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 第 0 章

 微积分的要点


0.1 距离和速度 // 高度和坡度


微积分是关于函数的。我在第一句中使用“函数”这个词，因为没有它我们无法继续前进。像所有其他词一样，我们以两种不同的方式学习这个词：我们定义这个词并使用这个词。

我相信看到函数的例子，并使用文字来解释这些例子，是学习的一种快速而强大的方式。我将从三个例子开始：

 线性函数

 平方函数
 指数函数

第一点是它们不一样！它们的公式以非常不同的方式涉及 2 和 。当我绘制它们的图表时（这是理解函数的好方法），你会发现当 为正时，所有三个都在增加。斜率是正的。

当输入 增加（向右移动）时，输出 也增加（图形向上移动）。这三个函数以不同的速率增加。

在 附近，第一个函数增长速度最快。但其他函数很快就会追上。当 时，三个图形都达到相同的高度 。在那一点之后，第二个图形 领先。在 时，平方函数达到 ，而第三个图形的高度只有 。

不要被欺骗，指数将会获胜。它在 处拉平，因为 和 都是 16。然后 超过 ，并且保持领先。当你到达 时，第三个图将比 有 。

这些图形本身是一条直线、一个抛物线和一个指数曲线。直线具有恒定的增长率。抛物线具有增长率增加。指数曲线具有指数增长率。我强调这些是因为微积分关乎增长率。

微积分的整个重点是发现函数的增长率，并利用该信息。因此，实际上同时有两个函数在起作用-原始函数和其增长率。在我进一步探讨这条至关重要的道路之前，让我给出一个函数的工作定义 ：


一个函数具有输入 和输出 。对于每个 ，它分配一个 。


输入 来自函数的“域”。在我们的图表中，域包含了所有数字 。输出 形成函数的“值域”。前两个函数 和 的值域包含了所有数字 。但当域为 时， 的值域被限制为 。

由于这些示例非常重要，让我也允许 为负数。 三个图表如下所示。 严格来说，这些是新函数！ 它们的定义域已扩展到所有实数 。 请注意，这三个范围也是不同的：

的范围是所有的实数

的范围是所有非负数

的范围是所有正数

关于函数概念的另一个注记，然后微积分就可以开始了。我们已经看到了描述函数的三种最流行的方式：

  1. 给出一个公式，从 中找到 。例如： 。

  2. 给出一个显示 （横跨距离）和 （垂直距离）的图表。

  3. 给出输入输出对（ 在定义域中， 在值域中）。

在高级定义中，“函数”是所有输入输出对的集合。我们也可以说：函数是将定义域中的每个输入 分配给范围中的一个输出 的规则。

这显示了我们对其他词语也看到的一些东西。从逻辑上讲，定义应该首先出现。实际上，我们在了解使用该词的示例之后更好地理解定义。也许这就是我们学习其他词语的方式，也是我们学习微积分的方式。示例展示了一般概念，而定义更加精确。一起，我们就能理解正确。

这本书的第一句话是微积分是关于函数的。现在我必须更新这个。

 功能对


微积分是关于函数对的。称它们为函数（1）和函数（2）。我们的图表 和 和 旨在成为函数（1）的示例。然后我们讨论了这三个示例的增长率。函数（1）的增长率是函数（2）。这是我们的第一个任务-找到函数的增长率。微分学从函数（1）的公式开始，旨在产生函数（2）的公式。

让我立刻说一下微积分是如何运作的。有两种方法可以计算当 变化时 变化的速度：

方法 1（极限）：写 。将此比率的极限取为 。

方法 2（规则）：遵循一条规则，从已知速率产生新的增长率。

对于每个新功能 ，请查看它是否可以从已知函数中产生-遵守其中一条规则。学习微积分的一个重要部分是看到从旧函数产生新函数的不同方式。然后我们遵循增长率的规则。

假设新函数不是由已知函数产生的（ 不是由 或 产生的）。那么我们必须直接找到它的增长率。所谓“直接”，是指我们计算一个极限，即函数（2）。本书将解释“极限”是什么意思以及如何计算它。

在这里，我们从例子开始-几乎总是最好的方式。我将列出我们正在处理的三个函数的增长率 " "：
 功能（1）
 功能（2）

线性函数 具有恒定的增长率 。本节将迈出第一步，也是最容易的一步。这是我们将增长率与图形斜率联系起来的机会。 与横跨的比率为 ，即 2。

第 0.2 节迈出了下一步。平方函数 具有线性增长率 。（这需要极限的概念-对微积分非常重要。）然后我们可以介绍我们的第一个两个规则：

常数因子 的增长速度是 的增长速度的 倍。

函数之和 的增长率是两个增长率之和。

第一条规则表示 的增长率为 。因子 乘以增长率 。第二条规则表示 的增长率为 。请注意我们立即将 视为具有已知增长率的函数 。两条规则共同确定了任何 和 的“线性组合”的增长率：

的增长率与 相同。

用文字来说，从函数（1）到函数（2）的步骤是线性的。 的斜率是 。这个规则简单但非常重要。

最后，第 0.3 节将介绍指数函数 和 。我们的第一个任务是理解它们的含义-什么是“2 的 次方”？我们理解 和 ，但是如何将 2 乘以自身 次呢？

当我们遇到 时，我们看到了微积分的伟大创造。这是一个具有显著特性的函数 。斜率等于函数。这需要令人惊奇的数字 ，在代数中从未见过，因为它只在你取正确极限时出现。

因此，这些第一部分计算了三个基本功能的增长率。我们已经准备好 。


图形的斜率


斜率是上升距离除以横跨距离。我现在在思考一个函数的图表 。"横跨距离"是输入的变化 ，从 到 。"上升距离"是输出的变化 ，从 到 。当 远大于 时，斜率很大，图表很陡。 的变化除以 的变化符合我们对斜率这个词的普通理解：

我介绍了非常有用的希腊字母 （δ），作为变化的符号。我们走 步长从 到 。对于图上的高度 ，这产生了一个步 。 到 的比率，上除以横，是 和 之间的平均斜率。斜率是陡峭度。

