这是用户在 2024-9-8 22:14 为 https://app.immersivetranslate.com/pdf-pro/7e19ce07-d7f9-4e38-b824-c6c29508fee3 保存的双语快照页面,由 沉浸式翻译 提供双语支持。了解如何保存?
2024_09_05_9d849d90dbf353b16ff3g

АЛГЕБРА-4  代数-4

ТИМАШЕВ 提马舍夫


всли зы овнаруммли.

АЛГЕЕРА-4 阿尔及尔-4
ТИМАШЕВ ДМИТРИЙ АНДРЕЕВИЧ
提马舍夫·德米特里·安德烈耶维奇

ИМАШЕВ ДМИТРИЙ АНДРЕЕВИЧ 伊马舍夫·德米特里·安德烈耶维奇
Оглавление 目录
еккция 1. Теория полей ..... 6
第 1 节。场的理论..... 6

Теория полей. ..... 6 场论。..... 6
Некоторые факты о расширениях полей. ..... 8
一些关于字段扩展的事实。..... 8

Предложение 1. 提案 1。
Автоморфизмы расширения полей ..... 9
扩域的自同构 ..... 9

Упражнение. 练习。
Теорема. ..... 9 定理。..... 9
Лекция 2. Автоморфизмы расширения полей. ..... 10
讲座 2. 扩域的自同构。..... 10

Теорема 1 定理 1
Предложение 1 ..... 10 提案 1 ..... 10
Предложение 2 提案 2
Предложение 3 ..... 11 提案 3 ..... 11
Расширения Галуа 伽罗瓦扩展
Лекция 3. Основная теорема теории Галуа ..... 14
第 3 讲。伽罗瓦理论的基本定理..... 14

Теорема 1. ..... 14 定理 1. ..... 14
Теорема 2 ..... 15 定理 2 ..... 15
Основная теорема теории Галуа ..... 15
伽罗瓦理论的基本定理 ..... 15

Теорема о примитивном элементе
原始元素定理

Решение алгебраических уравнений в радикалах ..... .17
在根式中解代数方程的解法 ..... .17

Теорема Галуа... ..... 17
伽罗瓦定理... ..... 17

Лекция 4. Теорема Галуа ..... 18
第 4 讲。伽罗瓦定理 ..... 18

Теорема Галуа... ..... .18
伽罗瓦定理... ..... .18

Лемма 1. 引理 1.
Лемма 2 . ..... 18
引理 2. ..... 18

Лемма 3 引理 3
Лемма 4 ..... .19 引理 4 ..... .19
Решение общего уравнения степени п в радикалах
在根式中解决一般次数为 p 的方程

Лекция 5. Кольца, алгебры, модули ..... 22
讲座 5. 环,代数,模 ..... 22

Кольца, алгебры, модули ..... 22
环,代数,模..... 22

Примеры модулей ..... 25 示例模块 ..... 25
Лекция 6. Обшие теоретико-модульные конструкции ..... 28
第 6 讲。一般理论模块结构 ..... 28

Универсальное свойство прямой суммы
直和的通用性质

Предложение 1 ..... 29 提案 1 ..... 29
Предложение 提案
2
Примеры и свойства тензорного произведения ..... 32
张量积的示例和性质 ..... 32

Лекция 7. Свойства тензорного произведения ..... 35
第 7 讲。张量积的性质 ..... 35

Свойства тензорного произведения (продолжение)
张量积的性质(续)

Универсальное свойство тензорного произведени ..... 35
张量积的通用性质 ..... 35

Структура колец / модулей. ..... 39
环/模块结构。..... 39

Нётеровы модули ..... 39 Нетеровы модули ..... 39
Предложение 1 ..... 39 提案 1 ..... 39
Предложение 2 ..... 40 提案 2 ..... 40
Лекция 8. Нётеровы кольца. ..... 42
第 8 讲。涅特环。..... 42

Предложение 1 提案 1
Предложение 2 ..... 42 提案 2 ..... 42
Теорема Гильберта о базисе идеала ..... 42
希尔伯特关于理想基础的定理 ..... 42

Теорема ..... 44 定理 ..... 44
Конечно порожденные модули над кольцами главных идеалов ..... 45
当然,主理想环上生成的模块..... 45

Предложение 3. 第三提案。
Лекция 9. Основная теорема о структуре конечно порожденных модулей над кольцом
第 9 讲。有限生成模的结构的主要定理

47
главных идеалов. ..... 48
主要理想。..... 48

Приложения теоремы. ..... 51
应用定理。..... 51

Лекция 10. Теория представлений ..... 53
第 10 讲。表示理论 ..... 53

Нормальная форма Фробениуса линейного оператора ..... 53
线性算子的 Frobenius 标准形式 ..... 53

Теория представлений ..... 54
表示理论 ..... 54

Терминология ..... 55 术语 ..... 55
Предложение. ..... 57 提案。..... 57
Теорема. 定理。
Лекция 11. Лемма Шура. Тензорное произведение представлений групп ..... 60
第 11 讲。舒拉引理。群表示的张量积 ..... 60

Лемма Шура.. 引理舒拉。
Предложение ..... 61 提案 ..... 61
Предложение 2... ..... 62
提案 2... ..... 62

Тензорное произведение представлений груп ..... 63
张量表示的张量积 ..... 63

Предложение 3 ..... 64 提案 3 ..... 64
Лекция 12. Конечномерные ассоциативные алгебры и их представления. ..... 66
第 12 讲。 有限维结合代数及其表示。 ..... 66

C teach-in C 教学讲座
АлгеврА-4 ТИМАШЕВ ДМИТРИЙ АНДРЕЕВИЧ
АлгеврА-4 TIMASHEV DMITRII ANDREEVICH

Нильпотентные алгебры. ..... 66
幂零代数。..... 66

Лемма 1 . 引理 1.
Лемма 2 ..... 67 引理 2 ..... 67
Радикал ..... 68 激进 ..... 68
тандартное скалярное умножение ..... 68
标准点积 ..... 68

