АЛГЕБРА-4  代数-4

всли зы овнаруммли.

АЛГЕЕРА-4 阿尔及尔-4
ТИМАШЕВ ДМИТРИЙ АНДРЕЕВИЧ
提马舍夫·德米特里·安德烈耶维奇

ИМАШЕВ ДМИТРИЙ АНДРЕЕВИЧ 伊马舍夫·德米特里·安德烈耶维奇
Оглавление 目录
еккция 1. Теория полей ..... 6
第 1 节。场的理论..... 6
Теория полей. ..... 6 场论。..... 6
Некоторые факты о расширениях полей. ..... 8
一些关于字段扩展的事实。..... 8
Предложение 1. 提案 1。
Автоморфизмы расширения полей ..... 9
扩域的自同构 ..... 9
Упражнение. 练习。
Теорема. ..... 9 定理。..... 9
Лекция 2. Автоморфизмы расширения полей. ..... 10
讲座 2. 扩域的自同构。..... 10
Теорема 1 定理 1
Предложение 1 ..... 10 提案 1 ..... 10
Предложение 2 提案 2
Предложение 3 ..... 11 提案 3 ..... 11
Расширения Галуа 伽罗瓦扩展
Лекция 3. Основная теорема теории Галуа ..... 14
第 3 讲。伽罗瓦理论的基本定理..... 14
Теорема 1. ..... 14 定理 1. ..... 14
Теорема 2 ..... 15 定理 2 ..... 15
Основная теорема теории Галуа ..... 15
伽罗瓦理论的基本定理 ..... 15
Теорема о примитивном элементе
原始元素定理
Решение алгебраических уравнений в радикалах ..... .17
在根式中解代数方程的解法 ..... .17
Теорема Галуа... ..... 17
伽罗瓦定理... ..... 17
Лекция 4. Теорема Галуа ..... 18
第 4 讲。伽罗瓦定理 ..... 18
Теорема Галуа... ..... .18
伽罗瓦定理... ..... .18
Лемма 1. 引理 1.
Лемма 2 . ..... 18
引理 2. ..... 18
Лемма 3 引理 3
Лемма 4 ..... .19 引理 4 ..... .19
Решение общего уравнения степени п в радикалах
在根式中解决一般次数为 p 的方程
Лекция 5. Кольца, алгебры, модули ..... 22
讲座 5. 环，代数，模 ..... 22
Кольца, алгебры, модули ..... 22
环，代数，模..... 22
Примеры модулей ..... 25 示例模块 ..... 25
Лекция 6. Обшие теоретико-модульные конструкции ..... 28
第 6 讲。一般理论模块结构 ..... 28
Универсальное свойство прямой суммы
直和的通用性质
Предложение 1 ..... 29 提案 1 ..... 29
Предложение 提案
2
Примеры и свойства тензорного произведения ..... 32
张量积的示例和性质 ..... 32
Лекция 7. Свойства тензорного произведения ..... 35
第 7 讲。张量积的性质 ..... 35
Свойства тензорного произведения (продолжение)
张量积的性质（续）
Универсальное свойство тензорного произведени ..... 35
张量积的通用性质 ..... 35
Структура колец / модулей. ..... 39
环/模块结构。..... 39
Нётеровы модули ..... 39 Нетеровы модули ..... 39
Предложение 1 ..... 39 提案 1 ..... 39
Предложение 2 ..... 40 提案 2 ..... 40
Лекция 8. Нётеровы кольца. ..... 42
第 8 讲。涅特环。..... 42
Предложение 1 提案 1
Предложение 2 ..... 42 提案 2 ..... 42
Теорема Гильберта о базисе идеала ..... 42
希尔伯特关于理想基础的定理 ..... 42
Теорема ..... 44 定理 ..... 44
Конечно порожденные модули над кольцами главных идеалов ..... 45
当然，主理想环上生成的模块..... 45
Предложение 3. 第三提案。
Лекция 9. Основная теорема о структуре конечно порожденных модулей над кольцом
第 9 讲。有限生成模的结构的主要定理
47
главных идеалов. ..... 48
主要理想。..... 48
Приложения теоремы. ..... 51
应用定理。..... 51
Лекция 10. Теория представлений ..... 53
第 10 讲。表示理论 ..... 53
Нормальная форма Фробениуса линейного оператора ..... 53
线性算子的 Frobenius 标准形式 ..... 53
Теория представлений ..... 54
表示理论 ..... 54
Терминология ..... 55 术语 ..... 55
Предложение. ..... 57 提案。..... 57
Теорема. 定理。
Лекция 11. Лемма Шура. Тензорное произведение представлений групп ..... 60
第 11 讲。舒拉引理。群表示的张量积 ..... 60
Лемма Шура.. 引理舒拉。
Предложение ..... 61 提案 ..... 61
Предложение 2... ..... 62
提案 2... ..... 62
Тензорное произведение представлений груп ..... 63
张量表示的张量积 ..... 63
Предложение 3 ..... 64 提案 3 ..... 64
Лекция 12. Конечномерные ассоциативные алгебры и их представления. ..... 66
第 12 讲。 有限维结合代数及其表示。 ..... 66
C teach-in C 教学讲座