重要的一点：我必须说“平均”，因为斜率可能会随着我们前进而改变。 的图表显示了一个增加的斜率。在 和 之间， 的平均斜率是多少？将 除以 ：

在 和 之间，我们得到了一个不同的答案（不是 3）。这个 的图表显示了微积分的问题，处理斜率和速度变化。

图 的斜率恒定。 到 的比率，即垂直距离到水平距离，始终为 2：

数学很容易，这让我有机会强调文字和想法：

当函数 (1) 为 时，比率 总是 。线性函数具有恒定的斜率。这些相同的函数可以来自以恒定速度驾驶汽车：

对于函数（1）的图表，其变化率是斜率。当函数（1）测量行驶距离时，其变化率是速度（或速度）。当函数（1）测量我们的高度时，其变化率是我们的增长率。

第一点是函数无处不在。对于微积分来说，这些函数是成对出现的。函数（2）是函数（1）的变化率。

第二点是，功能（1）和功能（2）以不同的单位进行测量。这是很自然的：

微妙而棘手的微积分部分即将到来。我们想要在一个点处的斜率和在一个瞬间的速度。零时间内的变化率是多少？

跨越的距离在一个点上是 。向上的距离是 。形式上，它们的比率是 。微积分的灵感是赋予这个有用的意义。
 大局
微积分将函数 (1) 与函数 (2) 联系起来 = (1) 的变化率
函数（1）行驶距离 功能（2）速度  
函数（1）图形的高度 函数（2）斜率  
函数（2）表示函数（1）的变化速度 
键 恒速 恒定斜率  
斜率 -图形  
面积 -图形 长方形的面积  
例如，速度增加，距离的斜率变陡 
当速度改变时，代数是不够的 是错的 
仍然正确的是 三角形面积  
仍然是 斜率 的“衍生物”  
什么时候 增加，斜率 是积极的 
什么时候 正在减小，斜率 为负数 
什么时候 处于最大值或最小值时，斜率 为零
任何的图 和 在每个  
恢复 函数（1） ，很高兴知道起始高度  


0 微积分要点

 练习题

  1. 绘制一个图表 它会不断上上下下。 
然后绘制其斜率的合理图。 
  1. 世界人口 一开始缓慢增加，现在迅速增加，然后再次缓慢增加（我们希望并期待）。也许一个极限 或140亿。
绘制一个图表 及其斜率  
  1. 认为 为了 进而 为了  
描述斜率图 . 将其面积与 和  
  1. 绘制一个图表 。然后画出它的斜率图。在什么角度 斜率是零（斜率 什么时候 是“平坦的”。
  2. 假设图 形状像大写字母 . 描述其斜率的图形 . 图表下的总面积是多少 ？
  3. 火车行驶了一段距离 匀速 。在火车内，一名乘客向前走一段距离 以步行速度 。乘客行驶了多少距离？速度是多少？（测量与火车站的距离）

0.2 变化斜率 和  

我们的三个例子中的第二个是 。现在，随着曲线向上移动，斜率正在发生变化。平均斜率仍然是 ，但这不是我们的最终目标。我们必须回答微积分的关键问题：

“某一点的斜率”是什么意思，我们如何计算它？


我的关于大局观：衍生品的视频讲座也面临着这些问题。每个微积分学生很快就会遇到同样的问题。当我们处于一个特定时刻时，“变化率”是什么意思，而在那一刻实际上什么都没有发生呢？好问题。

答案将分两步到来。代数得出 ，然后微积分找到 。这两步 和 都是无限小的，所以从形式上来看我们正在研究 。试图定义 和 以及 是不明智的，我不会这样做。成功的计划是意识到 与 的比率是明确定义的，这两个数字可以变得非常小。如果这个比率 接近 极限，我们就有了一个完美的答案：
斜率为 是极限 
从 到 ， 只是 . 上面的距离是从 到 让我来展示一下代数如何直接导致 什么时候 ：

注意计算！“主导项” 和 相互抵消。这里的重要项是 。这个“一阶项”负责大部分 。在这个例子中，“二阶项”是 。在我们除以 之后，这个项仍然很小。随着步长 趋近于零，这部分 将消失。
那个限制过程 产生斜率 在某一点。一阶项存在于 高阶项消失。

代数产生了 。在极限中，微积分给了我们 。看看图表，看到这些步骤的几何形状。上升/横跨的比率 是图表上两点之间的斜率。这两点在极限中聚在一起。然后 在一个单一点上接近斜率 。
连接前两张图上的点的色线称为“弦”。它们接近第三张图上的色线，该色线只在一个点处相切。这是曲线的“切线”。以下是微分学的思想：

要找到这条切线的方程，回到代数。选择任何特定值 。在 轴上方的位置，图形的高度为 。在图形的那一点的切线的斜率为 。我们想要通过那个点且具有该斜率的直线的方程。
在 和 ，这个方程变成 。方程成立，点位于直线上。此外，直线的斜率与斜率相等 曲线的两边除以 ：
切线 是正确的斜率 。 
让我再说一遍。曲线 弯曲时，切线为直线。这条线尽可能靠近曲线，靠近它们相切的点。切线对非线性函数进行线性近似 ：
我只是搬了 在等式（1）的右边。然后我用符号 表示“大致相等”，因为符号 是错误的：曲线弯曲。
对未来很重要：这种弯曲来自 。 

 二阶导数


第一导数是斜率 。第二导数是斜率的斜率。幸运的是，我们在前一节中找到了 的斜率（很容易做到，它只是常数 2）。注意斜率的斜率的符号 ：

在普通语言中，第一阶导数告诉我们函数变化的速度。第二阶导数告诉我们是在加速还是减速。例子中显然是在加速，因为图形变得更陡。曲线弯曲，切线变得更陡。

也要考虑 左侧（负面）的 。图形趋近于零。它的斜率肯定是负的。但曲线仍然向上弯曲！代数与这个图像一致：在 的左侧，斜率 是负的，但二阶导数 仍然是正的。

一位经济学家或投资者会关注这三个数字： 表示经济所处位置， 表示它的走向（短期内接近切线）。但是 揭示了长期预测。我写下这些话语时，经济衰退即将结束（希望如此）。很遗憾 是负数，但很高兴 最近是正数。


距离、速度和加速度


一个很好的 和 和 的例子来自开车。函数 是行驶的距离。它的变化率（一阶导数）是速度。速度的变化率（二阶导数）是加速度。如果你踩油门，这三个值都是正的。如果你踩刹车，距离和速度可能仍然是正的，但加速度是负的：速度在下降。如果车在倒车并且你在刹车，那又会怎样呢？

速度为负（向后移动）

视频讲座提到汽车制造商不懂微积分。 仪表板上的距离计不会回到零（在倒挡时应该）。 速度表不会低于零（应该）。 我的车上根本没有加速度计。 宇宙飞船确实有加速度计，可能飞机也有。

我们经常听说宇航员或试飞员受到很高数量的 。自由落体中的普通加速度是一个 ，来自地球的重力。俯冲中的飞机和起飞的火箭将具有很高的二阶导数-火箭可能几乎不动，但却像疯狂加速。

关于这个运动示例的另一个非常有用的要点。要使用的自然字母不是 ，而是 。距离是时间的函数。图表的斜率是上/横，但现在正确的比率是（距离变化）除以（时间变化）：

这是在微积分书中不经常看到的东西-第二差分。我们知道第一差分 。它是 的变化。第二差分 是 的变化：

简化为 。我们除以 来近似加速度。当 时，这个比率 就变成了二阶导数 。


的坡度


的斜率是 。现在我想计算 和 以及所有后续幂次 的斜率。 的增长率将在第 2.2 节中再次找到。但有两个原因要早些发现这些特殊的导数：

  1. 它们的模式很简单：每个功率 的斜率是 。

  2. 接下来的部分可以介绍 。这个惊人的功能有 。

当然 符合这种模式 。指数从 降至 。此外 将较低的幂乘以 。

的斜率是 。观察 如何出现在 ：

取消 与 。然后除以 ：

 平均坡度


当步长 趋近于零时，极限值 为 。这是 。

要为 建立这种模式，唯一困难的部分是 。当 为 3 时，我们在上面的方程式（5）中将其展开。结果将始终以 开头。我们声称下一个项（ 中的“一阶项”）将是 。当我们将 的这部分除以 时，我们得到我们想要的答案- 的正确导数 。