Лемма 3 ..... 68 引理 3 ..... 68
Теорема. 定理。
Лемма 4 ..... 69 引理 4 ..... 69
Лекция 13. Структура полупростых алгебр. Теорема Берпсайда. ..... 71
第 13 讲。半单代数的结构。Berpsaid 定理。..... 71

Предложение 1 ..... 71 提案 1 ..... 71
Полупростые алгебры ..... 71
半单纯代数 ..... 71

Структура полупростых алгебр
半单代数的结构

Предложение 2 ..... 73 提案 2 ..... 73
Теорема Бернсайда ..... 74
伯恩赛德定理 ..... 74

Лекция 14. Структура простых и полупростых алгебр ..... 76
第 14 讲。简单和半单代数的结构..... 76

Теорема Веддербёрна. ..... 76
韦德伯恩定理。..... 76

Теорема Веддербёрна - Артина
韦德伯恩-阿廷定理

Предложение 1 ..... 77 提案 1 ..... 77
Представления групп с точки зрения ассоциативных алгебр.
从关联代数的角度看待群的表示。
Теорема.................................................................................................................. 96
定理.................................................................................................................. 96

Предложение 1............................................................................................................... 96
提案 1............................................................................................................... 96

Предложение 2................................................................................................................ 96
第 2 句................................................................................................................ 96

Предложение 3................................................................................................................ 97
第 3 句................................................................................................................ 97

Линейные представления групп Ли.................................................................................. 98
李群的线性表示.................................................................................. 98

Предложение 4................................................................................................................. 98
第 4 句................................................................................................................. 98

Лекция 18. Линейные представления алгебр Ли............................................................... 99
第 18 讲。李代数的线性表示............................................................... 99

Линейные представления алгебр Ли ................................................................................ 99
李代数的线性表示................................................................................ 99

Присоединенное представление ....................................................................................... 99
附加表现 ....................................................................................... 99

Tеорема 1...................................................................................................................... 100
定理 1...................................................................................................................... 100

Теорема 2..................................................................................................................... 102
定理 2..................................................................................................................... 102

Предложение.................................................................................................................. 103
提案.................................................................................................................. 103

Лекция 19. Линейные представления компактных грушп Ли.......................................... 104
第 19 讲。紧致 Lie 群的线性表示.......................................... 104

Линейные представления компактных групп Ли.............................................................. 104
李群的线性表示.............................................................. 104

Теорема 1................................................................................................................... 104
定理 1................................................................................................................... 104

Выпуклые множества.................................................................................................... 104
凸集.................................................................................................... 104

Свойства выпуклых тел .................................................................................................. 104
凸体的性质 .................................................................................................. 104

Предложение 1............................................................................................................. 107
提案 1............................................................................................................. 107

Предложение 2............................................................................................................. 110
提案 2............................................................................................................. 110

Лекция 20. Представления SL2(C) и sI2(C).................................................................. 111
第 20 讲。SL2(C)和 sI2(C)的表示.................................................................. 111

Унитарный трюк Г. Вейля ............................................................................................. 111
瓦伊利的单元技巧 ............................................................................................. 111

Представления ) и sl2(C) (над ) ....................................................................... 111
表示 ) 和 sl2(C) (在 ) ....................................................................... 111

Теорема 1..................................................................................................................... 113
定理 1..................................................................................................................... 113

Гармонический анализ на сфере ................................................................................... 116
球面上的谐波分析 ................................................................................... 116

Лекция 21. Универсальная обертывающая алгебра........................................................ 117
第 21 讲。通用包裹代数........................................................ 117

Гармонический анализ на сфере (продолжение).............................................................. 117
球面上的谐波分析(续).............................................................. 117

Универсальная обертывающая алгебра......................................................................... 118
通用包裹代数......................................................................... 118

Предложение................................................................................................................. 119
提案................................................................................................................. 119

Лекция 22. Теорема Пуанкаре-Бирхгофа-Витта. Алгебра Клиффорда............................ 122
第 22 讲。普安卡雷-比尔霍夫-维特定理。克利福德代数............................ 122

Теорема Пуанкаре-Бирхгофа-Витта................................................................................ 122
普安加雷-比尔霍夫-维特定理................................................................................ 122

Алгебра Клиффорда ..................................................................................................... 124
克利福德代数 ..................................................................................................... 124

Предложение 1.............................................................................................................. 125
提案 1.............................................................................................................. 125

Соотношения в алгебре Клиффорда................................................................................ 126
克利福德代数中的关系................................................................................ 126

Лекция 23. Свойства алтеб́ры Клиффорда. Спинорная грушаа....................................... 128
第 23 讲。克利福德代数的性质。旋量梨....................................... 128

4
  1. teach-in 教学演示
АлГЕБРА-4
ТИМАШЕ- ДМИТРИЙ АНДРЕЕВИЧ
提马什-德米特里·安德烈耶维奇
Предложение 1 — 1. 提案 1 — 1.
Теорема 1.................................................................................................................. 129
定理 1.................................................................................................................. 129

Tеорема 2...................................................................................................................... 131
定理 2...................................................................................................................... 131

Пространство спиноров ................................................................................................ 132
自旋子空间 ................................................................................................ 132

Модель спинорного представления................................................................................. 133
旋量表示模型................................................................................. 133

Спинорная группа ......................................................................................................... 134
脊柱神经元群......................................................................................................... 134

Предложение 2............................................................................................................. 135
提案 2............................................................................................................. 135

Спинорная норма.......................................................................................................... 136
脊柱规范.......................................................................................................... 136

Теорема 3.................................................................................................................... 136
定理 3.................................................................................................................... 136

