好的,我們可以假設一層人工神經網絡(ANN),並通過這個假設來詳細說明每個神經元的輸入是如何處理的,以及相關的數學細節。
假設我們有一個神經網絡的某一層,其中包含 3 個神經元,並且這層神經元接收來自上一層的輸入。上一層有 4 個神經元,這意味著每一個神經元都會接收到來自 4 個輸入的數據。我們的目標是看看其中一個神經元如何處理這 4 個輸入,並且經過計算後產生一個輸出。
神經元的輸入計算
對於這個神經元,我們的數學模型是基於加權求和的原理。每一個輸入(來自上一層的神經元)都有一個對應的權重,這些權重表示每個輸入的重要性。數學上,這個神經元的輸入計算可以表示為以下公式:
z=w1⋅x1+w2⋅x2+w3⋅x3+w4⋅x4+b
其中:
- x1,x2,x3,x4 是來自上一層的 4 個輸入值(這些輸入可能是上一層的激活值或是原始數據)。
- w1,w2,w3,w4 是對應的權重,這些權重是學習過程中網絡要優化的參數。
- b 是偏差(bias),這是一個額外的參數,幫助網絡在沒有輸入信號時仍能輸出某個值。
- z 是該神經元的「淨輸入」,也就是所有輸入經過權重加權求和之後的結果。
這個公式實際上是一個線性組合,對應了神經元接收來自上一層神經元的加權輸入。每個輸入的權重表示該輸入對當前神經元的重要性。舉個具體的例子,假設有以下數據:
- 輸入 x1=0.5、x2=1.0、x3=0.7、x4=0.3
- 對應的權重 w1=0.2、w2=0.8、w3=−0.5、w4=0.4
- 偏差 b=0.1
那麼該神經元的淨輸入 z 計算為:
z=(0.2⋅0.5)+(0.8⋅1.0)+(−0.5⋅0.7)+(0.4⋅0.3)+0.1
z=0.1+0.8−0.35+0.12+0.1=0.77這個 z=0.77 就是該神經元的線性組合輸入。
激活函數的作用
接下來,這個淨輸入 z 會被送入一個激活函數,這是為了引入非線性變換,從而讓網絡能夠學習複雜的非線性關係。假設我們使用的是常見的 ReLU 激活函數,ReLU 的計算方式是:
f(z)=max(0,z)
那麼對於我們剛剛計算的 z=0.77,ReLU 的輸出會是:
f(0.77)=max(0,0.77)=0.77
這意味著,如果 z 是正數,則激活函數輸出的值與 z 相同;如果 z 是負數,則激活函數輸出 0。
因此,經過 ReLU 激活函數後,這個神經元的最終輸出是 0.77。
總結運作過程
總結來說,對於每個神經元,它會接收到來自上一層的輸入,這些輸入會與對應的權重進行加權求和,再加上偏差,然後這個加權求和的結果會通過一個激活函數進行非線性變換,最終輸出一個值。這個輸出值接下來會傳遞到網絡的下一層,成為下一層神經元的輸入。
數學上,這個過程的核心是線性代數中的向量點積。將輸入向量 x=[x1,x2,x3,x4] 和權重向量 w=[w1,w2,w3,w4] 進行點積,然後再加上偏差 b,這就是神經元的輸入計算:
z=w⋅x+b
這個計算結束後,結果會進行激活函數的處理,生成最終的輸出。神經網絡通過這樣一層一層的線性和非線性變換來逐步學習和處理複雜的數據。
這個過程不僅適用於單一層的神經元,而是整個網絡的運作原理,並且這樣的計算會不斷重複,直到輸出層生成最終結果。