题目2：整数序列 $a_0, a_1, \dots$ 满足以下性质：对于每个 $i \geq 2$，$a_i$ 要么等于 $2a_{i-1} - a_{i-2}$，要么等于 $2a_{i-2} - a_{i-1}$。已知 $a_{2023}$ 和 $a_{2024}$ 是相邻的整数，证明 $a_0$ 和 $a_1$ 也是相邻的整数。

解答：

我们可以通过归纳法证明对于所有的 $0 \leq i \leq 2023$，$a_i$ 和 $a_{i+1}$ 是相邻的。

**基例：**已知 $a_{2023}$ 和 $a_{2024}$ 是相邻的。

**归纳步骤：**假设对于某个 $i$，$a_i$ 和 $a_{i+1}$ 是相邻的。

如果 $a_{i+1} = a_i + 1$，则要么 $a_i + 1 = 2a_i - a_{i-1}$，因此 $a_{i-1} = a_i - 1$，要么 $a_i + 1 = 2a_{i-1} - a_i$，这导致 $a_{i-1} = (2a_i + 1)/2$，这显然不成立，因为所有项都是整数。因此，$a_{i-1} = a_i - 1$。

类似地，如果 $a_{i+1} = a_i - 1$，则要么 $a_i - 1 = 2a_i - a_{i-1}$，因此 $a_{i-1} = a_i + 1$，要么 $a_i - 1 = 2a_{i-1} - a_i$，这导致 $a_{i-1} = (2a_i - 1)/2$，这也不成立。因此，$a_{i-1} = a_i + 1$。

在两种情况下，$a_{i-1}$ 和 $a_i$ 是相邻的。

因此，由于 $a_{2024}$ 和 $a_{2023}$ 是相邻的，并且我们证明了如果 $a_i$ 和 $a_{i+1}$ 是相邻的，那么 $a_{i-1}$ 和 $a_i$ 也是相邻的，故 $a_0$ 和 $a_1$ 也是相邻的。

附加解法：

如果 $a_0$ 和 $a_1$ 是相等的，那么序列中的所有项都会相等，但这与已知情况矛盾。因此，我们可以假设 $a_0$ 和 $a_1$ 是不相等的。由于所有 $a_i$ 都是整数，因此 $|a_1 - a_0| \geq 1$。序列的性质可以等价表示为对于每个 $i \geq 2$：

在任一情况下，$|a_i - a_{i-1}| \geq |a_{i-1} - a_{i-2}|$。因此：

这意味着 $|a_1 - a_0| = 1$，即 $a_0$ 和 $a_1$ 是相邻的。

评语：

大多数成功的考生是通过从两种递推关系中选择一种来处理问题的，并且认识到只有一种递推关系会导致整数解，同时确保 $a_{2023}$ 和 $a_{2022}$ 是相邻的。通过仔细表达归纳的过程，考生可以顺利解答问题。

题目3：设 $\triangle ABC$ 满足 $\angle ACB < \angle BAC < 90^\circ$。设点 $X$ 和 $Y$ 分别在 $AC$ 和 $\triangle ABC$ 的外接圆上，且 $BX = BY = BA$。直线 $XY$ 再次与圆 $\triangle ABC$ 交于点 $Z$。证明 $BZ$ 垂直于 $AC$。

解答：

考虑构造一个准确的图形。已知 $A, X, Y$ 都在同一个圆上，意味着三角形 $ABX$ 是一个等腰三角形，其顶点为 $B$。

设 $\angle ZBA = \theta$，我们加入线段 $BX$ 和 $AY$。

根据同弧角定理，$\angle ZYA = \theta$，并且 ( \angle X