. We take the projective limit. This will then -- due to the above assumption -- be a free -module containing the Tate module of the curve as a submodule. We obtain an exact sequence of Galois modules

Diese tensorieren wir noch mit und erhalten eine exakte Sequenz von -Galoismoduln
We tensor this with and obtain an exact sequence of -Galois modules.

Nun ist es eine Tatsache, daß diese Sequenz genau dann nicht spaltet, wenn ein Punkt unendlicher Ordnung ist.
Now it is a fact that this sequence does not split if and only if is a point of infinite order.

Man hofft, daß alle nicht spaltenden Sequenzen der Form
It is hoped that all non-splitting sequences of the form

die noch eine hier nicht formulierte lokale Bedingung an alle Stellen erfüllen (siehe auch 1.2.10. Bedingung (4)), auch von Punkten unendlicher Ordnung herkommen. Diese lokalen Bedingungen entsprechen der Bedingung ii) im Falle des Satzes von HerbrandRibet. Man kann sie auch so formulieren, daß man sagt, daß sie einem Element der Selmergruppe entspricht (siehe [Si], X, §4)
which still meet a local condition not formulated here at all points (see also 1.2.10. Condition (4)), also coming from points of infinite order. These local conditions correspond to condition ii) in the case of the Herbrand-Ribet theorem. They can also be formulated to say that they correspond to an element of the Selmer group (see [Si], X, §4)

Die Birch und Swinnerton-Dyer-Vermutung besagt dann (in stark abgeschwächter Form), daß solche nicht spaltenden rationalen Sequenzen genau dann existieren, wenn die -Funktion an der Stelle verschwindet.
The Birch and Swinnerton-Dyer conjecture then states (in a severely weakened form) that such non-splitting rational sequences exist exactly when the -function vanishes at the point .

Hier wird eine Analogie zwischen dem Satz von Herbrand-Ribet und der Birch und Swinnerton-Dyer-Vermutung ganz deutlich.
An analogy between the Herbrand-Ribet theorem and the Birch and Swinnerton-Dyer conjecture is quite evident here.

Die Galoismoduln, die an den äußeren Enden der obigen Sequenzen auftauchen, können - bis auf kleine Modifikationen - als -adische Kohomologiegruppen von projektiven, glatten algebraischen Varietäten über interpretiert werden. Es ist (siehe 1.2.4.)
The Galois modules that appear at the outer ends of the above sequences can - with minor modifications - be interpreted as -adic cohomology groups of projective, smooth algebraic varieties over . It is (see 1.2.4.)

und die Moduln entstehen durch Übergang zum dualen Modul und durch Bilden von Tensorprodukten; und es ist
and the modules arise by passing to the dual module and forming tensor products; and it is

Diese Galoismoduln werden wir dann im folgenden als -adische Realisierungen von reinen Motiven interpretieren; die Galoismoduln in der Mitte werden dann die -adischen Realisierungen von gemischten Motiven sein.
We will then interpret these Galois modules as -adic realizations of pure motives in the following; the Galois modules in the middle will then be the -adic realizations of mixed motives.

1.2.1. Die Kohomologie glatter projektiver Varietäten über . Ist eine beliebige projektive, glatte Varietät, so kann man ihr auf mehrere Arten Kohomologiegruppen zuordnen (wir fixieren einen festen Grad ). Zunächst hat man die BettiKohomologie
1.2.1. The cohomology of smooth projective varieties over . If is any projective smooth variety, one can assign cohomology groups to it in several ways (we fix a specific degree ). First, we have the Betti cohomology.

Das ist ein -Vektorraum mit einer Involution , die durch die komplexe Konjugation auf erzeugt wird. Ferner hat
This is a vector space with an involution generated by complex conjugation on . Furthermore, it has

eine Hodge-Zerlegung vom Gewicht , d. h.
a Hodge decomposition of weight , i.e.

Die obige Involution bewirkt . Auf hat man dann auch noch die komplexe Konjugation auf den Koeffizienten; sie kommutiert mit und sendet ebenfalls nach . Die Hodge-Zerlegung definiert eine Filtrierung auf den komplexifizierten Kohomologiegruppen, deren Filtrationsschritte im Grad durch
The above involution induces . On , one also has the complex conjugation on the coefficients; it commutes with and also sends to . The Hodge decomposition defines a filtration on the complexified cohomology groups, whose filtration steps in degree are given by

gegeben sind. Es ist leicht zu sehen, daß man die Hodge-Zerlegung aus dieser Filtrierung und der Involution zurückgewinnen kann.
are given. It is easy to see that one can recover the Hodge decomposition from this filtration and the involution .