Лекция 1. Теория полей. 讲座 1.场论。

Этот курс читается на мехмате, на потоке "Фундаментальная математика и математическая физика", и отличается от стандартного курса алгебры, обычно читающегося на мехмате. Содержание будет ближе скорее к спецкурсу "Дополнительные главы алгебры" кафедры Высшей алгебры мехмата.
这门课程在数学力学系的“基础数学和数学物理”流中教授,与通常在数学力学系教授的标准代数课程有所不同。其内容更接近于数学力学系高等代数教研室的“代数附加章节”专题课程。
Рекомендуемая литература:
推荐阅读:
  1. Винберг Э.Б. Курс алгебры. - М.: МЦНМО, 2017.
    温伯格 E.B. 代数课程。-莫斯科:莫斯科市数学与物理教育中心,2017 年。
  2. Кострикин А.И. Введение в алгебру, ч. III: Основные структуры. - М.: Физматлит, 2001.
    Кострикин А.И. 代数导论,第三部分:基本结构。- 莫斯科:物理数学文献出版社,2001 年。
  3. Бахтурин Ю.А. Основные структуры современной алгебры. - М.: Наука, 1990.
    巴赫图林·尤.阿. 当代代数的主要结构。- 莫斯科:科学出版社,1990 年。
  4. Јенг С. Алгебра. - М.: Мир, 1968
    曾 S. 代数。-莫斯科:世界,1968
  5. Ван дер Варден Б.Л. Алгебра. - М.: Мир, 1976.
    范德瓦登Б.Л.代数。-莫斯科:世界,1976 年。
Информацию по курсу можно найти на следующих ресурсах
课程信息可以在以下资源中找到
Чтобы сохранить преемственность с курсом "Алгебра-3" https://teach-in.ru/course/algebraletctures-p2-timashev, начнем с продолжения темы, которой мы закончили прошлый семестр - теории полей
为了保持与“代数-3”课程的连续性https://teach-in.ru/course/algebraletctures-p2-timashev,我们将从上学期结束的主题继续讨论 - 场论。
Теория полей 场论
Определение. Поле - это коммутативное ассоциативное кольцо с 1, в котором любой ненулевой элемент обратим (и в котором больше одного элемента).
定义。域是一个具有交换性和结合性的带单位元 1 的环 ,其中每个非零元素都是可逆的(且其中有多于一个元素)。
Примеры полей: ( -простое , конечные поля -простое .
示例字段: ( -素数 , 有限域 -素数 .

Определение. Характеристика поля char - это наименьшее , такое что слагаемых, или 0 , если такого не существует.
定义。 字段 char 的特征是最小的 ,即 слагаемых ,或者如果不存在这样的 ,则为 0。
Примеры: , при -простое.
示例: 简单。

Имеет место следующий факт: если , то -простое. Отметим, что поля положительной характеристики (к которым, в частности, относятся все конечные поля)
有一个事实:如果 ,那么 是素数。请注意,正特征 的域(其中包括所有有限域)

6
d.
teach-in 教学演示

АлГЕБРА-4

ТИМАШЕВВ ДМИТРИЙ АНДРЕЕВИ
TIMASHEVV DMITRII ANDREEVICH
обладают одним необычным свойством - в таких полях операция возведения в степень является гомоморфизмом (т.е. переводит не только произведение в произведение, но и сумму в сумму). Этот гомоморфизм называется гомоморфизмом (эндоморфизмом) Фробениуса.
具有一种不寻常的特性 - 在这些领域中,幂运算 是同态映射(即,它不仅将乘积映射为乘积,还将和映射为和)。这种同态映射称为弗罗贝尼乌斯同态(自同态)。
Свойство (эндоморфизм Фробениуса). Пусть char . Тогда :
特性(Frobenius endomorphism)。假设 char 。那么

  • эидоморфизмФробепиуса
    Отметим, что Ф инъективен:
    请注意, Ф 是单射的:
А если - конечное поле, то - автоморфизм (так как инъективное отображение конечного множества в себя является также и сюръективным).
如果 是有限域,则 是自同构(因为有限集合的单射映射到自身也是满射的)。
Определение 1. Поле совершенно, если либо char , либо char , и .
定义 1. 如果 char 或 char ,则字段 是完全的。
Пример. совершенно (так как инъективное отображение автоматически сюръективно).
示例。 完全(因为单射映射 自动满射)。
Пусть поле, подполе. Говорят, что расиирение поля . В этом случае векторное пространство над . Расширение полей называется конечным, если конечномерно над . Степень расширения .
是一个域, 是一个子域。据说 是域 的扩张。在这种情况下, 上的向量空间。域扩张 称为有限的,如果它在 上是有限维的。扩张的程度
Наряду с конечными расширениями в теории полей рассматриваются конечно порожденные расширения. Пусть - расширение полей и . Расширение поля , порожденное элементами это наименьшее подполе , такое что и (иными словами, это пересечение всех подполей, содержащих и . Обозначение: .
除了场论中的有限扩展之外,还考虑有限生成的扩展。设 是一个场的扩展, 。由元素 生成的 场扩展是包含 的所有子域的交集的最小子域 (换句话说,这是包含 的所有子域的交集)。符号:
Конструктивное описание: 建设性描述:
Простое расширение: примитивный элемент расширения.
简单扩展: 扩展的原始元素。
Примеры простого расширения полей:
字段扩展的简单示例:
  1. , степень расширения:
    ,扩展程度:
  2. - конечное расширение, степень расширения: . Это простое расширение: мультипликативная группа - циклическая, поэтому
    - 终极扩展,扩展程度: 。这是一个简单的扩展:乘法群 - 循环的,因此
  3. Поле рациональных дробей ( - переменная) - бесконечное расширение (так как линейно независимы над )
    有理数域 ( - 变量) - 无限扩展 (因为 上线性无关)

Некоторые факты о расширениях полей
一些关于字段扩展的事实

  1. алгебраичен над , т.е. .
    上的代数的,即
  2. В этом случае - степень минимального многочлена и - базис над . При этом неприводим в .
    在这种情况下 - 的最小多项式的次数, - 上的基础。同时 中是不可约的。
  3. Обратно, неприводимого ヨ простое расширение . При этом единственно с точность до изоморфизма.
    Обратно, 不可约 ヨ 简单扩展 。在这种情况下, 是同构的唯一的。
Конструкция: (присоединение кория).
结构: (连接核心)。