如何看到该术语 ？我们的乘法表明 和 对于 和 3 是正确的。然后我们可以从 到达 ：

乘法产生 和 ，正是我们想要的。我们可以以相同的方式从每个 到下一个（这被称为“归纳”）。所有幂 的导数是 。

书中的第 2.2 节向您展示了这个公式的一个略有不同的证明。而关于乘积法则的视频讲座则解释了另一种方法。将 看作 乘以 的乘积，并使用 乘以 的斜率规则。

的乘积法则斜率（ 的斜率（ 的斜率）

用 和 ， 的斜率就正确了

再次，我们可以逐步增加 。很快就会出现一个真正有价值的事实，即这个导数公式对所有幂 都是正确的。指数 可以是负数，也可以是分数，或者是任何数字。斜率 总是 。

通过结合不同的 的幂，您可以知道每个“多项式”的斜率。一个例子是 。按照求和法则，逐项计算 ：

斜坡的斜率是 。第四阶导数为零！

这个斜坡 是写的 它是函数(2)

接近 作为

计算函数 的瞬时斜率
首先找到之间的平均斜率 和  
平均坡度  
写  
减去 并除以  
什么时候 ，这就变成了  
有坡度 斜率 是  
乘 经过 乘 经过 乘 经过  
有趣的事实：斜率 是  
图表显示这是合理的 
起始处的斜率为 1（稍后查找） 
正弦曲线爬升 余弦曲线  
正弦曲线顶部（平坦） 第一个点的余弦为零
正弦曲线下降 余弦曲线 子弹之间 
正弦曲线底部（平坦） 余弦在第二颗子弹时回到零

练习题

  1. 为了 ，平均斜率是多少 从 到 ？ 
  2. 瞬时斜率是多少 在 ？ 什么是 ？ 
  3. 有 。 什么是 什么时候 ？ 
  4. 为了 ，平均斜率是多少 从 到 ？ 
  5. 瞬时斜率是多少 在 ？ 
  6. 假设图 爬升至最大值  
然后它向下  
6A. 的符号是什么 为了 然后 ？ 

6B. 在 处的瞬时斜率是多少？

如果 ，请在任何点 处写出 的表达式。

我们后来看到这个 接近


0.3 指数


微积分创造的伟大功能是指数 。有不同的方法可以得到这个函数，本教科书的第 6.2 节提到了五种方法。在这里，我将描述我现在最喜欢的 方法。它使用 的导数，这是我们学到的第一件事。

在所有方法中，都会涉及到一个“限制步骤”。因此，在代数中看不到惊人的数字 （ 不是分数）。问题是在哪里采取这个限制步骤，我的答案始于这个真正引人注目的事实：当 是函数（1）时，它也是函数（2）。

函数等于其斜率。这是一个微分方程的第一个例子，它将一个未知函数 与其自身的导数联系起来。幸运的是 是最重要的微分方程，其他方程试图遵循这个模型。

我将增加一个要求，即消除类似 和 的解决方案。当 解决我们的方程时，所有其他函数 也会解决它。（ 和 将出现在 的两侧，它们会相互抵消。）在 处， 将是正数 的“零次幂”。所有零次幂都是 1。因此，当 时，我们希望 等于 1：

在解决 之前，看看这个方程的含义。当 从 开始时，它的斜率也是 1。所以 增加。因此 也增加，保持等于 。所以 增加得更快。随着函数的上升，图形变得更陡。这就是“指数增长”意味着什么。

 介绍


指数增长是相当普通和合理的。当银行支付您的存款利息时，利息与您拥有的金额成比例。在利息被添加后，您拥有更多。新的利息是基于更高金额的。您的财富是“几何级”地一步一步增长。

在这个关于 的部分结束时，我将回到连续复利的概念，即在每一刻而不是每年添加利息。这个词“连续”表明我们需要微积分。这是一个从每年、每月、每天或每秒到每一刻的极限步骤。你不会得到无限的利息，但你会得到指数增长的利息。

我还会描述其他引入 的方法。这是一个有许多答案的重要问题！我喜欢下面的方程式（1），因为我们知道每个幂的导数 。如果你在方程（1）中对它们求导，你会得到相同的 ：令人惊讶。所以这个和解决了 ，从 开始，正如我们所希望的。

困难在于总和涉及每个幂 ：一个无限级数。当我一步一步走时，您会看到这些幂都是必需的。对于这个无限级数，我要求您相信一切都有效。我们可以将级数相加得到 ，我们可以添加所有导数以查看 的斜率为 。

对我来说，仅使用 的优势是压倒性的。


0 微积分要点


我会一步一步解决 。一开始， 意味着 ：

第一次更改后， 的导数正确为 。但是后来我不得不更改 以使其等于 。我不能就此停止：

额外的 给出了斜率上的正确 。然后 也必须进入 ，以使其等于 。现在我们需要一个新术语，带有这个导数 。

给定的术语是 除以 6。 的导数是 ，所以我必须除以 （以正确取消）。然后 的导数是 ，正如我们所希望的那样。之后是 除以 24：

模式变得更加清晰。 项被 阶乘除，即 。前五个阶乘是 。该项的导数 ！是前一项 ！（因为 相互抵消）。只要我们不停止，无限多项的总和确实可以达到 ：

如果我们将 代入这个级数，无限多项相加会得到一个有限的数字 吗？是的。数字 ！增长速度比 （或任何其他 ）快得多。因此，这个“指数级数”中的项 ！会变得极小。分析表明，级数的和（即 ）确实达到 。

注意 1 让我记住一个你知道的系列， 。如果我用 替换 ，这就变成了几何级数 ，总和为 。这是数学中最重要的级数，但在 遇到了问题：无限和 不会“收敛”。

我强调 的级数始终是安全的，因为幂 被迅速增长的数字 的阶乘所除。这是一个很好的例子，早在您了解更多关于收敛和发散之前。

注意 2 这是另一种观察 系列的方法。从 开始，取其导数 次。首先得到 然后 。最后 阶导数是 (1) ，即 阶乘。当我们除以这个数字时， ! 的 阶导数等于 1。

现在看看 。它的所有导数仍然是 。它们在 处都等于 1。该级数在起始点 处与函数 的每个导数匹配。

在指数级数中设置 。这告诉我们惊人的数字 ：
 数字

前三项相加得 2.5。前五项几乎达到 2.71。我们从未达到 2.72。有相当多的项（多少？）可以超过 2.71828。可以肯定 不是一个分数。它从未出现在代数中，但它是微积分的关键数字。


