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热米尔 

脉冲调制 

本章是模拟通信向数字通信的过渡，包括以下主题：
  • 采样，是所有脉冲调制形式的基础。
脉冲幅度调制，是脉冲调制的最简单形式。

量化（Quantization）与采样（Sampling）相结合，可以在幅度和时间上以离散的形式表示模拟信号。

脉冲编码调制，是用数字方式传输模拟信息信号的标准方法。
  • 时分复用，通过脉冲调制方式让多个用户共享一个共同信道的时间。
  • 数字多路复用器，将许多慢速比特流合并成一个较快的比特流。
  • 其他形式的数字脉冲调制，即三角调制和差分脉冲编码调制。
  • 线性预测，是在差分脉冲编码调制中以较低比特率对模拟信息信号进行编码的基本方法。
  • 差分脉冲编码调制和三角调制的自适应形式。
  • MPEG-1/ 音频编码标准是一种透明、无感知损失的压缩系统。

3.1 导言 

在我们在第 2 章中学习的连续波（CW）调制中，正弦载波的某些参数随信息信号而连续变化。这与我们在本章学习的脉冲调制形成了鲜明对比。在脉冲调制中，脉冲序列的某些参数随信息信号的变化而变化。我们可以将脉冲调制分为两类：模拟脉冲调制和数字脉冲调制。在模拟脉冲调制中，使用周期性脉冲序列作为载波，每个脉冲的某些特征（如振幅、持续时间或位置）根据信息信号的相应采样值连续变化。因此，在模拟脉冲调制中，信息基本上是以模拟形式传输的，但传输时间是不连续的。而在数字脉冲调制中，信息信号的表示形式在时间和振幅上都是离散的，因此可以作为一串编码脉冲以数字形式传输；这种信号传输形式没有对应的 CW 信号。
使用编码脉冲传输含信息的模拟信号是数字通信应用的基本要素。因此，本章可视为我们在研究通信系统原理时从模拟通信向数字通信的过渡。在开始讨论时，我们将介绍采样过程，这是所有脉冲调制系统的基本原理，无论是模拟系统还是数字系统。

3.2 采样过程 

采样过程通常在时域中进行描述。因此，它是数字信号处理和数字通信的基本操作。通过使用采样过程，模拟信号被转换成相应的采样序列，这些采样序列通常在时间上间隔均匀。显然，要使这一过程具有实际效用，我们必须正确选择采样率，从而使采样序列唯一地定义原始模拟信号。这就是采样定理的精髓，下文将对其进行推导。
考虑有限能量的任意信号 g ( t ) g ( t ) g(t)g(t) ，该信号在所有时间内都是指定的。信号 g ( t ) g ( t ) g(t)g(t) 的一个片段如图 3.1a 所示。假设我们以均匀的速率对信号 g ( t ) g ( t ) g(t)g(t) 进行瞬时采样，即每隔 T s T s T_(s)T_{s} 秒采样一次。因此，我们会得到一个间隔为 T s T s T_(s)T_{s} 秒的无限采样序列，用 { g ( n T s ) } g n T s {g(nT_(s))}\left\{g\left(n T_{s}\right)\right\} 表示，其中 n n nn 取所有可能的整数值。我们将 T s T s T_(s)T_{s} 称为采样周期，将其倒数 f s = 1 / T s f s = 1 / T s f_(s)=1//T_(s)f_{s}=1 / T_{s} 称为采样率。这种理想的采样形式称为瞬时采样。
让 g δ ( t ) g δ ( t ) g_(delta)(t)g_{\delta}(t) 表示对间隔为 T s T s T_(s)T_{s} 秒的三角函数周期序列中的元素进行单独加权后得到的信号，如数字序列 { g ( n T s ) } g n T s {g(nT_(s))}\left\{g\left(n T_{s}\right)\right\} 所示（见图 3.1b）。
g δ ( t ) = ∑ n = − ∞ ∞ g ( n T s ) δ ( t − n T s ) g δ ( t ) = ∑ n = − ∞ ∞   g n T s δ t − n T s g_(delta)(t)=sum_(n=-oo)^(oo)g(nT_(s))delta(t-nT_(s))g_{\delta}(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} g\left(n T_{s}\right) \delta\left(t-n T_{s}\right)
我们将 g s ( t ) g s ( t ) g_(s)(t)g_{s}(t) 称为理想采样信号。术语 δ ( t − n T s ) δ t − n T s delta(t-nT_(s))\delta\left(t-n T_{s}\right) 代表位于时间 t = n T s t = n T s t=nT_(s)t=n T_{s} 的三角函数。根据三角函数的定义，我们可以回顾一下，这样的理想化函数具有单位面积；参见附录 2。因此，我们可以将方程 (3.1) 中的乘法因子 g ( n T s ) g n T s g(nT_(s))g\left(n T_{s}\right) 视为分配给三角函数 δ ( t − n T s ) δ t − n T s delta(t-nT_(s))\delta\left(t-n T_{s}\right) 的 "质量"。以这种方式加权的三角函数近似于一个如下的矩形脉冲