Расширение алгебраично, если алгебраичен над .
扩展 是代数的,如果 上是代数的。

Предложение 1. Следующие условия эквивалентны:
提案 1. 以下条件是等价的:
  1. - конечное расширение,
    - 终极扩展,
  2. - конечно порожденное алгебраическое расширение,
    - 当然生成的代数扩张,
  3. , где алгебраичны над .
    ,其中 上的代数元。

Доказательство. 证明。

  1. ): пусть базис над , тогда , т.е. всякое конечное расширение является конечно порожденным. Также оно является алгебраическим - векторное подпространство в над , откуда следует, что алгебраичен над .
    ): 让 上的 基础,则 ,即每个有限扩展都是有限生成的。此外,它是 上的代数 - 向量子空间,从而推出 上是代数的。
  2. 3): тривиально  3): 简单
  3. ): введем обозначения
    ): 让我们引入符号

teach-in 教学演示

АЛГЕБРА-4 代数-4

ИМАШЕВ ДМИТРИЙ АНДРЕЕВИЧ 伊马舍夫·德米特里·安德烈耶维奇
Башня простых расширений , алгебраичен над и над . Из теоремы о башне расширений следует, что .
简体中文翻译:简单扩展塔 是代数的 。根据扩展塔定理,

Автоморфизмы расширения полей
扩域的自同构

Для изучения любой алгебраической структуры полезно знать, как устроены ее автоморфизмы. Расширение полей не является исключением. Пусть -расширение полей
为了研究任何代数结构,了解其自同构是很有用的。域的扩展也不例外。让 -域扩展
Определение. Автоморфизм расширения - это такой изоморфизм , что . Группа автоморфизмов расширения полей:
定义。扩展的自同构是这样的同构 ,使得 。扩域的自同构群:
Пример. Aut , где - комплексное сопряжение: .
示例。Aut ,其中 是复共轭:

Действительно, , поэтому любой элемент полностью определяется своим действием на . Но , т.е. является корнем из -1 и равно либо (и тогда , либо (и тогда ).
实际上, ,因此任何元素 完全由其对 的作用所确定。但 ,即 是-1 的平方根,要么是 (那么 ),要么是 (那么 )。
Упражнение. Вычислить Aut .
练习。计算 Aut

Далее будем рассматривать конечные расширения полей: . Введем некоторые полезные обозначения:
接下来我们将讨论有限域扩展: 。让我们引入一些有用的符号:
  • Группу автоморфизмов такого расширения для краткости обозначим Aut .
    我们将这种扩展的自同构群简记为 Aut
  • обозначим - множество элементов , которые остаются неподвижными под действием автоморфизмов из (поле инвариантов ). Это подполе в , содержащее .
    我们将 定义为 元素的集合,这些元素在 的自同构作用下保持不变( 的不变域)。这是 中的子域,包含
Теорема. Пусть -конечное расширение полей, , Aut . Тогда: 1) ,
定理。假设 是一个有限扩域, ,Aut 。那么:1)

2) .
Определение. Растирение Галуа - это конечное расширение , для которого . В этом случае группа Aut называется группой Галуа расширения и обозначается .
定义。 Galois 扩展是一个有限扩展 ,其中 。 在这种情况下,Aut 群称为 Galois 扩展群,表示为
Пример. - расширение Галуа.
示例。 - 伽罗瓦扩展。

Лекция 2. Автоморфизмы расширения полей.
讲座 2. 扩域的自同构。

Теорема 1. Пусть конечнос расширение полей, , Aut . Тогда:
定理 1. 假设 是一个有限域扩展, ,Aut 。那么:
  1. .
Доказательство. 证明。
Лемма 1. Пусть - простое алгебраическое расширение и - минимальный многочлен a. Тогда любой гомоморфизм продолжается до гомоморфизма столькими способами, сколько корней в поле имеет многочлен .
引理 1. 假设 是一个素数代数扩张, 是 a 的最小多项式。那么任何 的同态都可以通过 的同态扩展多种方式,就像 域中多项式 有多少个根一样。
Набросок доказательства леммы.
引理证明草稿。

имеет вид для некоторого многочлена . Следовательно,
对于某个多项式 具有形式 。因此,
Т.е гомоморфизм однозначно задается образом элемента . С другой стороны, , следовательно, , т.е. корень .
即同态映射 可以唯一地由元素 的像确定。另一方面, ,因此, ,即 的根
Обратно, для любого корня многочлена продолжение корректно определяется формулой . ■
Предложение 1. . 提案 1. .
Доказательство предложения 1.
证明命题 1。

Рассмотрим башню простых расширений
让我们来看看简单扩展塔

и поймем, сколько существует автоморфизмов , которые на поле действуют тождественно (другими словами, нас интересуют автоморфизмы поля , которые продолжают тождественный автоморфизм поля К ).
并且我们将了解有多少 的自同构在 域上作用恒等(换句话说,我们关心的是 域的自同构,它们延续了 К 域的恒等自同构)。
Будем продолжать до автоморфизма постепенно. Количество продолжений до по лемме 1 равно числу корней в многочлена , где - минимальный многочлен над , т.е. не превосходит .
我们将逐步延伸 到自同构 。根据引理 1, 的延伸次数直到 等于 多项式 的根数,其中 的最小多项式,即不超过

10
  1. teach-in 教学演示
    АлГЕБРА-4
    ТИМАШЕВ ДМИТРИЙ АНДРЕЕВИ TIMASHEV DMITRII ANDREEVICH
Отсюда следует, что количество продолжений до , т.е. , не превосходит . ■
由此可见, 的延续数量为 ,即不超过 。■
Предложение 2. Если , то .
如果 ,那么

