这个问题本来有个非常正规的答案，就是说因为我们要得到方差的无偏估计，所以经过一通计算，可以算出来无偏估计的分母是 n - 1。

不过可能很多人和初学的我一样还是有疑惑：到底是因为什么原因，导致方差的无偏估计分母是 n - 1，而不是 n - 2, n - 3？产生这一奇怪数字背后的根本原因是什么？这背后有什么隐含的数学直觉？所以我觉得我应该来抛开计算，从直观的角度讲一下这个 n - 1 的分母是怎么来的。

在讲这个问题之前，先明确问题背景中的几个定义：

在抽样的时候，我们把每次抽样出来的样本叫 $X_i$X_i ， $X_i$X_i 是从一个未知的分布采样出来的。这个未知的分布有一个均值 $\mu$\mu 和一个方差 ${\sigma }^2$\sigma^2 ，要注意，因为分布是未知的，所以 $\mu$\mu 和 ${\sigma }^2$\sigma^2 都是未知的。所以，我们的任务，是抽样出一系列的样本 $X_1,X_2,\dots ,X_n$X_1, X_2, \dots, X_n ，来估计 $\mu$\mu 和 ${\sigma }^2$\sigma^2 的值。

估计均值 $\mu$\mu 非常简单，就是计算样本的均值： $\overline{X}=\frac{X_1+X_2+\cdots +X_n}{n}$\bar X=\frac{X_1+X_2+\dots+X_n}{n}，这个应该没有什么异议。

问题出在对 ${\sigma }^2$\sigma^2 的估计上。对 ${\sigma }^2$\sigma^2 的无偏估计是

$s^2=\frac{(X_1-\overline{X}{)}^2+(X_2-\overline{X}{)}^2+\cdots +(X_n-\overline{X}{)}^2}{n-1}$s^2=\frac{(X_1-\bar X)^2+(X_2-\bar X)^2+\dots+(X_n-\bar X)^2}{n-1}

分母是 n - 1。而不是最符合直觉的 $\frac{(X_1-\overline{X}{)}^2+(X_2-\overline{X}{)}^2+\cdots +(X_n-\overline{X}{)}^2}{n}$\frac{(X_1-\bar X)^2+(X_2-\bar X)^2+\dots+(X_n-\bar X)^2}{n} 。

为什么方差的估计会这么反直觉？而实际上，方差的估计是符合直觉的，只是需要你稍微了解一下“自由度”这个东西。下面的内容会带你认识这一点。

要想理解这背后的数学直觉，不妨先考虑这样一个问题：

如果你只采样了一个样本 $X_1$X_1 ，那么如何估计方差是正确的？我们先试着用 n 做分母来算一下：

因为只有一个样本，所以 $\overline{X}=X_1$\bar X=X_1，因此分子是 0，分母是 1，得到的结果是 0.

但是，0 这个估计，合理吗？显然不合理。我们目前只采样了一个样本，只有一个样本的时候我们连两个数字的差都没有，怎么可能估计出方差呢？这时，我们更合理的选择是说“我无法只从这一个样本来猜测方差”，而不是“我猜测这个方差是 0”。而对这个问题，不太符合直觉的无偏估计 $s^2$s^2 会得到 $\frac{0}{0}$\frac{0}{0} 无法计算的结果，这个结果显然更符合我们的想法。

那么，为什么用最符合直觉的分母是 n 的计算方法，得到的结果是不符合直觉的 0 呢？我们再来倒推一下计算过程：

为什么结果是 0？因为分子是 0；

为什么分子是 0？因为 $\overline{X}=X_1$\bar X=X_1 ；

为什么它俩相等？因为 $\overline{X}$\bar X 就是从 $X_1$X_1 得到的，它俩其实就是同一个东西。

所以这代表什么呢？这代表，当我们有只一个样本的时候，分子虽然看上去有一项 $(X_1-\overline{X}{)}^2$(X_1-\bar X)^2 ，但实际上信息量是 0. 因此，我们不能从中得到任何结果。

