基于优化算法的路径规划和速度提升问题
基于优化算法的路径规划和速度提升问题
廖炳权 *
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湖南科技大学
湖南科技大学
中国 湘潭
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赵亚琴
赵亚琴
湖南科技大学
湖南科技大学
中国 湘潭
中国 湘潭
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何佩琪
湖南科技大学
湖南科技大学
中国 湘潭
中国 湘潭
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摘要—本文通过数学模型对传统民俗文化活动“长凳龙”的运动过程进行模拟和优化，使其路径和速度得到优化。首先，构建了俯仰优化模型;约束是在到达周转空间边界的过程中，龙柄和替补席之间不会发生碰撞。采用分叉搜索算法，通过不断调整音高进行模拟，最终得到最小音高。然后，本文构建了一个优化模型，用于求解周转曲线长度的最小化。确定圆盘入口点并在螺杆线上选择满足要求的容易获得的圆盘出口点，使用几何关系建立关于二次方程的方程组，并使用 MATLAB 中的 fsolve 函数解决问题，最后得到最短的弧长。最后，该文开发了一种动态速度优化模型。以最大化水龙头的行进速度为优化目标，保持水龙头的行进速度不变，选择二分搜索算法，通过迭代计算水龙头的速度，得到满足所有约束条件的水龙头最大行进速度。
关键词 - 优化算法、路径规划、极化螺旋方程
介绍
“板凳龙”，又称“线圈龙”，其具体原理是人们将数十个甚至数百个板凳的头部和尾部相互连接起来，形成一条蜿蜒的板凳龙。在盘龙的过程中，龙头在前引，龙身尾跟随盘绕，整体呈现圆盘的形状。通常情况下，所需的区域越小，龙的行进速度越快，只要舞龙队能够顺利地进出圆圈，场面就越壮观 [1].
“工作台龙”的周转空间是一个直径为 9 m 的圆形区域，以螺纹中心为中心。本文建立了一个节距优化模型，以确定舞龙队从顺时针转为逆时针线圈所需的最小节距。此外，舞龙队的周转路径在给定的条件下进行调整，使其从卷入到卷出，螺纹中心对称。头部转向路径由两个切线圆弧组成，其中前一个圆弧的极径是后者的两倍，并且与线圈输入和线圈输出螺线管相切。在保持线段曲线的切线属性的同时，将最小化转弯路径的长度。最后，确定该路径下水龙头的最大行驶速度。
基于二分搜索算法的音高优化模型
非线性方程的建立
俯仰变化规则分析
周转空间是一个直径为 9 米的圆形区域，如下图所示;当长凳龙沿螺旋线盘绕时，在回转圆区的边界间隔之间有一个带有切点的螺旋弧，这个点称为临界点，用红点表示;蓝色螺旋线代表盘绕的板凳龙的运动轨迹，如下图 1 所示。
长凳龙盘示意图
当间距较小时，即相邻的内外长凳之间的距离较小，那么长凳之间发生碰撞的机会更大，因此要镀的圈数较少;当间距增加时，相邻的内外板之间的距离越大，那么板凳之间发生碰撞的机会就越小，所以要镀的圈数可以越大，内区越接近内区。上述定律是后续更新音高范围的理论依据。
在重新分析了 pitch change 规则之后，为了解决 pitch 优化问题，首先需要先确定目标函数和约束条件。
（1）目标函数：确定最小间距 p
（2）约束条件：龙柄必须到达周转区边界（直径9米的圆形区域）;板凳之间不得碰撞。
模拟舞龙队活动
（1） 建立水龙头的运动方程
众所周知，水龙头是顺时针旋转的，水龙头的初始位置位于标记为点 A 的第 16 个圆圈中，杆的位置是 O 点，从坐标原点到初始点位置的线方向是-极轴，从 O 点到 P 点的直线距离就是极径，极坐标系的建立如下图 2 所示。
螺纹示意图
阿基米德螺线管方程的表达式是已知的：
(1) |
其中 r 表示从极轴到点的距离，这里称为极径; 表示极角，指的是旋转的角度;k 是螺线管系数;表示最终停止点的极径，从上述建立坐标的过程可以看出，当, .将上述内容相加，表达式变为：
其中 r 表示从极轴到点的距离，这里称为极径; 表示极角，指的是旋转的角度;k 是螺线管系数; 表示最终停止点的极径，从上述建立坐标的过程可以看出，当 .将上述内容相加，表达式变为：
(2) |
目前只掌握龙头速度是恒定的 1m/s 这个信息，所以需要从龙头开始，首先确定龙头在任何时刻的极角和极径，为了找出递归关系公式，才能投影出各个部分在特定时刻的极角和极径， 然后确定特定时间点的具体位置的各个部分的表格主题。
设极径位置的水龙头第 i 个圆为：
(3) |
水龙头第 i-1 圈的极径位于与前一点相同的极径方向对应的位置：
(4) |
这如下面的图 3 所示。
极径示意图
这导致了 k 的表达式：
(5) |