图 3.1 采样过程。(a) 模拟信号。(b) 模拟信号的瞬时采样版本。

持续时间 Δ t Δ t Delta t\Delta t 和振幅 g ( n T s ) / Δ t g n T s / Δ t g(nT_(s))//Delta tg\left(n T_{s}\right) / \Delta t ；我们将 Δ t Δ t Deltat\Delta \mathrm{t} 调得越小，近似效果就越好。
利用傅立叶变换对表，我们可以写出（见表 A6.3 最后一项）
g δ ( t ) ⇌ f s ∑ m = − ∞ ∞ G ( f − m f s ) g δ ( t ) ⇌ f s ∑ m = − ∞ ∞   G f − m f s g_(delta)(t)⇌f_(s)sum_(m=-oo)^(oo)G(f-mf_(s))g_{\delta}(t) \rightleftharpoons f_{s} \sum_{m=-\infty}^{\infty} G\left(f-m f_{s}\right)
其中 G ( f ) G ( f ) G(f)G(f) 是原始信号 g ( t ) g ( t ) g(t)g(t) 的傅立叶变换， f s f s f_(s)f_{s} 是采样率。公式 (3.2) 指出，对有限能量的连续时间信号进行均匀采样的过程会产生周期等于采样率的周期谱。
理想采样信号 g 8 ( t ) g 8 ( t ) g_(8)(t)g_{8}(t) 的另一个有用的傅里叶变换表达式是对等式 (3.1) 两边进行傅里叶变换，并注意到三角函数 δ ( t − n T s ) δ t − n T s delta(t-nT_(s))\delta\left(t-n T_{s}\right) 的傅里叶变换等于 exp ⁡ ( − j 2 π n f T s ) exp ⁡ − j 2 π n f T s exp(-j2pi nfT_(s))\exp \left(-j 2 \pi n f T_{s}\right) 。让 G δ ( f ) G δ ( f ) G_(delta)(f)G_{\delta}(f) 表示 g δ ( t ) g δ ( t ) g_(delta)(t)g_{\delta}(t) 的傅里叶变换。因此，我们可以写成
G δ ( f ) = ∑ n = − ∞ ∞ g ( n T s ) exp ⁡ ( − j 2 π n f T s ) G δ ( f ) = ∑ n = − ∞ ∞   g n T s exp ⁡ − j 2 π n f T s G_(delta)(f)=sum_(n=-oo)^(oo)g(nT_(s))exp(-j2pi nfT_(s))G_{\delta}(f)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} g\left(n T_{s}\right) \exp \left(-j 2 \pi n f T_{s}\right)
这种关系称为离散时间傅立叶变换。它可以看作是周期性频率函数 G δ ( f ) G δ ( f ) G_(delta)(f)G_{\delta}(f) 的复傅里叶级数表示，其中 { g ( n T s ) } g n T s {g(nT_(s))}\left\{g\left(n T_{s}\right)\right\} 的采样序列定义了展开的系数。
此处推导出的关系适用于能量有限、持续时间无限的任何连续时间信号 g ( t ) g ( t ) g(t)g(t) 。然而，假设信号 g ( t ) g ( t ) g(t)g(t) 是严格限带的，没有高于 W W WW 赫兹的频率成分。也就是说，信号 g ( t ) g ( t ) g(t)g(t) 的傅立叶变换 G ( f ) G ( f ) G(f)G(f) 对于 | f | ≥ W | f | ≥ W |f| >= W|f| \geq W 具有 G ( f ) G ( f ) G(f)G(f) 为零的特性，如图 3.2 a 3.2 a 3.2 a3.2 a 所示；图中显示的频谱形状仅供参考。还假设我们选择 T s = 1 / 2 W T s = 1 / 2 W T_(s)=1//2WT_{s}=1 / 2 \mathrm{~W} 的采样周期。那么采样信号 g δ ( t ) g δ ( t ) g_(delta)(t)g_{\delta}(t) 的相应频谱 G δ ( f ) G δ ( f ) G_(delta)(f)G_{\delta}(f) 如图 3.2 b 3.2 b 3.2 b3.2 b 所示。将 T s = 1 / 2 W T s = 1 / 2 W T_(s)=1//2WT_{s}=1 / 2 \mathrm{~W} 放入公式 (3.3) 即可得到
G δ ( f ) = ∑ n = − ∞ ∞ g ( n 2 W ) exp ⁡ ( − j π n f W ) G δ ( f ) = ∑ n = − ∞ ∞   g n 2 W exp ⁡ − j π n f W G_(delta)(f)=sum_(n=-oo)^(oo)g((n)/(2W))exp(-(j pi nf)/(W))G_{\delta}(f)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} g\left(\frac{n}{2 W}\right) \exp \left(-\frac{j \pi n f}{W}\right)
从公式 (3.2) 我们不难看出， g δ ( t ) g δ ( t ) g_(delta)(t)g_{\delta}(t) 的傅立叶变换也可以表示为
G 8 ( f ) = f s G ( f ) + f s ∑ m = − ∞ m ≠ 0 ∞ G ( f − m f s ) G 8 ( f ) = f s G ( f ) + f s ∑ m = − ∞ m ≠ 0 ∞   G f − m f s G_(8)(f)=f_(s)G(f)+f_(s)sum_({:[m=-oo],[m!=0]:})^(oo)G(f-mf_(s))G_{8}(f)=f_{s} G(f)+f_{s} \sum_{\substack{m=-\infty \\ m \neq 0}}^{\infty} G\left(f-m f_{s}\right)
图 3.2 (a) 严格带限信号 g ( t ) g ( t ) g(t)g(t) 的频谱。(b) g ( t ) g ( t ) g(t)g(t) 的采样版本在采样周期 T s = 1 / 2 W T s = 1 / 2 W T_(s)=1//2WT_{s}=1 / 2 W 时的频谱。
因此，在以下两个条件下
  1. G ( f ) = 0 G ( f ) = 0 G(f)=0G(f)=0 代表 | f | ≥ W | f | ≥ W |f| >= W|f| \geq W 。 
  2. f s = 2 W f s = 2 W f_(s)=2Wf_{s}=2 W
    从公式 (3.5) 中我们可以发现
G ( f ) = 1 2 W G δ ( f ) , − W < f < W G ( f ) = 1 2 W G δ ( f ) , − W < f < W G(f)=(1)/(2W)G_(delta)(f),quad-W < f < WG(f)=\frac{1}{2 W} G_{\delta}(f), \quad-W<f<W
将方程 (3.4) 代入 (3.6)，我们还可以写出
G ( f ) = 1 2 W ∑ n = − ∞ ∞ g ( n 2 W ) exp ⁡ ( − j π n f W ) , − W < f < W G ( f ) = 1 2 W ∑ n = − ∞ ∞   g n 2 W exp ⁡ − j π n f W , − W < f < W G(f)=(1)/(2W)sum_(n=-oo)^(oo)g((n)/(2W))exp(-(j pi nf)/(W)),quad-W < f < WG(f)=\frac{1}{2 W} \sum_{n=-\infty}^{\infty} g\left(\frac{n}{2 W}\right) \exp \left(-\frac{j \pi n f}{W}\right), \quad-W<f<W
因此，如果信号 g ( t ) g ( t ) g(t)g(t) 的采样值 g ( n / 2 W ) g ( n / 2 W ) g(n//2W)g(n / 2 W) 是针对所有 m m mm 指定的，那么信号的傅里叶变换 G ( f ) G ( f ) G(f)G(f) 就可以通过公式 (3.7) 的离散时间傅里叶变换唯一确定。由于 g ( t ) g ( t ) g(t)g(t) 通过反傅里叶变换与 G ( f ) G ( f ) G(f)G(f) 相关，因此信号 g ( t ) g ( t ) g(t)g(t) 本身由 − ∞ < n < ∞ − ∞ < n < ∞ -oo < n < oo-\infty<n<\infty 的采样值 g ( n / 2 W ) g ( n / 2 W ) g(n//2W)g(n / 2 W) 唯一确定。换句话说，序列 { g ( n / 2 W ) } { g ( n / 2 W ) } {g(n//2W)}\{g(n / 2 W)\} 包含了 g ( t ) g ( t ) g(t)g(t) 中的所有信息。
接下来考虑从样本值 { g ( n / 2 W ) } { g ( n / 2 W ) } {g(n//2W)}\{g(n / 2 W)\} 序列重建信号 g ( t ) g ( t ) g(t)g(t) 的问题。将公式 (3.7) 代入以 G ( f ) G ( f ) G(f)G(f) 定义 g ( t ) g ( t ) g(t)g(t) 的反傅里叶变换公式，我们可以得到
g ( t ) = ∫ − ∞ ∞ G ( f ) exp ⁡ ( j 2 π f t ) d f = ∫ − W W 1 2 W ∑ n = − ∞ ∞ g ( n 2 W ) exp ⁡ ( − j π n f W ) exp ⁡ ( j 2 π f t ) d f g ( t ) = ∫ − ∞ ∞   G ( f ) exp ⁡ ( j 2 π f t ) d f = ∫ − W W   1 2 W ∑ n = − ∞ ∞   g n 2 W exp ⁡ − j π n f W exp ⁡ ( j 2 π f t ) d f {:[g(t)=int_(-oo)^(oo)G(f)exp(j2pi ft)df],[=int_(-W)^(W)(1)/(2W)sum_(n=-oo)^(oo)g((n)/(2W))exp(-(j pi nf)/(W))exp(j2pi ft)df]:}\begin{aligned} g(t) & =\int_{-\infty}^{\infty} G(f) \exp (j 2 \pi f t) d f \\ & =\int_{-W}^{W} \frac{1}{2 W} \sum_{n=-\infty}^{\infty} g\left(\frac{n}{2 W}\right) \exp \left(-\frac{j \pi n f}{W}\right) \exp (j 2 \pi f t) d f \end{aligned}
改变求和与积分的顺序：
g ( t ) = ∑ n = − ∞ ∞ g ( n 2 W ) 1 2 W ∫ − W W exp ⁡ [ j 2 π f ( t − n 2 W ) ] d f g ( t ) = ∑ n = − ∞ ∞   g n 2 W 1 2 W ∫ − W W   exp ⁡ j 2 π f t − n 2 W d f g(t)=sum_(n=-oo)^(oo)g((n)/(2W))(1)/(2W)int_(-W)^(W)exp[j2pi f(t-(n)/(2W))]dfg(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} g\left(\frac{n}{2 W}\right) \frac{1}{2 W} \int_{-W}^{W} \exp \left[j 2 \pi f\left(t-\frac{n}{2 W}\right)\right] d f
等式 (3.8) 中的积分项很容易求出，最终结果是
g ( t ) = ∑ n = − ∞ ∞ g ( n 2 W ) sin ⁡ ( 2 π W t − n π ) ( 2 π W t − n π ) = ∑ n = − ∞ ∞ g ( n 2 W ) sinc ( 2 W t − n ) , − ∞ < t < ∞ g ( t ) = ∑ n = − ∞ ∞   g n 2 W sin ⁡ ( 2 π W t − n π ) ( 2 π W t − n π ) = ∑ n = − ∞ ∞   g n 2 W sinc ( 2 W t − n ) , − ∞ < t < ∞ {:[g(t)=sum_(n=-oo)^(oo)g((n)/(2W))(sin(2pi Wt-n pi))/((2pi Wt-n pi))],[=sum_(n=-oo)^(oo)g((n)/(2W))sinc(2Wt-n)","quad-oo < t < oo]:}\begin{aligned} g(t) & =\sum_{n=-\infty}^{\infty} g\left(\frac{n}{2 W}\right) \frac{\sin (2 \pi W t-n \pi)}{(2 \pi W t-n \pi)} \\ & =\sum_{n=-\infty}^{\infty} g\left(\frac{n}{2 W}\right) \operatorname{sinc}(2 W t-n), \quad-\infty<t<\infty \end{aligned}
公式 (3.9) 提供了一个插值公式，用于从采样值序列 { g ( n / 2 W ) } { g ( n / 2 W ) } {g(n//2W)}\{g(n / 2 W)\} 中重建原始信号 g ( t ) g ( t ) g(t)g(t) ，其中 sinc 函数 sinc ( 2 W t ) sinc ( 2 W t ) sinc(2Wt)\operatorname{sinc}(2 W t) 起到了插值函数的作用。每个采样值乘以插值函数的延迟版本，然后将所有得到的波形相加，得到 g ( t ) g ( t ) g(t)g(t) 。
现在，我们可以将能量有限的严格带限信号的采样定理分为两个等效部分，分别适用于脉冲调制系统的发射机和接收机：
  1. 一个有限能量的限带信号，其频率成分不高于 W 赫兹，完全可以通过指定信号在相隔 1 / 2 W 1 / 2 W 1//2W1 / 2 \mathrm{~W} 秒的时刻的值来描述。
  2. 一个有限能量的带限信号，其频率成分不高于 W 赫兹，可以通过每秒 2 W 样本的采样率完全恢复。