相信现在你已经有一点模模糊糊的想法了。我们再类推到有两个样本的时候，加强这个想法。

当我们有两个样本的时候，分子有两项： $(X_1-\overline{X}{)}^2$(X_1-\bar X)^2 和 $(X_2-\overline{X}{)}^2$(X_2-\bar X)^2 . 这其中的信息量是多少呢？首先，我们是以 $\overline{X}$\bar X 作为基准，来计算每个样本的偏离程度的。要算第一个样本的偏离程度，毋庸置疑只能老老实实算 $(X_1-\overline{X})$(X_1-\bar X)；但是，第二个样本呢？计算 $(X_2-\overline{X})$(X_2-\bar X) 吗？不，还有一个办法：因为 $\overline{X}=\frac{X_1+X_2}{2}$\bar X=\frac{X_1+X_2}{2} ， $X_1$X_1 和 $X_2$X_2 其实是对于 $\overline{X}$\bar X 对称的。所以其实 $(X_2-\overline{X})=-(X_1-\overline{X})$(X_2-\bar X)=-(X_1-\bar X) ！

发现没有？这次分子上看上去有两项，而实际上却只有一个的信息量！我们对这种现象可以有一个表述：就是$(X_2-\overline{X})$(X_2-\bar X) 是不自由的，因为从之前的式子可以推出它。当然，对称地，我们也可以说 $(X_1-\overline{X})$(X_1-\bar X) 是不自由的。总之，这两个式子当中，只有一个是自由的，所以我们称这两个式子的自由度为 1.

类似地，当我们有三个样本的时候，我们可以从 $(X_1-\overline{X}),(X_2-\overline{X})$(X_1-\bar X), (X_2-\bar X) 中推出 $(X_3-\overline{X})$(X_3-\bar X) ，自由度为 2；

以此类推，当我们有 n 个样本的时候，我们可以从 $(X_1-\overline{X}),(X_2-\overline{X})\dots$(X_1-\bar X), (X_2-\bar X)\dots 中推出 $(X_n-\overline{X})$(X_n-\bar X) ，其自由度为 n - 1.

也就是说，当我们有 n 个样本的时候，我们虽然看起来在分子上做了 n 个减法，但实际上我们只算出了 n - 1 个偏差量。因此，做平均的时候，要除以的分母就是 n - 1，而不是第一眼认为的 n.

但是，为什么 n 个减法做完，自由度只有 n - 1？是谁从中搞鬼，偷走了一个自由度？

答案很简单，是 $\overline{X}$\bar X .

注意这个问题的背景，隐含的分布均值是$\mu$\mu ，而 $\mu$\mu 是未知的。$\overline{X}$\bar X 只是对 $\mu$\mu 的估计。

由于 $\mu$\mu 是未知的，所以在估计方差之前，我们会需要先找一个 $\mu$\mu 的代替，也就是 $\overline{X}$\bar X . 也就是说，在用 $\overline{X}$\bar X 代替 $\mu$\mu 的过程中，我们损失了一个自由度。

那么，如果问题的背景变了，我们知道隐含的分布均值 $\mu$\mu ，只是不知道 ${\sigma }^2$\sigma^2 ，那我们该如何估计 ${\sigma }^2$\sigma^2 ？是 $\frac{(X_1-\mu {)}^2+(X_2-\mu {)}^2+\cdots +(X_n-\mu {)}^2}{n-1}$\frac{(X_1-\mu)^2+(X_2-\mu)^2+\dots+(X_n-\mu)^2}{n-1} ，还是 $\frac{(X_1-\mu {)}^2+(X_2-\mu {)}^2+\cdots +(X_n-\mu {)}^2}{n}$\frac{(X_1-\mu)^2+(X_2-\mu)^2+\dots+(X_n-\mu)^2}{n} ？

相信聪明的你一定能得到答案。这次的答案，变成了符合直觉的 $\frac{(X_1-\mu {)}^2+(X_2-\mu {)}^2+\cdots +(X_n-\mu {)}^2}{n}$\frac{(X_1-\mu)^2+(X_2-\mu)^2+\dots+(X_n-\mu)^2}{n} ，分母是 n，而不是那个怪异的 n - 1. 这个计算过程留作作业，用来巩固你的知识。

所以总结一下：方差估计的分母是 n - 1 而不是 n，原因是我们在计算过程使用了 $\overline{X}$\bar X 来代替均值 $\mu$\mu （因为 $\mu$\mu 是未知的），从而导致分子中的 n 项 $(X_1-\overline{X}{)}^2+(X_2-\overline{X}{)}^2+\cdots +(X_n-\overline{X}{)}^2$(X_1-\bar X)^2+(X_2-\bar X)^2+\dots+(X_n-\bar X)^2 实际上只计算了 n - 1 个偏差值（也就是自由度为 n - 1）。因此，最合理的做法当然就是除以 n - 1 来得到平均的偏差值，来作为方差的估计。