其中 p 表示螺距，磁极直径和磁极角的方程可以得到：
(6) |
根据行驶距离的微分公式：[2]，可以引入螺旋线弧长的公式：
(7) |
这里的 Wv 表示敲击的速度。
然后使用极坐标曲线弧长公式获得螺旋线弧长的微分表达式：
(8) |
W在这里 是弧长， 是极径，而 ， 是速度的大小，它始终为正。
得到简化：
(9) |
的方程式,和可以获得：
(10) |
可以得到线速度的表达式：
(11) | |
(12) |
将水龙头速度代入上述方程式可得到：
(13) |
考虑速度方向与极坐标路径之间的角度，长凳龙的运动方程为：
(14) |
在建立了长凳龙的运动模型后，为了更准确地模拟舞龙队的运动，本文将建立龙头的运动方程以及长凳上两个手柄之间的功能关系。
(2） 后手柄的非线性方程
（2） 后手柄的非线性方程
设前手柄的坐标为 ，设后手柄的坐标为 。得到关于后手柄的非线性方程：
(15) |
由于约束条件的复杂性和显式表达的难度，为了解决最优音高，本文采用分叉搜索算法对音高进行优化。通过在给定的音高搜索间隔内将间隔一分为二，搜索范围会逐渐缩小以近似最佳解决方案。
最小间距解决方案
为了满足找到最小间距的约束条件，本文选择二分搜索的方法，具体步骤如下所示 [4]:
Step1： 初始化音高范围并设置最大音高 和最小音高。
第 2 步：计算中位数音高：。
Step3： 用俯仰模拟舞龙队的移动，判断板凳龙是否能移动到折返区域，检测板凳之间是否会有碰撞。
Step4： 如果在移动到周转区域的过程中会检测到碰撞，说明间距很小，那么可以适当减小间距，让：;反之，间距会适当增加，让： 。
Step5：迭代以上步骤，直到间距的上限和下限之差小于差值容差值，此时得到的间距 就是最小间距 [5].
本文采用分叉搜索算法进行俯仰优化，最终计算出最小俯仰为 0.455m，对应的最小角度为 62.1414rad。在算法运行过程中，得到最小角度和最小螺距的相关数据表，并绘制出螺距和最小角度的曲线，结果如图 4 所示
螺线管与最小角度的关系图
在上图中，蓝色实线表示实际最小角度随螺距的变化，而红色虚线表示理论最小角度随螺距的变化。通过观察可以发现，两者的变化趋势基本相同，都表现出最小角度随螺距的增加而逐渐减小的规律。这一现象表明，理论分析和数值模拟验证了俯仰越大，运动中最小角度越小的趋势。但是，可以观察到，图中最小角度的趋势并不是严格单调的，并且在一些俯仰值处存在局部波动。这些波动可能是由数值迭代过程中引入的误差、模型简化假设和离散化过程的准确性限制引起的。尽管这些波动并不显著，但它们表明该模型可能需要提高准确性和改进数值方法以进一步优化。
此外，随着球场的增加，蓝线和红线整体呈下降趋势，这表明当球场较大时，舞龙队能够更深入地参与。在 0.455m 的间距处，实际最小角度非常接近理论最小角度，间隙很小。这表明该模型的计算结果具有较高的准确率，理论与实际情况的吻合性较好，验证了该模型的合理性。
基于数学建模的周转路径优化模型
周转路径优化建模
圆盘找出螺旋方程
众所周知，圆盘的方程为 ，。因为圆盘对称成关于中心点的螺线方程之后的方程与原来的 相差 ，为了便于坐标的统一和计算，所以我们得到以下圆盘脱离螺线的方程 [3]:
(16) |
解决周转入口和退出点
设置入口点出点 为 。入口点是螺钉线与顶部空间边界的唯一交点，点外是中心对称螺钉线与顶部空间边界的唯一交点。
入口点解决方案：称为头部空间，是原点作为半径中心，本文是一个 4.5m 的圆形区域，将线圈放入螺旋方程。
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(17) |
出解点：本文的接头顶距 r 为 4.5m，接头螺线管方程的对称中心得到：
(18) |
表示转弯圆弧中心坐标
设第一和第二弧中心的水平坐标为 ，设切线到入口和出口点 或 中心对称螺线管的斜率为 。由于两个转弯圆弧与入口点和出口点 或中心对称螺线管相切，因此必须有两条直线 穿过入口和出口点 或 ，并带有斜率 （在点处垂直于切线）并穿过圆弧的第一个头部和第二个圆头，那么圆心的最终坐标都是，下面是具体的求解过程：
（1） K 的解1:
要求解螺线管在圆盘入口处任何位置的斜率，只需要。关节螺线管的直角参数方程：
(19) |
获取 slope 表达式：
(20) |
代入 上述方程的入口点可得到 该点的斜率。
（2） K 的解2:
用 K 求解相同的问题1，将关节圆盘从中心对称螺线管方程和螺线管直角参数方程中得出：
(21) |
将 出口点代入上述方程式可得到该点的斜率。
（3） 求解线的解析公式：
代入入口点的坐标和斜率 可得到该线的方程：
(22) |
求和得到周转圆弧中心坐标的表达式，分别为：
第一段圆弧中心： .第二段弧中心： .