通过添加指数相乘


我们以与我们写 相同的方式写 。 倍 e 是否等于 ？到目前为止， 和 来自于在无限级数中设置 和 。令人惊奇的事实是，对于每个 ，该级数产生了数字 的“ 次幂”。当 时，我们得到 ，即 ：

如果我们将 的系列乘以 的系列，我们得到 1。
最好的方法是直接进行所有 乘以任意功率 。指数加法规则表明答案是 。该系列也必须这么说！当 和 ，该规则产生 从 次 。
我们只知道 和 来自无穷级数。对于这个非常重要的规则，我们可以将这些级数相乘，并将答案识别为 . 开始吧：
你当然明白 。 你有看到 在等式（4）中？没问题：
迈向三级需要的时间稍微长一些，但也会成功：
对于高次方 我们需要二项式定理（或者对数学正确性的健康信任）。当 乘以 ，系数 将 ! 次 !. 现在在系列中寻找相同的术语 ：

那个二项式数 ！被成功的赌徒所熟知。它计算了从 张牌中选择 张 A 的方式数量。在 4 张 A 中，你可以以 种方式选择 2 张 A。对于数学家来说，从 张中选择 个的方式有 6 种。这个数字 6 将是 中 的系数。
6 出现在四度项中。它除以 4！（得到 1/4）。当 乘以 乘以 （这也产生了 1/4）。所有条件都很好，但我们不会去那里——我们接受 正如现已确认的。
注意以另一种方式看待此规则 是基于 。 从...开始 在 ，遵循这个方程。在点 ，你到达 .现在再走一段距离 到达 。

请注意，附加部分从 开始（而不是从 1 开始）。附加部分中的起始值 将乘以 。因此， 倍的 必须与 相同。（这是一个“微分方程证明”，指数相加。个人而言，我很高兴地将系列相乘并匹配项。）
规则立即给出 次 。 答案是 .如果我们再乘以 ， 我们发现 .这等于 我们正在为所有权力寻找新的规则 ：
乘以指数  
这很容易看出 进而 对所有数字来说都是如此 和 。

关于“所有数字”的最后一句话很重要！微积分在不与所有指数（不仅仅是整数或分数）一起工作的情况下无法正确发展。无限级数（1）为每个 定义 ，我们正在前进。这是图表：函数（1） 函数（2） 。

指数 和  

我们知道 和 . 但 ? 接近该数字的一种方法是替换 3.14 即 只要指数中有一个分数，我们就可以不用微积分：
分数功率 100 次方根 。 
但这只是“接近” 在微积分中，我们需要曲线的斜率 。好的方法是连接 和 ，我们知道其斜率（它是 再次）。所以我们需要将 2 和 。
关键数字是 2 的对数。它写为“ln 2”，是 产生 2。它在图表上特别标记 ：

2 的自然对数 

这个号码 是关于 计算器的准确度要高得多。在图表中 ， 号码 在 轴生产 在 轴。

这是一个示例，我们希望输出 ，并要求输入 。这与知道 并要求 的情况相反。"对数 是指数 的反函数。"这个概念将在第 4.3 节和两个视频讲座中解释-反函数并不总是简单的。
现在 对每个人都有意义 . 当我们有数字 ，满足要求 ，我们可以采取 双方的次方为：

所有 的幂都由无限级数定义。新函数 也呈指数增长，但不像 那样快（因为 2 小于 ）。可能 的图形与 相同，如果我拉伸 轴。这种拉伸将斜率乘以常数因子 。以下是代数：
对于任何正数 ，同样的方法可以得到函数 .首先，求自然对数 . 这是数字（正数或负数），以便 。然后 双方的次方为：
什么时候 是 （完美选择）， 。 什么时候 是 ， 然后 。
“对数是指数。”感谢定义 对于每一个 ，该指数可以是任意数字。
请允许我提一下欧拉大公式 . 指数 已经成为一个虚数。（你知道 ）如果我们忠实地使用 在 和 （在哪里 和 ），我们得出了这些惊人的事实：
这些方程不是虚构的，它们来自于 。 

持续复利 

有一种不同且重要的方法可以实现 和 （不是无限级数）。我们解关键方程 以小步的方式。当这些步骤趋近于零时（总是存在一个极限！）小步解决方案就变成了精确的 。
我可以用两种不同的语言来解释这个想法。每一步都乘以 ：
  1. 复利。每一步之后 ，利息加到 。然后下一步从更大的数量开始，并且 呈指数增加。
  2. 有限差分。连续 被小步骤取代 ： 
这就是欧拉的近似方法。 方法 作为 。 
让我计算一下，如果 1 年分为 12 个月，然后是 365 天，那么复利利率为 你开始 如果你只在年底获得一次利息，那么你就有 。
如果每月增加利息，你现在得到 的 每次（12 次）。因此 每月乘以 （该银行补充道 重复 12 次，最终值 改进为 ：

现在每天增加兴趣。 乘以 365 ：
很少有银行使用分钟，也没有人将一年分为 秒。这将增加不到一分钱 但许多银行愿意使用连续复利，上限为 一年后，你 ：
您可以投资 利率为 年。现在每一个 步骤是为了 年。银行每一步都会增加 。1 保留你拥有的， 增加了对该步骤的兴趣。之后 您接近的步数 ：
最后，我将利率改为 。 去做 年利率 .微分方程从 到 指数函数仍然可以解决这个问题，但是现在这个解决方案是 ：
将费率更改为
你可以写下系列 并取其导数：

导数 降低了额外因素 。 所以 解决 。
指数型
寻找一个函数 等于其自身的导数
微分方程！我们从 和
无限系列
取导数
逐学期 同意 限制步骤 将此系列加起来 （1）增长速度远快于 所以项变得非常小 号码 叫做 。 放 在系列中找到
目标表明 同意 对全部 系列给出的权力
检查级数是否遵循添加指数的规则，如下所示
直接乘以系列 次 要得到
次 为 更高的条件也有效
该系列给我们 每一个 ，而不仅仅是整数
查看 是的！
第二条关键规则 对于每一个 和  
另一种方法 使用乘法而不是无限求和开始于 . 每天按年利率赚取利息
将 365 乘以 . 用以下方式结束这一年
立即付款 一年中有多次。 作为
我们正在解决 在 短步骤 .极限解 。 

0 微积分的亮点

练习题


  1. 什么是 的导数？什么是 的导数？
  2. 如何看待 变得很小 ？ 
从...开始 和 ，可能很大。但我们乘以 变小了。
  1. 为什么是 和...一样 ? 使用公式（3）并且也使用公式（6）。
  2. 为什么是 之间 和 ？ 然后 。 
  3. 你能解决吗 从...开始 在 ？ 
为什么是 正确答案是什么？注意 3 是如何相乘的 。
  1. 你能解决吗 从...开始 在 ？ 
为什么是 正确答案是什么？注意指数中的 5！
  1. 为什么 方法 1 为 变小？使用 系列。
  2. 绘制图形 ，只需翻转图形 跨越 线 . 请记住 保持积极态度，但 可以是负数。
  3. 确切的总和是多少 ？ 
  4. 如果你更换 除以 0.7，这四项之和是多少？
  5. 来自欧拉大公式 ，数字是多少 ？ 
  6. 距离有多近 到 ？ 
  7. 什么是极限 作为 ？ 