图 3.3 (a) 信号的频谱。(b) 出现混叠现象的欠采样信号的频谱。
在信号带宽为 W 赫兹的情况下， 2 W 2 W 2W2 W 采样率为每秒，称为奈奎斯特采样率；其倒数 1 / 2 W 1 / 2 W 1//2W1 / 2 \mathrm{~W} （以秒为单位）称为奈奎斯特间隔。
本文所述的采样定理的推导基于以下假设：信号 g ( t ) g ( t ) g(t)g(t) 具有严格的频带限制。但实际上，含信息的信号并非严格受频带限制，因此会出现一定程度的欠采样。因此，采样过程会产生一些混叠现象。混叠是指信号频谱中的高频成分在其采样版本的频谱中似乎具有较低频率的特征，如图 3.3 所示。图 3.3 b 3.3 b 3.3 b3.3 b 中实心曲线所示的混叠频谱与图 3.3a 中频谱所代表的信息信号的 "欠采样 "版本有关。
在实践中，为了消除混叠的影响，我们可以采用两种纠正措施，具体如下：
  1. 在采样之前，使用低通抗混叠滤波器来衰减信号中对信号所传递的信息不重要的高频成分。
  2. 滤波信号的采样率略高于奈奎斯特速率。
使用高于奈奎斯特采样率的采样率还有一个好处，即简化了用于从采样版本恢复原始信号的重构滤波器的设计。以经过抗混叠（低通）滤波的信息信号为例，其频谱如图 3.4a 所示。假设采样率高于奈奎斯特采样率，图 3.4b 显示了信号瞬时采样版本的相应频谱。根据图 3.4 b 3.4 b 3.4 b3.4 b ，我们不难看出，重构滤波器的设计可具体如下（见图 3.4c）：
  • 重构滤波器为低通滤波器，通带从 − W − W -W-W 到 W W WW ，通带本身由抗混叠滤波器决定。
  • 滤波器的过渡带（对于正频率）从 W W WW 扩展到 f s − W f s − W f_(s)-Wf_{s}-W ，其中 f s f s f_(s)f_{s} 是采样率。

图 3.4 (a) 信息信号的抗混叠滤波频谱。(b) 假设采样率大于奈奎斯特采样率的瞬时采样信号频谱。重构滤波器的幅度响应。
重构滤波器有一个明确的过渡带，这意味着它在物理上是可以实现的。

3.3 脉冲调幅

在了解了采样过程的本质之后，我们就可以正式定义脉冲幅度调制了，它是模拟脉冲调制的最简单、最基本的形式。在脉冲幅度调制（PAM）中，有规律间隔的脉冲幅度与连续信息信号的相应采样值成比例变化；脉冲可以是矩形或其他适当的形状。这里定义的脉冲幅度调制与自然采样有些类似，在自然采样中，信息信号与一列周期性的矩形脉冲相乘。不过，在自然采样中，每个调制矩形脉冲的顶部会随信息信号的变化而变化，而在 PAM 中则保持不变；自然采样将在问题 3.2 中进一步探讨。
PAM 信号的波形如图 3.5 所示。

