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滴水水龙头的理论分析


Bala Ambravaneswaran、Scott D. Phillips 和 Osman A. Basaran*
普渡大学化学工程学院，印第安纳州西拉斐特 47907-1283


（2000 年 1 月 26 日收到;2000 年 5 月 26 日收到修订稿）

 抽象


虽然之前对水龙头连续液滴喷出的研究表明了该系统非线性响应的丰富性，但迄今为止一直缺乏滴落理论。在给定的流速 Q Q QQ 下，通过跟踪多达数百个液滴的形成，而不是通常的单个液滴，通过计算方式模拟长时间滴落的行为，并通过实验进行验证。随着 Q Q QQ 增加，该系统从周期 1 系统演变为许多周期加倍（减半）分叉，因为滴落最终让位于喷射。还证明了可能会发生滞后。


PACS 编号：47.55.Dz、47.20.Ky、47.20.Ma、47.52.+j

从 Shaw 的工作开始 [12]，所有关于滴落的实验研究都依赖于滴计数装置的使用，其中，每当从水龙头（管）落下的液滴穿过光束路径时，指向检测器的激光束就会中断。因此，实验提供了液滴之间的时间间隔 t 1 , t 2 , … , t i , … t 1 , t 2 , … , t i , … t_(1),t_(2),dots,t_(i),dotst_{1}, t_{2}, \ldots, t_{i}, \ldots 哪里 t i t i t_(i)t_{i} 是 i i ii th 和 ( i − 1 ) ( i − 1 ) (i-1)(i-1) th drops 的。然而，这些研究完全忽视了液滴形成的物理学，并将系统视为一个产生数字流的黑匣子 t 1 , t 2 , … t 1 , t 2 , … t_(1),t_(2),dotst_{1}, t_{2}, \ldots 连续系统的这种离散化，仅通过查看 { t i } t i {t_(i)}\left\{t_{i}\right\} 近似于系统状态空间中流的 Poincaré 部分。分析此类时间间隔数据以检测可能的确定性的一种便捷方法是使用时间返回映射[12,13]。此类映射中的每个点都由有序对确定 ( t n , t n + 1 ) t n , t n + 1 (t_(n),t_(n+1))\left(t_{n}, t_{n+1}\right) 对于某些人来说 n n nn .以前的研究人员[12-15]从这些简单的映射中推断出几种结构和模式，表明假定的无限维系统以“低维”方式运行。该系统的这一特性引发了一系列平行的调查 [ 12 , 15 , 17 , 18 ] [ 12 , 15 , 17 , 18 ] [12,15,17,18][12,15,17,18]
这项研究有几个特点与其他研究不同。两种新方法都取代了时间间隔的测量，用于探测滴落的物理学。首先，首次求解了控制牛顿液体动力学的方程，以预测从毛细管到空气中的数百个液滴按顺序形成。这项计算密集型任务通过使用基于轴对称纳维-斯托克斯方程 （ANS） 的细长喷流近似的一维 （1D） 模型成为可能 [7,19,20]。在无量纲形式中，一维方程是
∂ v z ∂ t = − v z ∂ v z ∂ z − ∂ ( 2 H ) ∂ z + 3 Oh 1 h 2 ∂ ∂ z ( h 2 ∂ v z ∂ z ) + G ∂ h ∂ t = − v z ∂ h ∂ z − 1 2 h ∂ v z ∂ z ∂ v z ∂ t = − v z ∂ v z ∂ z − ∂ ( 2 H ) ∂ z + 3 Oh 1 h 2 ∂ ∂ z h 2 ∂ v z ∂ z + G ∂ h ∂ t = − v z ∂ h ∂ z − 1 2 h ∂ v z ∂ z {:[(delv_(z))/(del t)=-v_(z)(delv_(z))/(del z)-(del(2H))/(del z)],[+3Oh(1)/(h^(2))(del)/(del z)(h^(2)(delv_(z))/(del z))+G],[(del h)/(del t)=-v_(z)(del h)/(del z)-(1)/(2)h(delv_(z))/(del z)]:}\begin{aligned} \frac{\partial v_{z}}{\partial t}= & -v_{z} \frac{\partial v_{z}}{\partial z}-\frac{\partial(2 \mathcal{H})}{\partial z} \\ & +3 \mathrm{Oh} \frac{1}{h^{2}} \frac{\partial}{\partial z}\left(h^{2} \frac{\partial v_{z}}{\partial z}\right)+G \\ \frac{\partial h}{\partial t}= & -v_{z} \frac{\partial h}{\partial z}-\frac{1}{2} h \frac{\partial v_{z}}{\partial z} \end{aligned}