0.4 视频总结和练习题


本节旨在帮助观看《微积分要点》视频讲座的读者。在我写下这些文字时，前五个视频刚刚在 ocw.mit.edu 上发布。0.1-0.2-0.3 节详细讨论了三次讲座的内容。其他两节的摘要和练习问题将首先出现在本节中：
  1. 最大值、最小值和二阶导数

5. 积分大图

第 5 讲是积分学的入门课程。第二组视频讲座更深入地介绍了微分学 - 计算和使用导数的规则。

这第二套现在交给视频编辑，当我在黑板上写字时放大，为了全貌而缩小。我刚从麻省理工学院的公开课程借了一台摄像机，把它放在一个空房间里。反正我不擅长看观众，所以没人看的时候更容易！
我希望将计划与这些视频一起发布的摘要和练习题打印在这里会有所帮助。以下是主题：
  1. 正弦和余弦的导数
  2. 乘法和商法则
  3. 斜率的链式法则
  4. 反函数和对数
  5. 增长率和对数图
  6. 线性近似和牛顿法
  7. 增长微分方程
  8. 运动微分方程
  9. 幂级数和欧拉公式
  10. 六大功能、六条规则、六条定理
最后一节课总结了微分学的理论。其他课程解释了这些步骤。以下是为最大最小视频编写的第一行。
最大值、最小值和二阶导数
查找函数的最大值和最小值
解决 寻找点 斜率 零
测试每一个 可能的最小值或最大值
例子 解决
斜率是 在 和  
在那些点 和  
是最低限度看看 二阶导数 的导数 。这个二阶导数是 。 斜率由下而上增加 弯曲是向上的，这 是最低限度
减少 斜坡从上到下
 弯曲向下， 是最大值
找到最大值 使用
当斜率为零时 在 度 弧度 
这一点 有
二阶导数是
在 这是 正在弯腰 是最大值 
当曲线向上弯曲时 当曲线向下弯曲时
弯曲方向在拐点处改变，其中
哪个 给出最小值 ？ 
你可以写  
斜率是 在最低点  
然后 和 最低点是  
关键 / 单词问题是选择合适的含义  

练习题

  1. 哪个 给出最小值 ？ 解决 。 
  2. 寻找 为了 。 这是 所以抛物线会向上弯曲。
  3. 找到最大高度 。 解决 。 
  4. 寻找 表明该抛物线向下弯曲。 
  5. 为了 显示 在 。 
寻找 . 通过符号检查最大值与最小值 。 
  1. 至少解释一下为什么 和 。 
  2. 弯下腰 弯曲的变化 在…时：此时 做 有这样的道理吗？
  3. 认为 . 最大值是多少 次 ？ 
本题要求最多 。 
找到斜率 为零。什么是 次 ？ 
积分的全景 
关键问题 恢复积分 及其衍生物  
根据速度记录找出行驶的总距离 
查找函数 总高度知道功能 自开始以来的坡度
最简单的方法识别 作为已知  
如果 那么它的积分 曾是 函数（1） 
如果 然后  
积分学是微分学的逆 
记录了斜坡的整个历史 找到  
积分就像和，导数就像差 
总和 
{
差异
取消通知 高度变化
} 
将差值除以步长并乘以  
总和 还是  
现在让 总和变为积分 
微积分基本定理  
积分反转导数并返回  
积分和微分是逆运算 
逆序基本定理  
关键 积分的含义是什么 ? 添加短 。 
例子 显示速度和坡度增加。查找 。 
方法 有所需的导数 （这是最简单的方法！）
方法 2 图形下方的三角形 有面积
从 0 到 ， 根据 和身高 和面积 。 
[大多数形状都比较难！面积来自积分 或者 ]
方法 3（基本方法）以恒定速度添加短时间步骤
在一个步骤中 ，距离接近

是该步骤的开始时间， 是起始速度
这并不准确，因为速度会随时间发生一点变化
总距离精确为 和总和 不可缺少的
每个台阶的图片都显示一个又高又细的矩形
总和 所有矩形的总面积
现在 矩形填充三角形的积分 精确面积 图表下方
基本定理领域 有所需的导数
原因： 是下面的薄区域 之间 和  
是那个细“矩形”的底部 是那个细“矩形”的高度
这个高度 方法 作为基础  

练习题 

  1. 有什么功能 有常数导数 ？ 
  2. 从 0 到 在图表下 ？ 
  3. 从 到 2 ，求积分 。  
  4. 什么功能 有导数 ？ 
  5. 从 至 2 ，求面积 。 
  6. 就在这一瞬间 ， 什么是 ？ 
  7. 从 0 到 ，曲线下的面积 不是 。 
如果 很小，面积也一定很小。错误答案 不小啊！
  1. 从 0 到 ，正确的区域 是 。 
斜坡 是 现在开始区域 是  
9. 和数也一样。注意 在 。 
总数是 成为  
面积 从 0 到 变成 。 
正弦和余弦的导数 
本次讲座表明 和  
我们必须测量角度 以弧度表示 弧度 360 度全景
绕着圆圈走一圈（ 弧度） 长度 当半径为 1 时

部分地绕着圆圈（ 弧度）

当半径为 1 时，长度
 坡度
 坡度
 在 坡
 在 坡
 在 坡

问题： 并不像 那么简单

从 展示 的方法开始是个好主意

用角度 画一个直角三角形来看

直线长度 曲线长度

IDEA 和 将挤压 作为

证明 是 去一个更大的三角形

挤压 告诉我们 接近 1
  表示
所以 余弦曲线有斜率  
对于其他位置的斜率 记住三角学中的一个公式：
我们想要 除以  
现在让  
在极限 的导数  
为了 公式为 类似于  

练习题 

  1. 斜率是多少 在 以及 ？ 
  2. 斜率是多少 在 和 ？ 
  3. 斜率 是 . 斜率 是 。 
综合起来，斜率为 为零。为什么这是事实？
  1. 的二阶导数是什么 （导数的导数）？ 
  2. 在什么角度 做 斜率为零？ 
  3. 以下是令人惊叹的无限级数 和  
  1. 对正弦级数取导数可得到余弦级数。 
  2. 对余弦级数取导数，可得出减正弦级数。
  3. Those series tell us that for small angles 和 . 使用这些近似值检查 接近于 1 。 
乘法和商法则 
目标 寻找导数 从 和  
想法写 通过分离 和 同样的 是  
产品规则  
例子 产品规则  
图片显示了两片未着色的  
例子  
产品规则  
正确的导数 得出正确的导数  
商法则如果 然后 例子 这说明 （注意 ） 例子 这是 证明商法则 写这个 作为
现在划分 经过 作为 我们有商法则 