图 3.5 表示模拟信号的平顶采样。

实线所示的调制矩形脉冲代表相应的 PAM 信号 s ( t ) s ( t ) s(t)s(t) 。PAM 信号的产生涉及两个操作：
  1. 每隔 T s T s T_(s)T_{s} 秒对信息信号 m ( t ) m ( t ) m(t)m(t) 进行瞬时采样，采样率 f s = 1 / T s f s = 1 / T s f_(s)=1//T_(s)f_{s}=1 / T_{s} 根据采样定理选择。
  2. 将获得的每个样本的持续时间延长至某个恒定值 T T TT 。
在数字电路技术中，这两个操作合称为 "采样和保持"。有意延长每次采样持续时间的一个重要原因是避免使用过大的通道带宽，因为带宽与脉冲持续时间成反比。然而，正如下面的分析所揭示的那样，我们必须注意采样持续时间 T T TT 的长度。
让 s ( t ) s ( t ) s(t)s(t) 表示以图 3.5 所述方式产生的平顶脉冲序列。我们可以将 PAM 信号表示为
s ( t ) = ∑ n = − ∞ ∞ m ( n T s ) b ( t − n T s ) s ( t ) = ∑ n = − ∞ ∞   m n T s b t − n T s s(t)=sum_(n=-oo)^(oo)m(nT_(s))b(t-nT_(s))s(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} m\left(n T_{s}\right) b\left(t-n T_{s}\right)
其中 T s T s T_(s)T_{s} 为采样周期， m ( n T s ) m n T s m(nT_(s))m\left(n T_{s}\right) 为 m ( t ) m ( t ) m(t)m(t) 在 t = n T s t = n T s t=nT_(s)t=n T_{s} 时间获得的采样值。 b ( t ) b ( t ) b(t)b(t) 是单位振幅、持续时间为 T T TT 的标准矩形脉冲，定义如下（见图 3.6a）：
h ( t ) = { 1 , 0 < t < T 1 2 , t = 0 , t = T 0 , otherwise h ( t ) = 1 ,      0 < t < T 1 2 ,      t = 0 , t = T 0 ,       otherwise  h(t)={[1",",0 < t < T],[(1)/(2)",",t=0","t=T],[0","," otherwise "]:}h(t)= \begin{cases}1, & 0<t<T \\ \frac{1}{2}, & t=0, t=T \\ 0, & \text { otherwise }\end{cases}
根据定义， m ( t ) m ( t ) m(t)m(t) 的瞬时采样版本由以下公式给出
m δ ( t ) = ∑ n = − ∞ ∞ m ( n T s ) δ ( t − n T s ) m δ ( t ) = ∑ n = − ∞ ∞   m n T s δ t − n T s m_(delta)(t)=sum_(n=-oo)^(oo)m(nT_(s))delta(t-nT_(s))m_{\delta}(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} m\left(n T_{s}\right) \delta\left(t-n T_{s}\right)
其中 δ ( t − n T s ) δ t − n T s delta(t-nT_(s))\delta\left(t-n T_{s}\right) 是时移三角函数。因此，将 m δ ( t ) m δ ( t ) m_(delta)(t)m_{\delta}(t) 与脉冲 h ( t ) h ( t ) h(t)h(t) 相卷积，可以得到
m δ ( t ) ⋆ h ( t ) = ∫ − ∞ ∞ m δ ( τ ) h ( t − τ ) d τ = ∫ − ∞ ∞ ∑ n = − ∞ ∞ m ( n T s ) δ ( τ − n T s ) h ( t − τ ) d τ = ∑ n = − ∞ ∞ m ( n T s ) ∫ − ∞ ∞ δ ( τ − n T s ) h ( t − τ ) d τ m δ ( t ) ⋆ h ( t ) = ∫ − ∞ ∞   m δ ( τ ) h ( t − τ ) d τ = ∫ − ∞ ∞   ∑ n = − ∞ ∞   m n T s δ τ − n T s h ( t − τ ) d τ = ∑ n = − ∞ ∞   m n T s ∫ − ∞ ∞   δ τ − n T s h ( t − τ ) d τ {:[m_(delta)(t)***h(t)=int_(-oo)^(oo)m_(delta)(tau)h(t-tau)d tau],[=int_(-oo)^(oo)sum_(n=-oo)^(oo)m(nT_(s))delta(tau-nT_(s))h(t-tau)d tau],[=sum_(n=-oo)^(oo)m(nT_(s))int_(-oo)^(oo)delta(tau-nT_(s))h(t-tau)d tau]:}\begin{aligned} m_{\delta}(t) \star h(t) & =\int_{-\infty}^{\infty} m_{\delta}(\tau) h(t-\tau) d \tau \\ & =\int_{-\infty}^{\infty} \sum_{n=-\infty}^{\infty} m\left(n T_{s}\right) \delta\left(\tau-n T_{s}\right) h(t-\tau) d \tau \\ & =\sum_{n=-\infty}^{\infty} m\left(n T_{s}\right) \int_{-\infty}^{\infty} \delta\left(\tau-n T_{s}\right) h(t-\tau) d \tau \end{aligned}
F1gure 3.6 (a) 矩形脉冲 h ( t ) h ( t ) h(t)h(t) 。(b) 由幅度 | H ( f ) | | H ( f ) | |H(f)||H(f)| 和相位 arg ⁡ [ H ( f ) ] arg ⁡ [ H ( f ) ] arg[H(f)]\arg [H(f)] 组成的频谱 H ( f ) H ( f ) H(f)H(f) 。
利用三角函数的筛分特性（见附录 2），我们可以得到
m δ ( t ) ⋆ b ( t ) = ∑ n = − ∞ ∞ m ( n T s ) b ( t − n T s ) m δ ( t ) ⋆ b ( t ) = ∑ n = − ∞ ∞   m n T s b t − n T s m_(delta)(t)***b(t)=sum_(n=-oo)^(oo)m(nT_(s))b(t-nT_(s))m_{\delta}(t) \star b(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} m\left(n T_{s}\right) b\left(t-n T_{s}\right)
根据公式 (3.10) 和 (3.14)，PAM 信号 s ( t ) s ( t ) s(t)s(t) 在数学上等价于 m δ ( t ) m δ ( t ) m_(delta)(t)m_{\delta}(t) 、 m ( t ) m ( t ) m(t)m(t) 的瞬时采样版本和脉冲 h ( t ) h ( t ) h(t)h(t) 的卷积，如下所示
s ( t ) = m s ( t ) + h ( t ) s ( t ) = m s ( t ) + h ( t ) s(t)=m_(s)(t)+h(t)s(t)=m_{s}(t)+h(t)
对方程 (3.15) 的两边进行傅立叶变换，并将两个时间函数的卷积转换为它们各自的傅立叶变换的乘积，我们得到
S ( f ) = M δ ( f ) H ( f ) S ( f ) = M δ ( f ) H ( f ) S(f)=M_(delta)(f)H(f)S(f)=M_{\delta}(f) H(f)
其中， S ( f ) = F [ s ( t ) ] , M δ ( f ) = F [ m δ ( t ) ] S ( f ) = F [ s ( t ) ] , M δ ( f ) = F m δ ( t ) S(f)=F[s(t)],M_(delta)(f)=F[m_(delta)(t)]S(f)=F[s(t)], M_{\delta}(f)=F\left[m_{\delta}(t)\right] 和 H ( f ) = F [ h ( t ) ] H ( f ) = F [ h ( t ) ] H(f)=F[h(t)]H(f)=F[h(t)] 。将公式 (3.2) 改用于当前问题，我们注意到傅里叶变换 M δ ( f ) M δ ( f ) M_(delta)(f)M_{\delta}(f) 与原始信息信号 m ( t ) m ( t ) m(t)m(t) 的傅里叶变换 M ( f ) M ( f ) M(f)M(f) 的关系如下：
M δ ( f ) = f s ∑ k = − ∞ ∞ M ( f − k f s ) M δ ( f ) = f s ∑ k = − ∞ ∞   M f − k f s M_(delta)(f)=f_(s)sum_(k=-oo)^(oo)M(f-kf_(s))M_{\delta}(f)=f_{s} \sum_{k=-\infty}^{\infty} M\left(f-k f_{s}\right)
其中 f s f s f_(s)f_{s} 是采样率。因此，将方程 (3.17) 代入 (3.16) 即可得出
S ( f ) = f s ∑ k = − ∞ ∞ M ( f − k f s ) H ( f ) S ( f ) = f s ∑ k = − ∞ ∞   M f − k f s H ( f ) S(f)=f_(s)sum_(k=-oo)^(oo)M(f-kf_(s))H(f)S(f)=f_{s} \sum_{k=-\infty}^{\infty} M\left(f-k f_{s}\right) H(f)
给定 PAM 信号 s ( t ) s ( t ) s(t)s(t) ，其傅立叶变换 S ( f ) S ( f ) S(f)S(f) 如公式 (3.18) 所定义，那么我们如何恢复原始信息信号 m ( t ) m ( t ) m(t)m(t) 呢？作为恢复的第一步

图 3.7 从 PAM 信号 s ( t ) s ( t ) s(t)s(t) 恢复信息信号 m ( t ) m ( t ) m(t)m(t) 的系统。

在图 3.4c 中定义了一个低通滤波器的频率响应；这里假定信息仅限于带宽 W W WW ，且采样率 f s f s f_(s)f_{s} 大于奈奎斯特速率 2 W 2 W 2W2 W 。然后，根据等式 (3.18)，我们会发现滤波器输出的频谱等于 M ( f ) H ( f ) M ( f ) H ( f ) M(f)H(f)M(f) H(f) 。这一输出相当于将原始信息信号 m ( t ) m ( t ) m(t)m(t) 通过另一个频率响应为 H ( f ) H ( f ) H(f)H(f) 的低通滤波器。
根据公式 (3.11)，我们可以得出矩形脉冲 h ( t ) h ( t ) h(t)h(t) 的傅立叶变换为
H ( f ) = T sinc ( f T ) exp ⁡ ( − j π f T ) H ( f ) = T sinc ( f T ) exp ⁡ ( − j π f T ) H(f)=T sinc(fT)exp(-j pi fT)H(f)=T \operatorname{sinc}(f T) \exp (-j \pi f T)
如图 3.6b 所示。由此可见，通过使用平顶采样来生成 PAM 信号，我们引入了振幅失真以及 T/2 的延迟。这种效应与电视中扫描孔径的有限大小所导致的传输率随频率的变化十分相似。因此，使用脉冲振幅调制传输模拟信息信号时产生的失真被称为孔径效应。
如图 3.7 所示，可以通过将均衡器与低通重构滤波器级联来纠正这种失真。均衡器的作用是随着频率的增加而降低重建滤波器的带内损耗，以补偿孔径效应。理想情况下，均衡器的幅度响应为
1 | H ( f ) | = 1 T sinc ( f T ) = π f sin ⁡ ( π f T ) 1 | H ( f ) | = 1 T sinc ( f T ) = π f sin ⁡ ( π f T ) (1)/(|H(f)|)=(1)/(T sinc(fT))=(pi f)/(sin(pi fT))\frac{1}{|H(f)|}=\frac{1}{T \operatorname{sinc}(f T)}=\frac{\pi f}{\sin (\pi f T)}
在实际应用中，所需的均衡量通常很小。事实上，对于占空比 T / T s ≤ 0.1 T / T s ≤ 0.1 T//T_(s) <= 0.1T / T_{s} \leq 0.1 ，振幅失真小于 0.5%，在这种情况下可以完全省去均衡。
由于传输脉冲的持续时间相对较短，PAM 信号的传输对信道的幅度和相位响应提出了相当严格的要求。此外，PAM 系统的噪声性能永远不会优于基带信号传输。因此，我们发现在长距离传输中，PAM 只能作为时分复用的信息处理手段，然后再转换成其他形式的脉冲调制；时分复用将在第 3.9 节中讨论。

13.4 脉冲调制的其他形式

在脉冲调制系统中，我们可以利用脉冲消耗的带宽增加来改善系统的噪声性能。除振幅外，还可以用脉冲的某些特性来表示信息信号的采样值，从而实现这一目的：
  • 脉冲位置调制 (PPM)，脉冲相对于未调制发生时间的位置随信息信号的变化而变化。

    图 3.8 以正弦调制波为例，说明了脉冲调制的另外两种形式。
在 PDM 中，长脉冲消耗了相当大的功率，但却没有额外的信息。如果从 PDM 中减去这些未使用的功率，只保留时间转换，我们就得到了 PPM。因此，PPM 是一种比 PDM 更有效的脉冲调制形式。
由于在 PPM 系统中，传输的信息包含在调制脉冲的相对位置中，因此外加噪声的存在会影响系统的性能，因为它会伪造判断调制脉冲发生的时间。通过快速建立脉冲，使噪声产生干扰的时间间隔非常短，就可以建立对噪声的免疫能力。事实上，如果接收到的脉冲是完全矩形的，那么加性噪声就不会对脉冲位置产生任何影响，因为噪声的存在只会带来垂直方向的扰动。然而，接收完全矩形脉冲需要无限的信道带宽，这当然是不切实际的。因此，在实际使用有限信道带宽时，我们会发现接收到的脉冲具有有限的上升时间，因此 PPM 接收器的性能会受到噪声的影响，这也是意料之中的。