Доказательство предложения 2
证明命题 2

Заметим, что . Тогда (по предложению 1), . Так как , получаем, что . Получаем цепочку неравенств:
请注意, 。那么(根据命题 1), 。由于 ,得出 。我们得到不等式链:
Так как , то все неравенства можно заменить на равенства, тогда из того, что , следует, что , поэтому , т.е. .
由于 ,所以所有不等式都可以被替换为等式,因此从 得出 ,所以 ,即
Лемма 2. Пусть - подгруппа и . Для рассмотрим орбиту . Тогда многочлен минимальный многочлен над .
引理 2. 假设 的子群。对于 ,考虑 的轨道。那么 上的 的最小多项式。
Доказательство леммы 2. 引理 2 的证明。
Из теоремы Виета следует, что , где элементарный симметрический многочлен. Заметим, что переставляет , откуда следует, что .
从维达定理可以得出, ,其中 是基本对称多项式。注意到 重新排列 ,因此
Теперь докажем, что - минимальный многочлен над : пусть . Тогда , следовательно, , и . ■
现在证明 的最小多项式:假设 。那么 ,因此 ,并且 。■
Следствие. В условиях леммы многочлен не имеет кратных корней и разлагается на линейные множители над .
调查。 在引理 的条件下,多项式 没有重根,并且在 上分解为线性因子。
Это следствие оказывается ключевым для завершения доказательства теоремы 1.
这个推论对于证明定理 1 的完成是至关重要的。

Предложение 3. Пусть - подгруппа и . Тогда и .
提案 3. 假设 的子群。那么

Доказательство предложения 3 .
证明命题 3。
  1. Поймем, сколькими способами можно продолжить тождественный автоморфизм поля до автоморфизма поля . Рассмотрим башню простых расширений . Из следствия леммы 2: имеет различных корней в .
    理解有多少种方法可以将域 的同构延伸到域 的同构。考虑素扩张塔 。根据引理 2 的推论: 中有 个不同的根。
Рассмотрим - минимальный многочлен над . Имеем: , откуда следует, что количество различных корней в равно . Обозначим . По лемме 1 , существует способов продолжить любой гомоморфизм до гомоморфизма (воспользовались тем, что и , и , если , откуда следует, что имеет корней в ). Следовательно, (по теореме о башне расширений)
考虑 - 的最小多项式。我们有: ,由此可知, 个不同根的数量等于 。记为 。根据引理 1,存在 种方法将任何 的同态扩展为 的同态(利用了 ,以及 ,如果 ,则 中有 个根)。因此, (根据扩展塔定理)。

2) Пусть . Тогда , где (по лемме 2). Так как , то и - другими словами, образ элемента при любом автоморфизме распирения поля тоже будет корнем минимального многочлена . Но если - корень, тогда , т.е. : . Следовательно,
2) 让 。那么 ,其中 (根据引理 2)。由于 ,所以 - 换句话说,元素 在任何扩域的自同构下的像也将是多项式 的根。但如果 是根,那么 ,即 。因此,
Докажем, что . Рассмотрим два случая - конечных и бесконечных полей.
证明 。我们考虑两种情况 - 有限和无限的领域。
  • Случай конечных полей. В этом случае для некоторого (мультипликативная группа конечного поля является циклической). Имеем: , откуда следует, что .
    有限域的情况。在这种情况下 对于某个 (有限域的乘法群是循环的)。我们有: ,由此可得
  • Случай бесконечных полей. Докажем вспомогательную лемму:
    无限场的情况。我们证明一个辅助引理:
Лемма 3. Векторное пространство над бесконечным полем нельзя представить в виде объединения конечного числа собственных подпространств.
引理 3. 无限域 上的向量空间 不能表示为有限数量的特征子空间的并集。
Доказательство леммы 3 证明引理 3
Докажем от противного - пусть . Без ограничения общности можно считать, что ни одно из этих подпространств не содержится в объединении остальных . Выберем . Рассмотрим векторы - их бесконечно много, значит, , такие что . Следовательно, . Противоречие. ■
证明反证法-假设 。在不失一般性的情况下,可以假设这些子空间中没有一个包含在其他子空间的并集中 。选择 。考虑向量 -它们有无限多个,因此 ,使得 。因此, 。矛盾。■

- подпространство в над и утверждение для случая бесконечных полей следует из леммы 3
- 在 上的 子空间,对于无限域的情况, 的断言是从引理 3 得出的
Итак, , откуда следует, что , т.е Следовательно, . Предложение 3 доказано. -
所以, ,这意味着 ,即 。因此, 。命题 3 已被证明。 -
Теорема 1 следует из предложений 1,2,3. Итак, теорема 1 полностью доказана.
定理 1 是由命题 1、2、3 推导出来的。因此,定理 1 已完全证明。

12

АлГЕБРА-4

ТИМАШЕВ ДМИТРИЙ АНДРЕЕВИЧ
提马舍夫·德米特里·安德烈耶维奇

Расширения Галуа 伽罗瓦扩展

Таким образом, мы выделили класс конечных расширений полей, которые обладают свойством "максимальной подвижности" по отношению к своим автоморфизмам расширения Галуа. Возникаст несколько естественных вопросов - например:
因此,我们确定了一类具有“最大移动性”属性的有限域扩展,相对于它们的伽罗瓦扩展的自同构。会有一些自然问题 - 例如:
  • какое место занимают расширения Галуа среди всех конечных распиирений полей
    Galua 扩展在所有有限域扩展中占据什么位置
  • как проверить, является ли данное расширение расширением Галуа
    如何检查这个扩展是否是一个伽罗瓦扩展
и т.д. Далее мы ответим на эти и другие вопросы. Начнем с нескольких определений.
等等。接下来我们将回答这些和其他问题。我们将从一些定义开始。

Определение. Многочлен сепарабелен, если не имеет кратных корней ни в каком расширении поля . Эквивалентно:
定义。多项式 是可分的,如果 在任何扩域 中都没有重根。等价地:
Определение. Элемент сепарабелен над , если - корень сепарабельного многочлена над . Эквивалентно: сепарабелен.
定义。元素 上是可分离的,如果 的可分离多项式的根。等价地: 是可分离的。
Определение. Расширение сепарабельно, если сепарабелен над .
定义。如果 上是可分离的,则 的扩展是可分离的。