练习题 

  1. 乘积规则：求导 . 简化并解释。 
  2. 乘积规则：求导 . 简化并解释。 
  3. 商法则：求导数 。 
  4. 商法则：证明 最大值（零斜率）为 。 
  5. 乘积和商！求导数 。 
  6. 最小值 和 图表正在弯曲 在该点处有最大值：证明 和
斜率的链式法则  
 链条是
链条是  
平均坡度 只需取消  
瞬时坡度 链式法则（如取消 ） 
你必须改变 到 在最终答案中 
链条示例  
链式法则  
代替 经过 仅获得  
查看 确实有  
  1. 寻找 为了 写 和 所以  
  2. 寻找 为了 写 和 所以  
查看 所以  

练习题 

  1. 寻找 为了  
首先是乘积法则，然后是每个因子的链式法则
  1. 艰难的挑战：求  
查看  
二阶导数 好的 
反函数和对数 
函数分配输出 对每个输入  
一对一函数具有不同的输出 对于不同的输入
对于反函数，输入是 输出为  
例如如果 然后  
关键如果 然后求解 反函数 
请注意 和  
链式法则将连接 和  
微积分的伟大功能是  
它的反函数是“自然对数”  
记住 是指数  
规则 告诉我们  
添加对数是因为添加了指数：  
（乘以指数）告诉我们  
我们可以从基地改变 以 10 为基数：新功能
反函数是对数的底数 称之为日志：  
然后 和 和  
我们很快就会找到  
您可以更改字母来将其写为  

练习题 

  1. 什么是 如果 ？ 
  2. 什么是 如果 ?为什么我们保持 ？ 
  3. 绘制增函数的图形 . 这有不同的输出 对于不同的 翻转图表（切换轴）以查看
  4. 该图具有相同的 从两个 's。没有  
  1. 自然对数 是 ？ 什么是 ？ 
  2. 自然对数 是 ? 并且十进制也有 ？ 
  3. 自然对数 是 ? 以 10 为底的对数 是 ？ 
  4. 我相信 因为我们可以写 两种方式 并且 . 解释最后的步骤。
  5. 从基础改变 并将十进制转换为二进制。现在 方法 . 什么是 和 ？ 为什么是 ？

增长率和对数图

按快速增长顺序 变大 
选择 以便 可以使用  
为什么是 ? 对数最适合大数 
对数是指数！ 非常慢 
对数  
多项式增长 « 指数增长 « 阶乘增长 
负幂和负指数衰减为零 
衰减得比指数慢得多  
对数刻度显示 等距分布。没有零！ 
问题如果 绘制出来后，你会看到什么？ 
答案它们的间距也是相等的！ 
对数-对数图（对数放大和缩小） 
如果 ，如何查看 和 在图表上？ 
阴谋 相对 得到一条直线 
对数对数图上的斜率是指数  
为了 使用半对数（ 相对 现在是一条线）  
新类型的问题 方法 作为 ？ 
错误 将 什么是 ？ 
常规单侧 只有  
中心差值 有  
居中比单侧好得多 对比  

练习题 

  1. 做 增长速度快于或慢于 作为 变大了吗？
  2. 做 增长速度快于或慢于 作为 变大？ 
  3. 将这些按升序排列以获得较大的 ： 
  1. 将这些按升序排列以获得较大的 ： 
  1. 描述对数-对数图 （图形 对比 ） 
我们为什么看不到 在 在这个图表上？ 
对数-对数图上直线的斜率是多少？ 
当直线与纵轴相交时 和  
然后 和  
当 和  
然后 和  
  1. 画出半对数图（一条线） （图形 相对 ） 
  2. 这条线穿过 轴 ? 斜率是多少？ 

线性近似和牛顿法

开始于 已知 高度和 坡 
核心思想 什么时候 近  
切线有斜率  
求解  
意思是“大约” 
曲线 线附近  
线性近似的例子  
  1. 和 众所周知  
沿着切线  
是级数的线性部分  
2. 和 和 已知 沿着切线 靠近  
拿 大约是
牛顿法（寻找 几乎解决 ） 
返回 和 再次被人知晓 
求解 什么时候  
 牛顿
曲线交叉口附近的线交叉口
牛顿法求解示例
  1. 给出 和  
切线在 0 处相交 牛顿的 将是 1.1
  1. 为了更好的 ，牛顿从这一点重新开始
现在 和  
新的切线有 为了这 非常接近 1.2

练习题

  1. 图表 是直的  
    在 高度是  
    在 斜率是  
    该图 到图表 在  
为了 在 这个线性近似是  
2. 有 什么时候  
而不是曲线 穿过 0 ，牛顿有切线 穿越 0 
在 有 和  
牛顿法给出  
这个牛顿 几乎有 . 它确实有 。 

增长微分方程

现在包括恒定源项 这给出了一个新的方程 正在保存， 正在花费， 是兴趣 完整的解决方案 （任何 给出了解决方案） 是恒定的解 和 和

为了解决这个问题， 完全平衡收入
选择 从...开始 在  
现在添加非线性项 来自竞争 
当时世界人口 （例如）遵循一个新方程 出生率减去死亡率
“物流方程” 因为每个人都在和其他人竞争
恢复线性方程组  
然后  
产生了我们的线性方程（没有 ） 和 不是  
旧解决方案更改为  
在 我们正确得到 正确开始 
作为 和 我们得到 和  
人口 沿着增加 -曲线接近  

练习题

有 支出率而非储蓄率（带减号） 
  1. 常数解是 什么时候  
在这种情况下，利息收入平衡支出：  
  1. 完整的解决方案是 。 为什么是 ？ 
  2. 如果你开始 为什么财富接近 ？ 
如果你开始 为什么财富接近 ？ 
  1. 完整的解决方案 是  
有什么解决办法 开始于 在 ？ 
  1. 如果 和 解释为什么  
纯粹的竞争。表明 作为  
  1. 如果 找到一个线性方程  

运动微分方程

微分方程 可能涉及 并且  
以下是带有解决方案的示例 和 可以是任意数字
现在包括 并寻找解决方法 
有一个阻尼项 尝试  
替代 给出  
取消 留下关键方程  
二次公式给出 两种解决方案 和  
微分方程的解为  
特例 有 然后 进入  
例子 和 和 是 然后  
解决方案 无振荡的过阻尼示例 2 更改为 有
来自虚部的振荡 真实部分衰减-3 
解决方案  
导致  
示例 3 更改为 现在 （重复根） 
解决方案 包括因素  

练习题

  1. 为了 找到两个解决方案 . 什么是 和 ？ 
  2. 为了 找到两个解决方案 。 什么是 ？ 
  3. 为了 找到两个解决方案 和 （？？？） 
  4. 放 进入 找到 和 （实数） 
  5. 放 进入 找到 和 （复数） 
  6. 放 进入 找到 和 （相等数量） 
现在 。 因素 出现在  
幂级数和欧拉公式
在 ， 这 的阶导数 是数字 其他导数为 0 。乘以 的阶导数 经过 ! 将函数与系列相匹配
例子 所有衍生品 在 匹配  
例子  
奇数幂  
假想 进而 找到指数  
欧拉的伟大公式  
结合 4 个伟大的数字 
另外两个幂级数的例子（泰勒级数 ） 
“几何系列” 
“几何级数的积分” 
积分  六大功能  衍生品 
斜坡函数  阶跃函数  Delta 函数 
0
1
0