Man kann nun eine abelsche Kategorie definieren: Die Objekte sind graduierte Q-Vektorräume , auf denen eine Involution operiert, und für die jeder reine Anteil eine Hodge-Zerlegung vom Gewicht hat, so daß die obigen Regeln gelten (man hat natürlich auch die komplexe Konjugation auf ). Die Morphismen sind dann lineare Abbildungen, welche die Daten respektieren. Wir nennen diese Kategorie die Kategorie der Hodge-Strukturen über oder auch -HodgeStrukturen. ( Das Subskript reell bezieht sich dabei auf die Involution .)
Now one can define an abelian category : The objects are graded Q-vector spaces , on which an involution operates, and for which each pure component has a Hodge decomposition of weight such that the above rules apply (of course, one also has the complex conjugation on ). The morphisms are then linear mappings that respect the data. We call this category the category of Hodge structures over or -Hodge structures. (The subscript "real" refers to the involution .)

Man kann also sagen
Therefore, one can say

Wir schreiben für das Gewicht .
We write for the weight .

Man kann ferner noch die de-Rham-Kohomologie definieren. Sie wird gegeben durch die Hyperkohomologie des de-Rham-Komplexes der Differentialformen ([Gr])
Furthermore, one can define the de Rham cohomology. It is given by the hypercohomology of the de Rham complex of the differential forms ([Gr]).

(Die Berechnung solcher Hyperkohomologiegruppen wird weiter unten in 1.2.4. für ein einfaches Beispiel durchgeführt. Allgemein werden sie so erhalten: Man überdeckt die zu Grunde liegende projektive Varietät durch affine Varietäten, bildet aus dem dazu gehörigen Čech-Komplex und dem de-Rham-Komplex einen Doppelkomplex. Dessen
(The calculation of such hypercohomology groups is carried out below in 1.2.4. for a simple example. In general, they are obtained as follows: Cover the underlying projective variety with affine varieties, form a double complex from the associated Čech complex and the de Rham complex. Its

Kohomologie ist dann die Hyperkohomologie.) In einem festen Grad ist das ein Q-Vektorraum mit einer absteigenden Filtration (Hodge-Filtration)
Cohomology is then the hypercohomology.) In a fixed degree , this is a Q-vector space with a descending filtration (Hodge filtration).

wobei whereby

Es gibt einen Vergleichsisomorphismus (Satz von Grothendieck, siehe [Gr])
There is a comparison isomorphism (Grothendieck's theorem, see [Gr])

Dieser Vergleichsisomorphismus respektiert die Strukturen auf beiden Seiten:
This comparison isomorphism respects the structures on both sides:

(1) Er bildet auf ab.
(1) It maps to .

(2) Die Kohomologiegruppen sind rein algebraisch definiert, also operiert auf ihnen die Automorphismengruppe von . Unter dem Vergleichsisomorphismus geht in die die komplexe Konjugation auf der rechten Seite über.
(2) The cohomology groups are purely algebraically defined, so the automorphism group of operates on them. Under the comparison isomorphism, goes to the complex conjugation on the right-hand side.

1.2.1.1. Bemerkung: Wenn man die Strukturen und , Vergleichsisomorphismus) miteinander vergleicht, so bemerkt man, daß die Struktur uns eine neue -Struktur auf und den Filtrationsschritten liefert. Diese erinnert uns daran, daß über definiert ist, wovon gar nichts mehr weiß.
1.2.1.1. Remark: When comparing the structures and (comparison isomorphism), we notice that the structure gives us a new structure on and the filtration steps. This reminds us that is defined over , of which knows nothing.

Wir diese fassen diese beiden Strukturen zusammen und definieren die abelsche Kategorie der Hodge-de-Rham Strukturen deren Objekte Tupel sind, wobei zwei -Vektorräume sind, wobei eine Involution auf , und eine Filtration auf , und - ein Isomorphismus der komplexifizierten Vektorräume ist, so daß die Filtration zusammen mit eine Hodge-Zerlegung eines festen Gewichtes auf definiert. Es sei dann das Paar Vergleich+weitere Daten. Die Kategorie soll dann heißen.
We combine these two structures and define the abelian category of Hodge-de-Rham structures whose objects are tuples , where are two vector spaces, where is an involution on , and is a filtration on , and is an isomorphism of the complexified vector spaces, so that the filtration together with defines a Hodge decomposition of fixed weight on . Then let be the pair comparison+additional data. The category should then be called .