Замечания. 备注。

  1. Если , то все неприводимые многочлены над сепарабельны (если неприводимый многочлен, то - многочлен ненулевой степени, и условие выполнено всегда). Следовательно, если , то все алгебраические расширения сепарабельны
    如果 ,那么所有在 上的不可约多项式是可分的(如果 是不可约多项式,则 是非零次多项式,并且条件 总是成立)。因此,如果 ,那么所有代数扩域都是可分的。
  2. Если совершенно, то все неприводимые многочлены над сепарабельны и все алгебраические расширения сепарабельны
    如果 是完全的,则所有在 上的不可约多项式都是可分的,所有代数扩域都是可分的
Доказательство. 证明。
Если , то рассуждаем как в п.1. Если : пусть неприводимый, не сепарабельный, тогда , откуда следует, что . Тогда имеет вид , где . Так как совершенно, то , где противоречит неприводимости. -
如果 ,那么我们就像在第 1 点那样推理。如果 :让 是不可约的,不可分的,那么 ,从而得出 。那么 的形式为 ,其中 。由于 是完全的,所以 ,其中 与不可约性相矛盾。 -
Пример-упражнение. Рассмотрим - поле рациональных дробей. Доказать, что многочлен неприводим над и не сепарабелен.
示例练习。考虑 -有理分数域。证明多项式 上是不可约的,且不可分离。

3) Расширения Галуа сепарабельны.
3) Galois extensions are separable.

Лекция 3. Основная теорема теории Галуа.
第 3 讲。伽罗瓦理论的基本定理。

На прошлой лекции мы ввели класс сепарабельных алгебраических расширений, которые характеризуются тем, что любой элемент такого расширения является корнем многочлена, который не имеет кратных корней в своем поле разложения. Введем еще один класс алгебраических расширений - нормальные расширения.
在上一堂课上,我们介绍了可分代数扩域的类别,这些扩域的特点是该扩域中的任何元素都是多项式的根,该多项式在其分裂域中没有重根。我们再介绍另一类代数扩域 - 正规扩域。
Определение 1. Алгебраическое расширение нормально, если любой неприводимый многочлен , имеющий корень в , разлагается на линейные множители над .
定义 1. 代数扩张 是正规的,如果任何在 中有根的不可约多项式 都在 上分解为线性因子。

Эквивалентно: : минимальный многочлен разлагается на линейные множители над .
相当于: :最小多项式 上分解为线性因子。
Приведем теорему, которая характеризует расширения Галуа, не используя автоморфизмы расширения полей.
我们将陈述一个描述 Galois 扩张的定理,而不使用域扩张的自同构。
Теорема 1. Конечнос расширение расширение Галуа оно нормально и сепарабельно.
定理 1. 有限扩张 的伽罗瓦扩张 是正规且可分的。
Доказательство. 证明。
По определению, алгебраическое расширение нормально и сепарабельно : минимальный многочлен не имеет кратных корней и разлагается на линейные множители над (т.е. имеет ровно различных корней в ) обозначим для краткости это условие (*).
根据定义,代数扩埴 是正规且可分的 :最小多项式 没有重根且在 上分解为线性因子(即在 中有 个不同的根)我们简记这个条件为(*)。
Для расширений Галуа свойство () выполнено по следствию леммы 2 из прошлой лекции. Обратно, если свойство () выполнено, то тогда мы можем продолжить тождественный автоморфизм id: до автоморфизма ровно ( ) способами (доказательство этого факта аналогично доказательству первой части предложения 3 из прошлой лекции). Таким образом, Aut , т.е. расширение Галуа. ■
对于 Galois 扩展,性质 () 是从上一课的引理 2 的推论。反过来,如果性质 () 成立,那么我们可以将恒等自同构 id: 延拓为 的自同构,共有 ( ) 种方式(这一事实的证明类似于上一课的命题 3 的第一部分的证明)。因此, Aut ,即 Galois 扩展。■
Конечно, проверить нормальность и сепарабельность расширения по определению не так просто, однако существует легко проверяемый критерий того, что данное расширение является расширением Галуа
当然,根据定义检查扩展的正规性和可分离性并不那么简单,但存在一个易于检查的标准,即该扩展是一个 Galois 扩展
Напоминание: пусть - поле, . Поле разложения многочлена над полем - это расширение , причем .
提醒:让 是一个 。多项式 在域 上的分解域是 的扩展,其中
Для любого многочлена существует сдинственное с точностью до изоморфизма поле разложения над . Обозначенис: .
对于任何多项式 ,存在一个唯一的关于同构的分裂域 上。符号:

(1) teach-in (1) 教学活动
АЛГЕБРА-4 代数-4
ТИМАШЕВ ДМИТРИЙ АНДРЕЕВИ TIMASHEV DMITRII ANDREEVICH

Теорема 2. Расширение - расширение Галуа сепарабелен.
定理 2. 扩张 - Galois 扩张 是可分的。

Доказательство. 证明。
:
Пусть , тогда можно взять (т.е. возьмем произведение минимальных многочленов элементов и каждый кратный неприводимый множитель на заменим на однократный).
,那么可以取 (即取 元素的最小多项式的乘积,并将每个重复的不可约因子替换为 的单个)。