微分学的六条规则 

  1. 的导数 是  
  2. 的导数 是  
  3. 的导数 是  
商 
  1. 的导数 ） 是 在哪里  
链 
  1. 的导数 是  
逆 
  1. 什么时候 和 作为 ， 关于什么 ? 医院 
如果存在这些限制。通常这是  

微积分基本定理 

如果 然后是积分的导数  
如果 然后积分导数  
两部分都假设 是连续函数。 
所有价值定理假设 是连续函数 然后在这段时间里， 达到最大值 及其最小值 。 和 取介于之间的所有值 和 （没有跳跃）。
均值定理如果 有导数 然后 
“在某个时刻 ，瞬时速度 平均速度” 
泰勒级数匹配所有导数 在基点  
停止于 留下错误 ！ 
[ 介于 和 是中值定理] 
泰勒级数看起来最好  
二项式定理显示帕斯卡三角形 
这些只是泰勒级数 什么时候  
被除以 找到泰勒系数 二项式系数 
系列停止于 什么时候 其他无限系列  
每一个  

练习题

  1. 检查导数 是 。 
  2. “符号函数”是  
什么是斜坡函数 有 ？ 是 。 
为什么是导数 ？（无限尖峰 面积 2) 

  1. (l'Hôpital) 当 时， 的极限是多少？ 呢？
  2. 洛必达法则规定 ？？ 什么时候 。 这里 。 


5. 导数就像差分 积分就像求和


和的差异 如果 ，那么 是多少？

差异之和是什么？ 是什么？

这些是“差分微积分”的基本定理

  1. 为 绘制一个非连续图形，其中您的函数不会达到最大值。

  2. 对于 ，在中间点 给出 ？

  3. 如果您在马萨诸塞州派克高速公路上的平均速度为 75 英里/小时，那么在某一瞬间，您的速度表将显示 。

  4. 找到 周围 的三个泰勒系数 。

  1. 找到 的 泰勒（二项式）级数，围绕 。


0.5 图表和图形计算器


这本书以“微积分是关于函数的”这句话开头。当这些函数由像 这样的公式给出时，我们现在知道斜率（甚至是斜率的斜率）的公式。当我们只有函数的粗略图时，我们不能期望得到比斜率的粗略图更多的信息。但图表在微积分的应用中非常有价值！

从 的图表中，本节提取了关于增长率（斜率）、最小/最大值和弯曲（以及面积）的基本信息。这些信息的很大一部分包含在正负号中。 在增加吗？它的斜率在增加吗？其图表下的面积在增加吗？在每种情况下，某个数字大于零。这三个数字分别是 和 和 本身。

当这些数字中的一个恰好为零时，我们总是会遇到特殊情况。数学发明了零，这是一件好事，我们需要它。

本节按照两个主题组织：

(1) 绘制的图表没有公式 。从该图表中，您可以绘制其他图表-斜率 ，二阶导数 ，图表下的面积 。

您还可以确定这些函数在哪些地方是正数或负数，特别是 或 或 为零的点。

（2）由计算器或计算机绘制的图形。现在有一个公式 。显示屏允许我们猜测导数的规则：


链式法则 反函数法则 洛必达法则


这些规则出现在书的后面章节。它们也在《微积分要点》中有解释，这是供所有人观看的视频讲座。一个具体的目标是看到 的导数与 成正比。

这一部分得到了本杰明·戈德斯坦提出的想法的大幅改进。

 没有公式的图表


  1. 假设这是某个函数的图形

a. 在哪个值的 处 有一个局部最小值？

b. 在什么值的 时， 有局部最大值？

c. 在什么值的 上， 有一个拐点？（估计。）

  1. 让我们改变问题。假设这是 的导数图形。回答关于 的原始函数的以下问题。

a. 在哪个值的 处 有一个局部最小值？

b. 在什么值的 时， 有局部最大值？

c. 在什么值的 上， 有一个拐点？

  1. 另一种变化。假设这是二阶导数的图形 （斜率的斜率）。如果这些问题中有任何一个无法回答，请解释原因。

a. 在哪个值的 处 有一个局部最小值？

b. 在什么值的 时， 有局部最大值？

c. 在什么值的 上， 有一个拐点？

  1. 回答这第二张图的相同 9 个问题。

  1. 下表显示了汽车在选定时间的速度。
 时间 0 5 10 15 20 二十五 三十 三十五
 速度 四十五 40 三十 40 四十五 40 三十 二十五

a. 车辆是否曾经以加速度 移动？请证明你的答案。

b. 如果 表示汽车的位置作为时间的函数，是否曾经有过 ？请证明你的答案。第三阶导数有时被称为“急加速度”，因为它表示运动的急剧程度。这对过山车设计师很重要。

c. 你在回答(a)和(b)部分时对 和(更重要的是) 做了什么假设？这些假设合理吗？


0.5 图表和图形计算器


在计算器上的链式法则


在您的计算器上，绘制 及其斜率 。确保您处于弧度模式，并选择三角函数查看窗口。

  1. 看起来是什么功能？

  2. 将 更改为 。现在 似乎是什么功能？通过绘制真正的导数来检查您的猜测。

  3. 最后，将 更改为 。这次 看起来是什么？

  4. 猜想：如果 是某个常数，则 的导数是 。

b. 这些函数是链（也称为组合）。它们可以用形式 写成。对于 ，外部函数是 ，内部函数是 。

c. 到目前为止，内部函数 一直是线性的，但它不必是。让 。

推测： 当 。

通过绘制 并将其与数值导数的图形进行比较来检查您的猜测。

d. 现在我们进行概括。假设 是任何函数。如果 ，那么 。

e. 正弦函数并没有什么神奇之处。每当我们有一个外部函数和一个内部函数的组合时，链式法则就适用。预测以下导数，并通过在计算器上绘制数值导数来进行检查。

 微积分中的计算


软件可用于微积分课程-有很多。这些软件包不断改进。要使用哪个程序（如果有的话）取决于成本、便利性和目的。如何使用它是一个更难的问题。这些页面确定了一些目标。我们的目标是支持，并举例说明，努力利用计算来帮助学习。

对于微积分来说，计算机最大的优势是提供图形。你看到的是函数，而不仅仅是公式。当你观察时， 达到最大值、最小值或零点。另一个图表显示它的导数。这些陈述并非 真实，因为每个人一开始学习时就会立即发现-只要输入了几个函数。但是看到这个主题的能力是巨大的，因为它是可调整的。如果我们不喜欢这幅图，我们可以切换到一个新的视窗。

这是基于计算机的图形。它将数值计算与图形计算相结合。您既可以得到图片，也可以得到数字-这是一个强大的组合。计算机提供了实际使用函数的体验。定义域和值域不仅仅是抽象的概念。您可以选择它们。我可以举几个例子吗。