哪里 t t tt是时间， h ( z , t ) h ( z , t ) h(z,t)h(z, t)是远处液态颈的半径 z z zz从毛细管出口， v z ( z , t ) v z ( z , t ) v_(z)(z,t)\boldsymbol{v}_{z}(z, t)是液体的轴向速度，而 2 H 2 H 2H2 \mathcal{H}是平均曲率的两倍。在 Eqs.（1） 和 （2） 中，长度和时间以毛细管半径的单位测量 R R RR和毛细管时间 τ c ≡ τ c ≡ tau_(c)-=\tau_{c} \equiv ρ R 3 / σ ρ R 3 / σ sqrt(rhoR^(3)//sigma)\sqrt{\rho R^{3} / \sigma}，其中 ρ ρ rho\rho是液体的密度， σ σ sigma\sigma是液-气界面的表面张力。由此公式产生的主导无量纲群是 Ohnesorge 数 Oh ≡ μ / ρ R σ Oh ≡ μ / ρ R σ Oh-=mu//sqrt(rho R sigma)\mathrm{Oh} \equiv \mu / \sqrt{\rho R \sigma}、引力键数 G ≡ ρ g R 2 / σ G ≡ ρ g R 2 / σ G-=rho gR^(2)//sigmaG \equiv \rho g R^{2} / \sigma和 Weber 编号 We ≡ ρ U f 2 R / σ We ≡ ρ U f 2 R / σ We-=rhoU_(f)^(2)R//sigma\mathrm{We} \equiv \rho U_{f}^{2} R / \sigma哪里 μ μ mu\mu是液体的粘度， g g gg是重力加速度，而 U f U f U_(f)U_{f}是液体在毛细管中的平均速度，与流速有关 Q Q QQ由 Q = π R 2 U f Q = π R 2 U f Q=piR^(2)U_(f)Q=\pi R^{2} U_{f}.（韦伯数通过在管出口处施加塞流速度曲线来输入问题。尽管实际的流入边界条件是抛物线，并且应该施加在管道出口的上游，但参考文献 [21] 表明这对动力学的影响微不足道。
有限元方法用于求解 Eqs。（1） 和 （2），其详细信息可在其他处找到 [21]。计算是从初始状态开始进行的，除非另有说明，否则它是一个静态半球，一直持续到形成指定数量的液滴。当流体颈部的无量纲最小半径 h m h m h_(m)h_{m}低于 10 − 3 10 − 3 10^(-3)10^{-3}.确保动力学对 h m < 10 − 3 h m < 10 − 3 h_(m) < 10^(-3)h_{m}<10^{-3}.一旦检测到分解，就会丢弃刚刚分离的液滴，并构建一个新的网格。早期的研究[21]将一维模型的预测与求解ANS [10]的预测结果进行了比较，结果表明，对于 We ≈ O ( 0.1 ) We ≈ O ( 0.1 ) We~~O(0.1)\mathrm{We} \approx \mathcal{O}(0.1)这两种方法在几个百分点内一致，只要 0.01 ⩽ Oh ⩽ 0.5 0.01 ⩽ Oh ⩽ 0.5 0.01 <= Oh <= 0.50.01 \leqslant \mathrm{Oh} \leqslant 0.5，而对于 We ≳ O ≳ O ≳O\gtrsim \mathcal{O}
在破裂初期，一个近乎球形的液体团（初级液滴）通过细丝（颈部）连接到附着在毛细管上的液体团。在低流速或低 We 下形成液滴，由于形成初级液滴后的二次破裂，伴随着卫星形成。延长的颈部从破裂点向上回缩，并在其顶部再次挤压，从而形成卫星[9,21]。然而，随着 We 的增加，以前的研究 [ 21 , 22 ] [ 21 , 22 ] [21,22][21,22]已经表明，在关键的 We ≡ We c We ≡ We c We-=We_(c)\mathrm{We} \equiv \mathrm{We}_{c}在下一个主要 drop 形成之前，没有足够的时间进行 secondary pinch-off。在这里，注意力集中在以下情况上： We > We c We > We c We > We_(c)\mathrm{We}>\mathrm{We}_{c}