АлгеврА-4 ТИМАШЕВ ДМИТРИЙ АНДРЕЕВИЧ
АлгеврА-4 TIMASHEV DMITRII ANDREEVICH

Нильпотентные алгебры. ..... 66
幂零代数。..... 66
Лемма 1 . 引理 1.
Лемма 2 ..... 67 引理 2 ..... 67
Радикал ..... 68 激进 ..... 68
тандартное скалярное умножение ..... 68
标准点积 ..... 68
Лемма 3 ..... 68 引理 3 ..... 68
Теорема. 定理。
Лемма 4 ..... 69 引理 4 ..... 69
Лекция 13. Структура полупростых алгебр. Теорема Берпсайда. ..... 71
第 13 讲。半单代数的结构。Berpsaid 定理。..... 71
Предложение 1 ..... 71 提案 1 ..... 71
Полупростые алгебры ..... 71
半单纯代数 ..... 71
Структура полупростых алгебр
半单代数的结构
Предложение 2 ..... 73 提案 2 ..... 73
Теорема Бернсайда ..... 74
伯恩赛德定理 ..... 74
Лекция 14. Структура простых и полупростых алгебр ..... 76
第 14 讲。简单和半单代数的结构..... 76
Теорема Веддербёрна. ..... 76
韦德伯恩定理。..... 76
Теорема Веддербёрна - Артина
韦德伯恩-阿廷定理
Предложение 1 ..... 77 提案 1 ..... 77
Представления групп с точки зрения ассоциативных алгебр.
从关联代数的角度看待群的表示。