示例 1 当 时， 确实等于 。那些图形会再次相遇吗？在这一点上，我们不知道 的完整含义，除非 是一个好的数字。（计算机也不知道。）在 和 4 处检查，函数 在这两次都更小： 低于 ， 低于 。如果 总是小于 ，我们应该知道 - 这些是数学的基本功能之一。

计算机将以数字或图形方式回答。在我们的命令下，它解决 。在另一个命令下，它绘制两个函数-这显示更多。屏幕证明了一个我们忽略的逻辑（或数学）观点。如果图形交叉一次，它们必须再次交叉-因为 在 2 和 4 处更高。通过放大可以看到接近 2.5 的交点。我对确切数字不太感兴趣，而是对其位置感兴趣-它在 之前而不是之后。

从这样一个基本的例子中得出一些结论：

  1. 一台超级计算机并非必需。

  2. 高级编程不是必需的。

  3. 我们可以在不完全理解的情况下进行数学。

第三点听起来不太好。用不同的方式写：我们可以在做的时候学习数学。教授微积分最困难的部分是将其从一种观众体育转变为一种锻炼。计算机使这成为可能。

示例 2（心理计算机）将 与 进行比较。这些函数在 相遇。它们再次在哪里相遇？是在 2 之前还是之后？

这是心智计算，因为答案恰好是一个整数（4）。现在我们走上了不同的道路。像 这样的事故会再次发生吗？机器能告诉我们整数吗？也许它可以绘制 的解。我向 Mathematica 询问了一个公式，希望发现 作为 的函数-但程序只是返回了方程。这一次，机器打出了 HELP，而不是用户。

嗯，数学并不无助。我为微积分感到自豪。在第 6.4 节末尾有一个新的练习，可以证明我们再也看不到整数了。

示例 3 找到数字 ，使得 只有一个解（在 处）。

当 为 3 时，第二个解决方案低于 3。当 为 2 时，第二个解决方案（4）高于 2。如果我们将 从 2 移动到 3，必须有一个特殊的“双点”-图形几乎接触但不相交。对于特定的 - 仅对于那个值 - 曲线 永远不会超过 。

这个特殊点 可以通过基于计算机图形找到。在许多方面，它是“微积分的中心点”。由于曲线相切但不相交，它们是切线。它们在双重点处具有相同的斜率。微积分是为了处理斜率而创造的，我们已经知道 的斜率。很快就会出现 。最终我们发现 的斜率，并确定微积分中最重要的数字。

问题在于这个数字可以通过实验首先发现。

示例 4 图 。找到它的最小值。在 附近放大。

从 和 的导数中，证明 在 处。
如果你尝试，你也可以找到下一个导数 . 你能明白为什么吗 在 ？


0.5 图表和图形计算器


下一个例子是由唐·斯莫尔提出的。解决 。第一个工具是代数-尝试对多项式进行因式分解。这对于二次多项式是成功的，然后变得非常困难。即使计算机可以比我们更好地进行代数运算，但因式分解很少是正确的方法。实际上，我们有两个好选择：
  1. （数学）利用导数。用牛顿法求解。 
  2. （图形）绘制函数并放大。 

两者都将由计算机完成。两者都存在潜在问题！ 牛顿法很快，但这意味着它可能很快失败。（通常很棒。）绘制图形也很快——但解决方案可能在视图窗口之外。 这个特定函数只在标准窗口从-10 到 10 处为零。图表似乎正在离开零点，但数学再次预测会有第二个交点。 因此，在放大之前我们先缩小。

使用缩放是绘图的最佳部分。我们不仅选择定义域和值域，还改变它们。查看窗口由四个数字控制。它们可以是限制 和 。它们可以是两个对角的坐标： 和 。它们可以是中心位置 和比例因子 和 。点击缩放框的对角是最快的方法，除非中心位置不变且只需给出比例因子。（更快的方法：使用默认因子。）第 3.4 节讨论了中心变换和缩放变换-屏幕上的图片变化和函数内部变量的变化。
例 5 找出所有实数解 。 
例 6 缩小和放大图表 和 . 描述你所看到的。
例 7 接近 ? 对于小 机器最终无法分离棕褐色 从 . 它可能给予 你能靠近一点看到极限吗 作为 ？

符号计算 


在符号计算中，答案可以是公式，也可以是数字和图形。 的导数被视为 " "。 的导数是 " "。 的斜率已知于程序。计算机不仅仅是将数字代入公式中-它直接在公式上操作。我们需要思考这与学习微积分的关系。

在某种程度上，符号计算接近于我们自己所做的事情。也许太过接近，有一些危险，即符号操作是我们所做的全部。通过一种更高级的语言和足够的能力，计算机可以打印 的导数。那么为什么要学习链式法则呢？因为数学比“带有公式的代数”更深入。我们处理的是思想。

我想明确地说：数学不是公式、计算甚至证明，而是思想。符号和图片是语言。书籍、教授和计算机可以一起教授它。计算机应该是无威胁的（就像这本书和你的教授）- 你可以按自己的步调工作。你的任务是通过实践学习。

例 8 计算机代数系统快速找到 100 的阶乘。这是 。这个数字有 158 位数（这里没有写出）。最后 24 位数是零。对于 ，有七位数和两个零。在 10 和 100 之间，以及之后，有一些需要思考的简单问题：
  1. 这个数字大约有多少位 ！？ 
  2. 末尾有多少个零（确切的） ！？ 
对于问题 1，计算机显示超过 数字时 . 它永远不会显示超过 数字，因为没有一个 术语可以有多个 数字。更严格的界限是 ，但这是真的吗？ ! 总是少于 数字？
对于问题 2，可以解释 10! 中的零。一个来自 10，另一个来自 5 乘以 2。（10 也是 5 乘以 2。）你能解释 100! 中的 24 个零吗？纸牌游戏二十一点中的一个想法也适用于此：数 5。
难题：200 末尾有多少个零！？ 

在微积分写作中，我可以强调写作的重要性吗？当答案只是一个数字时，我们完全忽略了它。一份一页的报告对教师和学生都更加困难，但更有价值。你不能写出句子而不被迫组织思想，而你的一部分也会融入其中。

我将提出一个带有选项的写作练习。如果您有基于计算机的绘图工具，请按照上面的示例 进行操作并报告。如果没有计算机，请从本书中选择一个应该更清晰的段落并使其更清晰。用示例重写它。在开始时确定关键思想，解释它，并在最后以不同方式表达。思想就像表面-它们可以从许多角度看到。
数学可以通过谈论和写作来学习——这是人类的活动。我们的目标不是测试，而是教和学。
麻省理工学院开放课程 

资源：微积分 

吉尔伯特·斯特朗 
以下内容可能与 MIT OpenCourseWare 上的特定课程不对应，但作者已将其作为个人学习资源提供。
有关引用这些材料或我们的使用条款的信息，请访问：https://ocw.mit.edu/terms。
麻省理工学院开放课程 

资源：微积分 

吉尔伯特·斯特朗 
以下内容可能与 MIT OpenCourseWare 上的特定课程不对应，但作者已将其作为个人学习资源提供。
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