Man kann schließlich auch die -adischen Kohomologiegruppen definieren. Dazu erweitert man den Grundkörper zum algebraischen bschluß, d. h. man bildet das Schema über . Auf dem hat man die -adische Garbe und den Funktor
Finally, one can also define the -adic cohomology groups. To do this, one extends the base field to the algebraic closure, i.e. one forms the scheme over . On this one has the -adic sheaf and the functor

der als Zielkategorie die -Moduln hat. Die Operation der Galoisgruppe ist an den Stellen, an denen gute Reduktion hat und die von verschieden sind, unverzweigt. An einer solchen Stelle definiert dann der arithmetische Frobenius eine Konjugationsklasse in , und Deligne hat gezeigt, daß die Eigenwerte der inversen Klasse (der geometrische Frobenius) ganze algebraische Zahlen sind, die alle den Absolutbetrag haben und die von unabhängig sind (siehe [De-We1], Thm. 1.6). Man sagt, daß dieser Modul rein vom Gewicht ist.
with the target category having the modules. The operation of the Galois group is unramified at the places where has good reduction and are different from . At such a place, the arithmetic Frobenius then defines a conjugacy class in , and Deligne has shown that the eigenvalues of the inverse class (the geometric Frobenius) are all algebraic integers with absolute value and independent of (see [De-We1], Thm. 1.6). It is said that this module is purely of weight .

Man kann dann die Kategorie der reinen Galoismoduln definieren. Die Objekte sind graduierte -Vektorräume , auf denen operiert, und zwar so, daß die Operation an fast allen Stellen unverzweigt ist, daß das charakteristische Polynom des geometrischen Frobenius rationale Koeffizienten hat, und daß die
One can then define the category of pure Galois modules. The objects are graded vector spaces , on which operates, in such a way that the operation is unramified at almost all places, that the characteristic polynomial of the geometric Frobenius has rational coefficients, and that the

Eigenwerte von auf den Absolutbetrag haben. Die Morphismen sind dann offensichtlich. Wir nennen diese Kategorie oder auch .
eigenvalues of on have absolute value . The morphisms are then obvious. We call this category or .

Man hat einen Vergleichsisomorphismus
One has an isomorphism of comparison

1.2.2 Die Hodge- und die Tate-Vermutungen. Sind uns nun zwei solcher Varietäten und gegeben, so kann man Zykeln betrachten; deren Komponenten alle die Dimension haben. Diese induzieren dann Morphismen
1.2.2 The Hodge and Tate Conjectures. If we are given two such varieties and , we can consider cycles ; all of whose components have dimension . These then induce morphisms

die mit den Vergleichsisomorphismen und den jeweiligen weiteren strukturellen Daten verträglich sind.
which are compatible with the comparison isomorphisms and the respective additional structural data.

Wenn man jetzt umgekehrt einen Satz von Homomorphismen
If one now conversely has a sentence of homomorphisms

hat, der mit den Vergleichsisomorphismen verträglich ist, und wobei die einzelnen bildungen die jeweilige Struktur respektieren, dann hofft man, daß es ein gibt, so daß
which is compatible with the comparison isomorphisms, and where the individual formations respect the respective structure, then one hopes that there is a so that

mit einer natürlichen ist. Man hofft sogar, daß schon die Vorgabe von (Hodge-Vermutung) oder die Vorgabe von (Tate-Vermutung) für die Existenz eines solchen Zykels ausreichen. (Die Vorgabe von alleine würde nur einen über definierten Zykel voraussagen (siehe Bemerkung oben)). Wir führen ein Äquivalenzrelation auf den Zykeln ein, indem wir sie als gleich ansehen, wenn sie in jeder kohomologischen Realisierung den gleichen Endomorphismus induzieren.
with a natural . One even hopes that the specification of (Hodge conjecture) or the specification of (Tate conjecture) are sufficient for the existence of such a cycle. (The specification of alone would only predict a cycle defined over (see remark above)). We introduce an equivalence relation on the cycles by considering them equal if they induce the same endomorphism in every cohomological realization.

Man kann jetzt ferner zeigen, daß die Kohomologiegruppen noch eine weitere Struktur besitzen: sie sind polarisierbar. Mit Hilfe der projektiven Einbettung von kann man eine (schief-)symmetrische Bilinearform
It can now be shown that the cohomology groups have yet another structure: they are polarizable. Using the projective embedding of , one can construct a (skew-)symmetric bilinear form

konstruieren, so daß so that

(1) die folgende hermitesche Form
(1) the following Hermitian form

positiv definit wird. positive definite.