Теорема.................................................................................................................. 96
定理.................................................................................................................. 96
Предложение 1............................................................................................................... 96
提案 1............................................................................................................... 96
Предложение 2................................................................................................................ 96
第 2 句................................................................................................................ 96
Предложение 3................................................................................................................ 97
第 3 句................................................................................................................ 97
Линейные представления групп Ли.................................................................................. 98
李群的线性表示.................................................................................. 98
Предложение 4................................................................................................................. 98
第 4 句................................................................................................................. 98
Лекция 18. Линейные представления алгебр Ли............................................................... 99
第 18 讲。李代数的线性表示............................................................... 99
Линейные представления алгебр Ли ................................................................................ 99
李代数的线性表示................................................................................ 99
Присоединенное представление ....................................................................................... 99
附加表现 ....................................................................................... 99
Tеорема 1...................................................................................................................... 100
定理 1...................................................................................................................... 100
Теорема 2..................................................................................................................... 102
定理 2..................................................................................................................... 102
Предложение.................................................................................................................. 103
提案.................................................................................................................. 103
Лекция 19. Линейные представления компактных грушп Ли.......................................... 104
第 19 讲。紧致 Lie 群的线性表示.......................................... 104
Линейные представления компактных групп Ли.............................................................. 104
李群的线性表示.............................................................. 104
Теорема 1................................................................................................................... 104
定理 1................................................................................................................... 104
Выпуклые множества.................................................................................................... 104
凸集.................................................................................................... 104
Свойства выпуклых тел .................................................................................................. 104
凸体的性质 .................................................................................................. 104
Предложение 1............................................................................................................. 107
提案 1............................................................................................................. 107
Предложение 2............................................................................................................. 110
提案 2............................................................................................................. 110
Лекция 20. Представления SL2(C) и sI2(C).................................................................. 111
第 20 讲。SL2(C)和 sI2(C)的表示.................................................................. 111
Унитарный трюк Г. Вейля ............................................................................................. 111
瓦伊利的单元技巧 ............................................................................................. 111
Представления ) и sl2(C) (над ) ....................................................................... 111
表示 ) 和 sl2(C) (在 ) ....................................................................... 111
Теорема 1..................................................................................................................... 113
定理 1..................................................................................................................... 113
Гармонический анализ на сфере ................................................................................... 116
球面上的谐波分析 ................................................................................... 116
Лекция 21. Универсальная обертывающая алгебра........................................................ 117
第 21 讲。通用包裹代数........................................................ 117
Гармонический анализ на сфере (продолжение).............................................................. 117
球面上的谐波分析（续）.............................................................. 117
Универсальная обертывающая алгебра......................................................................... 118
通用包裹代数......................................................................... 118
Предложение................................................................................................................. 119
提案................................................................................................................. 119
Лекция 22. Теорема Пуанкаре-Бирхгофа-Витта. Алгебра Клиффорда............................ 122
第 22 讲。普安卡雷-比尔霍夫-维特定理。克利福德代数............................ 122
Теорема Пуанкаре-Бирхгофа-Витта................................................................................ 122
普安加雷-比尔霍夫-维特定理................................................................................ 122
Алгебра Клиффорда ..................................................................................................... 124
克利福德代数 ..................................................................................................... 124
Предложение 1.............................................................................................................. 125
提案 1.............................................................................................................. 125
Соотношения в алгебре Клиффорда................................................................................ 126
克利福德代数中的关系................................................................................ 126
Лекция 23. Свойства алтеб́ры Клиффорда. Спинорная грушаа....................................... 128
第 23 讲。克利福德代数的性质。旋量梨....................................... 128
4

АлГЕБРА-4
ТИМАШЕ- ДМИТРИЙ АНДРЕЕВИЧ
提马什-德米特里·安德烈耶维奇

Предложение 1 — 1. 提案 1 — 1.
Теорема 1.................................................................................................................. 129
定理 1.................................................................................................................. 129
Tеорема 2...................................................................................................................... 131
定理 2...................................................................................................................... 131
Пространство спиноров ................................................................................................ 132
自旋子空间 ................................................................................................ 132
Модель спинорного представления................................................................................. 133
旋量表示模型................................................................................. 133
Спинорная группа ......................................................................................................... 134
脊柱神经元群......................................................................................................... 134
Предложение 2............................................................................................................. 135
提案 2............................................................................................................. 135
Спинорная норма.......................................................................................................... 136
脊柱规范.......................................................................................................... 136
Теорема 3.................................................................................................................... 136
定理 3.................................................................................................................... 136

Этот курс читается на мехмате, на потоке "Фундаментальная математика и математическая физика", и отличается от стандартного курса алгебры, обычно читающегося на мехмате. Содержание будет ближе скорее к спецкурсу "Дополнительные главы алгебры" кафедры Высшей алгебры мехмата.
这门课程在数学力学系的“基础数学和数学物理”流中教授，与通常在数学力学系教授的标准代数课程有所不同。其内容更接近于数学力学系高等代数教研室的“代数附加章节”专题课程。