(a)

(b)

©

(d)
图 3.8 以正弦调制波为例，说明脉冲-时间调制的两种不同形式。(a) 调制波。(b) 脉冲载波。(c) PDM 波。(d) PPM 波。
与 CW 调制系统一样，PPM 系统的噪声性能可以用输出信噪比 (SNR) 来描述。此外，为了找出 PPM 相对于基带传输信息信号所产生的噪声改善效果，我们可以使用优点系数，其定义为 PPM 系统的输出信噪比除以信道信噪比；见第 2.10 节。假设信道噪声的平均功率与脉冲峰值功率相比很小，那么 PPM 系统的优越性与相对于信息带宽 W W WW 归一化的传输带宽 B T B T B_(T)B_{T} 的平方成正比。但是，当输入信噪比下降到临界值以下时，系统就会在接收器输出端丢失想要的信息信号。也就是说，PPM 系统本身存在阈值效应。

3.5 带宽-噪音权衡

就噪声性能而言，PPM 系统是模拟脉冲调制的最佳形式。对 PPM 系统的噪声分析表明，脉冲位置调制 (PPM) 和频率调制 (FM) 系统具有相似的噪声性能，在此进行总结。 1 1 ^(1){ }^{1}
  1. 这两种系统的优点与传输带宽的平方成正比，而传输带宽则与信息带宽成正比。
  2. 随着信噪比的降低，这两种系统都会出现阈值效应。
第 1 点的实际含义是，就增加传输带宽与改善噪声性能的权衡而言，我们在使用连续波（CW）调制和模拟脉冲调制系统时所能做到的最好办法就是遵循平方规律。讨论到这里，一个问题出现了：我们能做出比平方律更好的权衡吗？答案是肯定的，而数字脉冲调制就是实现这一目标的方法。使用这种方法与 CW 调制完全不同。
具体来说，在被称为脉冲编码调制（PCM）的数字脉冲调制基本形式中， 2 2 ^(2){ }^{2} 信息信号在时间和振幅上都以离散形式表示。这种信号表示形式允许以编码二进制脉冲序列的形式传输信息信号。有了这样一个序列，只需使传输的二进制 PCM 波的平均功率与噪声的平均功率相比足够大，就可以将接收器输出端的信道噪声影响降低到可以忽略不计的水平。
生成二进制 PCM 波涉及两个基本过程：采样和量化。采样过程负责信息信号的离散时间表示；为了正确应用采样过程，我们必须遵循第 3.2 节所述的采样定理。量化过程负责信息信号的离散振幅表示；量化是一个新的过程，其细节将在下一节介绍。现在只需指出，采样和量化的结合使用允许以编码形式传输信息信号。这反过来又使带宽与噪声的折衷实现指数规律成为可能，这也将在下一节中得到证明。

13.6 量化过程 3 3 ^(3){ }^{3}

连续信号（如语音）具有连续的振幅范围，因此其采样也具有连续的振幅范围。换句话说，在有限的振幅范围内

图 3.9 无记忆量化器描述

在信号范围内，我们会发现有无数个振幅电平。事实上，没有必要传输采样的精确振幅。人类的任何感官（耳朵或眼球）作为最终接收器，只能检测到有限的强度差异。这意味着原始的连续信号可以通过从可用的信号集中以最小误差选择离散振幅构成的信号来近似。存在有限数量的离散振幅电平是脉冲编码调制的基本条件。显然，如果我们以足够近的间距分配离散振幅电平，就可以使近似信号与原始连续信号几乎没有区别。
振幅量化的定义是将信息信号 m ( t ) m ( t ) m(t)m(t) 在时间 t = n T s t = n T s t=nT_(s)t=n T_{s} 时的采样振幅 m ( n T s ) m n T s m(nT_(s))m\left(n T_{s}\right) 转换为从有限的可能振幅集合中提取的离散振幅 v ( n T s ) v n T s v(nT_(s))v\left(n T_{s}\right) 的过程。我们假设量化过程是无记忆和瞬时的，这意味着时间 t = n T s t = n T s t=nT_(s)t=n T_{s} 时的变换不受信息信号先前或后来样本的影响。这种简单的标量量化形式虽然不是最佳的，但在实践中却很常用。
在处理无存储器量子器时，我们可以通过去掉时间索引来简化符号。因此，我们可以使用符号 m m mm 代替 m ( n T s ) m n T s m(nT_(s))m\left(n T_{s}\right) ，如图 3.9a 所示的量化器框图所示。然后，如图 3.9b 所示3.9b 所示，如果信号振幅 m m mm 位于分割单元内，则由索引 k k kk 指定
I k : { m k < m ≤ m k + 1 } , k = 1 , 2 , … , L I k : m k < m ≤ m k + 1 , k = 1 , 2 , … , L I_(k):{m_(k) < m <= m_(k+1)},quad k=1,2,dots,L\mathscr{I}_{k}:\left\{m_{k}<m \leq m_{k+1}\right\}, \quad k=1,2, \ldots, L
其中， L L LL 是量化器使用的振幅级总数。量化器输入端的离散振幅 m k , k = 1 , 2 , … , L m k , k = 1 , 2 , … , L m_(k),k=1,2,dots,Lm_{k}, k=1,2, \ldots, L 称为判定电平或判定阈值。在量化器输出端，索引 k k kk 被转换为表示单元 ∯ k ∯ k "∯"_(k)\oiint_{k}∯ 所有振幅的振幅 v k v k v_(k)v_{k} ；离散振幅 v k , k = 1 , 2 , … , L v k , k = 1 , 2 , … , L v_(k),k=1,2,dots,Lv_{k}, k=1,2, \ldots, L 称为表示级或重构级，相邻两个表示级之间的间距称为量子或步长。因此，如果输入信号样本 m m mm 属于区间 I k I k I_(k)\mathscr{I}_{k} ，则量化器输出 v v vv 等于 v k v k v_(k)v_{k} 。映射（见图 3.9a）
v = g ( m ) v = g ( m ) v=g(m)v=g(m)
是量化器特征，顾名思义是一个阶梯函数。

量化器可分为均匀型和非均匀型。在均匀量子化器中，表示层的间距是均匀的；否则，量子化器就是非均匀的。在本节中，我们只考虑均匀量子化器；非均匀量子化器将在第 3.7 节中讨论。量化器的特征也可以是中踏或中升类型。图 3.10 a 显示了 Midtread 类型均匀量化器的输入-输出特性，之所以称其为 Midtread，是因为其原点位于阶梯状图形的一个踏板中间。图 3.10 b 3.10 b 3.10 b3.10 b 显示了中阶类型均匀量化器的相应输入-输出特性，在中阶类型均匀量化器中，原点位于类阶梯图上升部分的中间。请注意，图 3.10 中所示的 Midtread 和 midrise 类型的均匀量化器都与原点对称。

图 3.10 两种量化类型：(a) 中段胎面和 (b) 中段胎面。

圂 量化噪声 

量化会带来误差，误差定义为输入信号 m m mm 和输出信号 v v vv 之间的差值。该误差称为量化噪声。图 3.11 展示了量化噪声随时间的典型变化，假设使用的是中程类型的均匀量化器。
让量化器输入 m m mm 成为零均值随机变量 M M MM 的样本值。(如果输入具有非零均值，我们可以通过从输入中减去均值，然后在量化后再加回来的方法将其去除）。量化器 g ( ⋅ ) g ( ⋅ ) g(*)g(\cdot) 将输入映射为