(2) Wertet man die Form über den Vergleichsisomorphismus auf aus, so erhält man eine perfekte Paarung
(2) Evaluating the form via the comparison isomorphism on yields a perfect pairing.

Eine solche Form nennt man eine Polarisierung von . Man kann natürlich auch Polarisierungen von alleine betrachten; dann verzichtet man darauf, daß die Bedingung (2) erfüllt ist.
Such a form is called a polarization of . Of course, one can also consider polarizations of alone; then one gives up the condition that (2) is satisfied.

Ist z.B. eine projektive glatte Kurve und dann wird uns die gesuchte Paarung gerade durch die Poincaré-Dualität gegeben. Daß dann die Bedingung (2) erfüllt ist, werden wir später noch sehen (Siehe 1.2.4.). Im allgemeinen ist die Konstruktion ein wenig komplizierter.
For example, if is a projective smooth curve and , then the required pairing is given to us by the Poincaré duality. We will see later that condition (2) is satisfied (See 1.2.4). In general, the construction is a bit more complicated.

Betrachten wir nun die volle Unterkategorie der polarisierbaren Hodge-de-RhamStrukturen, dann hat die Existenz einer Polarisierung den folgenden Effekt:
Now, if we consider the full subcategory of polarizable Hodge-de-Rham structures, then the existence of a polarization has the following effect:

Sei ein Unterraum, und dieser Unterraum liefere uns eine reelle UnterHodge-de-Rham-Struktur. D. h. es gilt
Let be a subspace, and let this subspace give us a real sub-Hodge-de-Rham structure. That is, it holds

und für alle ist ein -Vektorraum, für den dann gilt
and for all is a -vector space, for which applies

Dann erhalten wir aus einer Polarisierung eine nicht entartete Form auf . (Hier benutzt man die Positivität der hermiteschen Form.) Das liefert uns eine Zerlegung
Then we obtain a non-degenerate form on from a polarization. (Here the positivity of the hermitian form is used.) This gives us a decomposition

und einen Projektor and a projector

mit und . Wir sehen also, daß die volle Unterkategorie der polarisierbaren Hodge-de-Rham-Strukturen halbeinfach ist.
with and . So we see that the full subcategory of polarizable Hodge-de Rham structures is quasi-finite.

Nach der oben zitierten Hodge-Vermutung sollte unser Projektor bis auf ein rationales Vielfaches von einem Zykel
According to the Hodge conjecture quoted above, our projector should be induced up to a rational multiple of a cycle

induziert werden. Dieser Zykel induziert dann aber seinerseits einen Endomorphismus
be induced. This cycle in turn induces an endomorphism

für den auf Grund der Vergleichssätze dann gilt:
for which the comparison rates apply:

D. h. wird ein Projektor in den étalen Kohomologiegruppen. Wir bekämen also eine entsprechende Zerlegung in der étalen Kohomologie.
That is to say, becomes a projector in the étale cohomology groups, giving us a corresponding decomposition in the étale cohomology.

Die Hodge- und Tate-Vermutungen implizieren, daß auch die oben konstruierten reinen Galoismoduln halbeinfach sind. Das kann man aber nicht so beweisen wie im Fall
The Hodge and Tate conjectures imply that the pure Galois modules constructed above are also semi-simple. However, this cannot be proven in the same way as in the case
der polarisierten Hodge-Strukturen. Man kann zwar auch eine nicht entartete Paarung konstruieren, aber es fehlt das Positivitätsargument.
the polarized Hodge structures. It is possible to construct a non-degenerate pairing, but the positivity argument is missing.

1.2.3 Die reinen Motive. Dies alles führt dann zu der Vorstellung, daß es eine halbeinfache abelsche Kategorie mit etwa folgenden Eigenschaften geben sollte: (1) Für ist ein -Vektorraum.
1.2.3 The pure motives. All this leads to the idea that there should be a semi-simple abelian category with the following properties: (1) For is a -vector space.

(2) Die Objekte sind graduiert, d. h. jedes . Die Summanden sind die reinen Anteile vom Gewicht .
(2) The objects are graded, i.e. each . The summands are the pure components of weight .

(3) Betrachtet man die Kategorie ar/Q der projektiven, glatten algebraischen Varietäten mit
(3) Considering the category ar/Q of projective smooth algebraic varieties

so hat man einen Funktor
we have a functor

so daß so that