Рекомендуемая литература:
推荐阅读：

Информацию по курсу можно найти на следующих ресурсах
课程信息可以在以下资源中找到

Чтобы сохранить преемственность с курсом "Алгебра-3" https://teach-in.ru/course/algebraletctures-p2-timashev, начнем с продолжения темы, которой мы закончили прошлый семестр - теории полей
为了保持与“代数-3”课程的连续性https://teach-in.ru/course/algebraletctures-p2-timashev，我们将从上学期结束的主题继续讨论 - 场论。

Теория полей 场论
Определение. Поле - это коммутативное ассоциативное кольцо с 1, в котором любой ненулевой элемент обратим (и в котором больше одного элемента).
定义。域是一个具有交换性和结合性的带单位元 1 的环 ，其中每个非零元素都是可逆的（且其中有多于一个元素）。

Примеры полей: ( -простое , конечные поля -простое .
示例字段: ( -素数 , 有限域 -素数 .
Определение. Характеристика поля char - это наименьшее , такое что , или 0 , если такого не существует.
定义。 字段 char 的特征是最小的 ，即 ，或者如果不存在这样的 ，则为 0。

Примеры: , при -простое.
示例： ， 在 简单。
Имеет место следующий факт: если , то -простое. Отметим, что поля положительной характеристики (к которым, в частности, относятся все конечные поля)
有一个事实：如果 ，那么 是素数。请注意，正特征 的域（其中包括所有有限域）
6
d.
teach-in 教学演示

ТИМАШЕВВ ДМИТРИЙ АНДРЕЕВИ
TIMASHEVV DMITRII ANDREEVICH

обладают одним необычным свойством - в таких полях операция возведения в степень является гомоморфизмом (т.е. переводит не только произведение в произведение, но и сумму в сумму). Этот гомоморфизм называется гомоморфизмом (эндоморфизмом) Фробениуса.
具有一种不寻常的特性 - 在这些领域中，幂运算 是同态映射（即，它不仅将乘积映射为乘积，还将和映射为和）。这种同态映射称为弗罗贝尼乌斯同态（自同态）。

Свойство (эндоморфизм Фробениуса). Пусть char . Тогда :
特性（Frobenius endomorphism）。假设 char 。那么 ：

А если - конечное поле, то - автоморфизм (так как инъективное отображение конечного множества в себя является также и сюръективным).
如果 是有限域，则 是自同构（因为有限集合的单射映射到自身也是满射的）。

Определение 1. Поле совершенно, если либо char , либо char , и .
定义 1. 如果 char 或 char ，则字段 是完全的。

Пример. совершенно (так как инъективное отображение автоматически сюръективно).
示例。 完全（因为单射映射 自动满射）。

Пусть поле, подполе. Говорят, что расиирение поля . В этом случае векторное пространство над . Расширение полей называется конечным, если конечномерно над . Степень расширения .
让 是一个域， 是一个子域。据说 是域 的扩张。在这种情况下， 是 上的向量空间。域扩张 称为有限的，如果它在 上是有限维的。扩张的程度 。

Наряду с конечными расширениями в теории полей рассматриваются конечно порожденные расширения. Пусть - расширение полей и . Расширение поля , порожденное элементами это наименьшее подполе , такое что и (иными словами, это пересечение всех подполей, содержащих и . Обозначение: .
除了场论中的有限扩展之外，还考虑有限生成的扩展。设 是一个场的扩展， 。由元素 生成的 场扩展是包含 和 的所有子域的交集的最小子域 （换句话说，这是包含 和 的所有子域的交集）。符号： 。

Конструктивное описание: 建设性描述：

Простое расширение: примитивный элемент расширения.
简单扩展： 扩展的原始元素。

Примеры простого расширения полей:
字段扩展的简单示例：

Конструкция: (присоединение кория).
结构: (连接核心)。
Расширение алгебраично, если алгебраичен над .
扩展 是代数的，如果 在 上是代数的。
Предложение 1. Следующие условия эквивалентны:
提案 1. 以下条件是等价的：