图 3.11 量化过程示意图。(改编自 Bennett，1948 年，经 AT&T 许可）。

将连续振幅随机变量 M M MM 变为离散随机变量 V V VV ；它们各自的样本值 m m mm 和 v v vv 由公式 (3.22) 关联。量化误差用样本值 q q qq 的随机变量 Q Q QQ 表示。因此，我们可以写成
q = m − v q = m − v q=m-vq=m-v
或者，相应地 
Q = M − V Q = M − V Q=M-VQ=M-V
由于输入 M M MM 的均值为零，并且假设量化器如图 3.10 所示是对称的，因此量化器的输出 V V VV 以及量化误差 Q. 的均值也将为零。因此，我们只需要找到量化误差 Q Q QQ 的均方值，就可以根据输出信号与（量化）噪声比对量化器进行部分统计描述。
考虑输入 m m mm 的连续振幅范围为 ( − m max , m max − m max , m max -m_(max),m_(max)-m_{\max }, m_{\max } )。假定使用图 3.10b 中所示的中升式均匀量化器，我们发现量化器的步长为
Δ = 2 m max L Δ = 2 m max L Delta=(2m_(max))/(L)\Delta=\frac{2 m_{\max }}{L}
其中， L L LL 是表示层次的总数。对于均匀量化器，量化误差 Q Q QQ 的样本值将以 − Δ / 2 ≤ q ≤ Δ / 2 − Δ / 2 ≤ q ≤ Δ / 2 -Delta//2 <= q <= Delta//2-\Delta / 2 \leq q \leq \Delta / 2 为界。如果步长 Δ Δ Delta\Delta 足够小（即表示级数 L L LL 足够大），则可以合理地假设量化误差 Q Q QQ 是一个均匀分布的随机变量，量化噪声对量化器输入的干扰作用类似于热噪声。因此，我们可以将量化误差 Q Q QQ 的概率密度函数表示如下：
f Q ( q ) = { 1 Δ , − Δ 2 < q ≤ Δ 2 0 , otherwise f Q ( q ) = 1 Δ ,      − Δ 2 < q ≤ Δ 2 0 ,       otherwise  f_(Q)(q)={[(1)/(Delta)",",-(Delta)/(2) < q <= (Delta)/(2)],[0","," otherwise "]:}f_{Q}(q)= \begin{cases}\frac{1}{\Delta}, & -\frac{\Delta}{2}<q \leq \frac{\Delta}{2} \\ 0, & \text { otherwise }\end{cases}
要做到这一点，我们必须确保输入信号不会使量化器超载。那么，由于量化误差的均值为零，其方差 σ Q 2 σ Q 2 sigma_(Q)^(2)\sigma_{\mathbb{Q}}^{2} 与均方值相同：
σ Q 2 = E [ Q 2 ] = ∫ − Δ / 2 Δ / 2 q 2 f Q ( q ) d q σ Q 2 = E Q 2 = ∫ − Δ / 2 Δ / 2   q 2 f Q ( q ) d q {:[sigma_(Q)^(2)=E[Q^(2)]],[=int_(-Delta//2)^(Delta//2)q^(2)f_(Q)(q)dq]:}\begin{aligned} \sigma_{Q}^{2} & =E\left[Q^{2}\right] \\ & =\int_{-\Delta / 2}^{\Delta / 2} q^{2} f_{Q}(q) d q \end{aligned}
将方程 (3.26) 代入 (3.27)，我们得到
σ Q 2 = 1 Δ ∫ − Δ / 2 Δ / 2 q 2 d q = Δ 2 12 σ Q 2 = 1 Δ ∫ − Δ / 2 Δ / 2   q 2 d q = Δ 2 12 {:[sigma_(Q)^(2)=(1)/(Delta)int_(-Delta//2)^(Delta//2)q^(2)dq],[=(Delta^(2))/(12)]:}\begin{aligned} \sigma_{Q}^{2} & =\frac{1}{\Delta} \int_{-\Delta / 2}^{\Delta / 2} q^{2} d q \\ & =\frac{\Delta^{2}}{12} \end{aligned}
通常，表示量化器第 k k kk 个表示级的 L L LL -ary 数字 k k kk 会以二进制形式传输给接收器。让 R R RR 表示构建二进制编码时使用的每个样本的比特数。我们可以写成
L = 2 R L = 2 R L=2^(R)L=2^{R}
或者换句话说 
R = log 2 ⁡ L R = log 2 ⁡ L R=log_(2)LR=\log _{2} L
因此，将方程 (3.29) 代入 (3.25)，我们就得到了步长
Δ = 2 m max 2 R Δ = 2 m max 2 R Delta=(2m_(max))/(2^(R))\Delta=\frac{2 m_{\max }}{2^{R}}
因此，在 (3.28) 中使用公式 (3.31) 可以得出
σ Q 2 = 1 3 m max 2 2 − 2 R σ Q 2 = 1 3 m max 2 2 − 2 R sigma_(Q)^(2)=(1)/(3)m_(max)^(2)2^(-2R)\sigma_{\mathcal{Q}}^{2}=\frac{1}{3} m_{\max }^{2} 2^{-2 R}
让 P P PP 表示信息信号 m ( t ) m ( t ) m(t)m(t) 的平均功率。我们可以将均匀量化器的输出信噪比表示为
( SNR ) O = P σ Q 2 = ( 3 P m max 2 ) 2 2 R ( SNR ) O = P σ Q 2 = 3 P m max 2 2 2 R {:[(SNR)_(O)=(P)/(sigma_(Q)^(2))],[=((3P)/(m_(max)^(2)))2^(2R)]:}\begin{aligned} (\mathrm{SNR})_{O} & =\frac{P}{\sigma_{Q}^{2}} \\ & =\left(\frac{3 P}{m_{\max }^{2}}\right) 2^{2 R} \end{aligned}
等式 (3.33) 表明，量化器的输出信噪比随着每个采样比特数 R R RR 的增加而呈指数增长。由于 R R RR 的增加要求信道（传输）带宽 B T B T B_(T)B_{T} 成比例地增加，因此我们可以看到，使用二进制编码来表示信息信号（如脉冲编码调制）提供了一种比频率调制（FM）或脉冲位置调制（PPM）更有效的方法，可以在增加信道带宽与改善噪声性能之间进行权衡。在作出这一声明时，我们假定调频和脉冲位置调制系统受到接收机噪声的限制，而二进制编码调制系统则受到量化噪声的限制。关于后一个问题，我们将在第 3.8 节中详细论述。

例 3.1 正弦调制信号

考虑振幅为 A m s A m s A_(ms)A_{m s} 的满载正弦调制信号的特殊情况，该信号使用了所提供的所有表示电平。平均信号功率为（假设负载为 1 欧姆）
P = A m 2 2 P = A m 2 2 P=(A_(m)^(2))/(2)P=\frac{A_{m}^{2}}{2}
量化器输入的总范围为 2 A m 2 A m 2A_(m)2 A_{m} ，因为调制信号在 − A m − A m -A_(m)-A_{m} 和 A m A m A_(m)A_{m} 之间波动。因此，我们可以设置 m max = A m m max = A m m_(max)=A_(m)m_{\max }=A_{m} ，在这种情况下，使用公式 (3.32) 得出量化噪声的平均功率（方差）为
σ Q 2 = 1 3 A m 2 2 − 2 R σ Q 2 = 1 3 A m 2 2 − 2 R sigma_(Q)^(2)=(1)/(3)A_(m)^(2)2^(-2R)\sigma_{Q}^{2}=\frac{1}{3} A_{m}^{2} 2^{-2 R}
因此，对于满载测试音，均匀量化器的输出信噪比为
( SNR ) O = A m 2 / 2 A m 2 2 − 2 R / 3 = 3 2 ( 2 2 R ) ( SNR ) O = A m 2 / 2 A m 2 2 − 2 R / 3 = 3 2 2 2 R (SNR)_(O)=(A_(m)^(2)//2)/(A_(m)^(2)2^(-2R//3))=(3)/(2)(2^(2R))(\mathrm{SNR})_{O}=\frac{A_{m}^{2} / 2}{A_{m}^{2} 2^{-2 R / 3}}=\frac{3}{2}\left(2^{2 R}\right)
用分贝表示信噪比，我们得到
10 log 10 ⁡ ( SNR ) O = 1.8 + 6 R 10 log 10 ⁡ ( SNR ) O = 1.8 + 6 R 10log_(10)(SNR)_(O)=1.8+6R10 \log _{10}(\mathrm{SNR})_{O}=1.8+6 R
代表级数，L
 每个采样的比特数，R
 Signal-to-Noise Ratio ( d B )  Signal-to-Noise   Ratio  ( d B ) {:[" Signal-to-Noise "],[" Ratio "(dB)]:}\begin{gathered} \text { Signal-to-Noise } \\ \text { Ratio }(d B) \end{gathered}
32 5 31.8
64 6 37.8
128 7 43.8
256 49.8
Number of Representation Levels, L Number of Bits per Sample, R " Signal-to-Noise Ratio (dB)" 32 5 31.8 64 6 37.8 128 7 43.8 256 49.8| Number of Representation Levels, L | Number of Bits per Sample, R | $\begin{gathered} \text { Signal-to-Noise } \\ \text { Ratio }(d B) \end{gathered}$ | | :---: | :---: | :---: | | 32 | 5 | 31.8 | | 64 | 6 | 37.8 | | 128 | 7 | 43.8 | | 256 | | 49.8 |
对于 L L LL 和 R R RR 的不同值，信噪比的相应值如表 3.1 所示。根据表 3.1，我们可以快速估算出，假设采用正弦调制，为达到理想的输出信噪比，每个采样所需的比特数。4
本节到目前为止，我们主要讨论了如何描述无记忆标量量化器并评估其性能。然而，在这样做的过程中，我们回避了量化器的优化设计问题，即选择表示层次和分区单元，以便在规定的表示层次数下使平均量化功率最小的问题。遗憾的是，由于量化过程的高度非线性性质，这一优化问题并不适合采用封闭形式的解决方案。相反，我们有一些有效的算法，可以通过迭代的方式找到最佳设计。在这方面值得一提的著名算法是 Lloyd-Max 量化器，我们将在下文中讨论它。