图 1.时间返回 （a） period-1、（b） period-2、© period-4 和 （d） chaotic 的响应图。这里 G = 0.5 G = 0.5 G=0.5G=0.5 .在 （a） - © 和 Oh = 0.1 Oh = 0.1 Oh=0.1\mathrm{Oh}=0.1 We = 0.12 , 0.135 We = 0.12 , 0.135 We=0.12,0.135\mathrm{We}=0.12,0.135 和 和 0.14 中。在 （d） Oh = 0.01 Oh = 0.01 Oh=0.01\mathrm{Oh}=0.01 和 We = 0.19 We = 0.19 We=0.19\mathrm{We}=0.19 .

显示系统 S S SS 对 We 中变化的响应的一种便捷方法是 通过图 2 的分叉图。该图显示了液滴在破裂时无量纲长度的变化， L d L d L_(d)L_{d} 以下称为极限长度，其中 We。在第 1 周期范围内，如图 2 所示， We ≤ 0.125 We ≤ 0.125 We <= 0.125\mathrm{We} \leq 0.125 只有一个限制长度对应于 We 的每个值。随着流速的增加，系统 S S SS 经历一个周期的加倍分叉， We ≈ 0.125 We ≈ 0.125 We~~0.125\mathrm{We} \approx 0.125 导致周期为 2
图 2.系统的分岔图 Oh = 0.1 Oh = 0.1 Oh=0.1\mathrm{Oh}=0.1和 G = 0.5 G = 0.5 G=0.5G=0.5其中 We 作为分岔参数， L d L d L_(d)L_{d}作为响应。We 范围分为不同响应的区域。区 A A AA： 周期-1;区 B B BB： 周期-2;区 C C CC： 周期-4;区 D D DD： 周期 1 和周期 2 路径之间的滞后;区 E E EE： 周期 2，区域 F F FF：几个 period-2 路径之间的平行滞后;区 G G GG： 周期-2;区 H H HH：周期 1 和两个周期 2 路径之间的平行滞后;区 I I II： 周期 1 和周期 2 路径之间的滞后;区 J J JJ： 周期-1;区 K K KK： 周期-2;和区域 L L LL