=:
Пусть , где . Рассмотрим башню распирений и снова воспользуемся тем, что мы можем продолжить тождественный автоморфизм id: до автоморфизма ровно ( ) способами (доказательство этого факта аналогично доказательству первой части предложения 3 из прошлой лекции). Следовательно, - расширение Галуа. ■
,其中 。考虑扩张塔 ,再次利用我们可以将恒等自同构 id: 延拓为自同构 共 ( ) 种方式(这一事实的证明类似于上一讲的命题 3 的第一部分的证明)。因此, 是一个 Galois 扩张。■
Следствие. Для любого конечного сепарабельного расширения существует расширение Галуа .
调查。 对于任何有限可分离扩展 ,存在一个 Galois 扩展
Доказательство. 证明。
сепарабельны над . Возьмем , тогда
可分离于 。取 ,那么
Пример. Рассмотрим расширение . Это расширение сепарабельно, но не нормально: в самом деле, комплексные корни многочлена не содержатся в . Но уже будет расширением Галуа.
示例。考虑扩展 。这个扩展是可分离的,但不是正规的:实际上,多项式 的复根 不包含在 中。但 将是一个 Galois 扩展。
Теперь мы готовы к тому, чтобы доказать основную теорему теории Галуа. Расширения Галуа имеют максимально богатую группу автоморфизмов, поэтому соверпенно естественно, что структура расширения Галуа тесно связана со структурой этой групшы автоморфизмов. Основная теорема раскрывает эту связь.
现在我们准备证明 Galois 理论的主要定理。 Galois 扩张具有最丰富的自同构群,因此很自然地,Galois 扩张的结构与该自同构群的结构密切相关。主要定理揭示了这种关系。
Основная теорема теории Галуа. Пусть - расширение Галуа, - его группа Галуа. Тогда:
伽罗瓦理论的基本定理。假设 是伽罗瓦扩展, 是它的伽罗瓦群。那么:
    1. Имеется биекция (соответствие Галуа) между множеством подгрупп и множеством подполей : каждой подгруппе сопоставим поле ее инвариантов, а каждому подполю сопоставим подгруппу, состоящую из автоморфизмов расширения, оставляющих на месте все элементы подполя:
      存在一个双射(Galois 对应)将子群集合 和子域集合 之间进行对应:将每个子群对应到其不变元的域,将每个子域对应到由保留子域中所有元素的扩展的自同构组成的子群:
    1. Если - подполе, то - расширение Галуа, и соответствующая подгруппа - его группа Галуа.
      如果 是一个子域,则 是一个 Galois 扩域,相应的子群 是它的 Galois 群。
    1. Если - подполе, то - расширение Галуа . При этом Aut .
      如果 是一个子域,那么 的一个 Galois 扩展。同时,Aut
Доказательство. 证明。
2) Так как - расширение Галуа, т.е. нормально и сепарабельно, то его минимальный многочлен над не имеет кратных корней и разлагается на линейные множители в . Следовательно, минимальный многочлен над тоже имеет это свойство (так как делит минимальный многочлен над К ). Следовательно, нормально и сепарабельно, т.е. расширение Галуа. Утверждение, гласящее, что соответствующая подгруппа его группа Галуа, является тривиальным.
2) 由于 是一个 Galois 扩埵,即正规且可分的,所以 上的最小多项式没有重根,并在 上分解为线性因子。 因此, 上的最小多项式也具有这个性质(因为它是 К 上的最小多项式的因子)。 因此, 是正规的且可分的,即 Galois 扩張。 声明说相应的子群 是它的 Galois 群是平凡的。
  1. Докажем, что соответствия и взаимно обратны. Из предложения 3 из прошлой лекции следует, что если , то Aut Обратно, если Aut , то по свойству расширений Галуа .
    证明 之间是相互逆的。根据上一讲的命题 3,如果 ,那么 Aut 是逆的,如果 Aut ,那么 根据 Galois 扩张的性质
  2. Пусть , найдем Aut . Разложим в цепочку простых алгебраических расширений: .
    ,我们找到 Aut 。将 分解为一系列简单的代数扩展:
Продолжим до автоморфизма постепенно по этажам башни простых алгебраичеких распирений. Для продолжаемости до нужно, чтобы имел корень в , где - минимальный многочлен над . Но делит минимальный многочлен над , который разлагается на попарно различные линейные множители над . Следовательно, и такие же, и также делит минимальный многочлен над , в частности, имеет корень в , и продолжить можно.
让我们逐步将 延伸到 的自同构,通过简单代数扩展的塔楼层。为了将 延伸到 ,需要 中有一个根,其中 的最小多项式。但是 整除 上的最小多项式 ,它在 上分解为两两不同的线性因子。因此, 是相同的, 也整除 上的最小多项式 ,特别地, 中有一个根,可以继续
Далее, пусть , тогда выполнено: . В самом деле:
接下来,假设 ,那么 成立: 。实际上:
Тогда из биективности соответствия Галуа следует, что . Следовательно, Aut , где - нормализатор в .
那么根据伽罗瓦对应的双射性,可以得出 。因此,Aut ,其中 的规范化器。
С другой стороны, по теореме о башне расширений, . Так как и расширения Галуа, то и , поэтому . Как мы знаем, - расширение Галуа Aut . Но Aut , поэтому Aut
另一方面,根据扩展塔定理, 。由于 是 Galois 扩展,所以 ,因此 。正如我们所知, 是 Galois 扩展 Aut 。但是 Aut ,所以 Aut

16
АлГЕБРА-4
ТИМАШЕВ ДМИТРИЙ АНДРЕЕВИ TIMASHEV DMITRII ANDREEVICH
В качестве применения основной теоремы теории Галуа проиллюстрируем, как можно с ее помощью доказать т.н. теорему о примитивном элементе.
作为应用 Galois 理论的主要定理,我们将说明如何利用它证明所谓的原始元素定理。
Теорема о примитивном элементе. Любое конечное сепарабельное расширение является простым.
原始元素定理。 任何有限可分扩展 都是素数。
Доказательство. 证明。
Вложим в расширение Галуа: - конечная группа порядка . Из основной теоремы теории Галуа следует, что любое подполе взаимно-однозначно соответствует подгруше . Но подгруш в конечное число, значит, и подполей конечное число. В частности, подполей , для которых тоже конечное число. Рассмотрим два случая - конечных и бесконечных полей.
将加入到 Galois 扩展中: - 一个阶为 的有限群。根据 Galois 理论的主要定理,任何子域 与子群 一一对应。但在 中子群是有限的,所以子域 也是有限的。特别地,对于子域 ,其中 也是有限的。我们考虑两种情况 - 有限域和无限域。
  • Случай бесконечных полей: по лемме 3 из прошлой лекции . Следовательно, .
    无限场的情况:根据上一课的引理 3 。因此,
  • Случай конечных полей: в этом случае для некоторого (мультипликативная группа конечного поля является циклической). Следовательно, .
    有限域的情况:在这种情况下, 对于某个 (有限域的乘法群是循环的)。因此,
Решение алгебраических уравнений в радикалах
在根式中解代数方程

Пусть . В поле разложения: .
。在展开的领域:

Вопрос: можно ли выразить через элементы поля путем последовательного применения арифметических операций и операций извлечения корней?
问题:是否可以通过连续应用算术运算和根提取操作,用 字段元素来表示
Определение 2. Расширение полей называется радикальными, если существует башня расширений , где для некоторого
定义 2. 如果存在扩展塔 ,其中 对于某些 ,则称字段 的扩展是根本的。
Уравнение разрешимо в радикалах над , если - радикальное расширение поля .
方程 上是可解的,如果 的一个根式扩展。
Сформулирем теорему, ради доказательства которой Галуа и создал свою теорию.
我们来阐述一个定理,为了证明这个定理,伽罗瓦创立了他的理论。

Теорема Галуа. Пусть . Тогда: уравнение разрешимо в радикалах разрешима.
伽罗瓦定理。假设 。那么:方程 在根式 中是可解的。

Лекция 4. Теорема Галуа. 第 4 讲。伽罗瓦定理。

Теорема Галуа. Пусть Aut . Тогда: уравнение разрешимо в радикалах разрешима.
伽罗瓦定理。假设 Aut 。那么:方程 中是可解的。
Лемма 1. Всякое радикальное расширение содержится в некотором радикальном расширении Галуа .
引理 1. 任何根式扩展 都包含在某个 Galois 根式扩展 中。

Доказательство. 证明。

Рассмотрим башню расширений , где для некоторого . Докажем индукцией по , что для некоторого радикального расширения Галуа .
考虑扩展塔 ,其中 是某个 。通过对 进行归纳,证明对于某个 Galois 根扩展

База индукции: - можно взять .
感应基地: - 可以拿

Шаг индукции: предположим, что и продолжим до . Пусть - минимальный многочлен над , тогда над . Также - радикальное расширение Галуа поля . Осталось заметить, что вложение существует по лемме 1 из лекции 2.
归纳假设:假设 并继续 直到 。假设 的最小多项式,则 上。此外, 的 Galois 扩张。剩下的是注意到,根据第 2 讲的引理 1,存在 的嵌入。
При получаем утверждение леммы.
处得到引理的断言。

Лемма 2. Пусть . Тогда абелева.
引理 2. 假设 。那么 是阿贝尔群。

Доказательство 证据
Рассмотрим - это циклическая группа порядка (как циклическая подгруппа мультипликативной группы поля), т.е. . Отсюда следует, что .
考虑 - 这是一个阶为 的循环群(作为域的乘法群的循环子群),即 。因此,
Далее, выполнено: для некоторого (и этим автоморфизм полностью определяется). Пусть , тогда . Таким образом, на порождающем элементе любые два автоморфизма из коммутируют. Так как любой автоморфизм полностью оиределяется своим действием на , то , т.е. группа абелева. ■
接下来, 已完成:对于某个 (因此,自同构 完全确定)。假设 ,那么 。因此,在生成元素 上, 中的任意两个自同构都是可交换的。由于任何自同构完全由其在 上的作用确定,所以 ,即群 是可交换的。■
Лемма 3. Пусть поле содержит различных корней степени из 1. Пусть также . Тогда - поле разложения , а - циклическая группа порядка, делящего .
引理 3. 假设域 包含 个 1 的 次不同根。也假设 。那么 的分裂域,而 是一个阶数为 的循环群。
Доказательство. 证明。
18
  1. teach-in 教学演示
АлГЕБРА-4
ТИМАШЕВ ДМИТРИЙ АНДРЕЕВИ TIMASHEV DMITRII ANDREEVICH

Любой корень имеет вид , где , следовательно, все корни лежат в , т.е. .
任何根 的形式为 ,其中 ,因此,所有根 都位于 ,即
Для любого выполнено: для некоторого , где , также для любого выполнено: для некоторого , где . Следовательно, . Так как автоморфизмы и однозначно определяются своим действием на и соответственно, получаем вложение:
对于任意 ,存在 的某个 ,其中 ,也对于任意 ,存在 的某个 ,其中 。 因此, 。 由于自同构 分别通过其在 上的作用唯一确定,我们得到嵌入:
Это гомоморфизм, следовательно, - циклическая группа порядка, делящего (так как - циклическая группа порядка ). ■
这是同态映射,因此, 是一个阶为 的循环群,它整除 (因为 是一个阶为 的循环群)。■
Лемма 4. Пусть - простое число, и содержит корней степени из 1. Тогда .
引理 4. 假设 是一个素数,并且 包含 个 1 的 次根。那么

Доказательство. 证明。

Так как - простое число, то . Мы можем рассматривать как линейный оператор в -мерном векторном пространстве над полем , причем , . Все собственные значения такого оператора являются корнями степени из 1 , следовательно, все собственные значения лежат в . Поэтому существует собственный вектор .
由于 是质数,所以 。我们可以将 视为 维向量空间 上的线性算子 ,其中 。这种算子的所有特征值都是 1 的 次根,因此所有特征值 都在 中。因此存在特征向量
Тогда выполнено: , откуда следует, что собственные векторы для с попарно различными собственными значениями . Следовательно, линейно независимы и образуют базис над , т.е. . Также .
那么 完成: ,从而得出 的特征向量,其特征值两两不同 。因此, 线性无关并构成 上的基础,即 。另外
Теперь все готово для доказательства теоремы Галуа.
现在一切准备就绪,可以证明伽罗瓦定理了。

Доказательство теоремы Галуа.
盖罗定理的证明。

:
По лемме 1 можно считать, что , а - радикальное расширение Галуа. Тогда из основной теоремы теории Галуа (см. предыдущую лекцию) следует, что Aut , поэтому для разрешимости групшы Aut достаточно доказать, что группа разрешима. Таким образом, можно считать, что и , где для некоторого .
根据引理 1,可以认为 ,而 是一个 Galois 根式扩展。因此根据 Galois 理论的主要定理(参见前一讲),得出 Aut ,因此要证明 Aut 的可解性,只需证明 群是可解的。因此,可以认为 ,其中 是某个 的。
×
拖拽到此处完成下载
图片将完成下载
AIX智能下载器 AIX 智能下载器