标量量化器最优化的条件

在设计标量量化器时，面临的挑战是如何选择表示层和周围的分区单元，以便在表示层数量固定的情况下，最大限度地降低平均量化功率。
为了用数学术语说明这个问题，请考虑从静态过程 M ( t ) M ( t ) M(t)M(t) 中提取的信息信号 m ( t ) m ( t ) m(t)m(t) 。让 − A ≤ m ≤ A − A ≤ m ≤ A -A <= m <= A-A \leq m \leq A 表示 m ( t ) m ( t ) m(t)m(t) 的动态范围，如图 3.12 所示，它被划分为一组 L L LL 单元。分区单元的边界由一组满足以下三个条件的实数 m 1 , m 2 , … , m L + 1 m 1 , m 2 , … , m L + 1 m_(1),m_(2),dots,m_(L+1)m_{1}, m_{2}, \ldots, m_{L+1} 定义：
m 1 = − A m L + 1 = A m k ≤ m k + 1 for k = 1 , 2 , … , L m 1 = − A m L + 1 = A m k ≤ m k + 1  for  k = 1 , 2 , … , L {:[m_(1)=-A],[m_(L+1)=A],[m_(k) <= m_(k+1)" for "k=1","2","dots","L]:}\begin{aligned} m_{1} & =-A \\ m_{L+1} & =A \\ m_{k} & \leq m_{k+1} \text { for } k=1,2, \ldots, L \end{aligned}
第 k k kk 个分区单元的定义是
g k : m k < m ≤ m k + 1 for k = 1 , 2 , … , L g k : m k < m ≤ m k + 1  for  k = 1 , 2 , … , L g_(k):m_(k) < m <= m_(k+1)" for "k=1,2,dots,L\mathfrak{g}_{k}: m_{k}<m \leq m_{k+1} \text { for } k=1,2, \ldots, L
图 3.12 展示了如何将信息信号 m ( t ) m ( t ) m(t)m(t) 的动态范围 − A ≤ m ≤ A − A ≤ m ≤ A -A <= m <= A-A \leq m \leq A 划分为一组 L L LL 单元。
让 v k , k = 1 , 2 , … , L v k , k = 1 , 2 , … , L v_(k),k=1,2,dots,Lv_{k}, k=1,2, \ldots, L 表示表示水平（即量化值）。然后，假设 d ( m , v k ) d m , v k d(m,v_(k))d\left(m, v_{k}\right) 表示使用 v k v k v_(k)v_{k} 表示输入 m m mm 中位于分区单元 Φ k Φ k Phi_(k)\Phi_{k} 内的所有值的失真度，目标是找到平均失真度最小的两个集合 { v k } k = 1 L v k k = 1 L {v_(k)}_(k=1)^(L)\left\{v_{k}\right\}_{k=1}^{L} 和 { ξ k } k = 1 L ξ k k = 1 L {xi_(k)}_(k=1)^(L)\left\{\xi_{k}\right\}_{k=1}^{L}
D = ∑ k = 1 L ∫ m ∈ s k d ( m , v k ∣ f M ( m ) d m D = ∑ k = 1 L   ∫ m ∈ s k   d m , v k ∣ f M ( m ) d m D=sum_(k=1)^(L)int_(m ins_(k))d(m,v_(k)∣f_(M)(m)dm:}D=\sum_{k=1}^{L} \int_{m \in \mathfrak{s}_{k}} d\left(m, v_{k} \mid f_{M}(m) d m\right.
其中 f M ( m ) f M ( m ) f_(M)(m)f_{M}(m) 是样本值为 m m mm 的随机变量 M M MM 的概率密度函数。
常用的失真测量方法是
d ( m , v k ) = ( m − v k ) 2 d m , v k = m − v k 2 d(m,v_(k))=(m-v_(k))^(2)d\left(m, v_{k}\right)=\left(m-v_{k}\right)^{2}
在这种情况下，我们说的是均方失真。无论如何，hercin 所说的优化问题是非线性的，无法得到明确的闭式解。为了解决这个难题，我们采用了一种算法，以迭代的方式来解决这个问题。
从结构上讲，量化器由两个部分组成，其设计参数相互关联：
编码器由一组分区单元 { F k } k = 1 L F k k = 1 L {F_(k)}_(k=1)^(L)\left\{\mathcal{F}_{k}\right\}_{k=1}^{L} 构成，位于发射器内。
  • 解码器的特征是一组表示级别 { v k } k = 1 L v k k = 1 L {v_(k)}_(k=1)^(L)\left\{v_{k}\right\}_{k=1}^{L} ；它位于接收器中。
因此，我们可以确定两个至关重要的条件，它们为最优量化问题的所有算法解决方案提供了数学基础。其中一个条件是，我们给定一个解码器，问题是在发射器中找到最佳编码器。另一个条件是，我们给定了一个编码器，问题是在接收器中找到最佳解码器。因此，这两个条件分别称为条件 I 和条件 II。

条件 I. 特定解码器的最佳编码器

有了解码器，就意味着我们有了一定的编码本。编码本的定义如下
C : { v k } k = 1 L C : v k k = 1 L C:{v_(k)}_(k=1)^(L)\mathscr{C}:\left\{v_{k}\right\}_{k=1}^{L}
给定代码集 C C C\mathscr{C} ，问题是找到最小化平均失真 D D DD 的分区单元集 { y k } k = 1 L y k k = 1 L {y_(k)}_(k=1)^(L)\left\{y_{k}\right\}_{k=1}^{L} 。也就是说，我们希望找到由非线性映射定义的编码器
g ( m ) = v k , k = 1 , 2 , … , L g ( m ) = v k , k = 1 , 2 , … , L g(m)=v_(k),quad k=1,2,dots,Lg(m)=v_{k}, \quad k=1,2, \ldots, L
这样 
D = ∫ − A A d ( m , g ( m ) ) f M ( m ) d M ≥ ∑ k = 1 L ∫ m ∈ I k [ min v k ∈ G d ( m , v k ) ] f M ( m ) d m D = ∫ − A A   d ( m , g ( m ) ) f M ( m ) d M ≥ ∑ k = 1 L   ∫ m ∈ I k   min v k ∈ G   d m , v k f M ( m ) d m D=int_(-A)^(A)d(m,g(m))f_(M)(m)dM >= sum_(k=1)^(L)int_(m inI_(k))[min_(v_(k)inG)d(m,v_(k))]f_(M)(m)dmD=\int_{-A}^{A} d(m, g(m)) f_{M}(m) d M \geq \sum_{k=1}^{L} \int_{m \in \mathcal{I}_{k}}\left[\min _{v_{k} \in \mathcal{G}} d\left(m, v_{k}\right)\right] f_{M}(m) d m
为了达到方程 (3.41) 中规定的下限，我们要求方程 (3.40) 的非线性映射必须满足以下条件
d ( m , v k ) ≤ d ( m , v j ) holds for all j ≠ k d m , v k ≤ d m , v j  holds for all  j ≠ k d(m,v_(k)) <= d(m,v_(j))quad" holds for all "j!=kd\left(m, v_{k}\right) \leq d\left(m, v_{j}\right) \quad \text { holds for all } j \neq k
等式 (3.42) 中描述的编码器针对指定代码集 φ b φ b varphi_(b)\varphi_{b} 实现优化的必要条件被认为是近邻条件。换句话说，近邻条件要求分区单元 I k I k I_(k)\mathscr{I}_{k} 应包含输入 m m mm 中比编码本 C 中任何其他元素更接近 v k v k v_(k)v_{k} 的所有值。这一优化条件确实能直观地满足要求。