将两条圆弧之间的拐点坐标设置为 。第一条弧线的半径为 。第二个圆弧的半径为 。
公式 1：由于 拐点 位于圆弧的第一段上，因此可以获得：
(23) |
公式 2：由于 拐点的出口点位于圆弧的第二段上，因此可以获得：
(24) |
公式 3：由于圆弧第一段的半径是圆弧第二段半径的两倍，因此积分为：
(25) |
方程 4：由于必须满足运动轨迹的平滑性，因此圆弧的第一段在拐点处与圆弧的第二段在外部相切。因此，可以得到：
(26) |
求解周转曲线的弧长
求解上述方程式得到： 圆弧第一段的中心 ，圆弧第二段的中心 ，拐点 。可以找到圆弧第一段的半径：
(27) |
圆的第二段半径：
(28) |
圆弧第一段的中心角度：
设 ， 。
(29) |
圆弧第二段的中心角度：
设 ， 。
(30) |
求和得到弧长：
(31) |
在本文中，我们从选定的出口点开始，沿着盘绕曲线向内取点，以不断优化周转弧长度。在所有过程中进行碰撞判断，使板凳龙顺利盘绕出来。
模型结果
在两条圆弧相切形成“s”形周转空间的条件下，计算出最短周转曲线的弧长为 13.6212m，可以调整以保持圆弧切线，使周转空间更短。舞龙小队每秒的位置和速度从 -100 秒到 100 秒，是从设置为零的周转开始时间开始计算的。
领先者速度可视化图表
从速度与时间的 Fogure 5 中可以观察到，水龙头的速度在大部分时间保持在 1m/s 左右，不随时间变化，并且在整个运动过程中保持稳定。这表明水龙头的速度设置为一个恒定值，这满足了问题的要求，并反映了从解决方案中获得的结果的合理性。
每个台阶的速度随时间的变化
从图 6 中，在时间 -100s 到 0s 的间隔内，每个板凳的速度保持接近 1m/s，说明舞龙队在转机前的运动相对平稳，没有发生明显的速度波动。在 0 附近，当回转发生时，速度有明显的波动，特别是在 0 附近有明显的速度峰值和暴跌。这种波动是由于舞龙队在转身时 S 形曲线的高曲率部分引起的速度剧烈变化，尤其是靠近龙头和尾巴的长凳可能经历了更大的速度波动。这也表明，在周转期间，不同位置的长凳受路径几何属性的影响更大。
基于二分搜索算法的速度优化模型
在上一节中设置的路径上行驶并保持水龙头行驶速度不变，每个手柄的速度不超过 2m/s，本质上是一个速度受限的优化类问题。为了获得最优的水龙头行驶速度，本文需要对目标函数和约束条件进行定义。
（1） 约束限制
龙头的速度保持恒定，舞龙队每个手柄的速度不超过 2m/s。
在移动过程中，各个长凳之间不会发生碰撞。
（2） 目标函数
确定龙头的最大行进速度。
为了求解动态速度约束优化模型，该文提出了一种自适应等分速度搜索算法。该算法的核心是使用分叉搜索方法，高效探索满足所有约束的最大水龙头速度。
在已知水龙头速度保持恒定的前提下，为了解决在所有把手速度不超过 2 m/s 的情况下，水龙头的最大行驶速度，采用分叉搜索算法求解问题，计算出水龙头的最大允许行驶速度为 1.8052 m/s。在建模过程中，将本文中水龙头速度的搜索区间设置为 ，最大允许速度位于搜索区间内，进一步验证了最大允许速度在搜索区间内，最大允许速度在搜索区间内。搜索区间，进一步验证了数据计算的合理性和模型的准确性。
总结
本文建立了俯仰优化模型、转折路径优化模型和动态速度优化模型，以有效地设计“板凳龙”的参数和运动过程。本文的俯仰优化模型适用于最优路径规划，可以有效减少占用空间，提高舞龙队的场面和行进效率。但是，它的假设更加理想化，忽略了工作台的弹性变形和局部干扰等，这可能导致结果在实际环境中的适用性受到限制。在本文中，我们使用了二分搜索算法，这是一种高效的搜索方法，可以通过逐渐缩小搜索间隔来快速逼近最优解并减少不必要的计算。但是，该算法仅适用于单峰函数或单调函数，并且可能无法保证为具有多峰函数或非单调函数的复杂优化问题找到全局最优解。
引用
李木涛.守正与创新——非物质文化遗产“惠州板凳龙”口述史[J].通化师范学院学报，2024,45（03）：31-37.
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