图 3 比较了在这样的 period-2 状态下，在这样一个周期 2 状态下，由甘油在水溶液中滴 R = 0.15 cm R = 0.15 cm R=0.15cmR=0.15 \mathrm{~cm} 落的甘油组成的 70 % 70 % 70%70 \% 系统在这种 Q = 40 mL / min ( Oh = 0.069 , G = 0.43 Q = 40 mL / min ( Oh = 0.069 , G = 0.43 Q=40mL//min(Oh=0.069,quad G=0.43Q=40 \mathrm{~mL} / \mathrm{min}(\mathrm{Oh}=0.069, \quad G=0.43 周期 2 状态下分解时的形状，以及 We = 0.26 We = 0.26 We=0.26\mathrm{We}=0.26 ）。尽管几位实验者已经从时间间隔数据中推断出滴水水龙头中的周期加倍，但这是第一次通过计算或直接可视化来确定它。在实验中，长滴和短滴的值 L d L d L_(d)L_{d} 分别为 8.6 和 7.0，在计算中等于 8.4 和 7.2。长时间间隔和短时间间隔的测量值分别为 91 ms 和 54 ms，而计算值等于 88 ms 和 51 ms。对于这个以 Oh = 0.069 Oh = 0.069 Oh=0.069\mathrm{Oh}=0.069 和 G = 0.43 G = 0.43 G=0.43G=0.43 为特征的系统，周期 2 响应的开始发生在 We ≈ 0.223 We ≈ 0.223 We~~0.223\mathrm{We} \approx 0.223 实验和 We ≈ 0.226 We ≈ 0.226 We~~0.226\mathrm{We} \approx 0.226 计算中。本段和其他情况（未显示）中报告的实验和计算结果之间发现的显着一致性证明了使用 1D 模型来研究序列中数百个液滴的形成是合理的。更令人放心的是，即使在分岔点附近，在多达 100 个周期后，计算出的 AND drop VOLUME（s） 的值也保持不变，精确到小数点后 5 位或 6 位。 L d L d L_(d)L_{d}

图 3.以 为 Oh = 0.069 Oh = 0.069 Oh=0.069\mathrm{Oh}=0.069 G = 0.43 G = 0.43 G=0.43G=0.43 We = 0.26 We = 0.26 We=0.26\mathrm{We}=0.26 特征的系统的周期 2 响应的实验观察（上行）和计算预测（下行）。这些形状是在初始瞬变消失并且 period-2 响应开始后连续下降 10 次。

随着 We 的增加，系统 S S SS 表现出大量有趣的行为。为了强调在 We 变化时观察到的不同响应，图 2 分为几个区域。图 2 和图 4 中所示的箭头的类型和方向在下面阐明。因此，区域 A A AA 代表第 1 期制度，它分为称为 zone B B BB 的第 2 期制度。系统 S S SS 经历另一个周期加倍分叉以产生周期 4 响应，其中每四滴以相同的方式形成，即。 t n + 4 = t n t n + 4 = t n t_(n+4)=t_(n)t_{n+4}=t_{n} ，因为 zone B B BB 让位于 zone C C CC 。从图 2 的分岔图中可以清楚地看到这一特性，该图显示，在区域中 We 的值相同时，有四种不同的极限长度，例如 at We ≈ 0.14 We ≈ 0.14 We~~0.14\mathrm{We} \approx 0.14 ，以及图 1 所示的时间返回图。 C C CC ©We 的进一步增加会导致分岔，导致系统在区域 C C CC 结束时恢复到周期 2 响应，如图 2 所示。

最有趣的是，从区域 C C CC 结束时的第 2 期反应突然过渡到区域 D D DD 开始时的第 1 期反应。此后，随着 We 的增加，系统遵循单头实线箭头指示的路径。这种转变是突然跳跃的结果，不同于区域 中从周期 4 到周期 2 响应的分叉。 C C CC 这种突然的跳跃表明了滞后的可能性，如果 We 被减少，动力学可能会遵循不同的路径。为了检验这一假设，我们修改了数值算法，以使用 We 处的解作为初始条件，计算韦伯数 We ± Δ We We ± Δ We We+-DeltaWe\mathrm{We} \pm \Delta \mathrm{We} 处的稳定滴水，其中 Δ We Δ We DeltaWe\Delta \mathrm{We} 是一个很小的增量。这些运行（称为扫描）与目前讨论的运行不同。此类扫描显示系统再次跳转，但现在从区域中 D D DD 的周期 1 响应跳转到周期 2

图 4.区域 D D DD 和 E E EE 图 2 的特写，（a），以及遵循不同磁滞路径时获得的 We = 0.15 We = 0.15 We=0.15\mathrm{We}=0.15 破碎液滴形状序列，（b） 和 © 。在这里，路径 1 （b） 表现出周期 1 响应，当 We 增加时遇到，而路径 2 © 表现出周期 2 响应，并在 We 减少时遇到。（a） 中的虚线表示从路径 1 的末端跳转到路径 2。