条件 II.给定编码器的解码器最优性

接下来考虑与条件 I 中描述的情况相反的情况，可表述如下：优化解码器的代码集 C = { v k } k = 1 L C = v k k = 1 L C={v_(k)}_(k=1)^(L)\mathscr{C}=\left\{v_{k}\right\}_{k=1}^{L} ，条件是编码器的分区单元集 { g k } k = 1 L g k k = 1 L {g_(k)}_(k=1)^(L)\left\{\mathscr{g}_{k}\right\}_{k=1}^{L}ℊ 固定不变。优化的标准是平均（均方）失真：
D = ∑ k = 1 L ∫ m ∈ s k ( m − v k ) 2 f M ( m ) d m D = ∑ k = 1 L   ∫ m ∈ s k   m − v k 2 f M ( m ) d m D=sum_(k=1)^(L)int_(m ins_(k))(m-v_(k))^(2)f_(M)(m)dmD=\sum_{k=1}^{L} \int_{m \in s_{k}}\left(m-v_{k}\right)^{2} f_{M}(m) d m
概率密度函数 f M ( m ) f M ( m ) f_(M)(m)f_{M}(m) 显然与编码本 G G G\mathscr{G} 无关。因此，将 D D DD 与表示水平 v k v k v_(k)v_{k} 微分，我们很容易得到
∂ D ∂ v k = − 2 ∑ k = 1 L ∫ m ∈ y k ( m − v k ) f M ( m ) d m ∂ D ∂ v k = − 2 ∑ k = 1 L   ∫ m ∈ y k   m − v k f M ( m ) d m (del D)/(delv_(k))=-2sum_(k=1)^(L)int_(m iny_(k))(m-v_(k))f_(M)(m)dm\frac{\partial D}{\partial v_{k}}=-2 \sum_{k=1}^{L} \int_{m \in y_{k}}\left(m-v_{k}\right) f_{M}(m) d m
将 ∂ D / ∂ v k ∂ D / ∂ v k del D//delv_(k)\partial D / \partial v_{k} 设为零，然后求解 v k v k v_(k)v_{k} ，即可得到最佳值
v k , opr = ∫ m ∈∈ g k m f M ( m ) d m ∫ m ∈ g k f M ( m ) d m v k , opr = ∫ m ∈∈ g k   m f M ( m ) d m ∫ m ∈ g k   f M ( m ) d m v_(k,opr)=(int_(m∈∈g_(k))mf_(M)(m)dm)/(int_(m ing_(k))f_(M)(m)dm)v_{k, \mathrm{opr}}=\frac{\int_{m \in \in \mathcal{g}_{k}} m f_{M}(m) d m}{\int_{m \in \mathfrak{g}_{k}} f_{M}(m) d m}
等式 (3.45) 中的分母只是样本值为 m m mm 的随机变量 M M MM 位于分区单元 I k I k I_(k)\mathfrak{I}_{k} 中的概率 p k p k p_(k)p_{k} ，如下所示
p k = P ( m k < M ≤ m k + 1 ) = ∫ m ∈ A k f M ( m ) d m p k = P m k < M ≤ m k + 1 = ∫ m ∈ A k   f M ( m ) d m {:[p_(k)=P(m_(k) < M <= m_(k)+1)],[=int_(m inA_(k))f_(M)(m)dm]:}\begin{aligned} p_{k} & =P\left(m_{k}<M \leq m_{k}+1\right) \\ & =\int_{m \in \mathcal{A}_{k}} f_{M}(m) d m \end{aligned}
因此，我们可以将公式 (3.45) 的最优性条件解释为：在 M M MM 位于分区单元 I k I k I_(k)\mathscr{I}_{k} 中的情况下，选择表示水平 ν k ν k nu_(k)\nu_{k} 等于随机变量 M M MM 的条件平均值。因此，我们可以将给定编码器的解码器的最优性条件正式表述如下：
v k , opt = E [ M ∣ m k < M ≤ m k + 1 ] v k , opt = E M ∣ m k < M ≤ m k + 1 v_(k,opt)=E[M∣m_(k) < M <= m_(k+1)]v_{k, \mathrm{opt}}=E\left[M \mid m_{k}<M \leq m_{k+1}\right]
其中 E E EE 是期望算子。方程 (3.47) 在直觉上也是令人满意的。

请注意，给定解码器的编码器最优性的近邻条件（条件 I）是针对一般平均失真证明的。然而，针对给定编码器的解码器最优性的条件均值要求（条件 II）是针对均方失真这一特殊情况证明的。无论如何，这两个条件是标量量化器最优化的必要条件。基本上，设计量化器的算法包括交替根据条件 I 优化编码器，然后根据条件 I I I I III I 优化解码器，并继续这样做。

直到平均失真 D D DD 达到最小值。以这种方式设计的最佳量化器称为 Lloyd-Max 量化器。 4 4 ^(4){ }^{4}

3.7 脉冲编码调制

有了采样和量化过程，我们现在就可以描述脉冲编码调制了，如前所述，脉冲编码调制是数字脉冲调制的最基本形式。在脉冲编码调制（PCM）中，信息信号由一串编码脉冲来表示，通过在时间和振幅上以离散形式表示信号来实现。如图 3.13a 所示，PCM 系统发射机中执行的基本操作包括采样、量化和编码；采样前的低通滤波器用于防止信息信号出现混叠。量化和编码操作通常在同一电路中进行，称为模数转换器。如图 3.13c 所示，接收器的基本操作包括受损信号的再生、解码和量化采样序列的重建。如图 3.13b 所示，必要时还会在传输路径的中间点进行再生。如第 3.9 节所述，在使用时分复用技术时，必须使接收器与发射器同步，整个系统才能令人满意地运行。下面我们将介绍构成基本 PCM 系统的各种操作。

- 取样 

用一列窄矩形脉冲对接收到的信息信号进行采样，以接近瞬时采样过程。为确保在接收器上完美地重建信息信号，根据采样定理，采样率必须大于信息信号最高频率分量 W W WW 的两倍。在实际应用中，采样器的前端会使用低通抗混叠滤波器，在采样前排除大于 W W WW 的频率。因此，应用采样


(a) 发射机 

(b) 传输路径 
图 3.13 PCM 系统的基本要素。

允许将连续变化的信息信号（持续时间有限）减少到每秒有限的离散值。

统一 

然后对信息信号的采样版本进行量化，从而提供一个在时间和振幅上都是离散的信号新表示。量化过程可以遵循第 3.6 节所述的统一规律。不过，在电话通信中，最好在表示层次之间采用可变的间隔。例如，语音信号覆盖的电压范围，从大声说话的峰值到微弱说话的弱段，大约在 1000 到 1 之间。非均匀量化器的步长随输入输出振幅特征原点的距离增大而增大，通过使用这种非均匀量化器，量化器的大末端步长可以处理语音信号可能出现的偏离大振幅范围的情况，而这种情况出现的频率相对较低。换句话说，需要更多保护的弱音段落将得到优先处理，而大音量段落则会受到影响。这样，就能在输入信号的大部分振幅范围内实现几乎一致的百分比精度，从而比使用均匀量化器所需的步骤更少。
使用非均匀量化器相当于将基带信号通过压缩器，然后将压缩后的信号应用于均匀量化器。在实际应用中，一种特殊形式的压缩定律是所谓的 μ μ mu\mu 定律， 5 5 ^(5){ }^{5} 的定义是
| v | = log ⁡ ( 1 + μ | m | ) log ⁡ ( 1 + μ ) | v | = log ⁡ ( 1 + μ | m | ) log ⁡ ( 1 + μ ) |v|=(log(1+mu|m|))/(log(1+mu))|v|=\frac{\log (1+\mu|m|)}{\log (1+\mu)}
其中， m m mm 和 v v vv 是归一化输入和输出电压， μ μ mu\mu 是正常数。在图 3.14a 中，我们绘制了三种不同 μ μ mu\mu 值的 μ μ mu\mu 法。均匀量化的情况对应于 μ = 0 μ = 0 mu=0\mu=0 。对于给定的 μ μ mu\mu 值，倒数斜率

图 3.14 压缩定律。(a) μ μ mu\mu 定律。 (b) A-定律。
    • 脉冲持续时间调制 (PDM)，也称为脉冲宽度调制，利用信息信号的采样来改变载波中各个脉冲的持续时间。